Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
План Лекция 5
Экономические темпы развития к 1750 г. в России замедлились, сказывалась продолжительная Северная война (1700-1721 гг.) между Швецией и Северным союзом (Россия, Саксония, Польша, Дания) за гегемонию на Балтике и частые дворцовые перевороты.
Культура России развивалась по пути, намеченному в начале века. Из всех школ дальнейшее развитие получили только профессиональные школы, готовившие, в основном, военные кадры. В 1731 году был открыт Сухопутный шляхетский корпус, Морская академия была преобразована в Морской шляхетский кадетский корпус, Артиллерийская и Инженерная школы объединены в Артиллерийский и инженерный шляхетский корпус. Из начальных школ сохранились лишь гарнизонные для солдатских детей, школы при горных заводах, при московском госпитале и кое-где – цифирные школы.
В 40-х годах благодаря усилиям М.В. Ломоносова и других русских учёных оживилась учебная жизнь в гимназии и университете ПАН. Петербургская академия наук стала центром научной жизни страны. Уже в 1736 г. известный французский физик Дорту де Меран писал:
«Петербургская академия со времени своего рождения поднялась на выдающуюся высоту науки, до которой академии Парижская и Лондонская добрались только за 60 лет упорного труда».
Научная, просветительская и организаторская деятельность Михаила Васильевича Ломоносова составила целую эпоху в истории Академии и российской науки. Он обогатил её фундаментальными открытиями в химии, физике, астрономии, геологии, географии; внес большой вклад в разработку истории, языкознания и поэтики; организовал в 1748 г. первую химическую лабораторию; активно участвовал в 1755 г. в основании Московского университета, ныне носящего его имя.
Первый принцип ПАН, стимулирующий развитие русской науки, была обязательная связь исследований с практическими потребностями страны.
По инициативе Академии были:
Медленно, но неуклонно происходила русификация Академии. В 1746 году появился первый русский президент - граф К. Г. Разумовский, начали избираться отечественные ученые. (С. П. Крашенинников, М. В. Ломоносов, поэт В. К. Тредиаковский, а позже астрономы Н. И. Попов, С. Я. Румовский, П. Б. Иноходцев, натуралисты И. И. Лепехин, Н. Я. Озерецковский, В. Ф. Зуев и др.).
Дальнейший технический прогресс в XVIII веке был невозможен без развития всего естествознания, и без развития математических методов. О новых задачах и проблемах математики можно судить по состоянию важнейших областей естествознания в данное время:
философии», но
→ Таким образом, у математики и механики появилась задача создания аналитических методов (основная роль в её решении принадлежит Л. Эйлеру).
В связи с созданием аналитической механики возникли новые задачи для математического анализа:
Принципиальные трудности, возникающие при решении системы ДУ, описывающих взаимодействие 3 тел, настолько велики, что в самом общем виде задачу нельзя считать решённой и в наши дни.
→ Таким образом, возникла вторая крупная задача для математического анализа – построение теории ДУ в частных производных.
→ Таким образом, в теории ДУ накопилось много частных результатов, которые необходимо было систематизировать.
Рассмотрим эволюцию одного из самых основных понятий анализа – понятия функции. Если в историко-математической литературе вы встретили выражение «понятие функции в смысле определения XVIII века», то это неправомерное высказывание, так как в то время не могло быть единого общепринятого определения.
Содержание этого понятия изменялось под влиянием вопросов практики, в первую очередь, физики, а также самой логики развития математического анализа в широком смысле слова, включая развивающуюся теорию рядов и теорию ДУ. Дело в том, что расширение понятия функции встречало сильное сопротивление со стороны отдельных крупных математиков эпохи, которые требовали принятия более узкого определения.
Таким образом, в первой половине XVIII века, наряду с задачей расширения понятия функции, возникла важнейшая задача классификации функций и выявления классов, обладающих наиболее простыми и важными свойствами, например, разложения в степенные ряды.
Несмотря на то, что изучение зависимостей между величинами началось достаточно давно, оно не получило ещё аналитического выражения:
«Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств».
Но определение Эйлера имело принципиальное отличие, состоявшее в рассмотрении значений аргумента:
«Переменное количество охватывает собой решительно все числа, как положительные, так и отрицательные, как целые, так и дробные, как рациональные, так и иррациональные и трансцендентные. Даже нуль и мнимые числа не исключаются из значений переменного количества».
