Тема 2. Ковариация и собственный вектор Классический аппарат анализа и прогнозирования поведения социально
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Тема 2. Ковариация и собственный вектор
Классический аппарат анализа и прогнозирования поведения социально-экономических систем (предприятия, организации, рынки и т.п. в дальнейшем СЭС), не удовлетворяет современным требованиям к качеству управленческих решений, оперативности их принятия и реализации. Так же на эффективность управленческих решений, кроме внутренних факторов, значительное влияние оказывают факторы внешней среды, их нестабильность и неопределенность. Поэтому с достаточной степенью уверенности, можно говорить о необходимости развития новых подходов, методов и инструментов, анализа и прогнозирования состояния СЭС, на основе многофакторных моделей, как на уровне их управления в целом, так и в контексте анализа эффективности факторов производства.
В практике менеджмента для достижения поставленных целей желательно определять линейно-независимые комбинации переменных, которые обеспечивают наиболее эффективное их применение. Необходимо учитывать, что с одной стороны СЭС являются слабоструктурированными системами и характеризуются отсутствием качественных математических моделей процессов происходящих в них. Анализ СЭС осуществляется путем наблюдения за динамикой факторов, описывающих процессы, и установление причинно-следственных связей между ними.
Увеличение числа изучаемых факторов может являться средством повышением точности и качества прогноза, что очень важно, так как от точности и качества анализа зависит правильность принимаемых управленческих решений. В связи с этим актуальной проблемой является применение новых методов и инструментов прогнозирования поведения социально-экономических систем, позволяющих изменять количество факторов в модели. Недостаток имеющихся методов математического моделирования состоит в том, что трудно получить модель сложного явления, в котором было бы взаимосвязано большое число различных факторов.
Для решения подобного рода задач, необходимо применять такие инструменты, которые позволяют установить и измерить причинно-следственные связи между различными процессами в СЭС. Одним из таких инструментов является метод главных компонент, который применяется для такой группировки исходных признаков, чтобы члены группы обладали корреляцией между собой, но группа в целом была бы независима от других групп.
Одно из важных достоинств такой группировки заключается в том, что она позволяет представить процесс поведения изучаемого объекта в виде набора независимых (статистически) составляющих подпроцессов, каждый из которых можно анализировать отдельно. Причем, факторы в подпроцессах, могут влиять друг на друга. Связь может быть как положительной, когда увеличение одного фактора приводит к увеличению другого фактора, так и отрицательным, когда увеличение фактора приводит к уменьшению другого фактора.
Таким образом. суть анализа на основе главных компонент состоит в том, чтобы сложные проблемы и тенденции развития системы отразить в модели в упрощенном виде и провести исследование возможных вариантов их развития в модельной ситуации.
2.1. Обработка данных
В целом изучение экономических систем часто базируется на идее, что мы имеем большой набор данных, и желаем выполнить обработку набора путем анализа отношений между различными точками этого набора. При этом мы хотели бы найти некоторые характеристики набора, которые бы рассказали нам о самом наборе данных.
Для понимания характеристики нам нужен набор данных или набор временных рядов. Статистики обычно имеют дело с выборкой из генеральной совокупности. Например, при социологических опросах, генеральной совокупностью являются все люди на земле, в то время как выборка — это некоторый ограниченный набор людей, на котором выполняется социологические (статистические) измерения. Основная гипотеза, лежащая в основе статистических исследований, заключается в том, что все результаты, полученные на выборке, будут близки к результатам
Мы будем рассматривать временной ряд как некоторую выборку из генеральной совокупности. Временные ряды отражают колебания какой-либо характеристики на некотором временном интервале. Например, данные об месячных объемах продаж товаров, ежедневных курсах валют в течение года, или нескольких лет представляются временными рядами. Временные ряды могут быть представлены как в сгруппированном, так и в не сгруппированном виде. В дальнейшем под временными рядами мы будем понимать не сгруппированные ряды
Для описания временных рядов будем в дальнейшем использовать следующие показатели:
- показатели центра распределения,
- показатели вариации.
Показатели центра распределения показывают центральное или наиболее общее значение временного ряда. Показатели вариации представляют меру рассеяния данных вокруг среднего значения временного ряда. Фактически существует несколько показателей центра распределения, которые интересны в сфере финансов:
- мода,
- медиана,
- средняя арифметическая,
- средняя геометрическая.
Мода — это наиболее часто наблюдаемая величина изучаемого временного ряда.
Медиана — это значение наблюдения, которое находится в середине ранжированного ряда данных, т.е. наблюдение, занимающее срединное положение.
