Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 37
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
Расчет цепей с источниками гармонических воздействий
2.1. Задание
1. По заданному номеру варианта изобразить цепь, подлежащую расчету, выписать значения параметров элементов.
2. Записать в общем виде систему уравнений Кирхгофа для полученной цепи.
3. Рассчитать токи во всех ветвях и напряжение на источнике тока методом контурных токов.
4. Составить баланс активных и реактивных мощностей.
5. Записать мгновенные значения токов ветвей и напряжение на источнике тока.
6. Рассчитать токи во всех ветвях и напряжение на источнике тока методом узловых потенциалов.
7. Найти ток в одной ветви методом наложения.
8. Найти ток в одной ветви методом эквивалентного генератора.
9. Определить потенциалы всех точек цепи и построить на комплексной плоскости векторную топографическую диаграмму напряжений и токов.
2.2. Выбор варианта цепи
1. Граф цепи, подлежащей расчету, выбирать в соответствии с рис. 2.1. Расположение источников напряжения и тока, а также пассивных элементов в ветвях выбирать с помощью табл. 2.1. Направление действия источников произвольное.
2. Численные значения параметров источников напряжения и тока выбирать с помощью табл. 2.2. Частота питающего напряжения и тока f=50 Гц.
3. Численные значения параметров пассивных элементов определяются по формулам:
|
для четных ветвей: |
для нечетных ветвей: |
|
R = R0 + ARN, |
R = R0 + AR 3,5N, |
|
L = L0 + AL N, |
L = L0 + AL 3,5N, |
|
C = C0 + ACN, |
С = С0 + AС 3,5N, |
где N – номер группы, значения коэффициентов R0, L0, C0 заданы в табл. 2.3, а каждый из дополнительных коэффициентов AR, AL, AC, имея соответствующую размерность (Ом, мГн, мкФ), равен сумме цифр номера варианта.
Таблица 2.1
|
Номер варианта |
Граф |
Расположение элементов в ветвях цепи |
||||
|
источник напряже-ния |
источ-ник тока |
резисторы |
индуктив-ности |
емкости |
||
|
1, 26, 51, 76 |
а |
1 |
3 |
2, 3, 4, 5, 6 |
2 |
6 |
|
2, 27, 52, 77 |
б |
1 |
5 |
1, 2, 3, 4, 5, 6 |
1 |
4 |
|
3, 28, 53, 78 |
в |
3 |
6 |
1, 2, 4, 5, 6 |
4 |
1 |
|
4, 29, 54, 79 |
г |
5 |
1 |
1, 2, 3, 4, 5 |
3 |
5 |
|
5, 30, 55, 80 |
д |
5 |
3 |
1, 2, 3, 4, 5 |
2 |
3 |
|
6, 31, 56, 81 |
е |
5 |
4 |
1, 2, 3, 4, 5 |
1 |
4 |
|
7, 32, 57, 82 |
а |
3 |
6 |
1, 2, 4, 5, 6 |
1 |
2 |
|
8, 33, 58, 83 |
б |
5 |
1 |
1, 2, 3, 4, 5,6 |
4 |
2 |
|
9, 34, 59, 84 |
в |
4 |
1 |
1, 2, 3, 5, 6 |
2 |
6 |
|
10, 35, 60, 85 |
г |
5 |
4 |
1, 2, 3, 4, 5 |
1 |
3 |
|
11, З6, 61, 86 |
д |
1 |
3 |
1, 2, 3, 4, 5 |
2 |
5 |
|
12, 37, 62, 87 |
е |
4 |
1 |
1, 2, 3, 5 |
2 |
3 |
|
13, 38, 63, 88 |
а |
2 |
1 |
1, 3, 4, 5, 6 |
1 |
3 |
|
14, 39, 64, 89 |
б |
4 |
3 |
1, 2, 3, 4, 5,6 |
2 |
5 |
|
15, 40, 65, 96 |
в |
6 |
4 |
1, 2, 3, 4, 5 |
1 |
5 |
|
16, 41, 66, 91 |
г |
1 |
5 |
1, 2, 3, 4, 5 |
3 |
4 |
|
17, 42, 67, 92 |
д |
3 |
4 |
1, 2, З, 4, 5 |
