Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 301
Коэффициент С определяется отношением , вычисленным в любой точке полученной прямой, например .
В диапазоне чисел Рейнольдса рассмотренный подход дает следующее критериальное уравнение (формула Михеева М.А.) при развитом турбулентном течении в трубах :
. (21.12)
22. Теплоотдача при вынужденном движении жидкости
Приближенный метод расчета теплоотдачи на плоской пластине при ламинарном режиме течения.
Интегральное соотношение Кармана
Рис.22.1
Выделим в пограничном слое элементарный объем 1-2-3-4 (см.рис.22.1) и запишем для него уравнения сохранения массы и количества движения. Через грань 1-2 за время d переносится масса
(a)
и количество движения
, (b)
через грань 3-4, соответственно
, (c)
и . (d)
Массу газа, которая втекла в объем через границу слоя 2-3, определим вычитанием (а) из (с):
. (e)
Количество движения, которое вошло через грань 2-3, определяется произведением w
. (k)
Определим изменение количества движения. В элементарный объем вошло количество движения (b) +(k) , вышло (d):
. (n)
Из курса гидрогазодинамики известно, что скорость изменения количества движения равна сумме действующих на объем внешних сил (закон сохранения количества движения) . Результирующая сила статического давления при отсутствии продольного градиента давления равна нулю, поэтому , т.е. изменение количества движения обусловлено силами трения.
Возьмем производную от (n) по времени и приравняем ее силам трения, действующим на поток со стороны поверхности:
.
Сократив на dx и разделив обе части последнего уравнения на , получим интегральное соотношение Кармана
. (22.1)
Введем обозначения: - толщина потери им
пульса и - толщина вытеснения. Соотношение Кармана тогда приобретает более компактный вид :
. (22.1a)
В случае градиентных течений (dp/dx0), например, когда поток обтекает изогнутую поверхность, вместо (22.1а) имеем:
. (22.2)
Решим уравнение (22.1). Для вычисления интеграла зададимся видом профиля скорости и подчиним закон изменения скорости граничным условиям. Тогда для нахождения неизвестных коэффициентов полинома можно составить следующую систему уравнений
, (а)
, (b)
, (c)
при ,
при . (d)
Кроме того, при , . (e)
Запишем уравнение движения вдоль пластины для стационарного режима в виде: .
При , поэтому , тогда из (с) следует, что с=0. Кроме того, при y=
, (k)
(см. (е)) . (m)
Подставим (m) в (k) тогда , откуда
. (p)
Подставляя (p) в (m) , получим .
Таким образом, закон изменения скорости в пограничном слое имеет вид
, (22.3)
или . (22.3a)
Подстановка полученного профиля скорости в интеграл толщины потери импульса дает
, (22.4)
тогда . ( * )
Так как , то из соотношения для напряжения трения , получим . ( ** )
Подставим ( ** ) в ( * ):
, ,
или , откуда видно, что (х) х0,5, т.е. толщина пограничного слоя пропорциональна квадратному корню расстояния от начала пластины. Переписав последнее выражение в виде , получим закон изменения толщины гидродинамического пограничного слоя вдоль пластины
, (22.5)
где . Найдем значение локального коэффициента трения сf , учитывая выражение для касательного напряжения трения
: ,
, или
. (22.6)
Сила аэродинамического сопротивления пластины
, (22.7)
где - среднее напряжение трения, l - длина, b - ширина пластины.
Средний по длине коэффициент трения определим по формуле
, (22.8)
где число Рейнольдса подсчитано по скорости невозмущенного потока и длине пластины .
Тепловой пограничный слой. Уравнение Кружилина
Рис.22.2
Составим уравнение теплового баланса для неподвижного элементарного объема 1-2-3-4, выделенного в тепловом пограничном слое. Будем полагать, что Pr>1, т.е. тепловой слой лежит внутри гидродинамического, h= (рис.22.2). Запишем потоки энтальпии, переносимые через грани выделенного элементарного объема на единицу ширины потока.