Среднее арифметическое наиболее часто используется в качестве центра распределения, именно ее большинство исследователей рассматривают в качестве средней. Среднее арифметическое рассчитывается суммированием всех значений отдельных наблюдений и последующим делением полученной суммы на количество наблюдений. Например, допустим, что необходимо подсчитать среднюю арифметическую цены какого-либо актива в течение пяти дней. За данный период мы наблюдаем следующие цены
2225 2125 2540 2315 2730
Среднее арифметическое рассчитывается путем сложения этих пяти значений и делением сумму на число наблюдений. В формализованном виде среднее арифметическое вычисляется следующим образом
(2.1)
Используя формулу (2.1), можно подсчитать среднюю арифметическую пяти цен ценной бумаги:
(2225+2125+2540+2315+2730)/5=2387
Таким образом, средняя арифметическая цена равняется 2387. Среднее арифметическое не говорит нам много о данных, кроме разве что информации о средней точке. Но часто необходимо знать не только где расположена средняя точка, но и как данные рассеяны вокруг нее. Для оценки рассеивания данных существуют показатели рассеивания:
- дисперсия,
- среднеквадратическое отклонение или среднее отклонение.
Если среднее арифметическое выбрано как показатель центра распределения, то соответствующими показателями вариации являются дисперсия и среднеквадратическое отклонение.
Если отдельные наблюдения сгруппированы вблизи среднего значения, то разности между каждым индивидуальным наблюдением и средней будут небольшими. Если отдельные наблюдения широко рассеяны, то разности между каждым индивидуальным значением и будут велики
(2.2)
Если вычисляется дисперсия на основе всей совокупности данных, то делитель в выражении (2) равен . Однако, когда временной ряд представляет выборку из совокупности данных, необходимо делить на .
Дисперсия выражается в квадратах единиц, которыми измеряются данные, что делает ее интерпретацию довольно затруднительной. Эту проблему можно преодолеть, извлекая квадратный корень из дисперсии и получая, таким образом, стандарт.
Среднеквадратическое отклонение вычисляется по формуле
Если временных рядов несколько используется матричная форма записи. Пусть экономический объект описывается набором признаков , где — указывает момент времени, а — номер признака. Таким образом, матрица признаков может быть представлена в виде
(2.3)
Значения каждого признака в различные моменты времени представляют временной ряд, который можно описать вектором , где – номер признака ( = 1,2,3,..., ), — число признаков, а – количество моментов времени и размерность вектора признака . Тогда, пространство признаков экономического объекта (2.3) можно представить в виде матрицы, в которой столбцы содержат временные ряды временных рядов
(2.4)
Пространство признаков центрируется относительно среднеарифметических значений временных рядов, которые вычисляются по формуле:
(2.6)
где — -й компонент вектора или значение -го признака в -й момент времени.
Среднеарифметические значения признаков используются в качестве центра распределения пространства признаков. При этом каждый элемент матрицы меняется следующим образом
(2.7)
Отцентрированную матрицу признаков можно представить в виде набора временных рядов
(2.8)
2.2. Ковариация и ковариационная матрица
В финансовой практике очень часто важно знать, как два признака ведут себя по отношению друг к другу. Например, при управлении продажами необходимо знать, как продажи одного товара влияет на продажи другого. Для этого необходимо определить ковариацию или корреляцию между объемами продаж двух товаров.
Если объем продаж товара растет (падает) в то же время, когда растет (падает) объем продаж товара , ковариация будет положительной. Однако если во время роста объема продаж товара , объем продаж товара падает, то ковариация будет отрицательной. Если же не существует определенной модели связи между движениями объемов продаж, т.е. объемы продаж двух товаров ведут себя независимо, ковариация равна нулю.
Формула для вычисления ковариации выглядит следующим образом
(2.10)
В табл. 2.1 приведены данные, относящиеся к ценам двух валют: доллар США и Евро. В этой же таблице показаны результаты расчета ковариации для этих двух валют.
Таблица 2.1
Среднемесячные курсы изменения валют в 2007 году
|
Дата |
Доллар США, |
Евро, |
|
|
()() |
|
Январь |
26.53 |
34.39 |
0.95 |
-0.62 |
-0.58800 |
|
Февраль |
26.34 |
34.41 |
0.76 |
-0.60 |
-0.45845 |
|
Март |
26.11 |
34.57 |
0.52 |
-0.44 |
-0.22887 |
|
Апрель |
25.84 |
34.89 |
0.26 |
-0.12 |
-0.030282 |
|
Май |
25.82 |
34.91 |
0.24 |
-0.10 |
-0.024225 |
|
Июнь |
25.91 |
34.78 |
0.33 |
-0.23 |
-0.076827 |
|
Июль |
25.54 |
35.03 |
-0.04 |
0.02 |
-0.000816 |
|
Август |
25.62 |
34.90 |
0.04 |
-0.11 |
-0.004653 |
|
Сентябрь |
25.33 |
35.16 |
-0.25 |
0.15 |
-0.036817 |
|
Октябрь |
24.90 |
35.39 |
-0.69 |
0.38 |
-0.262545 |
|
Ноябрь |
24.47 |
35.91 |
-1.12 |
0.90 |
-1.006731 |
|
Декабрь |
24.57 |
35.78 |
-1.01 |
0.77 |
-0.778048 |
|
Сумма |
-3.496277 |
||||
|
25.58 |
35.01 |
|
Ковариация |
-0.317843 |
Отклонения каждого из значений или от соответствующих средних располагаются в столбцах и . Соответствующие значения из этих столбцов перемножаются и помещаются в крайнем правом столбце. Значения в нем суммируются, в результате чего получаем -3.496277. Это число делится на и получается ковариация, равная -0.317843. Из рассматриваемого примера мы видим, что курсы доллар США и Евро имеют отрицательную ковариацию цен. Дисперсия курса доллара США равна 0.4345, а дисперсия курса евро — 0.2372.
