Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задание № 1
Найти решение системы 4 линейных уравнений с 4-мя неизвестными х1,х2, х3, х4 с точностью до 10-4 следующими методами:
а) методом Гаусса;
б) методом простой итерации;
в) методом Зейделя.
Проверкой полученного решения является совпадение найденных разными методами решений с заданной точностью.
|
1.42 |
x1 |
+ |
0.32 |
x2 |
- |
0.42 |
x3 |
+ |
0.85 |
x4 |
= |
1.32 |
|||
|
0.63 |
x1 |
- |
0.43 |
x2 |
+ |
1.27 |
x3 |
- |
0.58 |
x4 |
= |
- |
0.44 |
||
|
0.84 |
x1 |
- |
2.23 |
x2 |
- |
0.52 |
x3 |
+ |
0.47 |
x4 |
= |
0.64 |
|||
|
0.27 |
x1 |
+ |
1.37 |
x2 |
+ |
0.64 |
x3 |
- |
1.27 |
x4 |
= |
0.85 |
а) метод Гаусса.
Найти решение системы уравнений:
|
1.42 |
x1 |
+ |
0.32 |
x2 |
- |
0.42 |
x3 |
+ |
0.85 |
x4 |
= |
1.32 |
|||
|
0.63 |
x1 |
- |
0.43 |
x2 |
+ |
1.27 |
x3 |
- |
0.58 |
x4 |
= |
- |
0.44 |
||
|
0.84 |
x1 |
- |
2.23 |
x2 |
- |
0.52 |
x3 |
+ |
0.47 |
x4 |
= |
0.64 |
|||
|
0.27 |
x1 |
+ |
1.37 |
x2 |
+ |
0.64 |
x3 |
- |
1.27 |
x4 |
= |
0.85 |
1. Сформируем расширенную матрицу:
|
1.42 |
0.32 |
-0.42 |
0.85 |
1.32 |
|
|
0.63 |
-0.43 |
1.27 |
-0.58 |
-0.44 |
|
|
0.84 |
-2.23 |
-0.52 |
0.47 |
0.64 |
|
|
0.27 |
1.37 |
0.64 |
-1.27 |
0.85 |
|
|
1.42 |
0.32 |
-0.42 |
0.85 |
1.32 |
Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.
|
2. Разделим строку 1 на a11 = |
1.42 |
Получим матрицу:
|
1 |
0.22535211267606 |
-0.29577464788732 |
0.59859154929577 |
0.92957746478873 |
|
0.63 |
-0.43 |
1.27 |
-0.58 |
-0.44 |
|
0.84 |
-2.23 |
-0.52 |
0.47 |
0.64 |
|
0.27 |
1.37 |
0.64 |
-1.27 |
0.85 |
|
1 |
0.22535211267606 |
-0.29577464788732 |
0.59859154929577 |
0.92957746478873 |
|
3. Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a21= |
0.63 |
Вычитаемая строка:
|
0.63 |
0.14197183098592 |
-0.18633802816901 |
0.37711267605634 |
0.5856338028169 |
Модифицированная матрица:
|
1 |
0.22535211267606 |
-0.29577464788732 |
0.59859154929577 |
0.92957746478873 |
|
0 |
-0.57197183098592 |
1.456338028169 |
-0.95711267605634 |
-1.0256338028169 |
|
0.84 |
-2.23 |
-0.52 |
0.47 |
0.64 |
|
0.27 |
1.37 |
0.64 |
-1.27 |
0.85 |
|
4. Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a31= |
0.84 |
Вычитаемая строка:
|
0.84 |
0.18929577464789 |
-0.24845070422535 |
0.50281690140845 |
0.78084507042254 |
Модифицированная матрица:
|
1 |
0.22535211267606 |
-0.29577464788732 |
0.59859154929577 |
0.92957746478873 |
|
0 |
-0.57197183098592 |
1.456338028169 |
-0.95711267605634 |
-1.0256338028169 |
|
0 |
-2.4192957746479 |
-0.27154929577465 |
-0.032816901408451 |
-0.14084507042254 |
|
0.27 |
1.37 |
0.64 |
-1.27 |
0.85 |
|
5. Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на a41= |
0.27 |
Вычитаемая строка:
|
0.27 |
0.060845070422535 |
-0.079859154929577 |
0.16161971830986 |
0.25098591549296 |
Модифицированная матрица:
|
1 |
0.22535211267606 |
-0.29577464788732 |
0.59859154929577 |
0.92957746478873 |
|
0 |
-0.57197183098592 |
