Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
37. Біртекті емес таңдамалар бойынша қамтамасыздық қисығын тұрғызу
Біртекті емес іріктемелердің қамтамасыздық қисық сызығын тұрғызу.
Қарастырып отырған бақылау қатарлары біртекті емес статистикалық жиынтықтар болып келгенде, олардың үлестірім қисық сызыңын эмпирикалық нүктелердің арналасуымен үйлесімді болуына жету қиынға соқтырады. Себебі, теориялық үлестірім қисық сызығының эмпирикалық нүктелердің арналасуымен үйлесімді болуына жету қиынға соғады. Мұндай жағдайда композиция тəсілі қолданғаны дұрыс. Біртекті емес аналитикалық үлестірім қисық сызығы біртекті үлестірім көлемі бойынша зілдендірілген
қосынды түрінде есептеледі. Мысалы, екі біртекті емес үлестірімнің композициясы былай табылады:
мында P*(x) - қосынды біртекті емес жиынтық үлестірімнің интегралдық аналитикалық қисық сызығы, 1 2 n ,n - біртекті жиынтықтар көлемі, ( ), ( ) 1 2 P x P x - біртекті үлестірімдердің қисық сызықтары.
Айнымалы шамалардың нольдік мəндерін қамтитын статистикалық қатарға формула мына түрде жазылады:
Жоғарыда қамтамасыздық қисық сызығын тұрғызу сұлбасы бас жиынтыққа біртекті емес жиынтық болғанда жəне ол жиынтық шегінен оның біртекті бөліктерін бөліп алуға болатын жағдайларға арналған. Мында əртекті бақылау көлемі, (n) біртекті 1 n жəне 2 n бөліктерге бөлінеді.
Дегенмен, гидрологиялық есептеу практикасында су тасқыны ағындының максимальді мəндерінің жылдық мəліметтері берілуі мүмкін. Мысалы қардың еруінен жəне жаңбырдан құралған максимальдық ағын. Мындай жағдайда қосынды біртекті емес қамтамасыздыққисық сызығын алу үшін Крицкий -Менкель ұсынған формула қолданылады:
38. G2 критерийі бойынша бірнеше дисперсиялардың біртектілігін бағалау.
Дисперсия – екінші центрлік момент D=2[X]. Дисперсияны тікелей есептеу үшін келесі формулалар қолданылады:
Үзіліссіз кездейсоқ шамалар үшін:
,
дискрет кездейсоқ шамалар үшін:
Мұндағы Х кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп центрленген шамаға сәйкес келетін математикалық күтімнің квадратын айтамыз. Дисперсия кездейсоқ шаманың шашырандылығын және оның математикалық күтімін сипаттайды.
Статистикалық қатар шамаларының арифметикалық орташа мәннен ауытқуын толымды сипаттайтын көрсеткіш орташа квадраттық ауытқу немесе стандарт деп аталады.
39 Ағынды гидрографын канондық жіктеу әдісімен моделдеу
Жыл ішіндегі ағындардың үлестіруін ескеріп жылдық ағынды моделдердің белгі əдістері төрт топқа бөлінеді:
1. екі рет таңдау əдісі (фрагмент əдісі)
2. айлық ағындыларлды тікелеі моделдеу əдісі;
3. ағындыны түрлендіру арқылы моделдеу;
4. Каноникалық жүктеу əдісі.
ОЛ бойынша моделдеу конондық жүктеу формуласы бойынша жасалады:
мындағы ( ) K Q t функциясының математикалық күтімі, ν V - корреляциялық байланысыз математикалық күтімі нолге тең кездейсоқ шамалар.
( ) − K V t ν кездейсоқ емес функциялар, берілген мəліметтредің коварияциялық матрицасы арқылы табылады.
Конондық əдісті қолданғанда өзеннің көпжылдық айлық ағындының мəліметтері белгі болу тиіс жəне Крицкий –Менкельдің S v v C = C ÷ 6C сəйкес кестелері берілуге тиіс.
40. Кездейсоқ шамалардың үлестірім және қамтамасыздық функциясы. Үлестірім тығыздығы. Кездейсоқ шаманың берілген интервалда пайда болу ықтималдығын анықтау.
Көбінесе, Гаусс үлестірімі деп аталатын қалыпты үлестірім заңы кездейсоқ шамалар заңдылықтарын зерттеуге байланысты көптеген мәселелерді шешуде кеңінен қолданылады.
Көп заңдардың ішінен қалыпты үлестірім заңын ажырататын басты ерекшелік, оның шектілігінде, яғни осы заңға белгілі бір жағдайларда көптеген басқа үлестірім заңдарын жуықтатудың қажеттілігінде. Қалыпты үлестірім заңы барынша егжей-тегжейлі жасақталған және қолдануға ыңғайлы.
Қалыпты үлестірім заңы айнымалы шама көптеген тәуелсіз (немесе әлсіз тәуелді) факторлардың жиынтығының әсерінен қалыптасқан жағдайда және бұл факторлардың әрқайсысы зерттеліп отырған құбылысқа басым ықпал жасамайтын жағдайда туындайды.
Қалыпты үлестірім заңы өлшеулер қателігін талдау негізінде алынған. Сондықтан да ол ғылым мен техниканың көптеген салаларында, соның ішінде гидрологияда да кең қолданысқа ие. Гидрологияда қалыпты үлестірім заңы есептеулер мен болжамдардың дәлдігін бағалауда, сенімділік интервалдарын анықтауда және т.б. кеңінен қолданылады. Сондай-ақ ең кіші квадраттар және корреляция теориясының қағидалары осы қалыпты үлестірім заңына негізделген.