Ковариации нескольких признаков объекта удобно изображать в виде ковариационной матрицы, которая вычисляется по формуле
(2.11)
Ковариационная матрица вида (2.9) получается путем перемножения столбцов матрицы . Ковариационная матрица имеет размерность . В факторном анализе матрица называется R-модификацией.
При вычислении ковариационной матрицы могут использоваться операции вычитания средних (центрирование) и деления на стандарты (нормирование).
Геометрически операция центрирования соответствует параллельному переносу начала координат в центр тяжести множества точек.
Операция нормирования в пространстве соответствует изменению масштабов по всем осям координат так, чтобы величина рассеяния, характеризуемая величиной дисперсии, стала равной единице.
В табл. 2.2 показана ковариационная матрица изменения цен четырех валют: доллар США, евро, фунт стерлинга, японская иена. Ковариации на диагонали ковариационной матрицы являются дисперсиями изменений курсов валют. Поэтому, такую матрицу ковариаций часто называют дисперсионно-ковариационной матрицей.
Таблица 2.2
Ковариационная матрица четырех валют
|
|
Доллар США |
Евро |
Фунт стерлингов |
Японская иена |
|
Доллар США |
0.4345 |
-0.318 |
0.3094 |
-0.006 |
|
Евро |
-0.318 |
0.2372 |
-0.208 |
0.0041 |
|
Фунт стерлингов |
0.3094 |
-0.208 |
0.4033 |
-0.082 |
|
Японская иена |
-0.006 |
0.0041 |
-0.082 |
0.1515 |
2.3. Собственные векторы
Матрица
(2.12)
Транспонированная матрица
(2.13)
Умножение матрицы на вектор
(2.14)
(2.15)
(2.16)
Как известно, если мы хотим перемножить две матрицы, то они должны иметь совместимые размеры. Рассмотрим перемножение матрицы на вектор
В первом случае результирующий вектор принципиально отличается от исходного, в то время как во втором примере полученный вектор в 4 раза больше исходного. Вектор второго примера является собственным вектором матрицы.
Собственные векторы вычисляются из уравнения
(2.14)
В этом уравнении — собственный вектор, а — собственное значение.
В приведенном выше примере представляет собственный вектор, а 6 собственное значение. Подставляя матрицу, собственный вектор и собственное значение в уравнение получим
Какие свойства имеют собственные векторы.
1. Во-первых, собственные векторы определяются для квадратных матриц. Матрица имеет собственных векторов. Каждому собственному вектору соответствует одно собственное значение. Если матрица имеет нулевые собственные значения, то это значит, что матрица является вырожденной. Вырожденная матрица имеет нулевой определитель, и не имеет обратной матрицы.
2. Другое свойство собственного вектора заключается в том, что если собственный вектор умножить на ненулевой коэффициент, то результирующий вектор также является собственным вектором.
3. Ортогональность собственных векторов
Математически это свойство описывается
Геометрически собственный вектор можно изобразить в виде стрелки. В нашем примере собственный вектор имеет размерность 2. Таким образом, он представляется вектором: начало (0,0), окончание (3,2). Умножение вектора на коэффициент не меняет направленности вектора, а увеличивает только его длину.
Еще одно свойство собственных векторов это их ортогональность. Геометрически это означает, что если мы вместе с первым собственным вектором, изобразим на плоскости второй собственный вектор, то между ними будет прямой угол
Рис. 2.1 Ортогональность собственных векторов
Упражнение
Для следующей квадратной матрицы определить, — какие векторы являются собственными
Векторы
2. Національні економічні інтереси та загрози економічній безпеці України
3. Мікроскопічні гриби пошкоджувані документів на різних носіях інформації
4. реки крови море смеха
5. это передача задачи и полномочийдостаточных для ее решения должностному лицу которое принимает на себя от
6. Три ипостаси Василия Зеньковского
7. LT 2 DMC 310 Blck
8. Реферат Литература Европы XIX ' XX веков Трусова Ильи 8 А
9. На каждое лабораторное занятие студенты должны приносить с собой- а лабораторный журнал тетрадь в клетку
10. 1 ст. 13 Конституції України яка визначає право власності Українського народу на природні ресурси
11. 1размера номин з
12. Реинжиниринг- бизнес-процессы или зоны ответственности
13. Реклама, встроенная в мир
14. Использование школьного информационного центра в начальной школе
15. Экономические информационные системы и их составляющие
16. Для чего вам отвешивать серебро за то что не хлеб и трудовое своё за то что не насыщает Исаия 55-2
17. конструктивизм
18. х основных объектов- ХД застроищиков ХД подрядчиков Задачи анализа- проверка напряженно
19. ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт инженерного предпринимательства Кафедра инженерного
20. Реферат- Тюркское влияние на этническую динамику русского народа