Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 66
Изм.
Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
КЗ12ОД.01.01.001
Разраб.
Пров.
Н. контр.
Утв.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА.
ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ
АЛГЕБРА.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Лит.
Листов
ВАИ гр ФАТ.
Изм.
Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
КЗ12ОД.01.01.001
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
0 1
EMBED Equation.3
F1
1
2
EMBED Equation.3
1
EMBED Equation.3
3
EMBED Equation.3
F2
2
Рисунок 2
EMBED Equation.3
F1
EMBED Equation.3
F2
1 2 3 4 5
-1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Рисунок 3
-2
-3
-4
-5
EMBED Equation.3
Рисунок 4
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
F
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
-2
1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
2
-1
▪
▪
y=x2+1
y=2x
y=x+2
1
3
6
1
1
3
у
х
5
2
●
●
●
Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище (военный институт) имени генерала армии В.Ф.МАРГЕЛОВА
Кафедра информационных технологий и общеобразовательных дисциплин
М. Е. Троицкая
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА»
Часть 1
учебно-методическое пособие для студентов заочной формы обучения
Рязань, 2012
М. Е. Троицкая
Методические рекомендации по изучению дисциплины «Математика». Часть 1 [Текст]: учебно-методическое пособие для студентов заочной формы обучения / М. Е. Троицкая. – Рязань: РВВДКУ, 2011. – 88с. – ил.
Пособие предназначено для самостоятельной подготовки студентов заочной формы обучения по направлению подготовки 080400.62 «Управление персоналом» при изучении дисциплины «Математика». Оно содержит выдержки из учебной программы курса и тематический план, методические рекомендации по изучению дисциплины, список литературы, рекомендованной для самостоятельной работы. Особое внимание в пособии уделено организации работы над контрольными заданиями, выполняемыми самостоятельно. Приведены требования к оформлению контрольных заданий и методические рекомендации по их выполнению.
РВВДККУ, 2012
Содержание
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . … . . . 4
Общие рекомендации по изучению дисциплины «математика» ... . . . .5
Тематический план дисциплины «математика» . . . . . . . . …………………. .6
Учебная программа дисциплины «математика». . . . . . . . ………………… 8
Содержание разделов и тем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Список рекомендуемой литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………. . 14
Методические указания по выполнению и защите контрольных заданий .. 15
Общие указания к выполнению контрольных заданий . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Таблица вариантов заданий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
Пример оформления контрольного задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Контрольное задание №1 «Элементарная математика. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» . . 20
Примерный перечень вопросов для защиты контрольного задания №1 . . . 20
Краткие теоретические сведения по выполнению контрольного задания №1 . . 21
Определители (к заданию №3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Решение систем линейных уравнений (к заданию №3) . . . . . . . . . . . . . . . . .23
Векторная алгебра и уравнение линии на плоскости (к заданию №4) . . . . .26
Векторная алгебра и уравнение поверхности в пространстве
(к заданию №5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
Кривые второго порядка (к заданию №6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Пример выполнения контрольного задания №1 . . . . . . . . . . . ………..…... . 30
Варианты контрольного задания №1«Элементарная математика.
Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» . . . . . …….... . . . . . .. 41
Контрольное задание №2 «Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной» . . . ……………………………………………. . . . .50
Примерный перечень вопросов для защиты контрольного задания №2 . . .50
Краткие теоретические сведения по выполнению контрольного
задания №2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …………………... . . .51
Предел функции (к заданию №2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
Непрерывность функции (к заданию №1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
Производная функции (к заданию №3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
Формула Тейлора (к заданию №4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
Неопределенный интеграл (к заданию №5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Пример выполнения контрольного задания №2 . . . . . . ………………… . . 57
Варианты контрольного задания №2 «Дифференциальное и
интегральное исчисления функции одной переменной» ………………………. .. 61
Примерный перечень вопросов для сдачи зачета и экзамена за первый курс .. . . . . 69
Maтeмaтикa нeoбxoдимa для ycпeшнoгo oвлaдeния фyндaмeнтaльными oбщeпрофессиональными и cпeциaльными диcциплинaми, для кoтopыx oнa являeтcя yнивepcaльным языкoм. C дpyгoй cтopoны, oнa вoopyжaeт cпeциaлиcтa мoщным aппapaтoм для иccлeдoвaния мнoгиx пpoцeccoв кaк нa cтaдии paзpaбoтки, тaк и нa cтaдияx пpoизвoдcтвa и экcплyaтaции тexники.
Диcциплинa "Mатематика" являeтcя фyндaмeнтoм, нa кoтopoм бaзиpyeтcя изyчeниe физики, нaчepтaтeльнoй гeoмeтpии и мaшинocтpoитeльнoгo чepчeния, инфopмaтики, тeopeтичecкoй мexaники, пpиклaднoй мexaники, дpyгиx oбщeинжeнepныx, общепрофессиональных и cпeциaльныx диcциплин.
