Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Матрицы, определители, с-мы лин. ур-ний.
1.Матрица—прямоугольная табл. вида: (mxn).
---нижняя треугольная М.
Св-ва:
(А+В)+С=A+(В+C)---ассоциативность. А+В=В+А
А+0=А А-А=А+(-А)=0
А=(аij) -число •А=(• аij) 1*А=А
(А+В)= А+В---дистрибутивность
2. А=АMxN согласованные
В=ВNxR
С=АВ С=СMxR
Св-ва:
2.1. А•0=0•А=0 2.3. (АВ)С=А(ВС) 2.5. А(В+С)=АВ+АС
2.2. A•I=I•A=A 2.4. (А+В)С=АС+ВС 2.6. (АВ)=(А)В=А(В)
А•В ≠ В•А --- в общих случаях
Док-во к 2.3.: Аmxn Bnxk Ckxl
D=AB ------ mxk; DC=mxl; E=BC -------nxl; AE=mxl
3. Если Ат=А, то А---симметричная. (аij=aji)
Св-ва:3.1. (АТ)Т=А 3.2.(А)Т=АТ 3.4. (АВ)Т=ВТАТ 3.3. (А+В)Т=АТ+ВТ
4. Перестановкой из n эл-тов наз всякое положение эл-тов мн-ва М в определённом порядке (или упорядоченный набор этих эл-тов).
Теорема1: Число всех перестановок из n эл-тов Pn=n!
Док-во: n способов для заполнения 1-го места
(n-1) для --//-- 2-го места
Для двух мест n(n-1) --- способов. И т. д.
5. Перестановка наз чётной, если её число инверсий чётное (и наоборот).
(инверсия – если , при i>j, то пара АЛи и АЛж образует ИНВЕРСИЮ)
Теорема2:Транспозиция меняет чётность перестановки.
Док-во: Транспозиция соседних эл-тов меняет чётность перестановки
Была (…,АЛи,АЛи+1,…)---чётная. Стала (…,АЛи+1,АЛи,…)---нечётная
Число инверсий при транспозиции соседних эл-тов меняется на 1, тем самым меняется чётность.
6. Определителем n-го порядка матрицы А называется число detА или |А| и равно алгебраической сумме всяких эл-тов, взятых ровно по одному из каждой строчки и каждого столбца, снабжённых знаком (-1)s+t, где s-число инверсий перестановки первых индексов данного произведения, а t- --//-- вторых индексов --//--, т. е. ,
,
Св-во1: Определитель не меняется при транспонировании.
Док-во: |Ат|=|А|
a’ --- транспонированное a
7. Св-во2: Если матрица А имеет нулевую строку, то её определитель равен 0.
Док-во: Согласно общему определению определителя в каждом произведении будет множитель нуль, зн. и сумма равна 0.
Св-во3: Общий множитель какой-либо строки можно выносить за знак определителя, а зн. и столбца. Док-во:
8. Св-во4: Если в опр-ле поменять местами две строчки, то изменится знак опр-ля.
Док-во:
;; S-нечётное.
Св-во5: Если в опр-ле есть две равные строки, то он равен 0.
Док-во: Пусть в опр-ле m-тая и k-тая строчки равны. Поменяем их местами и получим: |А|=-|А||А|=0
Св-во6: Если в опр-ле есть две пропорциональные строки, то опр-ль равен 0.
Док-во: Если вынести коэффициент пропорциональности , то получим две равные строки, при этом опр-ль станет равным 0.
9. Св-во7: Если в опр-ле строка представлена в виде суммы вида , то опр-ль равен сумме двух опр-лей, у которых в m-той строке первые слагаемые у первого опр-ля и вторые слагаемые у второго опр-ля. Все остальные эл-ты остаются неизменными.
Док-во:
Св-во8: u1, u2,…, uk---некоторые строки матрицы
1,2,…, k R---числа
1u1+1u1+…+1u1---линейная комбинация строк u1, u2,…, uk
Если в опр-ле явл. линейной комбинацией др. строк, то опр-ль=0
Док-во: (из св-ва 7)
Св-во9: Если к какой-либо строке матрицы добавить другую строку этой матрицы, умноженную на число, то опр-ль не изменится.
Док-во: (из св-тв 7-8).
10. Св-во10: Опр-ль ∆-ной матрицы равен произведению диагональных эл-тов.
