Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
10
Лекция_№4 СҰЙЫҚТАР МЕН ГАЗДАР ҚОЗҒАЛЫСЫ ТЕҢДЕУІ СТР-74 ШВЫД
Сұйық тыныштықта тұрғанда жанама кернеулері болмайды. Ал сұйық қозғалған кезде сұйық қабаттарының салыстырмалы қозғалысымен байланысты жанама кернеулер пайда болады. Екі параллель пластина арасындағы сұйықты алайық. Төменгі пластина қозғалмайды, ал жоғарғы пластина өз жазықтығында жылдамдықпен қозғалады. Төменгі пластинаға жабысып тұрған сұйық қабаты Тұтқыр сұйық пластина бетіне жабысады. Пластина үстіне жанасатын сұйық қабаты жылдамдығы пластина жылдамдығына тең болады.
Рис. 3.4 Рис. 3.5 Рис. 3.6
Қозғалыстағы сұйық қабаттары арасында үйкеліс күші пайда болады. Сұйықтағы үйкеліс күші жанама кернеумен анықталады. Кейбір жағдайда жанама кернеуді есептемеуге болады. Ондай жағдай, мысалы, самолет қанатының көтерілу күшін анықтау үшін газдағы жанама кернеуді ескермеуге болады, өйткені жанама кернеу нормаль кернеуден соншалықты аз.
Кернеу – қима ауданына түсетін күш, қима бойынша таралған ішкі күштің интенсивтілігінің өлшемі. Кернеу өлшембірлігі . Кернеу күш сияқты векторлық шама. Қиманың әрбір нүктесінде толық кернеуді 2-құраушыға бөлеміз:
Әсер ететін күштерге байланысты қима жазықтығында жанама кернеудің бағыты әртүрлі болуы мүмкін. Толық кернеуді нормаль және жанама деп бөлудің өзінің физикалық мағынасы бар. Нормаль кернеу сұйық бөлшектері бір бірінен бөлінуге немесе жақындауға ұмтылғанда туындайды, ал жанама кернеу сұйық бөлшектерінің қима жазықтығындағы жылжуымен байланысты.
§4.1. Кернеу мен деформация. Егер сұйықтың элементар шексіз кіші көлемін куб ретінде ойша бөліп алайық. Осы элементке сыртқы күштер әсер етсе, элементар көлемнің алты қыры бойынша әсер ететін
кернеу компоненттері төмендегі 4.1 – суреттегідей болады.
осіне перпендикуляр элементар аудандағы толық кернеу нормаль кернеу және жанама кернеудің екі өзара ортогональ компоненттері арқылы бейнеленеді. Нормаль кернеудегі индекс – әсер ететін кернеу бағытын, ал жанама кернеудегі 1-индекс нормальдың өзі ісер ететін ауданға бағытын, 2-индекс оның әсері бағытын көрсетеді.
Дененің кернеулік күйін жалпы сипаттау үшін 9 - скалярлық шама керек – бір нормаль және екі жанама кернеудің әрбіріне үш өзара ортогональ аудандар келеді. Мынадай жанама кернеулер тең болғандықтан, онда жалпы кернеулер 6 – скалярлық компонента болады.
Математикалық тұрғыдан кернеу шамалары былай анықталады:
. (4.1)
мұндағы ауданға түсіретін -күш векторы компоненттары.
Кернеу әсер еткенде элементтің деформация компоненттерін қарастырамыз (сур -4.2).
Кез келген үзіліссіз ортаның (серпімді қатты дене, сұйық н/е газ) деформациялық күйі – ұзару және ығысу (сызықты және бұрыштық деформациялы) деформация компоненттері арқылы бейнеленеді.
Деформацияланбаған дененің -элементін қарастырайық (сур-4.2). Сыртқы күштер жүйесі әсерінен элемент мынадай форманы қабылдайды -. Егер нүктесі координатасы деформацияға дейін болса, деформациядан кейін тең болады.