Изyчeниe диcциплины coздaeт ocнoвy для пpимeнeния cпeциaлиcтoм в cвoeй пpaктичecкoй дeятeльнocти кoличecтвeнныx мeтoдoв, oбecпeчивaющиx нaдeжнoe и экoнoмичнoe фyнкциoниpoвaниe тexники.
Пособие предназначено для самостоятельной подготовки студентов заочной формы обучения по направлению подготовки 080400.62 «Управление персоналом» при изучении дисциплины «Математика». Пособие содержит учебную программу курса и тематический план, составленные в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта. Оно содержит также методические рекомендации по изучению дисциплины, список литературы, рекомендованной для самостоятельной работы.
Особое внимание в пособии уделено организации работы над контрольными заданиями, выполняемыми самостоятельно. Приведены требования к оформлению контрольного задания, примеры оформления контрольных заданий и методические рекомендации по их выполнению.
Контрольные задания служат для получения навыка самостоятельного изучения отдельных вопросов дисциплины, отработки имеющихся знаний и умений.
В пособии приведен примерный перечень теоретических вопросов для подготовки к сдаче отчетностей (контрольных заданий, экзамена и зачета).
Кoнтpoль нaд выпoлнeниeм контрольного задания пpoвoдитcя в двa этaпa:
1) пpeдвapитeльнaя пpoвepкa пpaвильнocти пиcьмeнныx oтчeтoв;
2) "зaщитa" контрольного задания в пиcьмeннoй или ycтнoй фopмe.
Изучение дисциплины «Математика» во втором семестре завершается экзаменом. На экзамен не допускаются студенты, не выполнившие учебную программу –не сдавшие или не защитившие контрольное задание по дисциплине. Экзамен включает в себя теоретическую и практическую части. Экзаменационный билет содержит три вопроса: два вопроса теоретических и один практический. При ответе на теоретический вопрос следует выстроить ответ кратко, избегая общих фраз, отражая суть излагаемого материала. Практическое задание следует выполнить максимально точно, учтя все требования билета, избегая по возможности мелких неточностей, снижающих оценку за ответ. При подготовке к сдаче отчетностей следует использовать ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ, приведенный в пособии.
Добросовестное выполнение требований преподавателей, посещение аудиторных занятий, планомерная, систематическая самостоятельная работа в течение года – вот залог успешного освоения материала дисциплины и сдачи отчетностей.
Изучение дисциплины заканчивается в четвертом семестре на втором году обучения.
|
Номера и наименования |
Всего часов учебных |
В том числе учебных |
Из них по видам учебных |
||||
|
Лекции |
Лабораторные |
Практические |
Экзамен |
Время, отводимое на |
|||
|
Раздел №1 Элементы линейной и векторной алгебры |
|||||||
|
Тема № 1. Линейная алгебра |
|||||||
|
Тема № 2. Векторная алгебра |
|||||||
|
Раздел №2 Аналитическая геометрия |
|||||||
|
Тема №3. Уравнение линии на плоскости |
|||||||
|
Тема №4. Кривые второго порядка |
|||||||
|
Тема №5. Уравнение поверхности в пространстве |
|||||||
|
Контрольное задание №1 «Элементарная математика. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» |
14 |
14 |
|||||
|
Раздел №3 Введение в математический анализ |
|||||||
|
Тема №6. Функция |
|||||||
|
Тема №7. Предел и непрерывность функции |
|||||||
|
Раздел №4 Дифференциальное исчисление функции одной вещественной переменной |
|||||||
|
Тема №8. Производная функции |
|||||||
|
Тема №9. Основные теоремы дифференциального исчисления |
|||||||
|
Тема №10. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков |
|||||||
|
Тема №11. Численные методы функции одной переменной |
|||||||
|
ЭКЗАМЕН |
|||||||
|
Раздел №5 Элементы высшей алгебры |
|||||||
|
Тема №12. Элементы высшей алгебры |
|||||||
|
Раздел №6 Интегральное исчисление функций вещественной переменной |
|||||||
|
Тема №13. Неопределённый интеграл |
|||||||
|
Тема №14. Определенный интеграл |
|||||||
|
Тема №15. Приложения определенных интегралов |
|||||||
|
Контрольное задание №2 «Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной» |
14 |
14 |
|||||
|
Раздел №7 Функции нескольких переменных |
|||||||
|
Тема №16. Элементы функционального анализа |
|||||||
|
Тема №17. Функции нескольких переменных |
|||||||
|
Тема №18. Графы и сети |
|||||||
|
Раздел №8 Основы математического программирования |
|||||||
|
Тема №19. Задачи оптимизации |
|||||||
|
Тема №20 Линейное программирование |
|||||||
|
Тема №21 Дискретное программирование |
|||||||
|
Тема №22 Нелинейное программирование |
|||||||
|
Контрольное задание №3 «Функции нескольких переменных. Линейное программирование» |
14 |
14 |
|||||
|
Раздел №9 Теория вероятностей |
|||||||
|
Тема №23. Основные понятия и формулы теории вероятностей |
|||||||
|
Тема №24. Случайные величины |
|||||||
|
Тема №25. Закон больших чисел |
|||||||
|
Раздел №10 Элементы математической статистики |
|||||||
|
Тема №26. Статистические методы обработки экспериментальных данных |
|||||||
|
Тема №27. Проверка статистических гипотез |
|||||||
|
Тема №28. Элементы теории регрессии |
|||||||
|
Курсовая работа «Математическая статистика» |
24 |
24 |
|||||
|
ЭКЗАМЕН |
|||||||
|
ВСЕГО ПО ДИСЦИПЛИНЕ |
324 |
68 |
34 |
34 |
256 |
Раздел 1. Элементы линейной и векторной алгебры.