Қалыпты үлестірім қисығының дифференциалды түрдегі немесе ықтималдық тығыздықтарының үлестірім қисығы формасындағы теңдеуі төмендегідей өрнектеледі: мұндағы х айнымалысының математикалық күтімі (орташа мәні); - орташа квадраттық ауытқу.
және шамалары қалыпты үлестірім қисығының параметрлері болып табылады. Қалыпты үлестірім қисығының шегі минус шексіздіктен плюс шексіздікке дейінгі аралықты қамтиды .
Қалыпты үлестірім заңының қисығы нүктесіндегі тең максималды ординатаға симметриялы орналасады. Демек, қалыпты үлестірім заңында орташа арифметикалық мән, Мо мода және Ме медиана бір-біріне сәйкес келеді.
Қалыпты үлестірім заңының осы үш параметрінің тақ мүшелері нөлге тең болғандықтан, ол симметриялы болып келеді. Сәйкесінше, асимметрия коэффициенті де нөлге тең болады.
Қалыпты үлестірім функциясы жұп болады. Яғни, (+х) минус (-х) айналдырғанда функция өзгермейді у(-х)=у(+х). Матеметикалық күтімнің шамасы өзгергенде үлестірім қисығының пішіні өзгермей абсцисса осі бойынша ығысады. Параметр үлестірім қисығының пішінін көрсетеді. -ның мәні өскен сайын үлестірім қисығы абсцисса осі бойынша созылып, жазықтана түседі, ал мәні азайған сайын, керісінше үлестірім қисығы екі жағынан жиылып симметрия осімен сығылады.
Интегралды өрнек түріндегі немесе қамтамасыздық қисығы түріндегі қалыпты үлестірім заңы қисығы төмендегідей өрнектеледі: Егер де х қатары мәндерінің орнына қалыптандырылған кездейсоқ шама мәндерін алатын болсақ, онда , ескере отырып мына өрнекке қол жеткіземіз:
Үлестірім қисығы тәжирибелік мәліметтер негізінде алынуы мүмкін. Мысалы, үзіліссіз кездейсоқ шаманың үлестірім гистограммасы немесе салыстырмалы жиіліктер графигі бақылау санының өсуіне және интервалдар аралығының кішіреюіне қарай қайсібір қисыққа жақындайды. Бұл қисық қарастырылып отырған белгінің үлестірім қисығы, ал f(х) функциясы оның үлестірім тығыздығы деп аталады.
Үлестірім тығыздығы деп ықтималдықтар үлестірімінің туындысын атайды:
Кездейсоқ шаманың тығыздығын көрсететін қисық үлестірім қисығы деп аталады.
Үлестірім функциясы сияқты тығыздық үлестірімі де үлестірім заңының бір формасы болып табылады. Үлестірім функциясына қарағанда тығыздық үлестірімінің ерекшелігі оның тек үзіліссіз кездейсоқ шама үшін ғана қолданылатындығында.
Үлестірім қисығы тәжирибелік мәліметтер негізінде алынуы мүмкін. Мысалы, үзіліссіз кездейсоқ шаманың үлестірім гистограммасы немесе салыстырмалы жиіліктер графигі бақылау санының өсуіне және интервалдар аралығының кішіреюіне қарай қайсібір қисыққа жақындайды. Бұл қисық қарастырылып отырған белгінің үлестірім қисығы, ал f(х) функциясы оның үлестірім тығыздығы деп аталады.
Үлестірім тығыздығының негізгі қасиеттерін қарастырамыз.
1. Үлестірім тығыздығы теріс функция болып табылмайды, яғни f(х)>0
2. Үлестірім тығыздығының шексіз интегралы бірге тең: Үлестірім тығыздығының негізгі қасиеттері барлық үлестірім қисықтарының абцисса осінен төмен жататындығын; үлестірім қисығы мен абцисса осі аралығындағы барлық ауданның бірге тең екендігін көрсетеді.
Кездейсоқ шаманың берілген интервал ішінде түсу ықтималдығы интервал шектеріндегі үлестірім функциялары мәндерінің айырмасына тең (4-сурет).
2. Үлестірім тығыздығының шексіз интегралы бірге тең: Үлестірім тығыздығының негізгі қасиеттері барлық үлестірім қисықтарының абцисса осінен төмен жататындығын; үлестірім қисығы мен абцисса осі аралығындағы барлық ауданның бірге тең екендігін көрсетеді.
Кездейсоқ шаманың берілген интервал ішінде түсу ықтималдығы интервал шектеріндегі үлестірім функциялары мәндерінің айырмасына тең (4-сурет).
Сурет 4. Берілген интервалдағы кездейсоқ шама мәнінің ықтималдығы. (7)
Х шамасының мен аралығында түсу ықтималдығын үлестірім тығыздығы арқылы анықтаймыз (5 сурет). Ол барлық осы учаскедегі ықтималдық элементтерінің қосындысына, яғни төмендегі интегралға тең. Сурет 5. Үлестірім тығыздығы графигінде Х шамасының (α, β) участігіне түсу ықтималдығын анықтау.
Х шамасының (, ) учаскесіне түсу ықтималдығы геометриялық тұрғыдан үлестірім қисығының осы учаскені құрушы ауданына тең.