1 |
3 |
|
18, 43, 68, 93 |
е |
5 |
3 |
1, 2, 3, 4, 5 |
4 |
2 |
|
19, 44, 69, 94 |
а |
2 |
3 |
1, 3, 4, 5, 6 |
5 |
1 |
|
20, 45, 70, 95 |
б |
3 |
5 |
1, 2, 3, 4, 5, 6 |
1 |
2 |
|
21, 46, 71, 96 |
в |
1 |
3 |
2, 3, 4, 5, 6 |
2 |
6 |
|
22, 47, 72, 97 |
г |
3 |
5 |
1, 2, 3, 4, 5 |
4 |
2 |
|
23, 48, 73, 98 |
д |
2 |
5 |
1, 2, 3, 4, 5 |
3 |
2 |
|
24, 49, 74, 99 |
е |
3 |
2 |
1, 2, 4, 5 |
5 |
1 |
|
25, 50, 75, 100 |
а |
5 |
4 |
1, 2, 3, 4, 6 |
3 |
4 |
Таблица 2.2
|
Ветви |
Е |
J |
||||
|
ХТТ, ИВК |
ТНВ, КСК |
АТП, МАПП |
ХТТ, ИВК |
ТНВ, КСК |
АТП, МАПП |
|
|
1 |
50e–j60 |
150ej30 |
200e j0 |
3ej45 |
4ej150 |
5ej150 |
|
2 |
100e–j45 |
100ej60 |
150e –j45 |
2ej60 |
5ej0 |
4ej45 |
|
3 |
120e j30 |
200ej45 |
100e –j45 |
5e–j45 |
3e–j120 |
2ej30 |
|
4 |
141e j0 |
50e–j30 |
141e –j60 |
4e–j30 |
4e–j60 |
3ej0 |
|
5 |
150e j45 |
200e –j45 |
141e j45 |
3e–j60 |
5e–j45 |
5e–j60 |
|
6 |
100e –j90 |
120e –j60 |
150e j150 |
2ej45 |
4e–j150 |
3ej120 |
|
R0, Ом |
L0, мГн |
СО, мкФ |
|
|
ИВК |
40 |
80 |
100 |
|
АТП |
50 |
100 |
110 |
КСК |
60 |
120 |
120 |
|
ТНВ |
70 |
140 |
130 |
|
ХТТ |
80 |
160 |
140 |
|
МАПП |
90 |
180 |
150 |
2.3. Методические указания
2.3.1 Метод уравнений Кирхгофа
1. Пронумеровать m ветвей и обозначить n узлов в соответствии с графом цепи.
2. Обозначить токи ветвей и произвольно выбрать их положительное направление, а также выбрать полярности на зажимах источника тока.
3. Произвольно выбрать опорный узел и для прочих (n – 1) узла записать уравнения по I закону Кирхгофа в форме
.
Алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю. При суммировании токи, направленные к узлу, следует принять условно положительными, а направленные от узла – отрицательными (или наоборот).
4. Произвольно выбрать совокупность p независимых контуров и обозначить направление их обхода. Для каждого из независимых контуров записать уравнения по II Закону Кирхгофа в форме
.
Алгебраическая сумма падений напряжения на потребителях замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС источников, содержащихся в нем.
При суммировании в левой части положительными принимают падения напряжения на тех потребителях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода контура; в правой части положительными принимают ЭДС источников, являющихся содействующими в смысле выбранного направления обхода контура (потенциал на них возрастает).
Уравнения, записанные по I и II 3аконам Кирхгофа, составляют систему, порядок которой равняется числу ветвей в цепи.
2.3.2. Метод контурных токов
Применение метода позволяет уменьшить общее количество уравнений системы до числа независимых контуров p.
Расчет электрических цепей методом контурных токов осуществляется в соответствии со следующим алгоритмом:
1. В произвольно выбранной совокупности независимых контуров обозначить контурные токи, направление которых выбирается произвольно.