Контрольное задание №1 «Элементарная математика»
Тема 1. Линейная алгебра
Матрицы, действия над ними. Определители, их свойства. Системы линейных уравнений. Теорема Крамера. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.
Тема 2. Векторная алгебра
Понятие о скалярных и векторных величинах. Векторы и линейные операции над ними. Декартов базис. Проекция вектора на ось. Координаты векторов. Длина вектора. Линейные операции в координатной форме. Скалярное произведение векторов и его свойства. Угол между векторами. Условие ортогональности двух векторов. Векторное произведение двух векторов, его свойства. Условие коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение трех векторов, его геометрический смысл.
Раздел 2. Аналитическая геометрия
Тема 3. Уравнение линии на плоскости
Задачи и методы аналитической геометрии. Уравнения линий на плоскости. Различные уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми.
Тема 4 Кривые второго порядка
Кривые второго порядка. Канонические уравнения. Перенос начала координат.
Тема 5. Уравнение поверхности в пространстве
Уравнение поверхности. Плоскость в пространстве. Угол между плоскостями. Прямая в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
Контрольное задание №2 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия»
Раздел 3. Введение в математический анализ
Тема 6. Функция
Отображение множеств. Функция. Область её определения. Способы задания. Сложные и обратные функции.
Тема 7. Предел и непрерывность функции
Последовательность и её предел. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие, их свойства. Связь между ними. Свойства функций, имеющих предел. Неопределенность. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций. Непрерывность элементарных функций. Односторонние пределы. Точки разрыва и их классификация.
Раздел 4. Дифференциальное исчисление функции одной вещественной переменной
Тема 8. Производная функции
Геометрические и физические задачи, приводящие к понятию производной. Производная, её геометрический и механический смысл. Производная сложной и обратной функций. Таблица производных. Дифференцируемость функции. Дифференциал, его свойства. Производные и дифференциал высших порядков.
Тема 9. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Её применение в численных методах математики.
Тема 10. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков.
Возрастание и убывание функции. Экстремум. Необходимое и достаточное условия экстремума. Отыскание наименьшего и наибольшего значений функций на отрезке. Выпуклость, вогнутость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функции и построение её графика.
Тема11. Численные методы функции одной переменной
Приближенное решение алгебраических уравнений.
Экзамен
Раздел 5. Элементы высшей алгебры
Тема 12. Элементы высшей алгебры
Комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа, его тригонометрическая и показательная формы. Операции над комплексными числами. Многочлены. Основная теорема алгебры.
Раздел 6. Интегральное исчисление функций вещественной переменной
Тема 13. Неопределённый интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Методы интегрирования.
Тема 14. Определенный интеграл
Определенный интеграл. Основные свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла.
Тема 15. Приложения определенных интегралов
Приложения определенного интеграла. Понятие о несобственных интегралах. Численное интегрирование.
Раздел №7. Функции нескольких переменных
Тема 16.. Элементы функционального анализа.
Пространство . Точечные множества в N–мерном пространстве. Евклидово пространство. N–мерное линейное векторное пространство. Квадратичные формы. Линейные операторы. Собственные векторы линейных операторов.
Тема 17. Функции нескольких переменных
Функции нескольких переменных, их непрерывность. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных. Функция полезности. Функции спроса и предложения. Кривые безразличия.
Производная по направлению. Градиент. Понятие экстремума. Необходимое условие экстремума. Понятие о достаточном условии экстремума. Понятие о численных методах отыскания экстремума.
Тема № 18. Графы и сети.
Графы. Основные понятия и определения. Экстремальные задачи на графах. Сетевые графики.
Контрольное задание №3. «Функции нескольких переменных»
Зачёт
Раздел № 8. Основы математического программирования.
Тема № 19. Задачи оптимизации.
Общая постановка задач оптимизации. Классические методы оптимизации. Постановка задачи математического программирования.
Тема № 20. Линейное программирование.
Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации. Основные определения и задачи линейного программирования. Графоаналитическое решение задачи линейного программирования. Симплексный метод. Транспортная задача линейного программирования. Алгоритмы решения транспортной задачи.
Teмa № 21. Дискретное программирование.
Постановка задачи дискретного программирования. Методы решения задач дискретного программирования.
Teмa № 22. Нелинейное программирование
Постановка задачи нелинейного программирования. Методы решения задач нелинейного программирования.
Контрольное задание №4. «Линейное программирование. Транспортная задача»
Тема 23. Основные понятия и формулы теории вероятностей
Основные понятия теории вероятностей. Формулы сложения, умножения. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Формула Бернулли.
Тема 24. Случайные величины
Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения. Функция распределения и плотность вероятности, их взаимосвязь и свойства. Числовые характеристики случайных величин. Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально–экономических приложениях.
Тема 25. Закон больших чисел
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. Основные понятия теории случайных процессов. Понятие о цепях Маркова и их использование в моделировании социальных процессов.
Раздел 10. Элементы математической статистики
Тема 26. Статистические методы обработки экспериментальных данных
Генеральная совокупность и выборка. Гистограмма. Точечные оценки числовых характеристик. Доверительная вероятность. Доверительные интервалы для математического ожидания.
Тема 27. Проверка статистических гипотез
Проверка статистических гипотез. Критерии согласия. Критерий Пирсона.
Тема 28. Элементы теории регрессии
Функциональная и стохастическая зависимость величин. Корреляционный анализ. Метод наименьших квадратов. Регрессионный анализ.
Курсовая работа «Математическая статистика»
Экзамен
Основная
Дополнительная
В процессе изучения курса математики студент заочной формы обучения должен выполнить три контрольных задания: два на первом курсе и одно на втором курсе. Главной целью контрольных заданий является оказание заочнику помощи в его самостоятельной работе над учебным материалом.
Установлены следующие темы контрольных заданий:
1. «Элементарная математика. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия».
2. «Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной».
3. « Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения».
Контрольные задания состоят из набора задач. Студенты заочной формы обучения выбирают варианты задач по первой букве своей фамилии и последней цифре номера зачетной книжки из ТАБЛИЦЫ ВАРИАНТОВ ЗАДАНИЙ.
При выполнении контрольного задания рекомендуется следующий порядок действий.
Для студентов, фамилии которых начинаются с букв А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И
|
Последняя цифра в № зачетной книжки |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
КЗ №1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6. |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
КЗ № 2 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
Для студентов, фамилии которых начинаются с букв К, Л, М, Н, О, П, Р
|
Последняя цифра в № зачетной книжки |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
КЗ №1 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
КЗ № 2 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
Для студентов, фамилии которых начинаются с букв С, Т, У, Ф, Х, Ц, Ч, Ш, Щ, Э, Ю, Я.
|
Последняя цифра в № зачетной книжки |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
КЗ №1 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
КЗ № 2 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище
(военный институт) имени генерала армии В.Ф.МАРГЕЛОВА
Контрольное задание №1
по дисциплине МАТЕМАТИКА
«Элементарная математика.
Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия»
Вариант _____
Выполнил
« »_________________20 г.
Проверил
« »_________________20 г.
Рязань 20 г.
Содержание
Введение
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №1 «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА. ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
- вычисление определителей второго и третьего порядков.
- сложение;
- умножение на скаляр.
- общее уравнение;
- уравнение прямой, проходящей через 2 точки;
- уравнение с угловым коэффициентом;
- общее уравнение;
- уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
- эллипс (окружность);
- парабола;
- гипербола.
- через направляющий вектор и точку;
- через 2 точки;
- через пересечение 2-х плоскостей.
Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом
и определяемое равенством
= .
Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом
и определяемое равенством
=.
Этот способ вычисления определителя третьего порядка называется правилом треугольника. (Со знаком «+» берутся произведения элементов главной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали. Со знаком «–» берутся произведения элементов побочной диагонали и, аналогично, элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали).
Второй способ вычисления называется формулой разложения определителя третьего и выше порядка по элементам любой строки или любого столбца этого определителя. Разложением по элементам первой строки определитель вычисляется так:
=.
Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы -го порядка, которая получается из данной матрицы вычеркиванием -й строки и -го столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых находится элемент ). Алгебраическим дополнением данного элемента матрицы n-го порядка называется минор этого элемента, умноженный на . Обозначается . Тогда второй способ вычисления определителя можно записать в виде
∙ .
Замечание. Второй способ имеет несомненное преимущество перед первым, так как позволяет вычислять определители не только третьего, но и более высоких порядков.
Третий способ заключается в том, что, используя основные свойства определителя, необходимо обратить в нуль все элементы его некоторой строки (столбца), кроме одного, после чего, раскладывая определитель - го порядка по элементам этой строки (столбца), его сводят к определителю - го порядка.
Свойства определителей:
Например:
=.
