Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Глава VI
6.1 Неперервні випадкові величини. Функція розподілу, її властивості
Із викладеного матеріалу ми знаємо, що дискретна випадкова величина вважається заданою, якщо відомий її закон розподілу. Закон розподілу дискретної випадкової величини може бути заданий у вигляді таблиці, в якій розміщені всі можливі значення випадкової величини і відповідні їм ймовірності .
Перейдемо до вивчення неперервної випадкової величини (значення її будемо позначати буквою Х), яка задається на деякому інтервалі (скінченному або нескінченному) так, що її можливі значення заповнюють цей інтервал суцільним чином. Для зручності і більшої загальності будемо припускати, що випадкова величина Х змінюється від до . Якщо ж її значення належать скінченному інтервалу (), то будемо вважати, що ймовірність попадання випадкової величини за межі інтервалу () дорівнює нулю.
По аналогії з дискретною неперервну випадкову величину задавати за допомогою таблиці всіх можливих значень вже не можна, бо ці значення не злічені, тому закон розподілу неперервної випадкової величини повинен визначати не ймовірність попадання в точку, а ймовірність попадання на заданий інтервал.
Таким чином для описання неперервної випадкової величини необхідно припустити, що відома ймовірність попадання у довільний інтервал, або відома функція розподілу ймовірностей.
Означення. Функцією розподілу (інтегральною функцією розподілу) випадкової величини називається ймовірність того, що випадкова величина прийме значення менше від фіксованого дійсного числа , тобто
. (1)
Геометрична інтерпретація функції розподілу полягає у наступному. Якщо випадкову величину розглядати як випадкову точку на осі (рис. 1), яка в результаті випробування може зайняти те чи інше положення на цій осі, то функція є ймовірність того, що випадкова точка у результаті випробування попадає лівіше .
Рис.1
Неперервна випадкова величина має неперервну функцію розподілу, графік якої має форму плавної кривої (рис. 2).
Рис.2
Розглянемо загальні властивості функції розподілу.
Властивість 1. Функція розподілу є невід’ємною величиною, яка міститься між нулем і одиницею:
.
Дійсно, це випливає з означення і властивості ймовірності.
Властивість 2. Функція розподілу є неспадною функцією, тобто , якщо .
Доведення. Нехай . Подія, яка полягає в тому, що випадкова величина приймає значення менше ніж , складається з двох подій:
Тоді за теоремою додавання ймовірностей маємо:
, або
(2)
Із формули (2) випливає
, бо ,
.
Наслідок 1. Ймовірність того, що випадкова величина прийме значення із проміжку , дорівнює приросту функції на цьому проміжку, тобто
(3)
Приклад 1. Випадкова величина задана інтегральною функцією:
Знайти ймовірність того, що випадкова величина прийме значення з проміжку [0,2).
Розв’язання. За формулою (3) маємо:
, тобто
.
Наслідок 2. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина прийме певне значення дорівнює нулю.
Доведення. Підставимо у формулу (2) , , тоді
.
Нехай . Оскільки - неперервна випадкова величина, то функція теж неперервна, внаслідок цього маємо, що приріст в точці , тобто , а значить
(3)
Підкреслимо, що формула (3) теж тільки для неперервних випадкових величин, на відміну від дискретних.
Враховуючи формулу (3), можна записати
.
Наприклад,
.
Властивість 3. На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю, а на плюс нескінченності функція розподілу дорівнює одиниці, тобто
; .
Зауваження. Сформульоване означення функції розподілу підходить і для дискретної випадкової величини.
Нагадаємо, що функцію розподілу частот ми розглядали у главі II (див. §2.1).
Приклад 2. Скласти функцію розподілу ймовірностей випадкової величини - числа влучень у ціль трьома стрільцями, які роблять по одному пострілу, якщо ймовірності влучення для кожного з них відповідно дорівнюють 0,8; 0,9; 0,7.
Розв’язання. Тут випадкова величина =0,1,2,3. Позначимо через випадкові події влучення у ціль кожним із стрільців, а через - протилежні події, ймовірності яких відповідно 0,2; 0,1; 0,3. Знайдемо ймовірність появи випадкової величини .
- всі промахи, ;
- одне влучення,
- два влучення,
- три влучення,
.
Запишемо дані в таблицю розподілу:
|
0,006 |
0,092 |
0,398 |
0,504 |
За даними таблиці знаходимо
–функцію розподілу для дискретної випадкової величини. Ця функція є кусково-сталою з точками розриву при всіх Значення F(x) знаходиться так. У перший інтервал не попадає жодне із значень , тому ймовірність 0. Для всіх лівіше знаходиться одне значення з ймовірністю 0,006, бо
Для всіх значень , що у третьому інтервалі, лівіше знаходяться два значення і тому
Для всіх значень лівіше знаходяться два значення , і тому
.
Для
Як бачимо функція F(x) аналогічна накопиченим частотам варіаційного ряду. Графік функції F(x) розподілу дискретної випадкової величини даного приклада див. на рис.3.
Рис.3
6.2. Диференціальна функція розподілу, її властивості
Нехай випадкова величина – неперервна, тоді функція розподілу F(x) теж неперервна. Нехай в околі точки х F(x) диференційовна.
Означення. Диференціальною функцією розподілу f(x) називають першу похідну інтегральної функції F(x), тобто
(1)
Властивість 1. Диференціальна функція невід’ємна:
.
Доведення. Ця властивість випливає із означення диференціальної функції як похідної від не спадної функції розподілу F(x). Геометрично це означає, що графік диференціальної функції розміщений або над віссю абсцис, або збігається з нею. Графік диференціальної функції називається кривою розподілу.