2. Для определения контурных токов составить систему уравнений, записываемую в виде матричного уравнения вида
,
где -– матрица комплексных сопротивлений размерностью (pp), в которой:
– собственное комплексное сопротивление, определяемое как сумма сопротивлений ветвей, входящих в контур;
– общее комплексное сопротивление i и j контуров; определяется как сопротивление ветви (ветвей), общих для i и j контуров. Общее сопротивление отрицательно, когда контурные токи и , протекающие в общей ветви (ветвях), направлены противоположно;
– матрица-столбец контурных токов;
– матрица-столбец контурных ЭДС представляет собой алгебраическую сумму ЭДС, включенных в ветви, образующие данный контур. Правило знаков аналогично II закону Кирхгофа.
3. Решить составленную систему уравнений относительно неизвестных токов.
4. Выразить токи всех ветвей как сумму контурных токов, в них протекающих, взятых со знаком плюс, если направления тока ветви и контурного тока совпадают.
П р и м е ч а н и е. 3адача расчета данным методом упрощается, если в цепи имеются h источников тока. Если выбрать совокупность независимых контуров таким образом, что каждая ветвь с источником тока войдет только в один контур, число совместно решаемых уравнений системы сократится на h. При этом h контурных токов будут приняты равными задающему току J соответствующего источника тока, вошедшего в данный контур.
2.3.3. Баланс активных и реактивных мощностей
При расчете цепей гармонического тока символическим методом следует рассматривать комплексную мощность
где – активная мощность;
– реактивная мощность.
Баланс мощностей
или
,
где – сопряженный комплекс тока k-й ветви;
– действующее значение тока k-й ветви;
– активная мощность потребителей;
– реактивная мощность потребителей.
Выражение в левой части равенства представляет собой суммарную комплексную мощность источников. Правило знаков аналогично изложенному в п. 3.4 (контрольная работа № 1).
2.3.4. Метод узловых потенциалов
Применение данного расчетного метода позволяет уменьшить количество уравнений системы до (n – 1), где n – число узлов электрической цепи. Порядок расчета данным методом следующий:
1. Потенциал одного из узлов (любого) условно принять равным нулю. Этот узел называют опорным.
2. Для расчета неизвестных (n – 1) потенциалов составить систему уравнений, записываемую в виде матричного уравнения вида
,
где – квадратная матрица комплексных проводимостей, в которой:
– собственная комплексная проводимость, определяемая как сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле;
– общая комплексная проводимость ветвей, соединяющих i и j узлы, определяемая как проводимость ветви, соединяющей i и j узлы. В случае, если между i и j узлами подключены несколько ветвей (не имеющих промежуточных узлов), общая проводимость определяется как сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы. Общая проводимость в системе уравнений всегда берется со знаком минус.
В н и м а н и е! Проводимость ветви, содержащей источник тока, равна 0.
Д о п о л н е н и е. Для цепей, в ветвях которых подключены только идеальные источники напряжения (Rветви = 0), расчет может быть упрощен при выборе опорного узла на выводах этих ветвей. Тогда потенциал одного из узлов становится известным и равным ЭДС идеального источника напряжения. Таким образом, количество совместно рассматриваемых уравнений системы сокращается. Однако следует отметить, что оставшиеся уравнения остаются неизменными, т.е. содержат слагаемые, являющиеся произведением известного потенциала узла и соответствующей проводимости.
– матрица-столбец потенциалов;
– матрица-столбец узловых токов, определяемых по следующей формуле:
,
в данную сумму со знаком плюс входят слагаемые, соответствующие источникам, действующим в направлении рассматриваемого узла.
3. С помощью полученной системы определить неизвестные потенциалы узлов.
4. Определить токи во всех ветвях и напряжение на источнике тока на основании соотношений, составленных по обобщенному закону Ома.
2.3.5. Метод наложения
Решение задач данным методом основано на применении принципа суперпозиции (наложения), согласно которому ток в произвольной i-й ветви равен алгебраической сумме токов, создаваемых каждым источником в отдельности.
При расчете цепей методом наложения из исходной цепи получают k вспомогательных схем (подсхем), где k – число источников. В каждой из этих вспомогательных схем оставляют только один источник. Удаление источников осуществляется в соответствии со следующим правилом: источники ЭДС заменяются короткозамкнутыми участками, ветви с источниками тока размыкаются. В каждой из полученных подсхем рассчитываются составляющие соответствующих токов, создаваемые данным источником. Токи исходной цепи определяются как алгебраическая сумма соответствующих токов вспомогательных схем:
.