Таким образом, у Эйлера, по сути, дано определение функции комплексного переменного.
Почему же теоремы Эйлера для непрерывных функций верны?
Если вспомнить выделенные в определении выше допустимые операции, то Эйлер должен был получать функции аналитические всюду, кроме как в изолированных особых точках, в окрестности которых они должны допускать разложение в обобщённый степенной ряд, который мог содержать отрицательные и дробные степени.
Таким образом, выделяя класс непрерывных функций, Эйлер, по сути, выделил класс аналитических функций в смысле современной ТФКП. Именно поэтому, несмотря на другое понимание непрерывной функции, установленные Эйлером важнейшие свойства непрерывных функций оказались основными свойствами аналитических функций и одно из них – представимость степенным рядом.
Всё же в XVIII веке отсутствовало достаточно ясное понимание различия между функцией и её аналитическим выражением, что нашло отражение в той критике, которой Эйлер подверг решение задачи о колебании струны, предложенное Бернулли (1753), в основе которого лежало утверждение о возможности разложить любую функцию в тригонометрический ряд.
Возражая против этого, Эйлер указал на то, что подобная разложимость доставляла бы для любой функции аналитическое выражение, в то время как функция может и не иметь его (она может быть задана графиком, «начертанным свободным движением руки»).
Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все функции допускают аналитическое изображение (правда, у Бернулли речь идёт о непрерывной функции, которая, как установил в 1885 Вейерштрасс, всегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрический ряд). Однако другие аргументы Эйлера уже ошибочны. Например, он считал, что разложение функции в тригонометрический ряд доставляет для неё единое аналитическое выражение, в то время как она может быть «смешанной» функцией, представимой на разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит, но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении. Позже, при исследовании функций многих переменных он понял ограниченность прежнего определения и признал разрывные функции, а затем, после исследования комплексного логарифма - даже многозначные функции.
4. Систематизация Эйлером дифференциального и интегрального исчисления
Научные труды Л. Эйлера до сих пор поражают нас не только оригинальностью рассуждений, но и, что очень значимо, методическим мастерством. Недаром Лаплас говорил: «Читайте, читайте Эйлера - это учитель нас всех», а «король математиков» Гаусс писал: «Изучение работ Эйлера остаётся наилучшей школой в различных областях математики, и ничто другое не может это заменить».
Первые курсы исчисления бесконечно малых написаны в конце XVII века Г. Лопиталем («Анализ бесконечно малых», 1696) и И. Бернулли («Лекции по интегральному исчислению», 1692). Но, так как уже в первой трети XVIII века было накоплено много нового, то необходимо было систематизировать все новое содержание математического анализа.
Заслуга в решении этой задачей исключительной широты и сложности принадлежит Л. Эйлеру, труды которого, опубликованные в 1748-1770 гг., составили эпоху не только в МА, но и в математике в целом. К ним относятся 2 тома «Введения в анализ бесконечных», 2 книги «Дифференциального исчисления» и 3 тома «Интегрального исчисления» - эта трилогия является энциклопедией МА того времени, влияние этих трудов на дальнейшее развитие МА и его приложений переоценить невозможно.
«Введение в анализ бесконечных» (1748):
в I томе Эйлер:
во II томе:
В 1755 году Петербургская академия наук опубликовала «Дифференциальное исчисление» Эйлера. По содержанию, систематичности изложения и последовательности в развитии новых понятий и алгоритмов это сочинение можно поставить на одно из самых почётных мест во всей истории математического анализа. Весьма сильное влияние оно оказало на развитие и преподавание математики в России.
В первой половине XVIII века назрела необходимость освободить основания нового исчисления от геометрической и механической трактовки, т.е. излагать его аналитическим методом, что и сделано Эйлером в его «Дифференциальном исчислении». Книга состоит из 2 частей, в 1-ой из которых излагается дифференциальное исчисление в собственном смысле слова, во 2-ой – применение ДИ, теории рядов и непрерывных дробей к решению алгебраических уравнений, нахождению точек минимума и максимума функции одного и двух аргументов. Вопросам приложения ДИ к геометрии Эйлер планировал посвятить 3-ю часть, которую так и не написал.