С помощью этого свойства можно в любой строке (столбце) определителя третьего порядка получить два нуля, чем упростится разложение определителя по элементам этой строки (столбца).
При решении системы уравнений методом Крамера (Задание №5) можно пользоваться для вычисления определителей третьего порядка любым способом.
Например:
= +
+ = – (2 · 22 + 5 · 0 + 7 · (–11)) = 33
(определитель вычислен разложением по элементам второго столбца).
Другой способ
== –11·0 – (11)·3 = 33
(по свойству определителей к элементам второго столбца прибавили соответствующие элементы первого столбца, умноженные на – 2, аналогично к элементам третьего столбца прибавили соответствующие элементы первого столбца, умноженные на – 4. Полученный определитель вычислили разложением по первой строке. Вычисления упростились за счет получения нулей в первой строке).
Линейным уравнением с неизвестными (или переменными) х1, х2, х3,...,хn называется уравнение вида
Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными
|
(1) |
Решением системы (1) называется совокупность значений неизвестных , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в истинные равенства.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она вообще не имеет решений.
Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их решения полностью совпадают, то есть каждое решение одной системы является решением другой.
Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных в системе (1), называется матрицей системы.
.
Добавив к матрице системы столбец свободных членов, получим расширенную матрицу системы.
.
Следующие преобразования матрицы называются элементарными преобразованиями:
1) перестановка двух строк (столбцов) матрицы;
2) умножение всех элементов строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.
Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.
В результате элементарных преобразований расширенной матрицы системы получим систему, равносильную данной.
Теорема Кронекера-Капелли. Система (1) совместна тогда и только тогда, когда (ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы).
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса
Пусть система (1) совместна. Путем элементарных преобразований приведем расширенную матрицу системы к виду
,
где - ранг матрицы.
Неизвестные назовем базисными, - свободными. Перенесем свободные в правые части уравнений. Система примет вид
|
(2) |
Полученная система (2) равносильна системе (1).
Выразим из последнего уравнения системы (2) :
.
Подставив найденное значение в предпоследнее уравнение системы (2), найдем и т.д.
Таким образом, найдем последовательно все базисные неизвестные.
Возможны случаи (по условию система совместна):
(система определенна, то есть имеет единственное решение),
(система неопределенна, имеет бесчисленное множество решений: давая свободным неизвестным различные произвольные значения, будем получать различные решения системы).
Метод Крамера
Рассмотрим систему уравнений с неизвестными
|
(3) |
Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных в системе (3), называется определителем системы.
.
Заменяя -й столбец в определителе столбцом свободных членов системы (3), получим определитель .
Пусть . Тогда .
При система определенна. Если , а хотя бы один из определителей , то система несовместна.
Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим систему (3). Матрица системы А квадратная.
Матрица А-1 называется обратной к А, если , где
- единичная матрица.
Обратная матрица вычисляется по формуле:
=, где
Aij_- алгебраическое дополнение элемента aij матрицы А.
Обратная матрица А-1 существует тогда и только тогда, когда .
Согласно правилу перемножения матриц систему (3) можно переписать в матричном виде :
|
(4) |
где А – матрица системы;
Х – матрица-столбец из неизвестных, ;
В – матрица-столбец свободных членов, .
Тогда решение системы (4) находится по формуле
|
. |
1 Уравнения AB и AC находятся как уравнения прямых, проходящих через две точки:
, .
Путём алгебраических (арифметических) действий приводим каждое из полученных выше уравнений к общему виду и к уравнению прямой с угловым коэффициентом, то есть к видам
откуда получаем
, где .
Угол между двумя прямыми можно вычислить по одной из следующих формул:
если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:
одна прямая , вторая – или
,
если две прямые заданы общими уравнениями:
одна прямая , вторая – .
Отсюда условия перпендикулярности и параллельности двух прямых:
для прямых и , заданных уравнениями с угловыми коэффициентами k1 и k2,
║ и или Для прямых и ,
заданных общими уравнениями с коэффициентами А1, В1 и А2, В2 – соответственно
║
и
⊥ А1 А2 + В2В2 = 0.
2 Уравнение медианы СМ также находится, как уравнение прямой, проходящей через 2 точки: С() и М .
3 Находим
,
Свободный вектор (то есть такой вектор, который без изменения длины и направления может быть перенесён в любую точку пространства), заданный в координатной плоскости, может быть представлен в виде . Такое представление вектора называется его разложением по осям координат или разложением по ортам. Здесь ,– проекции вектора на соответствующие оси координат (их называют координатами вектора ), , – орты этих осей (единичные векторы, направление каждого из которых совпадает с положительным направлением соответствующей оси), поэтому
.
Угол между этими векторами находится через их скалярное произведение:
cos (AB,AC) =.
Если известны координаты начала и конца вектора , то есть А() и В(), то – координаты вектора равны разностям соответствующих координат конца и начала.