Властивість 2. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина прийме значення із інтервалу дорівнює визначеному інтегралу від диференціальної функції, взятому в межах від до , тобто:
Із наслідку 2 параграфа 6.1 маємо:
Якщо покласти у формулі (2) і застосувати теорему про середнє значення у визначному інтегралі, то можна записати:
Розділивши почленно в останній рівності на , отримаємо:
Останнє відношення є середньою щільністю розподілу ймовірностей на проміжку . Якщо перейти до границі при то отримаємо:
.
- щільність розподілу ймовірності неперервної випадкової величини в даній точці. У зв’язку з цим функцію f(x) називають диференціальною функцією розподілу або щільниістю розподілу.
Приклад 1. Дана диференціальна функція випадкової величини. Знайти ймовірність, що в результаті випробування випадкова величина прийме значення із інтервалу (0, 5; 1), якщо диференціальна функція дорівнює:
Розв’язання. За формулою (2)
.
Властивість 3. Інтегральна функція розподілу може бути виражена через диференціальну:
(3)
Доведення.
Покладемо у формулі (4) маємо
Приклад 2. Знайти інтегральну функцію за даною диференціальною функцією:
Розв’язання. Якщо , то f(x)=0 F(x)=0. Якщо , то
Якщо ж , то
Властивість 4. Інтеграл у нескінченних межах від диференціальної функції дорівнює одиниці:
(4)
Доведення. Цей вираз є ймовірністю події, яка полягає у тому, що випадкова величина прийме значення, яке належить , тобто є ймовірністю достовірної події, а ймовірність достовірної події дорівнює одиниці.
Геометрично це означає, що вся площа, обмежена віссю абсцис і кривою щільності розподілу, дорівнює одиниці. У цьому є аналогія щільності розподілу гістограми питомих відносних частот для ститстичного ряду.
Приклад 3. Диференціальна функція розподілу випадкової величини задана рівністю , знайти параметр а.
Розв’язання. За формулою (4)
бо
6.3. Імовірнісний зміст диференціальної функції. Щільність ймовірності
Нехай F(x) – інтегральна функція неперервної випадкової величини. За означенням функції
Різниця визначає ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке належить інтервалу .
По аналогії з означення густини маси в точці х доцільно розглядати f(x) як густину ймовірності або ще говорять щільність ймовірності в цій точці. Як вже відмічалось диференціальна функція визначає щільність розподілу ймовірності в кожній точці х.
Із диференціального числення відомо, що
Імовірнісний зміст цього виразу можна сформулювати так: ймовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалу приблизно дорівнює добуткові щільності ймовірності в точці х на довжину інтервалу. Геометрично це означає: ймовірність того ,що випадкова величина прийме значення із інтервала (х, х+Δх ) приблизно дорівнює площі прямокутника з основою Δх і висотою f(х) (див. рис.)
6.4 Числові характеристики неперервної випадкової величини
6.4.1. Математичне сподівання
Нехай неперервна випадкова величина Х задана диференціальною функцією f(х).
Припустимо, що всі значення Х належать відрізку [a,b] . Розіб’ємо цей відрізок на m частин Δх1, Δх2, .. Δхn, які не перетинаються і . Виберемо на кожному із елементарних відрізків по одній
точці ). Користуючись формулою математичного сподівання для дискретної випадкової величини , запишемо наближене значення математичного сподівання величини:
(1)
Суму (1) можна розглядати , як інтегральну суму , тому, переходячи до границі при отримаємо формулу математичного сподівання неперервної випадкової величини:
. (2)
Якщо неперервна випадкова величина задана на всій числовій осі , тобто , то :
(3)
6.4.2 Дисперсія. Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини
Означення. Дисперсією неперервної випадкової величини Х , заданої на відрізку [а,b] , називається математичне сподівання квадрата відхилення її значення від математичного сподівання
. (1)
Аналогічно для випадку , коли
(2)
Після перетворення інтегралу (1) отримаємо :
.
Якщо ж позначити
,
то формула (1) перепишеться
D(X)=M(X2)-(M(X))2 . (3)
Аналогічним буде вираз для дисперсії, якщо , тільки треба брати
а М(Х) за формулою (3) із 6.4.1.
Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини дорівнює:
. (4)
Приклад. Знайти математичне сподівання і дисперсію неперервної випадкової величини , заданої інтегральною функцією F(x) , якщо
Розв’язання . Знайдемо відповідну диференціальну функцію
тоді
.
.
Знайти : 1) с,b; 2) щільність розподілу f(x) ; 3) P(α<X<β).
2. Дана функція розподілу випадкової величини
Знайти : 1) P(1,75<x<2); 2) P(1,7<x<1,9).
3. Задана функція розподілу випадкової величини
Знайти: а) P(1,5<Х<2,5); б) P(2,5<Х<3,5).
4. Задана функція
Перевірити, чи f(x) є щільністю розподілу. Якщо так, то знайти М(Х) і D(X).
щільністю
Необхідно: 1) Знайти параметр ; 2) Побудувати графік функції f(x) ; 3) Знайти функцію F(x) і побудувати її графік; 4) Знайти P(1<x<2).
Необхідно: 1) підібрати так, щоб була щільністью розподілу випадкової величини ; 2) знайти .
7. Дана функція
Знайти F(x).
8. Для знайти с таким , щоб f(x) була щільністю розподілу.
Відповіді
1. ; ; 2. 1) 0,5; 2) 0,4. 3) а) 0,5; б) 0,25.
4. 1) так; 2) ; 3) .
5. 1) ; 4) 6. ; 8. .
PAGE 160