В течение 1768-1770 гг. (каждый год по тому) было издано «Интегральное исчисление» Эйлера – сочинение с необычайным богатством новых результатов, содержащее сложные вопросы теории ОДУ и ДУ в частных производных. Без преувеличения можно сказать, что оно составило новую эпоху в развитии математического анализа. Так как в понятие интегрального исчисления Эйлер, как и все его современники, включал не только интегрирование функций, но и ДУ, то содержание томов было таково:
Два тома содержали 4 раздела:
В 1794 году Петербургская академия наук издала IV (посмертный) том «Интегрального исчисления» Эйлера, в котором были собраны все дополнения к предыдущим томам.
Таким образом, изданием этих фундаментальных эйлеровских трудов был подведён итог открытиям мировой математики в области математического анализа, включая ДУ, специальные функции, вариационное исчисление, элементы теории аналитических функций и другие разделы математики, получившие впоследствии самостоятельное развитие.
а) Основные направления развития теории ОДУ в XVIII веке
1) Первые же задачи динамики точки, сформулированные аналитически, потребовали методов интегрирования нелинейных уравнений второго порядка и их систем. В частности к нелинейным уравнениям второго порядка привело важное для практических приложений нахождение геодезических линий на поверхности.
2) Все более серьёзное значение в механике приобретала теория малых колебаний материальных систем с конечным числом степеней свободы, а для её дальнейшего развития было необходимо развитие теории линейных ДУ. Методов решения ЛДУ и их систем требовали и теории построения маятников, теория колебания струны и изучение распространения звука.
3) Такое направление теории ОДУ, как численные методы приближенного интегрирования ДУ, было обусловлено требованиями небесной механики. Часто решение проблемы приводило к уравнениям и их системам, неинтегрируемым в конечном виде.
4) Задачи быстроразвивающейся дифференциальной геометрии нуждались в изучении особых решений ДУ, главнейшими из которых были задачи о нахождении огибающих и изогональных траекторий семейств кривых. (Линии, пересекающие все кривые данного семейства под одним и тем же углом φ, называются изогональными траекториями).
Итак, уровень накопленных к началу XVIII века о свойствах и способах решений ОДУ был совершенно недостаточен для исследования новых проблем, поэтому уже со второй четверти столетия наблюдалось значительное повышение интереса к этой области. Например, в первом же томе «Комментариев» Петербургской АН (1726 г.) были помещены статьи Я. Германа, Х. Гольдбаха, И. Бернулли, его сыновей Николая и Даниила. Весьма значительное развитие в XVIII столетии теория ОДУ получила в трудах Эйлера, братьев Бернулли, Даламбера, Лагранжа, Лапласа.
Отметим сначала, что у математиков того времени задача интегрирования ОДУ ставилась как задача нахождения полного (общего) интеграла, а необходимое частное решение выделялось потом с помощью некоторого выбора значений произвольных постоянных, соответствующих в подавляющем большинстве случаев постановке задачи с начальными условиями.
б) Методы интегрирования нелинейных ОДУ
Из нелинейных ДУ Эйлера более всего привлекало уравнение Риккати в его различных формах, причём интерес к нему был связан, не столько в связи с задачами механики и геометрии, сколько с рядом вопросов гидравлики и колебания неоднородной струны, появившихся в зоне его интересов. Из множества нелинейных уравнений Эйлер в результате выделил довольно широкий класс уравнений, названных им «однородными». Кроме того, им были исследованы более общие уравнения высших порядков, чем уравнения Лагранжа, соответственно обобщив прием интегрирования исходного уравнения по независимому переменному.
Охарактеризуем вкратце достижения Эйлера в этой области:
Первым непрерывные дроби к интегрированию ДУ применил Лагранж. Две самые ранние работы Эйлера по теме относятся к 1737-1739 году, но опубликованы значительно позже. В них Эйлер рассмотрел широкий круг вопросов:
Интегрирование нелинейных уравнений, как известно, представляет большие трудности, более или менее полная теория развита только для некоторых классов таких уравнений. У Эйлера задача понижения порядка решена для 4 типов уравнений:
1. ;
2. ;
3. ;
4. , причём новыми оригинальнейшими методами.