Грань 1-2 : ,
при получаем . (а)
Поток энтальпии, которую внесет невозмущенный поток через грань 2-3 , (b)
энтальпия , которую вынесет поток через грань 3-4
. (с)
Будем считать, что Тw > T , т.е. через грань 1-4 от стенки к элементарному объему подводится тепловой поток , тогда уравнение теплового баланса (a)+(b)-(с)+qwdx = 0 принимает вид
,
или. Переписав последнее уравнение в виде
, (22.9)
получим уравнение Кружилина. Вводя избыточную температуру , преобразуем (22.9) к безразмерной форме:
,
,
. (22.10)
Так как , то уравнение (22.10) принимает вид
. (d)
Перепишем безразмерные уравнения движения (19.9) и энергии (19.10) для пограничного слоя на пластине:
,
.
Так как Pe = RePr, то при Pr = 1 получаем Pe = Re. Следовательно, записанные выше уравнения для и идентичны и распределение температуры в тепловом пограничном слое подобно распределению скорости в динамическом пограничном слое. Тогда можно записать аналогично (22.3):
. (22.11)
Возьмем производную от (22.11) при у=0 : . Теперь правую часть (d) можно переписать в виде . Взяв интеграл в левой части уравнения (d), получим
, (e)
где . Подставив значения интеграла и производной в (d) найдем, что .
После выполнения дифференцирования, можно написать . Если тепловой и гидродинамический слои зарождаются в одной точке при х=0, то , тогда
. (f)
При выводе уравнения Кармана было показано, что , тогда (f) примет вид , откуда . Так как , то с учетом (22.11), получим
. (22.12)
Теплоотдача от плоской пластины при ламинарном режиме течения
Воспользуемся граничными условиями III рода для определения коэффициента теплоотдачи на пластине
,
,
, но , тогда
. (22.13)
Подставляя (22.12) в (22.13), получим зависимость локального коэффициента теплоотдачи от режимных параметров потока и физических свойств жидкости , или в критериальном виде . (22.14)
Критериальное уравнение справедливо при .
Определим среднее значение коэффициента теплоотдачи
, откуда
, (22.15)
где .
Отметим, что формула для при x=0 дает бесконечное значение коэффициента теплоотдачи: .
Тепловой поток, отдаваемый пластиной окружающей среде, определим из уравнения .
Связь между коэффициентами теплоотдачи и трения,
аналогия Рейнольдса
Введем критерий Стентона как соотношение между тепловыми потоками, переносимыми поперек и вдоль течения: .
Умножим числитель и знаменатель на произведение : . Таким образом,
.
Подставляя значение числа Nuх из критериального уравнения теплоотдачи для пластины, получим
,
но (см. формулу (22.6)). Тогда (22.16)
Таким образом, установлена связь между локальными коэффициентами теплоотдачи и трения для пластины, получившая название аналогии Рейнольдса .
Аналогия Рейнольдса позволяет по известным гидродинамическим характеристикам течения определять его тепловые характеристики. Зная коэффициент трения из гидродинамического исследования, можно найти коэффициент теплоотдачи.
Турбулентный пограничный слой
При обтекании пластины жидкостью вначале формируется ламинарный пограничный слой, в котором теплота передается за счет теплопроводности (на молекулярном уровне). На некоторой координате, когда Re=Re.кр , он теряет устойчивость и переходит в турбулентный пограничный слой с ламинарным подслоем , где скорость меняется по линейному закону. Выделим мысленно в турбулентной части пограничного слоя элементарную площадку (см. гл.18, рис.18.3) и рассмотрим процесс передачи теплоты через нее.
Напряжение трения, действующее на площадку, и плотность теплового потока запишем в виде
, (а)
(в)
(здесь температура и скорость осреднены по времени, и - скорость и температура соответственно на координате у и ).