В сумму со знаком плюс входят те составляющие токов подсхем, направление которых совпадает с выбранным направлением соответствующего тока исходной цепи.
2.3.7. Метод эквивалентного генератора
Метод удобен для определения тока в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи. При определении тока в i-й ветви методом эквивалентного генератора исследуемая ветвь размыкается, а вся оставшаяся часть схемы, подключенная к зажимам этой ветви и являющаяся активным двухполюсником, представляется в виде эквивалентного источника напряжения.
ЭДС данного эквивалентного источника напряжения (генератора) равняется напряжению холостого хода () на зажимах разомкнутого активного двухполюсника.
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора равняется входному сопротивлению () пассивного двухполюсника, полученного из активного путем удаления источников в соответствии со следующим правилом: источники напряжения заменяются короткозамкнутыми участками, ветви с источниками тока размыкаются.
Тогда искомый ток исследуемой ветви в соответствии с законом Ома
,
где – комплексное сопротивление i-й ветви.
2.3.8. Построение топографической диаграммы напряжений
Для построения топографической диаграммы напряжений необходимо рассчитать значения комплексных потенциалов всех точек электрической цепи.
1. Обозначить буквами (цифрами) все точки электрической цепи, между которыми находятся пассивные элементы и источники энергии.
2. Комплексный потенциал одной точки (любой) условно принять равной нулю. Эту точку назовем базовой (опорной).
3. Рассчитать комплексные значения потенциалов всех остальных точек цепи относительно базовой.
4. Построить на комплексной плоскости в соответствии с выбранным масштабом mI векторы токов ветвей цепи.
5. В соответствии с выбранным масштабом mU нанести на комплексную плоскость точки, соответствующие комплексным значениям рассчитанных потенциалов. Соединить полученные точки между собой отрезками ломаной линии, соблюдая порядок чередования точек при обходе соответствующего контура цепи.
2.4. Пример расчета
2.4.1. Задание
Рассчитать цепь, изображенную графом а (рис. 2.1), в которой
E = 150еj30; J = 3ej45; f = 50 Гц.
Параметры пассивных элементов:
R2 = R4 = R6 = 38 Oм;
R5 = 66 Oм;
L3 = 176 мГн; XL5 = 2p fL = 55,292 Ом;
C4 = 136 мкФ; XC4 = 1/(2p fC) = 23,405 Ом.
Подлежащая расчету схема имеет вид, представленный на рис. 2.2:
Число узлов n = 4. Число независимых контуров p = 3.
2.4.2. Составление системы уравнений Кирхгофа
Произвольно задавшись положительным направлением токов ветвей (см. рис. 2.2) и совокупностью независимых контуров, запишем:
– уравнения по I закону Кирхгофа, число уравнений (n – 1) = 4 – 1 = 3
узел А : ;
узел В: ;
узел С: .
– уравнения по II закону Кирхгофа, число уравнений p = 3,
I контур: ;
II контур:
III контур: .
В результате имеем систему, состоящую из 6 уравнений, разрешимую относительно 6 неизвестных: .
2.4.3. Решение методом контурных токов
Для рассматриваемой цепи (см. рис. 2.2) система уравнений относительно контурных токов , совпадающих по направлению с обходом контуров, имеет вид
(2.1)
В данной системе:
– собственные сопротивления контуров:
;
;
;
– общие сопротивления контуров:
;
;
;
– контурные ЭДС:
В выбранной совокупности контуров
.
Следовательно, первое уравнение в системе (2.1) может быть исключено из совместного рассмотрения при ее решении относительно неизвестных контурных токов и . После подстановки численных значений система (2.1), сокращенная на одно уравнение, примет вид
Решать данную систему целесообразно с применением правила Крамера.
Определители системы:
Токи и находят по формулам:
,
.