1 Площадь грани BCD, то есть площадь треугольника, можно найти через векторное произведение двух векторов:
SΔBCD = .
Пусть , , тогда векторное произведение их
.
Модуль этого векторного произведения:
После этого вычисляется площадь грани BCD
2 Уравнение BCD находится как уравнение плоскости, проходящей через три точки:
= 0,
здесь взяты координаты точек В, С, D из условия задачи.
Вычислив определитель третьего порядка и приравняв его к нулю, получим общее уравнение плоскости, коэффициенты которого при и – координаты нормального вектора этой плоскости.
3 Для нахождения высоты АН пирамиды ABCD известны координаты точки A () и координаты направляющего вектора прямой, на которой лежит высота АН, равные координатам нормального вектора плоскости BCD, так как АН пл. BCD, пл. BCD, то есть АН ║ . Тогда каноническое уравнение АН будет иметь вид:
,
где () координаты направляющего вектора .
4 Объём пирамиды ABCD находится по формуле =. Смешанное произведение трёх данных векторов вычисляется как определитель третьего порядка, строками которого являются координаты данных векторов:
= .
5 Каким бы ни был вектор , он всегда может быть разложен по базису , то есть может быть представлен в виде: ;
коэффициенты этого разложения являются координатами вектора (то есть – суть проекции вектора на координатные оси).
Поэтому
Угол между этими векторами находим с помощью скалярного произведения их
=
Уравнение второй степени вида
,
не содержащее члена с произведением координат, называется пятичленным уравнением кривой второго порядка. Оно определяет на плоскости эллипс (окружность), гиперболу или параболу (с возможными случаями распада и вырождения этих кривых) с осями симметрии, параллельными осям координат, в зависимости от знака произведения коэффициентов A и B.
1 Пусть > 0, тогда определяемая этим уравнением кривая есть кривая эллиптического типа (действительная, мнимая или выродившаяся в точку); при эллипс превращается в окружность.
2 Пусть < 0, тогда соответствующая кривая является кривой гиперболического типа, которая может вырождаться в две пересекающиеся прямые, если левая часть уравнения распадается на произведение двух линейных множителей,
.
3 Пусть АВ=0 (то есть либо А = 0, В0, либо В=0, А0), тогда уравнение определяет кривую параболического типа, которая может вырождаться в две параллельные прямые (действительные различные, действительные слившиеся или мнимые), если левая часть уравнения не содержит либо , либо (то есть если уравнение имеет вид или ).
Вид кривой и расположение её на плоскости легко устанавливаются преобразованием уравнения к виду
(в случаях>0 или <0); по виду полученного уравнения обнаруживаются и случаи распада или вырождения эллипса и гиперболы.
В случае невырожденных кривых переносом начала координат в точку полученное уравнение эллипса или гиперболы можно привести к каноническому виду или .
Аналогично в случае =0 уравнение невырожденной параболы приводится к виду или .
Задание №1. Вычислить .
Решение.
Задание выполним по действиям:
Ответ: .
Задание №2. Упростить выражение
а) .
б)
Решение.
а) Задание выполним по действиям:
;
2)
;
3) .
Ответ: 1.
б) Возведем в квадрат и воспользуемся формулами:
, .
.
Ответ: 1.
Задание №3. Исследовать систему
и решить ее методами Гаусса, Крамера и матричным методом.
Решение.
Исследуем систему.
.
Над расширенной матрицей системы В и, соответственно, над матрицей системы А выполнены следующие элементарные преобразования:
1) перестановка строк;
2) умножение первой строки матрицы на 2 и сложение со второй строкой (первую строку при этом переписываем без изменений);
3) умножение первой строки матрицы на 3 и сложение с третьей строкой;
4) умножение второй строки полученной матрицы на и сложение с третьей строкой.
Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Ранг полученной матрицы равен числу ее ненулевых строк. (Строка матрицы называется нулевой, если она состоит из одних нулей).
Так как , то система совместна. Причем, число неизвестных , . Система определенна, то есть имеет единственное решение.
Решение системы методом Гаусса.
В результате элементарных преобразований система приняла вид
Выразим из последнего уравнения системы .
Подставив найденное во второе уравнение системы, найдем .
Аналогично, подставляя найденные и в первое уравнение, найдем .
Выполним проверку. Подставим найденные значения неизвестных во все уравнения исходной системы.
2∙1-1+5=6 –верно,
3∙1+2∙1-5=0 –верно,
-1-1+5=3 –верно.
Ответ: (1; 1; 5)
Решение системы методом методом Крамера.
Найдем определитель системы
Определитель вычислен размножением по первому столбцу, в котором предварительно получены нули путем элементарных преобразований
система определенная
Ответ: (1; 1; 5)
Решение системы матричным методом.
Систему можно переписать в виде , где
- матрица системы, - матрица-столбец неизвестных, - матрица-столбец свободных членов.