Выразим из (а): и подставим в (в)
, откуда (d)
. (e)
Рассмотрим ламинарный подслой:
, (k)
. (m)
Для границы между ламинарной и турбулентной частями пограничного слоя со стороны ламинарного подслоя можно написать:
,
. (n)
Мысленно будем передвигать площадку вниз до тех пор, пока не станет равной , а , тогда вместо (e) можно написать:
(р)
Сложим (n ) и (p)
.
Умножим левую и правую части уравнения на x, а затем разделим на qw
но тогда ,, или, (22.17)
где
Таким образом, установлена связь между коэффициентом теплоотдачи и трения в турбулентном пограничном слое.
Обтекание пластины при турбулентном режиме течения
Рассмотрим интегральное соотношение Кармана
. (a)
В дальнейших выкладках опустим знак осреднения, все параметры будем считать осредненными по времени.
Закон изменения скорости в турбулентном пограничном слое может быть представлен формулой
, (b)
n = 7...9, чем выше число Re, тем больше n.
Так как напряжение трения на стенке связано с производной скорости , то при использовании профиля (b) получается
w =, что не отвечает действительности. Поэтому w берут из опытных данных. В частности, Блазиус получил, что при =105…107
, (d)
где . Полагая n=7, находим
. (e)
Подставим (d) и (e) в (a): .
Разделяя переменные и интегрируя, получим закон изменения толщины турбулентного динамического пограничного слоя по длине пластины
, ,
, .
Из формулы видно, что толщина турбулентного динамического пограничного слоя растет быстрее, чем ламинарного т.к. xx0,8 . Представим закон нарастания толщины в виде зависимости от локального числа Рейнольдса :
, . (22.18)
Определим локальный коэффициент трения cfx
,
, . (22.19)
Найдем среднее по длине пластины значение коэффициента трения:
. (22.20)
Сила сопротивления пластины турбулентному потоку . Учитывая соотношение , получим критериальное уравнение для локальной теплоотдачи при турбулентном обтекании пластины:
,
. (22.21)
Вводя средний коэффициент теплоотдачи и число Рейнольдса , подсчитанное по длине пластины и скорости набегающего потока, получим критериальное уравнение для определения среднего коэффициента теплоотдачи
. (22.22)
Допустим, что Тw>T , тогда тепловой поток, передаваемый пластиной потоку жидкости
, Вт.
Количество теплоты, отданное за время
, Дж.
Течение в трубах
Связь между коэффициентами трения и сопротивления
Рассматривая уравнение движения
для безинерционного течения, т.е. когда , и пренебрегая гравитационными силами, запишем уравнение силового баланса для элементарного объема (рис.22.3), откуда для течения в трубе получим . Согласно формуле Дарси, . Учитывая, что ,
получаем , (22.23)
где - коэффициент сопротивления. Таким образом, из формулы видно, что коэффициент трения меньше коэффициента сопротивления в четыре раза.
Теплоотдача в трубе при ламинарном режиме течения
При входе потока в трубу формируется пограничный слой. Рост толщины пограничного слоя приводит к тому, что на некотором расстоянии от входа пограничные слои смыкаются на оси трубы, условно разделяя течение на так называемый начальный и основной участки (см. рис.22.4) с различным видом профиля скорости. Разные профили скорости приводят и к разным законам теплоотдачи.
Рис.22.3
Рассмотрим теплоотдачу на основном участке при ламинарном режиме течения (=2300) при qw=const.
Выделим в потоке кольцевой элемент (рис.22.4) и составим уравнение теплового баланса. На координате R будем иметь:
, (a)
на , (b)
Рис.22.4
где .
Вычитая (b) из (a) получим : . (n)
На координате x энтальпия потока,
на x+dx: , тогда . (e)
Так как тепловой поток, переданный за счет теплопроводности, идет на увеличение энтальпии жидкости в выделенном элементарном объеме, то приравняем (n) и (e):
,
.
При ламинарном режиме закон изменения скорости по радиусу находится по формуле: , тогда , но при qw=const
. Обозначим: =А, тогда
. (22.24)
Разделим переменные и проинтегрируем:
,
,
. (а)
Используем граничные условия для определения констант интегрирования:
при R=0 C1=0,
при R=R0 . (*)
Проинтегрируем (а) с учетом С1=0:
. (b)
при : , тогда из (b) ,
.