Св-во11: Опр-ль матрицы след. вида:
, где А1,А2,…,АК---квадратные матрицы, Аi---блочные матрицы.
11. Теорема (о разложении опр-ля по эл-там строки)
Сумма произведений эл-тов строки матрицы А на их алгебраические дополнения равна опр-лю данной матрицы.
Док-во: В опр-ле матрицы А представим в виде суммы n слагаемых:
ak1+0+0+…+0, 0+ak2+0+…+0, …, 0+0+…+akn
Тогда:
Загоняем переставлением 1 на место [] и получим:
12. Теорема: замещения.
Сумма произведений некоторых n-чисел на алгебраическое дополнение эл-тов k-той строки матрицы А, равна опр-лю матрицы, которая получается из м-цы А, если в ней k-тую строку заменить строкой (любой).
Теорема: аннулирования.
Сумма произведений эл-тов в какой-либо строке на алгебраические дополнения равна 0.
13. Теорема: об определителе произведения.
Опр-ль произведения двух матриц равен произведению опр-лей этих матриц. |АВ|=|А|*|В|.
Док-во:
14. Обратной для данной матрицы наз. матрица А-1, которая обладает след. св-вом: А*А-1=А-1*А=I
Как бы теорема (о единственности): Если для матрицы А сущ. обратная, то она единственная.
Как бы док-во: А-11, А-12 --- возможные обратные матрицы.
Как бы теорема(о вырожденной матрице): Если А---вырожденная, то обратной м-цы не существует.
Как бы док-во: Аij---алгебраические дополнения эл-тов aij матрицы А.
Составим присоединённую м-цу :
; ;
;
15. Св-ва обратных матриц:
3. (Аn)-1=(А-1)n 4. (АТ)-1=(А-1)Т (АТ)(А-1)Т=(А-1А)Т=IТ=I
16. Системой m линейных ур-ний с n неизвестными x1, x2,…,xn наз.
, где ---матрица коэффициентов системы ,
числа aij---коэффициенты, b1,b2,…, bn---свободные члены, ---вектор-столбец,
АХ=b---краткая запись. Реш-ем с-мы наз. совокупность чисел х1=α1,х2=α2,…,хn= αn , при подстановке которых получится правильное равенство. ---столбец решений.
Матричный способ решения:
А=Аnxn |A|≠0 --- невырожденная. Ах=b (2). Рассмотрим обратную матрицу А-1. Умножим обе чести равенства (2) на А-1. А-1Ах=А-1b; Ix=A-1bx=A-1b (3)
Чтобы получить решение с-мы (2) нужно умножить обратную м-цу на b. Если м-ца □ и невырожденная, то решение с-мы единственное.
17.Ф-лыКрамера: ;; ; ;
---опр-ль м-цы, который получается заменой i-го столбца на столбец свободных членов.
18. A=Anxn. Отметим r сток и столбцов. Рассмотрим м-цу из эл-тов, находящихся на пересечении. Такая м-ца и её опр-ль наз. минором порядка r. Рангом матрицы А наз. наибольший из порядков миноров отличных от нуля. Такой минор наз. базисным. rgA---обозначение ранга.
1. 2. 3., то ---невырожденная. 4.
5. Если в м-це все миноры порядка k равны нулю, то все миноры более высокого порядка также равны нулю.
Док-во к 5: минор порядка k+1 разложим как опр-ль по эл-там строки. Получим с точностью до знака сумму произведений эл-тов данного минора на миноры порядка k, которые равны нулю.
19. Теорема (о неизменности ранга при элементарных преобразованиях): Ранг м-цы не меняется при элементарных преобразованиях строчек и столбцов.
Док-во: 1. При перестановке миноры исходной м-цы либо не изменяются, либо поменяют знак. Тем самым все ненулевые миноры остаются ненулевыми, т. е. ранг не меняется.
20. A=Amxn u1, u2,…,un---строчки
Данная совокупность строк наз. линейно-зависимой, если сущ. числа (не все=0) такие, что (*). Если (*) возможно только в случае , то данный набор строк наз. линейно-независимым.
Св-ва: 1.Если в наборе есть нулевая строка, то он линейно-зависим. u1=0, u2,…, uk≠0, .
2.Если к линейно-зависимой добавить какую-либо строку, то она будет линейно-зависимой
3.Если из лин.-завис. совокупности строк удалить строку, то получим линейно-независимую.