Үлестірім функциясын ықтималдық тығыздығы арқылы өрнектеуге болады. Анықтама бойынша
F(x) = P(X<x) = P(- X<x),
Демек (1.6) формуласына сәйкес: . Статистикалық жиынтықтардың құралу ерекшеліктеріне байланысты гистограмма графиктері және оған сәйкес ықтималдықтардың үлестірім қисықтары әртүрлі болуы мүмкін.
Біршыңды үлестірім графиктерін негізгі екі типке бөлуге болады: симметриялық және асимметриялық (6-сурет).Сурет 6. Үлестірім түрлерінің графиктері
1 – симметриялық; 2 – асимметриялық.
Симметриялық үлестірім деп қандай да бір орташа мәннен екі жаққа бірдей қашықтықта орналасқан жиіліктің (ықтималдықтың) кез келген екі аргументінің мәні өзара тең болатын үлестірімді айтамыз.
Симметриялық емес немесе асимметриялық үлестірім деп қандай да бір орташа мәннен екі жаққа бірдей қашықтықта орналасқан жиіліктің (ықтималдықтың) кез келген екі аргументінің мәндерінің бірі екіншісіне қарағанда үлкен немесе кіші болатын үлестірімді айтамыз.
(2.3) Бұл интегралды толықтай (тікелей) есептеп шығу мүмкін емес. Оны есептеу үшін арнайы ықтималдық интеграл функциясының кестелерін немесе Лаплас функциясын қолданады: Ықтималдық интеграл кестесі І қосымшада келтірілген.
Қалыпты үлестірімнің интегралдық функциясын Лаплас функциясы арқылы келесі түрде өрнектеуге болады: ал қамтамасыздық функциясын:
қосымшада қалыптандырылған қалыпты үлестірімнің интегралды функциясының мәндері (2.3.) келтірілген. Бұл кестенің мәндерін хі бастапқы айнымалыларын қалыптандыруда қолдануға болады.
41 Cv, Cs, r(1) параметрлерінің ығыспағанын бағалау.
Арнаулы әдебиеттерде [43, 60] моменттер әдісі бойынша анықталған математикалық күтімнің бағасы тыңғылықты және ығыспаған болып табылатындығы, ал бақылаулар саны аз болған жағдайда есептелінген дисперсияның бағасы Бас жиынтықтың дисперсиясының теріс ығысқан бағасы болатындығы көрсетілген
. (6)
Ығысу шамасына түзетілген, демек енді ығыспаған болып табылатын шамасын (3.6) формулаға сәйкес келесі қатынас бойынша анықтауға болады:
(7)
Бақылау қатары болғанда ығысуға енгізілетін түзетудің шамасы өте мардымсыз болғандықтан ескермеуге болады. Е.Г. Блохинов аргументтердің ( және ) ығыспағандығы функцияның () ығыспағандығын айқындай алмайды деп көрсетті [6]. Жүйелік ығысуы жоқ вариация коэффициентін жағдайы үшін жуық формула бойынша анықтауға болады:
, (8)
мұндағы - қатардағы мүшелер саны;
- вариация коэффициентінің ығыспаған бағасы;
- вариация коэффициентінің ығысқан бағасының математикалық күтімі.
Бақылаулар саны болғанда (3.8) формуласы бойынша есептелетін таңдама бағасы -ның ығысуына енгізілетін түзету шамасы 2-5 % құрайды, сондықтан түзету енгізу есепке алынбайды.
Таңдаманың асимметрия коэффициенті бағасының теріс ығысуын жою үшін Блохинов енгізген жоғарыда аталған түзетуге сәйкес түзету келесі өрнек бойынша өрнектеледі:
(9
Енді (5) формуланы (9) формуланың түзетуін есепке ала отырып келесі түрде жазуға болады:
(10)
Таңдаманың үлестірім параметрі бағасының теріс ығысуы шамасына тағдаманың көлемі, үлестірім параметрлерінің мәні, сондай-ақ таңдама анықталған үлестірімнің түрі әсерін тигізеді. Бұдан басқа теріс ығысу шамасына қатардың іргелес мүшелерінің арасындағы автокорреляция коэффициенті арқылы анықталатын тізбектің құрылымы елеулі әсерін тигізеді. Сонымен таңдаманың вариация және асимметрия коэффициенттерінің теріс ығысуы вариация және асимметрия коэффициенттері (немесе олардың қатынастары ), қатардың іргелес мүшелерінің арасындағы автокорреляция коэффициенті артқан сайын және таңдама деректерінің көлемі азайған сайын артады. Вариация коэффициентінің ығысуы С.Н. Крицкий және М.Ф. Менкель үлестірімі үшін биномдық үлестірімге қарағанда кіші болады. Оның үстіне бұл айырмашылық қатынасы артқан сайын артады. Автокорреляция коэффициентінің мәні кіші () және вариация коэффициентінің мәні де үлкен емес () болған жағдайда вариация коэффициенті бағасының теріс ығысуы мардымсыз болады да, оны инженерлік гидрологиялық есептеулерде есепке алмауға болады [45]. Вариация және асимметрия коэффициенттерінің мәні үлкен болған жағдайда, сондай-ақ болғанда, жоғарыда көрсетілген түзетулер және -ның ығыспаған мәндерін есептеу үшін қажетті дәлдікке қол жеткізе алмайды. Сондықтан түзету шамалары статистикалық сынақ әдістері бойынша нақтыланған.