Салыстырмалы сызықтық деформация бастапқы ұзындыққа бөлінген элемент беті ұзындығының өзгерісіне тең. Сызықтық деформацияны символымен белгілейміз, индекс – деформация бағытын көрсетеді. нүктесі үшін бағытындағы сызықтық деформация
Осы операцияны басқа екі бағыт бойынша жазып, үш салыстырмалы сызықтық деформацияны аламыз
(4.2)
Жылжу деформациясы бастапқы кезден өзара перпендикуляр екі элементар аудандары арасындағы бұрыштың өзгеруі. Ол деп белгіленеді, екі индекс деформация жазықтығындағы ортогональдық осьтер бағытын көрсетеді. Мысалы, жазықтығы үшін 4.2- суреттен аламыз
Осы операцияны басқа екі бағыт бойынша жазып, үш жылжу деформациясын (бұрыштық деформация) аламыз:
(4.3)
Жоғарыда келтірілген қатынастарында, деформация кезінде нүктенің ығысуын ығысу векторы арқылы жазамыз Деформация кезінде көлем өзгерісінің бастапқы көлемге қатынасын – көлемдік деформация деп атаймыз:
(4.4)
§4.2. Ньютондық сұйықтар үшін кернеу мен жылдамдық деформациялары арасындағы қатынас.
Жанама кернеудің болуына байланысты сұйықты екі модельге бөлеміз: а) сұйық қозғалысы кезінде жанама кернеу болмайды, ондай сұйықтар идеал сұйықтар деп аталады; б) сұйық қозғалысы кезінде жанама кернеу ескеріледі, ондай модель тұтқыр сұйық моделі.
Идеал сұйықтарда кернеу векторы нормальмен сол ауданға перпендикуляр.
Тұтқыр сұйықтарда жанама кернеу бар, кернеу векторы:
3.4-суретте сұйықта жылдамдықтың сызықты таралуы байқалады. осі бойында қашықтықта орналасқан сұйықтың екі қабатының салыстырмалы жылдамдығы ға тең. Оның туындысы:
сұйық қабаты салыстырмалы қозғалысының дәрежесін береді. осіне перпендикуляр орналасқан элементар ауданды қарастырайық. Сұйық қабаттары жылдамдықтары айырымына байланысты жанама кернеу пайда болады. шамасына пропорционал. Ньютондық сұйық деп аталатын тұтқыр сұйық моделінің негізі осында. Жылдамдық градиенті мен жанама кернеу арасындағы байланысты орнататын формула:
тұтқыр үйкелісті Ньютон заңы. динамикалық тұтқырлық. -кинематикалық тұтқырлық.
Ньютондық емес сұйықтар.Ньютондық емес сұйықтарға мысал: сазды, каллойдты ерітінділер, цемент, полимерлі ерітінділер жатады. Ньютондық емес сұйықтар үш класқа бөлінеді:
(4.5)
(4.6)
кернеудің уақыт бойынша туындысы.
(4.5) теңдеумен сипатталатын ньютондық емес тұтқыр сұйықтарды үш категорияға бөлуге болады:
а) Тұтқыр – пластикалы немесе бингамдық сұйықтар
жанама кернеумен градиенті арасындағы байланыс «ағыс қисығы» 3.6-суретте көрсетілген. Мұндағы қозғалыстың шекті кернеуі деп аталады. сұйық қатты дене сияқты болады. Тыныштықта тұрған тұтқыр-пластикалы сұйықтың кез келген кернеуге қарсы тұратын кеңістікті қатты құрылымының болуымен түсіндіруге болады. болғанда құрылым толығымен бұзылады да сұйық кәдімгі ньютондық сұйық қасиетіне ие болады. Егер тағы да болса, құрылым қайта қалпына келеді. Тұтқыр-пластикалы сұйық моделіне жақын сұйықтар: лак, краска және т.б.