Решение системы найдем по формуле ,
=,
где - алгебраическое дополнение элемента матрицы А.
Обратная матрица:
Запишем теперь ответ.
Ответ: (1; 1; 5).
Задание № 4. Даны вершины треугольника ABC: А(-9; -1), В(-2; -4); С(8; 0).
Найти:
1. Уравнения прямых, содержащих стороны AB,AC и угол между ними;
2. Уравнение прямой, содержащей медиану СМ;
3. Проекции векторов AB и AC на оси координат, разложения этих векторов по базису, угол между ними.
Решение.
1 Уравнение АВ как уравнение прямой, проходящей через 2 точки, будет
или – это уравнение называется каноническим уравнением прямой (она проходит через точку (– 9; – 1) и имеет направляющий вектор, то есть ей параллельный), где
= (7; – 3), что видно из этого уравнения. Далее по свойству пропорции получаем
или – это общее уравнение прямой АВ, здесь коэффициенты А1= 3, В1= 7. Вектор = (3; 7), АВ. Откуда или – это уравнение прямой АВ с угловым коэффициентом
k1 = –3/7.
Аналогично находим уравнение АС:
уравнение прямой, проходящей через две точки
– каноническое уравнение
Тогда или – общее уравнение прямой, где коэффициенты А2 = 1, В2 = –17.
Отсюда – уравнение прямой с угловым коэффициентом = 1/17.
Угол между сторонами АВ и АС находим как угол между двумя прямыми по одной из приведённых выше формул:
а)
или
б)
2 Находим уравнение СМ:
С(8; 0), М
Уравнение:
или , умножаем знаменатели на (-2), получаем – каноническое уравнение – общее уравнение прямой, содержащей медиану , – уравнение с угловым коэффициентом.
3 Находим координаты векторов и , они равны проекциям векторов на оси координат. Так что
Тогда .
Разложения этих векторов по базису будут:
, .
Угол между этими векторами:
=
=
Задание № 5. Даны вершины пирамиды ABCD: А(–1;2;6), В(9;–3;–1), С(1;–2;–3), D(–1;–3;0).
Найти:
1. Площадь грани BCD;
2. Уравнение плоскости, содержащей грань BCD;
3. Уравнение прямой, содержащей высоту пирамиды AH;
4. Объем пирамиды;
5. Проекции векторов DB и CA на оси координат, разложения этих векторов по базису, угол между ними.
Решение.
1 Площадь грани BCD
= (–8; 1; –2), = (–10; 0; 1)
S∆BCD= кв. ед. =ед2 15 ед2.
2 Уравнение плоскости BCD:
= 0
= 0
– общее уравнение грани BCD.
Нормальный вектор к этой плоскости .
3 Уравнение высоты пирамиды АН – уравнение прямой, проходящей через данную точку А с заданным направляющим вектором
4 Объём пирамиды VABCD=
=
(куб. ед.)
5
Задание №6.
8.1. Какую линию определяет уравнение ? Найти её центр, полуоси, координаты фокусов и построить эту кривую.
Решение.
Преобразуем данное уравнение следующим образом:
()
.
Очевидно, это – уравнение эллипса с центром О1(1;2); полуосями , ; фокусы его лежат на оси , , и в системе координат , которая получается параллельным переносом осей координат и , приняв за новое начало координат точку(1; 2). Воспользуемся формулами преобразования координат: , . Относительно новых осей уравнение эллипса примет вид (рисунок 2).
В старой системе координат фокусы данного эллипса имеют координаты и .
8.2. Какую линию определяет уравнение
Решение.
Преобразуем данное уравнение так:
Получим ; видим, что центр этой гиперболы есть точка ; получим её ; фокусы её лежат на оси ║, если произвести параллельный перенос осей координат , приняв за новое начало точку (рисунок 3). Формулы преобразования координат имеют вид . После преобразования координат получим уравнение
, .
В системе координат фокусы имеют координаты , и. В старой системе координат , .
Асимптотами этой гиперболы относительно, новых осей служат прямые .
8.3. Привести к каноническому виду уравнение параболы . Найти её вершину, ось симметрии, координаты фокуса и построить эту параболу.
Решение.
Уравнение вида (или ) приводится к виду (или соответственно ).
Тогда точка () служит вершиной параболы, а знак параметра “” определит, в какую сторону – положительную или отрицательную соответствующей оси ( или ) – направлена парабола. Так, уравнение преобразуется следующим образом:
Тогда , откуда – это каноническое уравнение параболы. Здесь – вершина её, ось параболы параллельна оси , например, , откуда , а ветвь параболы направлена в положительную сторону оси Oy. В системе фокус имеет координаты .
В системе (рисунок 4).