1.456338028169 |
-0.95711267605634 |
-1.0256338028169 |
|
0 |
-2.4192957746479 |
-0.27154929577465 |
-0.032816901408451 |
-0.14084507042254 |
|
0 |
1.3091549295775 |
0.71985915492958 |
-1.4316197183099 |
0.59901408450704 |
|
6. Разделим строку 2 на a22 = |
-0.57197183098592 |
Получим матрицу:
|
1 |
0.22535211267606 |
-0.29577464788732 |
0.59859154929577 |
0.92957746478873 |
|
0 |
1 |
-2.5461708938685 |
1.6733563161783 |
1.7931543954691 |
|
0 |
-2.4192957746479 |
-0.27154929577465 |
-0.032816901408451 |
-0.14084507042254 |
|
0 |
1.3091549295775 |
0.71985915492958 |
-1.4316197183099 |
0.59901408450704 |
|
|
-2.4192957746479 |
Вычитаемая строка:
|
0 |
-2.4192957746479 |
6.1599404850675 |
-4.0483438652105 |
4.338170852249 |
Модифицированная матрица:
|
1 |
0.22535211267606 |
-0.29577464788732 |
0.59859154929577 |
0.92957746478873 |
|
0 |
1 |
-2.5461708938685 |
1.6733563161783 |
1.7931543954691 |
|
0 |
0 |
-6.4314897808422 |
4.015526963802 |
4.1973257818271 |
|
0 |
1.3091549295775 |
0.71985915492958 |
-1.4316197183099 |
0.59901408450704 |
|
8. Вычтем из строки 4 строку 2 умноженную на a42= |
1.3091549295775 |
Вычитаемая строка:
|
0 |
1.3091549295775 |
-3.3333321772546 |
2.1906826702644 |
2.3475169163219 |
Модифицированная матрица:
|
1 |
0.22535211267606 |
-0.29577464788732 |
0.59859154929577 |
0.92957746478873 |
|
-0 |
1 |
-2.5461708938685 |
1.6733563161783 |
1.7931543954691 |
|
0 |
0 |
-6.4314897808422 |
4.015526963802 |
4.1973257818271 |
|
0 |
0 |
4.0531913321842 |
-3.6223023885742 |
-1.7485028318148 |
|
9. Разделим строку 3 на a33 = |
-6.4314897808422 |
Получим матрицу:
|
1 |
0.22535211267606 |
-0.29577464788732 |
0.59859154929577 |
0.92957746478873 |
|
0 |
1 |
-2.5461708938685 |
1.6733563161783 |
1.7931543954691 |
|
0 |
0 |
1 |
-0.62435409222966 |
-0.65262107611987 |
|
0 |
0 |
4.0531913321842 |
-3.6223023885742 |
-1.7485028318148 |
|
10. Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на a43= |
4.0531913321842 |
Вычитаемая строка:
|
0 |
0 |
4.0531913321842 |
-2.530626594839 |
-2.6451980889298 |
Модифицированная матрица:
|
1 |
0.22535211267606 |
-0.29577464788732 |
0.59859154929577 |
0.92957746478873 |
|
0 |
1 |
-2.5461708938685 |
1.6733563161783 |
1.7931543954691 |
|
-0 |
0 |
1 |
-0.62435409222966 |
-0.65262107611987 |
|
0 |
0 |
0 |
-1.0916757937353 |
0.89669525711494 |
|
11. Разделим строку 4 на a44 = |
-1.0916757937353 |
Получим матрицу:
|
1 |
0.22535211267606 |
-0.29577464788732 |
0.59859154929577 |
0.92957746478873 |
|
0 |
1 |
-2.5461708938685 |
1.6733563161783 |
1.7931543954691 |
|
0 |
0 |
1 |
-0.62435409222966 |
-0.65262107611987 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
-0.82139336812335 |
|
12. Вычтем из строки 3 строку 4 умноженную на a34= |
-0.62435409222966 |
Вычитаемая строка:
|
0 |
0 |
0 |
-0.62435409222966 |
0.51284031071811 |
Модифицированная матрица:
|
1 |
0.22535211267606 |
-0.29577464788732 |
0.59859154929577 |
