е Рассмотрим последовательность {xn}
Работа добавлена на сайт samzan.net:
9.Число «е»
Рассмотрим последовательность {xn} = .
Если последовательность {xn} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.
По формуле бинома Ньютона:
или, что то же самое
Покажем, что последовательность {xn} – возрастающая. Действительно, запишем выражение xn+1 и сравним его с выражением xn:
Каждое слагаемое в выражении xn+1 больше соответствующего значения xn, и, кроме того, у xn+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {xn} возрастающая.
Последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е
Доказали ч, что Xn и ограничена сверху, в силу теоремы о сущ. Пределов монотонной и огран. Послед. Существует конечный предел.
10. Лемма о вложенных промежутках
Теорема:
Доказательство:
Использую теорему о пределе монотонной послед.
Предположим, что
Геометрическая интр. называются вложенными, если все т. Промежутка а1, в1 пренадлежат промежутку а,в
Если имеем бесконечную последов. Вложенных промежутков с длинами стремящимися к 0 то сущ. Единст. Точка пренадлежащая всем промежуткам одновременно:
11.Последовательности. частичные пределы. Нижний и верхний пределы последовательности.
Из послед.(1) расмотр. Некотор. Возраст. Послед. Натур. Чисел.
Из n.(1) выб. Элементы
Послед.(2) наз.последовательностью последовательности (1)
Если последовательность имеет предел, то он наз.частичным пределом последовательности.
Наибольшие из всех частичных пределов последовательности назв.верхним пределом.
Наименьшие назв.нижним пределом последов.
Теормема:Если последовательность имеет предел, то любая её подпослед.имеет тот же предел.
Док-во:
limXn=a:
Следствие Если можно указать хотя бы 2 разные пределы. То такая последоват предела не имеет.
Теормема: Из любой органиченной послед. Можно извлечь сходящуюся последов.
12.Необходимые и достаточные условия сходимости числовой последовательности.
А-условие В-Факт
Условие А назв. достаточным для свершения факта В, если из выполнения условия А следует выполнение факта В
Условие А назв. необходимым для факта В, если из выпол. Факта В следует выполнение условия А
Для сходящейся последоват. Ограниченность последов. Есть условие необходимое.
Теорема1: Для того что быпосл. Имела предел необходимо и достаточно что бы она имела равные между собой нижние и верхние пределы.
Теорема2:Для того что бы послед имела предел необходимо и достаточно что бы для
Это необходимое и достач.условие часто называют критерием Коши.
А последов.удовл.этому условию назыв.фундаментальной.
То что критерии Коши не выполняются
13.Функции одной переменной., способы задания. Классификация функций.
Говорят, что на множестве X задана ф. y=f(x)
X-независимая переменная или аргумент ф.
Y-функция
X-область определения ф. D(f)
Y-множество значений ф E(f)
Графиком ф. y=f(x) –назв.множ.т.плоскости (x,f(x))
Способы задания функции:
1.Аналитический(способ формул)
Пример:
2.Табличный(зависимость задается)Явл. расписание всевозможных способов решения.
3.Графический(завис. задается с помощью графика)Не все функции можно изобразить графически.
Эл.ф.деляться на 3 больших класса:
1. Рациональные ф.
Делять на целые рациональные и дробно рациональные. Целые рациональные ф. или многочленом N-ой степени относительно переменной X назв. Ур.выраж. вида :
и тд. Назыв. Коэф. Многочлена. в роли. Коэф. Любые действительные числа
Дробно рациональные ф.-это отношение целых рациональных ф.
Дробь правильная, если m<n
2.Иррациональные ф.
Это ф. которые получаются с помощью конечного числа четырех арифм.действий над степенными ф. как с целыми так и с дробными или супер.позиц.степенных ф. и котр. не являются рациональными. :
3.Трансцендентные ф.
Это ф. которые не являются рациональными и иррациональными – называются трансцендентными.
14. Определение предела функции в точнее по Коши, его геометрический смысл. Определение предела функции в точнее по Гейне.
Геометрически определение означает: для любой плоскости точки а на оси у найдётся такая окр. Т. Хо на оси х-ов для всех точек, которой за исключением т.Хо,значение ф. попадут в выбранную окр. т.а
По Гейне:
Можно указать 2 различные послед. сходящиеся т.
=>
1.
Определение предела ф. в т. По Коши и по Гейне - эквивалентны.
15. Односторонние пределы функции в точке. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке.
По Коши
Предел справа:
По Гейне
Предел справа:
По Коши предел слева:
По Гейне слева:
Необходимое и достаточное условие сущ. Предела ф.
Теорема 1: Для того что бы ф. имела предел в т. Необходимо и достаточно что бы она имела в этой т. Равные между собой односторонние пределы.
lim f ( x) = lim f ( x) = lim f ( x)
x→x0 x→x0−0 x→x0+0
Теорема 2.: Для того что бы имела конечный предел необ. И дост. Что бы для любого наперед заданного
-конечный lim необ. И дост.
=
=
16. Свойства функций, имеющих предел.
1.Свойство
Если существует один предел, то он единственный:
2.Свойство
3.Свойство
Lim f(x)=a<p(>q)
(xo)-xo,
4.Свойство
5.Свойство
Зажатая последовательность
Если в выкл.окр. f(x)<h(x)<h(x) и т. xo имеет место нер.
6.Свойство
17. Первый замечательный предел.
- четная
f(-x)=f(x)
В случаи четности ф-ции можно рассмотреть только:
С помощью замечательного предела получаем ещё одну возможность раскрыть неопределенность
Важно что бы аргумент sin стремимся к нулю
Следствие:
2. Сущность и механизмы реинжениринга
3. Ярославская государственная сельскохозяйственная академия УТВ
4. величиной с детскую голову закрепленный на железном стержне между двумя вертикально стоящими деревянными
5. Публицистика ~ своеобразная ступень между журналистикой и литературой высший вид журналистики ~ зародилас
6. Организация производства специализированного ремонтного предприятия
7. тематика на уровне
8. Таблица1 d m K1
9. тема переживает серьезные политические и военностратегические катаклизмы связанные с актами терроризма
10. вариант Our bby Jck now
11. Тема- Собственность- права и формыДля общего совместного присвоения не характерно.
12. Курсовая работа- Роль Североамериканского соглашения о свободной торговле (НАФТА) в международных отношения
13. пластическому самовыражению перевоплощению в игровой образ развивать творческие возможности продуктивно
14. Курсовая работа- Институт договора поставки в гражданском праве РФ
15. Горе от ума в 1824 году
16. ком. квартира 68 кв.
17. Рахунки в банках в іноземній валюті- види порядок відкриття відображення операцій в бухгалтерському облі.html
18. Правил безопасности в коксохимическом производстве утвержденных в 1981 году Госгортехнадзором СССР и Минис
19. по теме- Анализ в системе маркетинга Исполнитель- студентка Направление- Экономика Профил
20. Pitied friend Bost now of your powers to run nd climb s long s you cn get me to listen