В работе «О дифференциальных уравнениях второго порядка» Эйлер впервые в теории ДУ поставил задачу о частичном интегрировании уравнений второго порядка, т.е. задачу (в современной терминологии) нахождения первых интегралов, и для её решения использовал метод интегрирующего множителя. Основное содержание работы:
Для примера, Эйлер нашёл для уравнения
интегрирующий множитель
(при имеется множитель не 2-го, а 1-го порядка).
в) Теория линейных дифференциальных уравнений
До работ Эйлера изучены, в основном, были только ЛДУ 1-го порядка. Исследования Эйлера в этой области представлены четырьмя циклами работ:
1 цикл - работы, содержащие решения разнообразных линейных задач механики и физики, большая часть этих исследований приходятся на 1725-1750 гг.:
В этих работах Эйлер пришёл не только к методам интегрирования однородных и неоднородных уравнений второго порядка, но и линейных систем ДУ с постоянными коэффициентами.
2 цикл – первые теоретические работы о линейных уравнениях с переменными коэффициентами (до 1743 г.).
3 цикл – специальные работы о линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Это, в основном, две работы: «Об интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков» и «О распространении колебаний упругой среды».
4 цикл - дальнейшее развитие теории ЛДУ с переменными коэффициентами. Этот цикл начинается мемуаром «Метод дифференциальных уравнений высших порядков» и заканчивается работами о сопряжённых уравнениях, представляющими собой развитие результатов Лагранжа.
г) Методы приближенного решения ДУ
В работах Эйлера по небесной механике получил дальнейшее развитие метод бесконечных рядов. Создание методов приближенного анализа стимулировала и математическая физика. Классическими методами того времени являлись:
д) Теория ДУ в частных производных
Дифференциальные уравнения в частных производных представляют собой одну из наиболее сложных и одновременно интересных задач вычислительной математики. Эти уравнения характеризуются тем, что для их решения не существует единого универсального алгоритма, и большинство задач требует своего собственного особого подхода. Уравнениями в частных производных описывается множество разнообразных физических явлений, и с их помощью можно с успехом моделировать самые сложные явления и процессы (диффузия, гидродинамика, квантовая механика, экология и т. д.).
Дифференциальные уравнения в частных производных требуют нахождения функции не одной, как для ОДУ, а нескольких переменных, например или . Постановка задач включает в себя само уравнение (или систему уравнений), содержащее производные неизвестной функции по различным переменным (частные производные), а также определенное количество краевых условий на границах расчетной области. Сами уравнения в частных производных несколько условно можно разделить на три основных типа:
Некоторые более сложные уравнения нельзя однозначно подогнать под приведенную классификацию, тогда говорят о гибридных типах уравнений.
Первое уравнение в частных производных историки обнаружили в статьях Эйлера по теории поверхностей, относящихся к 1734-1735 годам (опубликованы в 1740 году). В современных обозначениях оно имело вид: . В тех же работах имеется и первая постановка задачи о решении уравнения с частными производными первого порядка, правда, ещё не совсем чёткая. Она связана с изучением задач геометрии и развитием метода интегрирующего множителя.
Начиная с 1743 года, к работам Эйлера присоединился Даламбер, предложивший общее решение волнового уравнения для колебаний струны в виде суммы 2 произвольных функций , определяемых по начальным и граничным условиям , где - длина струны. В последующие годы Эйлер и Даламбер опубликовали ряд методов и приёмов для исследования и решения некоторых уравнений в частных производных. В частности, они разошлись во мнениях о природе допустимых функций, входящих в решение уравнений с частными производными, в этот научный спор были вовлечены почти все крупные математики нескольких поколений, что существенно повлияло как на интерес к теме, так и на дальнейшее развитие теории ДУ в ЧП.
В 60-х годах в ряде работ Эйлер устанавливает связь между задачами интегрирования уравнений и теорией уравнений в полных дифференциалах, что дало ему возможность в новой области опереться на прежние свои результаты в области теории ОДУ. Развивая метод интегрирования отдельных классов уравнений в ЧП, он использует методы решения уравнений в полных дифференциалах, в частности метод интегрирующего множителя.
В 1755 году публикуются «Общие принципы движения жидкостей» Эйлера, в которых положено начало теоретической гидродинамике, выведены основные уравнения гидродинамики (уравнение Эйлера) для жидкости без вязкости, разобраны решения системы для разных частных случаев. Основные результаты Эйлера в области интегрирования уравнений математической физики (задачи о колебании струны, пластинки, мембраны) стимулировали развитие теории ДУЧП и обеспечивал отправную точку для открытий других ученых Лагранжа, Лапласа и пр., но ещё не создали завершённой теории.