0.92957746478873 |
|
0 |
1 |
-2.5461708938685 |
1.6733563161783 |
1.7931543954691 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
-1.165461386838 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
-0.82139336812335 |
|
13. Вычтем из строки 2 строку 4 умноженную на a24= |
1.6733563161783 |
Вычитаемая строка:
|
0 |
0 |
0 |
1.6733563161783 |
-1.3744837806162 |
Модифицированная матрица:
|
1 |
0.22535211267606 |
-0.29577464788732 |
0.59859154929577 |
0.92957746478873 |
|
0 |
1 |
-2.5461708938685 |
0 |
3.1676381760852 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
-1.165461386838 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
-0.82139336812335 |
|
14. Вычтем из строки 1 строку 4 умноженную на a14= |
0.59859154929577 |
Вычитаемая строка:
|
0 |
0 |
0 |
0.59859154929577 |
-0.49167912880623 |
Модифицированная матрица:
|
1 |
0.22535211267606 |
-0.29577464788732 |
0 |
1.421256593595 |
|
0 |
1 |
-2.5461708938685 |
0 |
3.1676381760852 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
-1.165461386838 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
-0.82139336812335 |
|
15. Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a23= |
-2.5461708938685 |
Вычитаемая строка:
|
0 |
0 |
-2.5461708938685 |
0 |
2.9674638610945 |
Модифицированная матрица:
|
1 |
0.22535211267606 |
-0.29577464788732 |
0 |
1.421256593595 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0.20017431499076 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
-1.165461386838 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
-0.82139336812335 |
|
16. Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на a13= |
-0.29577464788732 |
Вычитаемая строка:
|
0 |
0 |
-0.29577464788732 |
0 |
0.34471393131828 |
Модифицированная матрица:
|
1 |
0.22535211267606 |
0 |
0 |
1.0765426622767 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0.20017431499076 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
-1.165461386838 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
-0.82139336812335 |
|
17. Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a12= |
0.22535211267606 |
Вычитаемая строка:
|
0 |
0.22535211267606 |
0 |
0 |
0.045109704786651 |
Модифицированная матрица:
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1.03143295749 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0.20017431499076 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
-1.165461386838 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
-0.82139336812335 |
Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:
|
x1 |
= |
1.03143295749 |
|||||||||||||
|
x2 |
= |
0.20017431499076 |
|||||||||||||
|
x3 |
= |
- |
1.165461386838 |
||||||||||||
|
x4 |
= |
- |
0.82139336812335 |
Заданная система уравнений имеет единственное решение:
|
x1 |
= |
1.03143295749 |
|
x2 |
= |
0.20017431499076 |
|
x3 |
= |
- |
1.165461386838 |
|
x4 |
= |
- |
0.82139336812335 |
б) метод простой итерации.