Вариация және асимметрия коэффициенттерінің ығыспаған бағасы үш параметрлі гамма-үлестірім және биномдық үлестірім үшін моменттер әдісі бойынша келесі формулалар бойынша анықталады:
(11)
(12)
мұндағы , , ,..., ; , , ,..., - 1-ші және 2-ші кестелер бойынша анықталатын коэффициенттер; және - тиісінше (3.4) және (3.5) формулалар бойынша анықталатын вариация және асимметрия коэффициенттері.
Таңдаманың автокорреляция коэффициентінің теріс ығысуы автокорреляция коэффициентінің өсуіне қарай және таңдама көлемінің азаюына байланысты өседі. Алғашқы жуықтамада вариация коэффициентінің әсерін есепке алмауға болады. Таңдаманың автокорреляция коэффициентінің ығыспаған бағасын тиісінше қалыпты үлестірілген қатар үшін жағдайында (3.14) және (3.15) формулаларды пайдалана отырып алуға болады
(14)
(15)
Вариация, асимметрия және автокорреляция коэффициенттерінің ығыспаған бағасын және болған жағдайда параметрлердің ығыспаған бағасының анағұрлым нақты мәндерін беретін, статистикалық сынақ әдісі мен алынған арнайы кестелер бойынша анықтауға болады.
Таңдама ортасының кездейсоқ орташа квадраттық қателері қатардың іргелес мүшелерінің арасындағы автокорреляция болғанда қолданылаты
(16)
42. Жиынтық корреляция теңдеуінің параметрлерін бағалау
Гидрологиялық құбылыстардың бірнеше факторлар мен байланысын табу үшін жиындық корреляция қолданылады.Жиындық регрессияның теңдеуі
мында p b ,b ,...,b 1 2 белгісіз регрессия коэффициентері, 0 b - теңдеудің бос мүшесі, б- жуықтама қателіктері.Регрессия коэффициенттер b j жəне 0 b төмендегі өрнектер арқылы табылады.
мында D D D yx j yy, − анықтауыштың минорлары.
Жиындық корреляцияның қолдану жағдайлары
1. Қатардағы байланыстар сызықты болу қажет:
2. Салыстырылатын айнымалы сандар қалыпты заңға бағыну қажет.
3. Байланыс тұрақты болу қажет.
4. Айнымалы сандар қателіксіз өлшену қажет.
5. факторлардың арасында байланыс болмауы керек.
Есепке алынған факторлардың елеулілігін бағалау үшін толық корреляция
коэффициенті R жəне оның квадраты R2 - тың орташа квадраттық қателігін
анықтаймыз
43Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары
Бақылау мәліметтерінің көлемі барынша толық болғанда немесе бақылау қатары шексіздікке ұмтылғанда (N ) қолда бар қатар немесе үлестірім функциясы кездейсоқ шама жөнінде толық түсінік береді. Әдетте, гидрологиялық бақылау қатарларының ұзақтығы жеткіліксіз болады (n, N), үлестірім функциясы мен қатар өте күрделі болғандықтан, практикалық есептеулер кезінде қолдануға, әсіресе әртүрлі бақылау қатарларына салыстырмалы талдау жүргізгенде қиындық туғызады. Іс жүзінде зерттеліп отырған кездейсоқ шаманың ерекшелігін сипаттайтын жекелеген параметрлерді көрсету жеткілікті болады.
Берілген бақылау қатарын сипаттау үшін аналитикалық формада берілетін үлестірімнің теориялық заңдылықтарын қолдану қажет. Үлестірім заңдылықтарын аналитикалық формада көрсету үшін оны сипаттай алатын параметрлер немесе сипаттамалар керек.
Үлестірімнің ең маңызды ерекшеліктерін жан-жақты көрсету мақсатында қолданылатын сипаттамалар кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары деп аталады.
Ықтималдық теориясында және математикалық статистикада әртүрлі мақсаттағы және қолдану облысы әртүрлі сипаттамалар қолданылады. Олардың көпшілігі үлестірім моменттері ұғымына негізделген.
Кездейсоқ шаманың орташа мәні немесе жиынтық мүшелерінің таралу центрі статистикалық қатардың негізгі параметрлерінің бірі болып табылады.
Қатардың арифметикалық орташа шамасы (1) формуласы бойынша анықталуы мүмкін.
Қандай да бір гидрологиялық сипаттаманың көпжылдық бақылау бойынша ұзақ кезеңге келтірілген арифметикалық орташа мәні гидрологияда норма (қалыпты мәні) деп аталады.
Статистикалық қатардың таңдалған орташа мәні оқиғаның қалыптасу жағдайы өзгермеген жағдайда және таңдама саны өскенде математикалық күтімге ұмтылады.
Математикалық күтім түсінігі гидрологиялық есептеулерге қатысты алғанда математикалық абстракция болып табылады. Себебі гидрологиялық бақылау қатарлары шектеулі. Инженерлік есептеулерде математикалық күтім жылдық ағындының шексіз уақыт кезеңі бойынша орташаланған арифметикалық орташа ретінде емес, бақылау қатарының ондаған немесе жүздеген жылдарын қамтитын кезең үшін анықталады. Бұл жағдайда қатаң талап қойылса математикалық күтім түсінігін қолдануға болмайды [1].
Арифметикалық орташадан кейінгі топтастыру центрінің екінші маңызды сипатамасы медиана.