4.Если в совокупности есть одинаковые строки, то она будет линейно-зависимой
Теорема(критерий линейной зависимости): Совокупность строк линейно-зависима тогда и только тогда, когда одна из строчек явл. линейной комбинацией др. строчек.
Док-во: u1, u2,…,un--- линейно-зависимые. Покажем: u1---линейная комбинация др. строчек.
Действительно, сущ. такие что .
Обратно: Пусть , зн.
21. Теорема(о базисном миноре):Строки и столбцы, на пересечении которых находятся эл-ты базисного минора, также наз. базисными.1.Любая строка матрицы явл. линейной комбинацией базисных строчек.
2.Базисные строчки линейно-независимы.
Док-во к 1: Можно считать, что базисным явл. минор, состоящий из , расположенный в левом верхнем углу м-цы А. В противном случае можно переставить столбцы и строки так, что эл-ты базисного минора окажутся в левом верхнем углу. rgA=const.
i---столбец j---строка
, , , зн. при i и j.
Если i,j>r, то ---это минор порядка r+1, зн. =0
Если i и/или j ≤ r, то , т. к. имеются равные строки.
Разложим рассматриваемый опр-ль по эл-там последней строки: , где .
Коэффициенты не зависят от номера строки . Используя такие равенства при , можем записать: , т. е. j-тый столбец есть линейная комбинация базисных столбцов.
Док-во к 2: Предположим, что базисные строки линейно-зависимы, тогда одна из базисных строчек явл. линейной комбинацией др. строчек, тогда и в базисной матрице тоже самое, но в этом случае базисный минор =0, чего быть не должно.
22. AX=b (1)
Теорема Кронекера-Капели: (1)---совместная, когда ранг расширенной м-цы данной с-мы = рангу м-цы коэффициентов: rg(A|b)=rgA.
Док-во: существуют, то , ,
где 1, 2,…, n---столбцы м-цы А . А=
,зн. столбец свободных членов явл. линейной комб-цией столбцов м-цы А.
Вычитая в (A|b) из последнего столбца соответствующую линейную комб-цию, получим (А|0). В результате ранг м-цы не меняется. rg(A|b)=rg(A|0)=rgA. Предположим rg(A|b)= rgA, зн. столбец свободных членов b не входит в число базисных столбцов расширенной м-цы. Согласно теореме о базисных минорах, столбец b явл. линейной комбинацией базисных столбцов, а зн. и всех столбцов матрицы А, т. е. совместность системы (1)
23. Ах=0---однородная с-ма.
Если Ах=b в столбце b есть один ненулевой эл-т, то неоднородная. Однородная всегда совместна.
---тривиальное решение. Остальные решения, нетривиальные.
Теорема о сущ-нии нетривиального решения: С-ма линейных однородных ур-ний с м-цей коэффициентов mxn имеет нетривиальное решение тогда, когда rgA<n (n---число неизвестных, Amxn).
Док-во: Пусть сущ-ет ненулевое решение , Ах=0,
Тогда (не все ) 1, 2,…, n---линейно-зависимые, не все базисные, зн. число базисных столбцов < n. rgA<n.
Св-ва множества решений: 1 однородная с-ма с квадратной м-цей коэффициентов имеет нетривиальное решение если она вырожденная.
2 однородная с-ма с квадратной м-цей коэффициентов имеет тривиальное решение если она невырожденная.
24.Теорема о структуре общего решения с-мы линейных однородных ур-ний: Пусть A=Amxn, тогда система Ах=0 имеет n-r линейно-независимых решений, где r ---ранг м-цы А. Любое решение данной системы явл. их линейной комбинацией.
Док-во: rgA=r---ранг. Сущ. r линейно-независимых столбцов м-цы, а остальные столбцы---их линейные комбинации. Без ограничения общности можно считать, что 1, 2,…, r .
, ,…, ---эти решения линейно-независимы если составить из них м-цу, то последние n-r строк образуют минор М:
Совокупность n-r линейно-независимых решений наз. фундаментальной системой решений.
25. Теорема о структуре общего решения линыйных неоднородных ур-ний: A=Amxn всякое решение неоднородной с-мы AX=b представлено так: , где ---некоторое частное решение, ---общее решение соответствующей однородной с-мы (AX=0).
Док-во: , ---решение
Пусть Х---некоторое решение, тогда AX=b (1); AX*=b (2). Вычитая (2) из (1) получим:
; ;
---фундаментальная с-ма решений