Найти решение системы уравнений:
|
1.42 |
x1 |
+ |
0.32 |
x2 |
- |
0.42 |
x3 |
+ |
0.85 |
x4 |
= |
1.32 |
|||
|
0.63 |
x1 |
- |
0.43 |
x2 |
+ |
1.27 |
x3 |
- |
0.58 |
x4 |
= |
- |
0.44 |
||
|
0.84 |
x1 |
- |
2.23 |
x2 |
- |
0.52 |
x3 |
+ |
0.47 |
x4 |
= |
0.64 |
|||
|
0.27 |
x1 |
+ |
1.37 |
x2 |
+ |
0.64 |
x3 |
- |
1.27 |
x4 |
= |
0.85 |
Заметим, что метод простой итерации расходится, т. к. не выполняется условие преобладания диагональных элементов:
|1.42| < |0.32| + |-0.42| + |0.85|,
|-0.43| < |0.63| + |1.27| + |-0.58|,
|-0.52| < |0.84| + |-2.23| + |0.47|,
|-1.27| < |0.27| + |1.37| + |0.64|.
Пусть требуемая точность = 10-4.
Приведем систему к виду:
|
x1 |
= |
-0.42 x1 |
-0.32 x2 |
+0.42 x3 |
-0.85 x4 |
+1.32 |
|
x2 |
= |
-0.63 x1 |
+1.43 x2 |
-1.27 x3 |
+0.58 x4 |
-0.44 |
|
x3 |
= |
-0.84 x1 |
+2.23 x2 |
+1.52 x3 |
-0.47 x4 |
+0.64 |
|
x4 |
= |
-0.27 x1 |
-1.37 x2 |
-0.64 x3 |
+2.27 x4 |
+0.85 |
Последовательно вычисляем:
Шаг 1.
В качестве начального приближения возьмем элементы столбца свободных членов: (1.32, -0.44, 0.64, 0.85).
|
x1 |
= |
-0.42 ×1.32 |
-0.32× (-0.44) |
+0.42 ×0.64 |
-0.85 ×0.85 |
+1.32 |
|
x2 |
= |
-0.63 ×1.32 |
+1.43 × (-0.44) |
-1.27×0.64 |
+0.58 ×0.85 |
-0.44 |
|
x3 |
= |
-0.84 ×1.32 |
+2.23 × (-0.44) |
+1.52 ×0.64 |
-0.47 ×0.85 |
+0.64 |
|
x4 |
= |
-0.27 ×1.32 |
-1.37 × (-0.44) |
-0.64 ×0.64 |
+2.27 ×0.85 |
+0.85 |
|
x1 |
= |
0.4527 |
|
x2 |
= |
-2.2206 |
|
x3 |
= |
-0.8767 |
|
x4 |
= |
2.6163 |
max (|-0.8673|, |1.7806|, |-1.5167|, |1.7663|) = 1.7806 > .
Шаг 2.
|
x1 |
= |
-0.751611 |
|
x2 |
= |
-1.269796 |
|
x3 |
= |
-7.254451 |
|
x4 |
= |
10.270082 |
max (|-1.204311|, | 0.950804|, | -6.377751|, | 7.653782|) = 7.653782> .
Шаг 3.
|
x1 |
= |
-9.73442778 |
|
x2 |
= |
13.38750698 |
|
x3 |
= |
-17.4139959 |
|
x4 |
= |
30.74849027 |
max (|-8.98281678|, | 14.65730298|, | -10.1595449|, | 20.47840827|) = = 20.47840827> .
. . .
Ответ: итерационный процесс расходится.
в) метод Зейделя.
Найти решение системы уравнений:
|
1.42 |
x1 |
+ |
0.32 |
x2 |
- |
0.42 |
x3 |
+ |
0.85 |
x4 |
= |
1.32 |
|||
|
0.63 |
x1 |
- |
0.43 |
x2 |
+ |
1.27 |
x3 |
- |
0.58 |
x4 |
= |
- |
0.44 |
||
|
0.84 |
x1 |
- |
2.23 |
x2 |
- |
0.52 |
x3 |
+ |
0.47 |
x4 |
= |
0.64 |
|||
|
0.27 |
x1 |
+ |
1.37 |
x2 |
+ |
0.64 |
x3 |
- |
1.27 |
x4 |
= |
0.85 |
Заметим, что метод Зейделя расходится, т. к. не выполняется условие преобладания диагональных элементов:
|1.42| < |0.32| + |-0.42| + |0.85|,
|-0.43| < |0.63| + |1.27| + |-0.58|,
|-0.52| < |0.84| + |-2.23| + |0.47|,
|-1.27| < |0.27| + |1.37| + |0.64|.