б) Псевдопластикалық сұйықтар.Эксперимент деректері бойынша қозғалыс кернеуі мен жылдамдық градиенті логарифмдік координата сызықты байланыста болады. Осындай ортаны сипаттау үшін мынадай тәуелділік:
(4.7)
мұндағы тұрақтылар, тұтқырлықтың өсуімен артатын сұйық консистенциясы өлшемі, ньютондық сұйықтан ауытқу дәрежесін көрсетеді (3.7-сурет, 1-сызық).
Сұйықтың псевдопластикалық моделі жоғары полимерлі ерітінділері және ассиметриялық бөлшектерге ие суспензиялар қозғалысын жақсы сипаттайды. Бөлшектері асимметриялы суспензиялар үшін олардың молекулалары біртіндеп қозғалыс бағыты бойымен бағытталады да бөлшектің ориентациясы сақталғанша ортаның тұтқырлығы төмендейді, сосын ағыс қисығы түзу сызыққа айналады.
в) Дилатантты сұйықтар. Олар (4.7) дәрежелік теңдеумен сипатталады. Ағыс қисығы 3.7-суретте, 2-қисық көрсетілген. Мұндай сұйықтарда жылдамдық градиенті артқан сайын тұтқырлық артады. Псевдопластикалық сұйықтар моделі қатты фазасы көп суспензиялар қозғалысын жақсы сипаттайды. Ағыстың мұндай түрін бірінші болып Рейнольдс анықтады. Осындай суспензиялар тыныштықта тұрғанда сұйық пен қатты бөлшектер арасында өабатшалардың өте аз көлеміне ие деп жорамалдады.
Жылдамдық градиенті аз болғанда сұйық смазка сияқты және жанама кернеу аз. Жылдамдық градиенті көп болғанда бөлшектердің тығыз упаковкасы бұзылады, сосын бөлшектер арасында бір бірімен жанасқандағы смазка аз болады да кернеу ұлғаяды.
§4.3. Импульс балансы теңдеуі. Қозғалыс (импульс балансы) теңдеуін жазуғанда осы шаманың сақталу принципін қолданатын жүйені таңдау керек. Импульстың сақталу заңының жазылуы
Жүйеге импульстың енуі + жүйеге әсер ететін барлық беттік күштердің қосындысы + жүйеге әсер ететін барлық көлемдік күштердің қосындысы = жүйе импульсінің өсу жылдамдығы. (4.19)
Өрнектелуі: дене массасының оның үдеуіне көбейтіндісі денеге әсер ететін барлық күштер қосындысына тең, яғни
Сұйықтың элементар көлеміне гравитациялық күш, -нормаль кернеудің үш компонентасы және жанама кернеудің алты компонентасы әсер етеді. Жанама кернеудің компоненттерінің индексы шартын ескере отырып, бағытында - осылардың біреуінің әсер ететінін табамыз. Бастапқы екі шама ауданына, ал кейінгі екі шама ауданына әсер етеді.
Осыған ұқсас
Басқа кернеулер үшін аламыз
Енді осіне әсер ететін күштер балансын құруға болады:
(4.20)
Бұл теңдеуді параллелепипед көлеміне бөліп, теңдедуді аламыз
(4.21)
Осылайша декарттық координаталар жүйесінде жазылған және бағыттары үшін импульс балансы теңдеуін табамыз:
(4.22)
§4.4. Навье – Стокс теңдеуі.
(4.21) және (4.22) теңдеулері гравитациялық массалық күш әсерінде орналасқан кез келген сұйықтар үшін орынды. Ньютондық сұйықтар қозғалыс теңдеуін алу үшін (4.16), (4.17) теңдеулерін қолдану керек.
(4.16)
кернеу мен жылдамдық деформациясы арасындағы қатынасты нормаль кернеу үшін (4.16) –теңдеу түрінде көрсетуге болады. Ол кезде жанама кернеу жылжу деформациясы жылдамдығына пропорционал (бұрыштық деформация):
(4.17)
(4.16) және (4.17) ньютондық сұйықтың анықтауыш теңдеулері деп аталады. Осыларды (4.21) және (4.22) жүйесіндегі нормаль және жанама кернеу үшін қойып, төмендегіні аламыз
(4.24)
Бұл жүйе айнымалы тұтқырлықты сығылатын сұйықтың қозғалыс теңдеуін көрсетеді. Сұйықтар динамикасы есебін шешкенде оны үзіліссіздік теңдеуімен толықтыру керек.