Подставляя константу С2 в (b), получим закон распределения температуры по радиусу трубы
или
. (22.25)
Определим коэффициент теплоотдачи, используя граничные условия III рода
. (с)
Из (22.25) при R=0 следует : , тогда с учетом (*) имеем , (22.26)
откуда . Таким образом, на основном (стабилизированном) участке течения коэффициент теплоотдачи увеличивается с уменьшением диаметра трубы, так как уменьшается термическое сопротивление пограничного слоя.
Подставляя в выражение для числа Нуссельта, получаем для основного участка
. (22.27)
Если коэффициент теплоотдачи определять по перепаду между температурой стенки и средней по сечению температурой потока
, то Nu = 4,36. (22.28)
Рис.22.5
Подвод теплоты к капельной жидкости или отвод теплоты от газовой среды приводит к образованию более заполненного профиля скорости по сравнению с изотермическим течением, и наоборот (см. рис.22.5 для случая капельной жидкости), что сказывается на теплоотдаче.
В инженерной практике при расчете теплоотдачи используются критериальные уравнения, полученные разными авторами на основании экспериментальных исследований. Так, в (22.29) учитывается влияние свободной конвекции (множитель ) и длина начального участка с помощью коэффициента :
. (22.29)
Обычно безразмерная длина начального участка при ламинарном режиме определяется зависимостью . Существуют и другие
формулы, например . (22.30)
Следует помнить, что критериальные уравнения можно использовать только в том диапазоне изменения определяющих критериев, для которого они были получены.
Теплоотдача в трубах с прямолинейной осью при турбулентном движении
Для определения коэффициента теплоотдачи воспользуемся аналогией Рейнольдса. Так, при Re=105...107 коэффициент сопротивления определяется по формуле
. (22.31)
Используя (22.31) и соотношения , , , можно получить:
, (22.32)
где , .
Чтобы учесть изменение теплофизических свойств потока при подводе или отводе теплоты, формулу (22.32) записывают в виде:
(22.33)
- формула Михеева. Здесь рассчитан по параметрам жидкости при средней температуре жидкости, - по параметрам жидкости при температуре стенки. Поправку вводят для коротких труб, когда L/D<50. Формула (22.34) позволяет более точно учесть изменение коэффициента теплоотдачи при изменении направления теплового потока. Так, при нагреве капельной жидкости показатель степени п=0,11 , при охлаждении п=0,25 :
, (22.34)
где
Приведенные выше формулы позволяют рассчитывать теплоотдачу и в каналах некруглого сечения путем введения понятия эквивалентного диаметра , где F - площадь поперечного сечения канала, а - смоченный периметр.
Теплоотдача в изогнутых и шероховатых трубах
При движении жидкости в изогнутых трубах возможно возникновение зон отрыва потока, то есть появление так называемых вторичных течений. В точке отрыва касательное трение на стенке w становится равным нулю, т.к. .
Условия для отрыва потока создаются при его торможении по какой-либо причине, т.е. при . Вторичная циркуляция возникает при Re . Например, для течения жидкости в винтовых змеевиках при D/R810-4 , где D-диаметр трубы, R- радиус змеевика. Отметим, что меньше значения =2300 для гладких прямых труб. Переход к турбулентному режиму происходит при :
Рис. 22.6
. Области существования упомянутых режимов течения представлены на графике: 1- режим без вторичной циркуляции, 2- ламинарный режим с вторичной циркуляцией, 3- турбулентный режим при наличии вторичной циркуляции.
Вторичные течения приводят к увеличению гидродинамического сопротивления и росту коэффициента теплоотдачи, для определения которого можно пользоваться формулой Михеева с поправкой из
, где. (22.35)
Рис.22.7
Наличие шероховатости приводит к интенсификации теплоотдачи при турбулентном движении в том случае, когда высота бугорков шероховатости больше толщины ламинарного подслоя и появляются отрывные зоны (см.рис.22.7).