Пусть требуемая точность = 10-4.
Приведем систему к виду:
|
x1 |
= |
0.70422535211270× |
( |
-0,32 x2 |
+0,42 x3 |
-0,85 x4 |
+1.32) |
|
x2 |
= |
2.23558139534880× |
(0,63 x1 |
+1,27 x3 |
-0,58 x4 |
+0.44) |
|
|
x3 |
= |
1.95307692307690× |
(0,84 x1 |
-2,23 x2 |
+0,47 x4 |
-0.64) |
|
|
x4 |
= |
0.78740157480310× |
(0,27 x1 |
1,37 x2 |
+0,64 x3 |
-0.85) |
Последовательно вычисляем:
Шаг 1.
В качестве начального приближения возьмем: (0, 0, 0, 0).
|
x1 |
= |
0.70422535211270× |
( |
-0,32 x2 |
+0,42 x3 |
-0,85 x4 |
+1.32) |
= |
= 0.92957746478876.
При вычислении x2 используем уже полученное значение x1:
|
x2 |
= |
2.23558139534880× |
(0,63 x1 |
+1,27 x3 |
-0,58 x4 |
+0.44) |
= |
= 2.29288784801835.
При вычислении x3 используем уже полученное значение x1 и x2:
|
x3 |
= |
1.95307692307690× |
(0,84 x1 |
-2,23 x2 |
+0,47 x4 |
-0.64) |
= |
= -9.71127428849340.
При вычислении x4 используем уже полученное значение x1, x2 и x3:
|
x4 |
= |
0.78740157480310× |
(0,27 x1 |
1,37 x2 |
+0,64 x3 |
-0.85) |
= |
= -2.89210494280113.
Шаг 2.
|
x1 |
= |
-0.72828881067054 |
|
x2 |
= |
-23.86420415891220 |
|
x3 |
= |
101.55752158772600 |
|
x4 |
= |
53.18035912080220 |
Шаг 3.
|
x1 |
= |
4.51225291902490 |
|
x2 |
= |
226.72408823075100 |
|
x3 |
= |
-932.49590411895700 |
|
x4 |
= |
-225.05281060775500 |
. . .
Ответ: итерационный процесс расходится.
Задание № 2
Отделить один корень уравнения x4+2x-1=0и вычислить его на полученном отрезке [а,b] с точностью до 0.0001 тремя методами:
а) методом дихотомии;
б) методом хорд;
в) методом простой итерации.
Убедиться, что корни, полученные при помощи этих методов, удовлетворяют уравнению F(х) = 0 и мало отличаются друг от друга.
[а,b]=[-1;2]
а) метод дихотомии
1.
[а,b]=[-1;0,5]
2.
[а,b]=[-0,25;0,5]
3.
[а,b]=[-0,125;0,5]
4.
[а,b]=[0,3125;0,5]
5.
[а,b]=[0,4063;0,5]
6.
[а,b]=[0,4532;0,5]
7.
[а,b]=[0,4532;0,4766]
8.
[а,b]=[0,4649;0,4766]
9.
[а,b]=[0,4708;0,4766]
10.
[а,b]=[0,4737;0,4766]
11.
[а,b]=[0,4737;0,4752]
12.
[а,b]=[0,4745;0,4752]
13.
[а,b]=[0,4745;0,4748]
14.
[а,b]=[0,4745;0,4747]
15.
Ответ:
б) метод хорд
1.
[а,b]=[-0,7143;2]
2.
[а,b]=[-0,4363;2]
3.