Х кездейсоқ шамасының медианасы ретінде төменде берілген шарт орындалған жағдайдағы Ме мәні қабылданады
Р(Х< Ме) = Р (р > Ме) = 50 % ,
яғни кездойсоқ шаманың Ме-ден үлкен немесе кіші болуының ықтималдығы бірдей болады.
Медиананы эмпирикалық мәліметтер бойынша анықтау үшін қатарды кему (немесе өсу) ретімен орналастыру және орташа мүшесін таңдау керек. Қатар саны тақ боған жағдайда оның орташа мүшесі қабылданады, ал қатар мүшесінің саны жұп болған жағдайда екі орташа таңдалып, олардың орташа шамасы есептеледі.
Кездейсоқ шаманың үшінші сипаттамасы мода. Кездейсоқ шаманың модасы деп оның ықтималды болатын ең үлкен мәні аталады, немесе басқаша айтқанда біршыңды үлестірім қисығының ең үлкен ординатасына сәйкес келетін шаманы айтады.
Жалпы жағдайда математикалық күтім, мода және медиана бір-біріне сәйкес келмейді, дегенмен, симметриялық үлестірімде бұл сипаттамалар өзара сәйкес келуі (бір-біріне тең болуы) мүмкін.
Мода, медиана және арифметикалық орташа үлестірім түрлерін сипаттауда қолданумен қатар практикалық тапсырмаларды шешуде де кеңінен қолданылады. Мысалы, мода қателер санын азайту үшін, медиана – қателер қосындысының, ал арифметикалық орташа – қателер қосындысы квадратының азайту критерийлері ретінде қолданылады.
Дисперсия – екінші центрлік момент
D = 2 [X]. (1)
Дисперсияны тікелей есептеу үшін келесі формулалар қолданылады:
Үзіліссіз кездейсоқ шамалар үшін:
, (2)
дискрет кездейсоқ шамалар үшін:
. (3)
Мұндағы Х кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп центрленген шамаға сәйкес келетін математикалық күтімнің квадратын айтамыз. Дисперсия кездейсоқ шаманың шашырандылығын және оның математикалық күтімін сипаттайды.
Статистикалық қатар шамаларының арифметикалық орташа мәннен ауытқуын толымды сипаттайтын көрсеткіш орташа квадраттық ауытқу немесе стандарт деп аталады.
. (4)
Практикалық есептеулерде бақылау қатары бойынша стандарт келесі формуламен анықталады:
. (5)
Гидрологиялық есептеулерде көп жағдайда гидрологиялық сипаттамаларының шамалары бір-бірінен барынша ерекшеленетін шамалардан құралған қатарлардың өзгермелілігін салыстыру қажеттілігі туындайды. Бірақ, ағынды сипаттамалары қатарларының орташа квадраттық ауытқуларын өзара салыстыру олардың өзгермелілігі жөнінде толық түсінік бермейді. Қатарлардың өзгермелілігін салыстыру өлшем бірліксіз шама вариация коэффициенті (Cv) арқылы жүзеге асырылады
(6)
мұндағы - модульдық коэффициент.
Статистикалық қатардың симметриялылығын (асимметриялылығын) сипаттау үшін қатар мүшелерінің орташа мәнінен ауытқуының кубы қолданылады (үшінші центрлік момент).
. (7)
Қатар асимметриясын өлшем бірліксіз алу үшін қатар мүшелерінің орташа мәнінен ауытқуының кубын орташа квадраттық ауытқудың кубына бөледі.
. (8)
Практикалық есептеулерде Cs келесі формуламен есептеген орынды:
, (9)
себебі, бұл формулада ығысуға түзету енгізіледі.
Үлестірімнің сипатын (тікшыңды немесе дөңес) анықтау үшін төртінші центрлік момент:
(10)
немесе оның салыстырмалы сипаттамасы (эксцесса) қолданылады:
(1
44. Бірнеше орташалардың біртектілігін Стьюдент критерийі бойынша жуық бағалау.
Біркелкі физико-географикалық, климаттық жағдайда қалыптасқан жəне біркелкі дəлділікпен алынған гидрологиялық қатарларды біртекті деп атаймыз. Басқаша қатарының статистикалық біртектілігін гидрологиялық қатардың барлық элементтерінің немесе олардың параметрлерінің бір жиынтыққа тиісті болып келуін айтады. Қатардың біртектілігін немесе іріктемелер аралығындағы айырмашылықтың маңыздылығын бағалауға қолданатын статистикалық критерийлердің екі түрі бар: параметрлік жəне параметр емес. Параметрлік критерийлерді қолдану іріктеменің негізгі
параметрлерін, орташа мəнін жəне дисперсиясын есептеуге жəне салыстыруға негізделген. Параметрлік критерийлердің көп тараған түрлеріне Стьюдент критерийі (t), Фишер критерийі (F)жəне тағы басқа бірқатар критерийлер жатады. Екі іріктеменің бір жиынтыққа тиістілігін бағалауда (Вилкоксон, Манна-Уитни т.б.), байқалған қатардан бір немесе бірнеше тым ауытқан мəндердің бір жиынтыққа тиістілігін тексергенде (Диксон, Граббс-Смирнов т.б.), сондай-ақ ағындардың эмпирикалық жəне теориялық қисықтарының келісімділігін талдау жасауға параметрлік емес критерийлер қолданылады. Орташа мəндердің біртектілігін бағалау үшін Стьюденттің критерийі қолданады.Ол үшін берілген мəліметтер бойынша t статистикасы есептеледі. Стьюдент критерийін қолданғанда іріктеліп алынған дисперсиялардың біртектілігі σ σ ...σ y x = сақталуы қажет, сондықтан орташалардың біртектілігін бағалау дисперсияның
біртектілігіне Фишер критерийі арқылы баға беруден басталуы қажет.