При ламинарном режиме течения увеличение интенсивности теплоотдачи обусловлено увеличением поверхности теплообмена за счет шероховатости. Шероховатость может увеличивать коэффициент теплоотдачи в 2...3 раза по сравнению
с гладкой поверхностью. Однако при слишком больших бугорках возможно образование за ними застойных зон, что может даже уменьшить . Следовательно, существует оптимальное соотношение между шагом s и высотой бугорков шероховатости . Исследования показали, что . Для шероховатых труб применяется формула
,
где при ,
при , , Pr=1...80.
Теплоотдача при поперечном обтекании труб
Плавное, безотрывное обтекание трубы имеет место при . При пограничный слой отрывается от поверхно-
Рис.22.8
сти, причем с ростом числа Рейнольдса частота отрыва вихрей f возрастает примерно до Re=103 , после чего становится почти постоянной величиной, характеризуемой числом Струхаля =0,2, где f - частота отрыва вихрей, 1/c.
Рис.22.9
Рассмотрим характер изменения локального коэффициента теплоотдачи при поперечном обтекании цилиндра (Re=2105), рис.22.9. На участке имеет место ламинарный погранслой, из-за роста его толщины падает. Участок bc - процесс перехода к турбулентному режиму, что сопровождается интенсификацией теплоотдачи. На участке cd с ростом толщины уже турбулентного пограничного слоя снова начинает уменьшаться. В точке d поток отрывается от поверхности, погранслой разрушается, что приводит к увеличению коэффициента теплоотдачи. Из рисунка видно, что при Re=105 зависимость коэффициента теплоотдачи от угла несколько иная: вначале падает из-за роста толщины ламинарного пограничного слоя, а затем растет в зоне отрывного течения.
В результате исследований теплоотдачи при поперечном обтекании одиночных цилиндров были получены следующие критериальные уравнения:
, , (22.36)
, , (22.37)
; .
Теплоотдача при поперечном обтекании труб зависит от степени турбулентности набегающего потока, под которой понимают отношение
.
При справедлива формула
, (22.38)
где Nu0 - число Нуссельта, определенное по формуле (22.37).
Если поток обтекает трубу не по нормали, а под каким-то углом (рис.22.10), то
Рис.22.10
, при . (22.39)
Теплоотдача при поперечном обтекании
пучков труб
Большинство теплообменных аппаратов состоят из пучков труб (оребренных или гладких), поэтому рассмотрим особенности теплообмена при внешнем обтекании пучков труб потоком. Применяются два основных типа пучков: коридорные и шахматные. Характерными геометрическими параметрами являются относительные шаги между осями труб и . В коридорном пучке (рис.22.11) максимальное значение локального коэффициента теплоотдачи достигается при угле атаки =500. Переход к турбулентному течению происходит при ,, где w- скорость в самом узком сечении пучка.
При справедлива формула
, (22.40)
где - коэффициент влияния шага вдоль потока, коэффициент учитывает номер ряда в пучке. С увеличением номера ряда i коэффициент теплоотдачи возрастает, так как первые ряды действуют как турбулизаторы и увеличивают интенсивность теплообмена и максимальное значение практически достигается уже к третьему ряду (см. рис.22.12). Детальное изучение течения показывает, что 90%стабилизация потока происходит после 4-го ряда и полностью завершается после 14-го ряда. Для определения коэффициента теплоотдачи всего пучка в целом производится осреднение по всем рядам:
, (22.41)
где ,- соответственно средний коэффициент теплоотдачи и суммарная поверхность трубок i-го ряда. Число Рейнольдса подсчитывается по скорости в наиболее сжатом сечении пучка.
Для шахматных пучков (рис.22.13) применяется та же формула, но с другими постоянными коэффициентами:
, , (22.42)
при , при .
Рис.22.11
Рис.22.12
В отличие от коридорных, в шахматных пучках максимальный локальный коэффициент теплоотдачи имеет место при =0.
PAGE