[а,b]=[-0,2216;2]
4.
[а,b]=[-0,065;2]
5.
[а,b]=[-0,0509;2]
6.
[а,b]=[0,1389;2]
7.
[а,b]=[0,207;2]
8.
[а,b]=[0,2605;2]
9.
[а,b]=[0,3029;2]
10.
[а,b]=[0,3367;2]
11.
[а,b]=[0,3637;2]
12.
[а,b]=[0,3854;2]
13.
[а,b]=[0,4028;2]
14.
[а,b]=[0,4168;2]
15.
[а,b]=[0,4281;2]
16.
[а,b]=[0,4372;2]
17.
[а,b]=[0,4445;2]
18.
[а,b]=[0,4504;2]
19.
[а,b]=[0,4551;2]
20.
[а,b]=[0,4589;2]
21.
[а,b]=[0,462;2]
22.
[а,b]=[0,4645;2]
23.
[а,b]=[0,4665;2]
24.
[а,b]=[0,4681;2]
25.
[а,b]=[0,4694;2]
26.
[а,b]=[0,4704;2]
27.
[а,b]=[0,4712;2]
28.
[а,b]=[0,4719;2]
29.
[а,b]=[0,4724;2]
30.
[а,b]=[0,4728;2]
31.
[а,b]=[0,4732;2]
32.
[а,b]=[0,4735;2]
33.
[а,b]=[0,4737;2]
34.
[а,b]=[0,4739;2]
35.
Ответ:
в) метод простой итерации
0
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ответ:
Задание № 3
Найти приближённо значение интеграла с точностью до 0,001 методом Симпсона.
Начальное количество разбиений .
Имеем . Отсюда . Результаты вычислений приведены в таблице.
|
0 |
1 |
0,909297 |
|
|
1 |
1,0125 |
0,921216 |
|
|
2 |
1,025 |
0,932285 |
|
|
3 |
1,0375 |
0,942458 |
|
|
4 |
1,05 |
0,951688 |
|
|
5 |
1,0625 |
0,959931 |
|
|
6 |
1,075 |
0,967141 |
|
|
7 |
1,0875 |
0,973273 |
|
|
8 |
1,1 |
0,978281 |
|
|
9 |
1,1125 |
0,982121 |
|
|
10 |
1,125 |
0,984749 |
|
|
11 |
1,1375 |
0,986121 |
|
|
12 |
1,15 |
0,986195 |
|
|
13 |
1,1625 |
0,984928 |
|
|
14 |
1,175 |
0,982278 |
|
|
15 |
1,1875 |
0,978204 |
|
|
16 |
1,2 |
0,972667 |
|
|
17 |
1,2125 |
0,965627 |
|
|
18 |
1,225 |
0,957046 |
|
|
19 |
1,2375 |
0,946886 |
|
|
20 |
1,25 |
0,935113 |
|
|
21 |
1,2625 |
0,92169 |
|
|
22 |
1,275 |
0,906585 |
|
|
23 |
1,2875 |
0,889764 |
|
|
24 |
1,3 |
0,871197 |
|
|
25 |
1,3125 |
0,850855 |
|
|
26 |
1,325 |
0,828709 |
|
|
27 |
1,3375 |
0,804732 |
|
|
28 |
1,35 |
0,7789 |
|
|
29 |
1,3625 |
0,751189 |
|
|
30 |
1,375 |
0,721578 |
|
|
31 |
1,3875 |
0,690046 |
|
|
32 |
1,4 |
0,656577 |
|
|
33 |
1,4125 |
0,621153 |
|
|
34 |
1,425 |
0,58376 |
|
|
35 |
1,4375 |
0,544386 |
|
|
36 |
1,45 |
0,503022 |
|
|
37 |
1,4625 |
0,459658 |
|
|
38 |
1,475 |
0,414288 |
|
|
39 |
1,4875 |
0,36691 |
|
|
40 |
1,5 |
0,31752 |
|
|
41 |
1,5125 |
0,26612 |
|
|
42 |
1,525 |
0,212712 |
|
|
43 |
1,5375 |
0,157302 |
|
|
44 |
1,55 |
0,099898 |
|
|
45 |
1,5625 |
0,040508 |
|
|
46 |
1,575 |
-0,02086 |
|
|
47 |
1,5875 |
-0,08418 |
|
|
48 |
1,6 |
-0,14944 |
|
|
49 |
1,6125 |
-0,21662 |
|
|
50 |
1,625 |
-0,2857 |
|
|
51 |
1,6375 |
-0,35666 |
|
|
52 |
1,65 |
-0,42946 |
|
|
53 |
1,6625 |