осыларға сəйкес келетін басқа шаманың (функция) орташа мəндерінің арасындағы байланыс болып саналатын корреляциялық байланыс қолданылады.Корреляция толық мағынасында табиғатта кездесетін құбылыстар мен процесстердің арасындағы қатынас, байланыс болып табылады. Байланыстың күшін,тығыздығын көрсетеді. Регрессия – стохастикалық тəуелділіктің түрі, тəуелділікті сипаттайтын сызық. Регрессия кездейсоқ айнымалардың арасындағы сəйкестікті белгілейді. Гидрологияда екі айнымалық арасындағы сызықтың регрессиялық байланыстар
кеңінен қолданылады. Олар жауын-шашынның немесе қар суының мəліметтері бойнша ағындыны болжауға, ағынды сипатамаларының қатарын көпжылдық мəндерге келтіруге жəне т.б. жағдайларға қолданылады.
Берілген мəліметтер бойынша регрессия теңдеуінің жəне в параметрлерін есептеу қажет, онымен қатар екі айнымалы сандардың арасындағы байланыстың тығыздығын білу үшін корреляция коэффициенті есептеледі. Осы параметрлерді тапқаннанкейін олардың қателіктері анықталады.
45. Бастапқы мәліметтерді нормалау негізінде өзен ағындысын моделдеудің алгоритмі
Өзен ағындысының бақылау қатарлары көп жағдайда уақыт бойынша да кеңістік бойынша да біртекті болып келмейді. Бұл жағдай гидрологиялық шамалар жиынтығын статистикалық сипаттауды көп қиындатады. Сондықтан, статистикалық есептеулер жүргізудің алдында бастапқы гидрологиялық ақпаратты физикалық және статистикалық тұрғыдан біртектілікке тексеру қажеттілігі туады, ал бұл жағдайды ескермеу дұрыс емес қорытынды алуға әкеліп соқтыруы мүмкін
46. Гидрологияда Гумбель және Пуассон үлестірімдерін қолдану.
Пуассон үлестірімі дискретті биномдық үлестірімнен бастау алып, болған жағдайда тұрақты соңғы мәнге ие болады.
Пуассон үлестірімі мынадай түрге ие:
, (14)
мұндағы λ – үлестірім параметрі,
m! = 1, 2, 3... m – 1-ден m-ға дейінгі натурал сандардың көбейтіндісі.
Пуассон үлестірімінде бірінші бастапқы момент немесе орташа арифметикалық мән , екінші орталық момент немесе дисперсия және үшінші орталық момент өзара тең:
(2)
Гидрологтар қолданатын қарапайым парметрлерге көшу арқылы мынаған қол жеткіземіз:
,,немесе және
Демек, дискретті кездейсоқ шаманың қатары теңдігімен сипатталса, онда бұл m кездейсоқ шамасы Пуассон заңы бойынша үлестіріледі деуге негіз береді.
Гидрологиялық мәліметтерге қатысты көрсетілген параметрлер арасындағы келтірілген қатынастар салыстырмалы түрде сирек байқалады, сол себептен де қарастырылып отырған үлестірім гидрологияда кең қолданысқа ие болмады. Дегенмен, Пуассон заңы жағдайда туындайтын болғандықтан, оны шұғыл оқиғалар ықтималдығын есептеу кезінде, мысалы, суы аз және суы мол кезеңдердің басталу, қыс мезгіліндегі найзағай түсу және т.б. ықтималдықтарын бағалауда қолданған жөн.
Өзен суы деңгейінің төмендеуі немесе жоғары көтерілу кезеңдері өте сирек құбылыс екендігін ескере отырып, және жылдық ағынды шамалары арасында стохастикалық байланыс жоқ деген ұйғарым жасап, ұзақтығы жылмен есептегенде k-дан кем болмайтын сулылығы аз немесе мол болып келетін топтамасының сандарын кездестіру ықтималдығын анықтау үшін Пуассон үлестірім заңын мына түрде пайдалануға болады:
, (3)
λ параметрі төмендегі жуықтатылған формула бойынша есептелінуі мүмкін: (4)
(2.46) және (2.47) өрнектерін қолдана отырып, n бақылаулардағы ұзақтығы жылмен есептегенде k немесе одан жоғары болып келетін топтамасының сандарын кездестіру ықтималдығын оңай есептеуге болады.
Бақылау қатары 55 жылды құрайтын таңдамада (Қаскелең өзені – Қаскелең ауылы) әрқайсының ұзақтығы 5 жылдан кем емес екі су аз кезең топтамасының кездесуін қандай ықтималдықпен күтуге болатындығын анықтайық. Демек, , , болғандықтан, (2.47) формуласы бойынша есептелінеді:
Бұл жағдайда (2.46) формула бойынша ықтималдық мынаған тең:
Осы көлемдегі таңдамада ұзақтығы 7 және одан да көп жылды құрайтын суы аз кезеңнің бір топтамасының кездесу ықтималдығы 0,364 = 36,4 % тең болады
Сондай-ақ (2.46) өрнегі бойынша суы аз және суы мол жылдар топтамасының ең үлкен ұзақтығын анықтауға болады, егер оны төмендегідей жазатын болсақ:, (5)
мұндағы K – таңдама көлемі n жылды құрайтын кездесу ықтималдығы p болған жағдайдағы суы аз және суы мол жылдар топтамасының ең үлкен ұзақтығы.