В соответствии с условно принятыми положительными направлениями (см. рис. 2.2) вычислим токи ветвей:
Мгновенные значения токов ветвей и напряжения на источнике тока
Поскольку угловая частота равна w = 2p f, а амплитуда связана с действующим значением с помощью соотношения , следовательно,
где - начальная радиан-фаза тока i1,
аналогично запишем:
4.4. Баланс активных и реактивных мощностей
Комплексная мощность источников:
,
где и – сопряженные комплексы тока.
Комплексная мощность потребителей:
,
где активная мощность:
,
реактивная мощность:
(в формулах мощности потребителей I i – действующие значения токов).
Относительная погрешность расчета:
.
2.4.5. Построение топографической диаграммы
На рис. 2.3 представлена векторная диаграмма токов ветвей рассматриваемой схемы в соответствии с масштабом по току МI: 1 деление – 0,5 А. Диаграмма токов позволяет проверить графическим путем выполнение соотношений по I закону Кирхгофа.
В соответствии с принятыми на рис. 2.2 обозначениями рассчитываются значения потенциалов точек цепи. Потенциал точки А принимается равным нулю.
проверка 1:
проверка 2:
проверка 3:
Выбираем масштаб по напряжению МU для построения диаграммы: 1 деление – 20 В.
На рис. 2.4 изображена топографическая диаграмма напряжений, позволяющая проверить графическим путем выполнение соотношений по II закону Кирхгофа.
На рис. 2.5 изображена совмещенная диаграмма токов и напряжений, позволяющая проверить выполнение соотношений по закону Ома в символической форме для всех пассивных элементов цепи.
2.4.6. Метод узловых потенциалов
Для рассматриваемой цепи (рис. 2.6), содержащей 4 узла, система, составленная в соответствии с методом узловых потенциалов, должна содержать 3 уравнения. Выберем в качестве опорного узел 4.
Имеем:
Так как в цепи имеется ветвь с идеальным источником ЭДС, потенциал узла 1 известен и равен . Таким образом, число неизвестных потенциалов сокращается до двух, и, соответственно, число совместно рассматриваемых уравнений в системе сократится до двух:
собственные узловые проводимости:
общие узловые проводимости:
; ;
узловые токи: .
Решив систему уравнений, определим неизвестные и . Далее, используя обобщенный закон Ома, рассчитаем токи ветвей:
Ток определим по I закону Кирхгофа:
.
Напряжение на источнике тока определим по II закону Кирхгофа:
.
Проверка баланса мощностей и расчет потенциалов точек для построения векторной диаграммы ведется в соответствии с алгоритмом, приведенным в пп. 4.2.4, 4.2.5.
2.4.7. Метод наложения
С использованием принципа суперпозиции рассчитывается ток . Поскольку в цепи два источника, для определения искомого тока строятся две подсхемы, каждая из которых содержит только один из источников, а второй исключается в соответствии с правилом, изложенным в п.п. 3.4.
Расчет составляющей по схеме (рис. 2.7)
.
.
Расчет составляющей по схеме (рис. 2.8)
.
Искомый ток
.
2.4.8. Метод эквивалентного генератора
С использованием теоремы об активном двухполюснике определяется ток .
Напряжение холостого хода на зажимах активного двухполюсника определяется по II закону Кирхгофа (рис. 2.9):
, следовательно,
.
Ток определяется по формуле
.
Напряжение холостого хода
.
Определение входного сопротивления пассивного двухполюсника (рис. 2.10)
.
C учетом искомый ток .
Библиографический список
1. Зевеке Г.В. и др. Основы теории цепей: Учебник для вузов.–5-е изд., перераб. – М.: Энергоатомиздат, 1989.–528 с.: ил.
2. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. Учебное пособие для вузов.– 4-е изд., перераб. – М.: Высшая школа, 1990 г.– 544 с.: ил.
3. Бахрах В.Н., Кузнецова Т.А., Кулютникова Е.А. Теоретические основы электротехники: Конспект лекций/ Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 2000. – Ч. I. – 89 с.
Приложение 1
Пермский Национальный Исследовательский Политехнический Университет
Кафедра конструирование и технологии в электротехнике
Контрольная работа № 1
Вариант №
|
Выполнил студент гр. (№ зачетной книжки ) (Ф.И.О.) |
|
|
Проверил преподаватель каф. КТЭ (Ф.И.О.) |
Пермь 20