-0,50408 |
|
|
54 |
1,675 |
-0,58049 |
|
|
55 |
1,6875 |
-0,65865 |
|
|
56 |
1,7 |
-0,73851 |
|
|
57 |
1,7125 |
-0,82005 |
|
|
58 |
1,725 |
-0,90323 |
|
|
59 |
1,7375 |
-0,98798 |
|
|
60 |
1,75 |
-1,07427 |
|
|
61 |
1,7625 |
-1,16205 |
|
|
62 |
1,775 |
-1,25126 |
|
|
63 |
1,7875 |
-1,34186 |
|
|
64 |
1,8 |
-1,43377 |
|
|
65 |
1,8125 |
-1,52694 |
|
|
66 |
1,825 |
-1,6213 |
|
|
67 |
1,8375 |
-1,7168 |
|
|
68 |
1,85 |
-1,81336 |
|
|
69 |
1,8625 |
-1,91092 |
|
|
70 |
1,875 |
-2,0094 |
|
|
71 |
1,8875 |
-2,10872 |
|
|
72 |
1,9 |
-2,20881 |
|
|
73 |
1,9125 |
-2,30959 |
|
|
74 |
1,925 |
-2,41097 |
|
|
75 |
1,9375 |
-2,51288 |
|
|
76 |
1,95 |
-2,61523 |
|
|
77 |
1,9625 |
-2,71793 |
|
|
78 |
1,975 |
-2,82089 |
|
|
79 |
1,9875 |
-2,92401 |
|
|
80 |
2 |
-3,02721 |
|
|
-6,854834099 |
-7,942676655 |
По формуле Симпсона получим:
.
Подсчитаем погрешность полученного результата. Полная погрешность складывается из погрешностей действий и остаточного члена .
,
где – коэффициенты формулы Симпсона и - максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции.
Оценим остаточный член.
при и, следовательно,
.
Таким образом, предельная полная погрешность равна:
и, значит, .
Ответ: .
Задание № 4
Найти четыре первых, отличных от нуля члена разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям и проверить это решение при помощи метода Пикара. Оценить точность при применении метода Пикара.
Последовательно дифференцируя уравнение необходимое число раз, найдем четыре первых ненулевых производных функции в точке .
Таким образом, решение , с точностью до первых четырех ненулевых разложения в ряд, равно
Решим методом Пикара уравнение с начальным условием , .
Переходим к интегральному уравнению:
Получаем последовательность приближений:
Видно, что при ряд быстро сходится. Оценим погрешность третьего приближения. Так как функция
определена и непрерывна во всей плоскости, то в качестве a и b можно взять любые числа. Для определенности возьмем прямоугольник:
Тогда
Поскольку a = 0.25 , b/M = 1/1.25 = 0.8, имеем h = min (a, b/M) = 0.5.
Решение y будет задано для . При n=4 имеем:
Список использованной литературы:
1. Волков Е.А. Численные методы.– М.: Наука, 1982.– 254 с.
2. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Ланчик М.П. Численные методы. –
М.: Просвещение, 1991. – 175 с.
3. Калиткин Н.Н. Численные методы.– М.: Наука, 1978.–512 с.
4. Турчак Л.И. Основы численных методов.– М.: Наука, 1987.– 319 с.