Логарифмдік қалыпты үлестірімді екі түрде көрсетуге болады. Бірінші жағдайда логарифмдік түрде y=lnx байқалған қатардың x1x 2 …xn мүшелері түрлендіріледі жəне түрлендірілген шамалар y1y 2 …yn тікелей қалыпты үлестірім заңына бағынады. Бірақ бұндай жол ыңғайсыз болып келеді себебі, талдау жасаған уақыт əрқашанда логарифмді пайдалану керек.
Әртүрлі артық болу ықтималдықтарына ие гидрометеорологиялық сипаттамалардың экстремалды (ең жоғарғы және ең төменгі) мәндерін есептеу практикасында таңдаманың шеткі мүшелерінің үлестірілу заңдарына негізделген қамтамасыздық қисықтары шетелдерде кеңінен қолданылады. Негізінде ең жоғарғы ағындыны есептеу үшін көп жағдайда Гумбель қамтамасыздық қисықтары қолданыла бастады [3, 43, 59].
Гумбельдің артық ықтималдық үлестірімі қисығының теңдеуі қос көрсеткішті деп аталатын заң арқылы көрініс беріп, төмендегідей өрнектеледі:
ең үлкен шамалар жиынтығы үшін (1)
ең кіші шамалар жиынтығы үші
Асимметрия коэффициенті тұрақты болғандықтан, әртүрлі статитикалық қатарларда Гумбель қисығы әрқалай өзгеріп отырады. Гумбель қисығы кіші қамтамсыздықтар аймағында кіші асимметрия коэффициентіне ие қатаралар үшін жоғарылатылған мәндерді, ал айтарлықтай жоғары асимметрия коэффициентіне ие қатарлар үшін төмендетілген мәндерді береді [43, 59].
Үлкен қамтамасыздықтар аймағында эмпирикалық қисық пен Гумбель үлестірімінің аралығында кері қатынас байқалады /43/.
Вариация коэффициенті аралығында өзгерген жағдайда үлестірімнің теріс аймағы мүлде болмайтындығы анықталған. Вариация коэффициенті мәнінен ұлғайған сайын, қисықтың абцисса өсімен қиылысу нүктесі артық болу ықтималдықтарының төменгі мәндері аймағына қарай ығысады, мысалы тең болған жағдайда бұл Р = 87 % сәйкес келеді. Теріс аймақтың болуы және шамаларының дәлдігінің бұрмалануына әкеп соғады [6].
Жоғарыда аталған ерекшеліктеріне орай Гумбель үлестірімі ТМД елдерінде гидрологияда кең қолданысқа ие болмады. Дегенмен, бұл қисықтың қолданылу мүмкіндігі нақты бақылаулар мәліметеріне сәйкестік дәрежесі бойынша анықталу керек.
Екінші жағдайда қатардың мүшелері түрлендірмейді, олардың ықтималды
түрлендіреді; басқаша айтқанда қалыпты үлестірімнің ықтималды асимметрикалық заңға айналдырылады. Қалыпты логарифмдік үлестірім былай жазылады
x xe x xxP xln ln 2(ln ln )2( ) 1σ π σ−= Бұл заңға C sx =3C v +C 2v
Қалыпты логарифмдік қамтамасыздықты дайын кестелер арқылы тұрғызуға
болады. Гидрометеорологиялық мəліметтердің максимальдік жəне минимальдық мəндерінің қамтамасыздың анықтау үшін Гүмбелдің үлестірімі пайдаланылады.
Бұл заңға C s ≈ 1.14 Вариация коэффициенті Cv f 0.5 болған жағдайда Гумбель үлестірімі теріс аймаққа түсуі мүмкін. Бұл үлестірім көбінесе шет елді жаңбырдың əсерінен құралған ағындарға сыйпаттауға пайдаланады.
Пуассон үлестірімі сирек кездесетін құбылыстардың ықтималын табу үшін
қолданылады. Мысалы су тамшылық жəне молшылдық мерзімі келуінің ықтималдығын
есептеуге, сельдің болуының ықтималдығын анықтауға пайдаланады.
47.Үлестірім қисықтарының параметрлерін бағалау
Гидрологиялық есептеулерде кездейсоқ шамалардың теориялық үлестірім қисығы аналитикалық түрде беріледі. Өз кезегінде үлестірім заңын аналитикалық түрде ұсыну үшін осы заңның кейбір жақтарын бейнелейтін қандай да бір параметрлерді немесе сипаттамаларды бағалау қажет. Мұндай параметрлерге математикалық күтім (қатардың орташа мәні), орташа квадраттың ауытқуы (вариация коэффициенті) және асимметрия коэффициенті жатады.
Ықтималдықтың үлестірім заңын (қисықтың түрін) таңдау кезінде жалпы таным негізінде осы нақты жиынтықтың шарттарына қатысты параметрлерді бағалау міндеті туындайды. Бұл мәселені гидрологиялық режимнің қарастырылып отырған элементіне жүргізілген нақты бақылау деректерінің бойындағы ақпаратты пайдалану арқылы ғана шешуге болады. Параметрдің мәні тек бақылаудың ұзақтығына емес, сондай-ақ осы бақылау жүргізілген уақыт мерзіміне де тәуелді. Яғни, қатардың ұзақтығы бірдей болған жағдайдың өзінде параметрдің мәні әртүрлі болуы мүмкін. Демек, ізделініп отырған саны шектеулі тәжірибелердің негізінде есептелінген параметрдің кезкелген мәні, әрқашанда кездейсоқтық элементіне ие болады. Мұндай жуық кездейсоқ мәнді параметрді бағалау деп атайды.