Вариационное исчисление - раздел функционального анализа, самая типичная задача которого состоит в том, чтобы найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения.
Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики:
Типичными примерами вариационной задачи являются изопериметрические задачи в геометрии и механике, в частности, задача о брахистохроне, задача нахождения уравнений поля из заданного вида действия для этого поля.
В 1744 году Эйлер открывает вариационное исчисление, в его работах используются продуманная терминология и математическая символика, в значительной степени сохранившиеся до наших дней, изложение доводится до уровня практических алгоритмов.
Эйлеру принадлежит и сам термин (1766 год). Эйлеровский алгоритм затем блестяще развил Лагранж, что было очень высоко оценено самим Эйлером.
К концу XVIII века класс решенных вариационных задач значительно расширился,
Эйлер и Лагранж изучили экстремальные свойства пространственных кривых и поверхностей.
7. Работы Эйлера по геометрии.
Всего у Эйлера 75 работ по геометрии, они занимают 3 тома «Opera omnia» - полного собрания его сочинений:
любая поверхность, которую можно получить, лишь изгибая плоскость, но не растягивая ее и не сжимая, если она не коническая и не цилиндрическая, представляет собой совокупность касательных к некоторой пространственной кривой (ее ребру возврата).
В заключение описания геометрических работ Эйлера приведём слова немецкого математика Коммереля: «Слава и заслуги Гаусса не пострадают, если мы укажем на то, что ряд мыслей и методов, которые Гаусс так блестяще использовал …, имеется уже у Эйлера. Речь идет, например,
о сферическом отображении (когда куску поверхности ставится в соответствие кусок сферы радиуса 1, состоящий из всех таких точек, в которых радиусы этой сферы параллельны нормалям к поверхности в точках этого ее куска),
о задании поверхности в параметрической форме, совпадении линейных элементов как условии наложимости при изгибании,
об исследовании геодезических линий (т. е. кратчайших линий на поверхности между двумя ее точками) при помощи угла, который они образуют с кривыми некоторого семейства на поверхности, и другие».
Все работы Эйлера по теории чисел (около 150 работ) поражают своей глубиной и оригинальностью. Именно с его именем связано становление теории чисел как науки:
,
он опроверг гипотезу Ферма, предполагавшего, что все числа вида - простые.
и - количество простых чисел, не больших ;
, где и - различные нечётные простые числа;
К середине XYIII века ТВ начали чаще применять в демографии, страховании, оценке ошибок наблюдения, проведении лотерей и пр. Многие математики приняли участие в разработке вероятностных идей, в том числе и Л. Эйлер. Часть работ Эйлера опубликованы при его жизни, но большинство – посмертно, а некоторые – значительно позже (СС, 1923 г.).
Начало исследований положено по монаршей воле: для пополнения государственной казны прусский король Фридрих II решил использовать генуэзскую лотерею, а Эйлеру пришлось его консультировать. В результате появилось несколько статей, в которых рассмотрены следующие проблемы:
Правила игры: 2 игрока с полными колодами карт извлекают поочередно карты до появления одинаковой карты, тогда один из них выигрывает, если нет – то выиграл 2-ой. Нужно определить вероятности выигрыша каждого игрока.
Эйлер начинает решать с условия, что каждый имеет по одной карте, тогда , затем по 2, по 3, по 4 и только после этого переходит к общему случаю. В конце статьи следует вывод: если количество карт бесконечно, то вероятность выигрыша 1-го выразилась бы бесконечным рядом , а 2-го - рядом.
Итак, в ТВ Эйлер не рассматривал общие идеи и понятия, решая конкретные, важные для практики задачи.
Литература
1. Демидов, С.С. Возникновение теории дифференциальных уравнений с частными производными // Историко-математические исследования. - М.: Наука, 1975. - № 20. - С. 204-220.
2. Берман, Г.Н. Число и наука о нем. Общедоступные очерки. – М.: ГИТТЛ, 1984.
3. Стиллвелл, Д. Математика и ее история. - Москва-Ижевск: ИКИ, 2004. - 530 с.
4. Юшкевич, А. П. История математики в России. - М.: Наука, 1968.