Сығылатын сұйықта белгісіздер тек қысым мен жылдамдық емес, сонымен қатар тығыздық, тұтқырлық сияқты физикалық қасиеттері. Ал тұйық теңдеулер жүйесі үшін тағы да екі қатынасты: термодинамикалық күй теңдеуін және тұтқырлықтың температурамен байланысын енгізу керек. Егер ағын температурасының өзгерісі көп болмаса, онда сұйықтың орташа температурасын анықтайтын тұрақты тұтқырлық жорамалы орындалады. Бұл жағдайда сығылатын сұйық үшін (4.24) жүйенің бірінші теңдеуінен аламыз
осылай басқаша жазып, тұрақты тұтқырлықты сығылатын сұйық үшін декарттық координатада жазылған Навье-Стокс теңдеуін алуға болады:
(4.25)
Лаплас - дифференциалдық операторын енгізіп және (3.7) өрнегімен сәйкес үдеуді есептеп, (4.25)-теңдеуі векторлық формада мына түрге ие екендігін табамыз
(4.26)
Сығылмайтын сұйық үшін өйткені (4.26) жеңілденеді:
(4.27)
(4.27)-теңдеу Стокс теңдеуі деп аталады.
Тұтқыр емес сұйық үшін (4.27)-теңдеуді қа бөліп Эйлер қозғалыс теңдеуін аламыз
. (4.28)
Вертикаль бағытта саналатын нүкте биіктігін десек, ауырлық күші үдеуі компоненттерін төмендегідей:
немесе
Егер декарттық координаталар жүйесі осьтері пен сәйкес болатындай орналасса, онда болады. «-» болатын себебі ауырлық күші -кері мәндері жағына бағытталған.
(3.6)- теңдеуімен сәйкесінше үдеу компоненттерін қойып, декарттық координатада сығылмайтын сұйық үшін Навье-Стокс теңдеуін жазамыз:
(4.29)
Көрсетілген теңдеулер жүйесіне кіретін белгісіз шамалар кинематикалық және физикалық шекаралық шарттарды қанағаттандыруы керек. Кинематикалық шарттар – жылдамдықтар кез келген қатты бетте немесе қабырғада осы қабырғаның жылдамдығына тең болады деген сөз (нольге тең немесе қабырға қозғалыссыз). Физикалық шарттар – кез келген нақты сұйықтың қасиеті салдарынан қатты бетке «жабысуы». Осының нәтижесінде қабырғада жылдамдықтың жанама компоненты үшін жабысу шарты болады.
Дербес туындылы екінші текті сызықсыз дифференциалдық теңдеулер болатын Навье-Стокс теңдеуінің жалпы шешімі әлі кезге дейін табылмаған. Алайда әртүрлі жеңілдетулермен дербес шешімдерін алуға болады.
Металлургиялық пештерде, факельдік жылыту әдістерінде газдар қозғалысы құйынды сипатқа ие, сондықтан Навье-Стокс теңдеуін құйынды ағын сипатын ескеретіндей түрлендіру керек. Осы тұрғыдан (4.29) жүйенің бірінші теңдеуінің сол жағын қарастырамыз
құйынды жылдамдық векторы компоненті. Осы өрнектің оң жағындағы екінші қосылғыш жылдамдық векторы модулы туындысын көрсетеді, ал соңғы жылдамдық роторы векторлық туындысының осіне проекциясын және ағын жылдамдығы векторын, яғни
Векторлық формада
Осы өрнекті (4.26) теңдеуіне қойып, табамыз
(4.31)
Навье-Стокс теңдеуі үшін аламыз
(4.32)
Бұл Навье-Стокс теңдеуінің Громека-Лэмба формасында жазылуы.
§4.5. Навье – Стокс теңдеуін шешу мысалдары (стр-87)