Мысалы, бақыланған шамалардың арифметикалық орташа мәні математикалық күтімнің бағасы болып табылады. Тәжірибелер саны үлкен болған жағдайда, арифметикалық ортаның математикалық күтімге жуық болу ықтималдығы өте жоғары болады. Егер тәжірибелер саны аз болса, онда математикалық күтімді арифметикалық орташамен алмастыру қандайда бір қателіктерге алып келеді.
Сонымен, ықтималдық үлестірімінің параметрлерін бағалау үшін, гидрологиялық режимнің сипаттамаларына жүргізілген бақылаудың нәтижелерінде алынған, қолда бар салыстырмалы қысқа қатарларды қайтсек мейлінше толығымен пайдаланамыз деген сұрақтар туындайды.
Бұл мәселені шешу таңдамалы әдісі теориясының негізгі ережелеріне сүйенеді. Параметрлердің нақты мәніне анағұрлым жақын болатын, яғни Бас жиынтыққа сәйкес келетін мәнді санауымыз қажет. Параметрлердің әрбір бағасы таңдаманың функциясы болып табылатындықтан, бағалаудың сапасы жөнінде жекелеген мәндер бойынша емес, оның таңдалынып алынған үлестірімі бойынша төрелік айту қажет.
Қандай да бір статистикалық баға практикалық маңызға ие болу үшін ол бірқатар талаптарды қанағаттандыруы қажет.
Бағаға қойылатын бірінші шарт – ығыспау шарты, яғни қатарда бақылау жылдарының саны әркелкі болғанына қарамастан жүйелік қателіктердің болмауы тиіс. Ығыспаған баға деп, математикалық күтім бағаланатын параметрге тең бағаны айтамыз, яғни .
Егер болса, онда баға оң ығысқан деп, ал болса, онда теріс ығысқан деп аталады.
Тыңғылықтылық шарты параметрі бағасын қанағаттандыруы қажет - екінші шарт болып табылады. Сынау саны шектеусіз ұлғайған жағдайда, бағасы ықтималдығы бойынша бағаланатын параметрге сәйкес болса, онда ол тыңғылықты баға деп аталады. Ол келесі өрнекпен өрнектеледі:
, мұндағы - мейлінше аз оң сан.
Бұл талаптың орындалуы үшін ұлғайған жағдайда баға дисперсиясының нөлге ұмтылуы жеткілікті шарт, яғни , сондай-ақ бағаның ығыспаған болуы қажет.
Әртүрлі тәсілдер арқылы алынған тыңғылықты ығыспаған бағалардың шашырауы да әртүрлі болады, ал бұл жағдай параметрін бағалаудың дәлдігін нашарлатады. Сондықтан параметрлердің таңдалған бағаларын бағалауды олардың дисперсиясының көмегімен жүзеге асырған дұрыс.
Бағалауға қойылатын үшінші талап - тиімділік шарты. Сонымен параметрінің бірнеше ығыспаған бағалары бар делік, онда олардың қайсысының дисперсиясы аз болса, сонысы аса тиімді дейміз. Яғни, , қасиетімен сипатталатын баға тиімді деп аталады.
Ықтималдық теориясын гидрология саласында практикалық қолдану барысында кездейсоқ шаманы сипаттау үшін, әдетте келесі сипаттамалар қолданылады: математикалық күтім (орташа мән), дисперсия , орташа квадраттық ауытқу , вариация коэффициенті , асимметрия коэффициенті .
Анағұрлым кең таралған сипаттамалар , , ,, үлестірімнің алғашқы және центрлік моменттерінің негізінде немесе басқаша айтсақ, моменттер әдісінің негізінде айқындалады.
Есептеулер практикасында кейінгі жылдар Р.Фишер жасаған шындыққа ең жақын әдісі кеңінен қолданылуда.
48. Жиынтық корреляция теңдеуін есепке алынған факторлардың детерминатты қосқан үлесінің маңыздылығын бағалау.
Жиынтық корреляцияны пайдаланудағы бас талап: бастапқы мəліметтер нормаль заңына бағыну жəне байланыстық сызықты болуы. Сондықтан гидрологиялық есептермен болжамдарда түрлендіру əдісі қолданылады. Бұл əдіс ассиметриялық үлестірімді қалыптандыруға жəне корреляциялық байланысты тегістеуге пайдаланады. Түрлендірудің ерекше қасиеті: бастапқы жəне түрлендірілген айнымалы кездейсоқ мəндердің ықтималдылығы бірдей болады. Түрлендіру үшін қалыпты үлестірімнің интегралдық қисығы немесе кестесі болуы қажет.
Қалыптандырылған сандардың бірнеше қасиеттері бар:
1. Қисық сызықты байланыстар сызықты байланысқа айналады.
2. Орта мəні = 0 j u , орта квадраттық ауытқу .
3. бастапқы мəліметтердің коэффициентімен yxk r қалыптандырылған сандардың
арасындағы корреляция коэффициентің u uk r 1 қатынасы
( ) ( ) u juk x j xk r ≥ r .
4. Қалыптандырылған сандардың коэффициент корреляция тұрақтырақ болып келеді.