Задание №1. Вычислить без использования калькулятора.
|
1 ; |
2 ; |
|
3 ; |
4 ; |
|
5 ; |
6 ; |
|
7 ; |
8 ; |
|
9 ; |
10 ; |
|
11 ; |
12 ; |
|
13 ; |
14 ; |
|
15 ; |
16 ; |
|
17 ; |
18 ; |
|
19 ; |
20 ; |
|
21 ; |
22 ; |
|
23 ; |
24 ; |
|
25 ; |
26 ; |
|
27 ; |
28 ; |
|
29 ; |
30 ; |
Задание №2. Упростить выражение.
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
б) .
Задание №3. Исследовать систему и решить ее методами Гаусса, Крамера и матричным методом.
|
1 |
2 |
||
|
3 |
4 |
||
|
5 |
6 |
||
|
7 |
8 |
||
|
9 |
10 |
||
|
11 |
12 |
||
|
13 |
14 |
||
|
15 |
16 |
||
|
17 |
18 |
||
|
19 |
20 |
||
|
21 |
22 |
||
|
23 |
24 |
||
|
25 |
26 |
||
|
27 |
28 |
||
|
29 |
30 |
Задание № 4. Даны вершины треугольника ABC.
Найти:
1. Уравнения прямых, содержащих стороны AB,AC и угол между ними;
2. Уравнение прямой, содержащей медиану СМ;
3. Проекции векторов AB и AC на оси координат, разложения этих векторов по базису, угол между ними.
|
№ |
Координаты вершин треугольника |
||
|
1 |
A ( -7 , -4 ) |
B ( 4 , -7 ) |
C ( -1 , 7 ) |
|
2 |
A ( 3 , 2 ) |
B ( -11 , 1 ) |
C ( 1 , -8 ) |
|
3 |
A ( -10 , -11 ) |
B ( 7 , -6 ) |
C ( 3 , 9 ) |
|
4 |
A ( 6 , 9 ) |
B ( -3 , 11 ) |
C ( 5 , 1 ) |
|
5 |
A ( -2 , -7 ) |
B ( 10 , -5 ) |
C ( 7 , 0 ) |
|
6 |
A ( 9 , 5 ) |
B ( -6 , 10 ) |
C ( 9 , -1 ) |
|
7 |
A ( -5 , -3 ) |
B ( 2 , -4 ) |
C ( -10 , 2 ) |
|
8 |
A ( 1 , 1 ) |
B ( -9 , 9 ) |
C ( -8 , -3 ) |
|
9 |
A ( -8 , -10 ) |
B ( 5 , -3 ) |
C ( -6 , 4 ) |
|
10 |
A ( 4 , 8 ) |
B ( -1 , 8 ) |
C ( -4 , -5 ) |
|
11 |
A ( -11 , -6 ) |
B ( 8 , -2 ) |
C ( -2 , 6 ) |
|
12 |
A ( 7 , 4 ) |
B ( -4 , 7 ) |
C ( 0 , -7 ) |
|
13 |
A ( -3 , -2 ) |
B ( 11 , -1 ) |
C ( 2 , 8 ) |
|
14 |
A ( 10 , 11 ) |
B ( -7 , 6 ) |
C ( 4 , -9 ) |
|
15 |
A ( -6 , -9 ) |
B ( 3 , -11 ) |
C ( 6 , -1 ) |
|
16 |
A ( 2 , 7 ) |
B ( -10 , 5 ) |
C ( 8 , 0 ) |
|
17 |
A ( -9 , -5 ) |
B ( 6 , -10 ) |
C ( -11 , 1 ) |
|
18 |
A ( 5 , 3 ) |
B ( -2 , 4 ) |
C ( -9 , -2 ) |
|
19 |
A ( -1 , -1 ) |
B ( 9 , -9 ) |
C ( -7 , 3 ) |
|
20 |
A ( 8 , 10 ) |
B ( -5 , 3 ) |
C ( -5 , -4 ) |
|
21 |
A ( -4 , -8 ) |
B ( 1 , -8 ) |
C ( -3 , 5 ) |
|
22 |
A ( 11 , 6 ) |
B ( -8 , 2 ) |
C ( -1 , -6 ) |
|
23 |
A ( -7 , -4 ) |
B ( 4 , -7 ) |
C ( 1 , 7 ) |
|
24 |
A ( 3 , 2 ) |
B ( -11 , 1 ) |
C ( 3 , -8 ) |
|
25 |
A ( -10 , -11 ) |
B ( 7 , -6 ) |
C ( 5 , 9 ) |
|
26 |
A ( 6 , 9 ) |
B ( -3 , 11 ) |
C ( 7 , 1 ) |
|
27 |
A ( -7 , -2 ) |
B ( 4 , -8 ) |
C ( 0 , 7 ) |
|
28 |
A ( 3 , 11 ) |
B ( -11 , 2 ) |
C ( 2 , -8 ) |
|
29 |
A ( -10 , -9 ) |
B ( 7 , -7 ) |
C ( 4 , 9 ) |
|
30 |
A ( 6 , 7 ) |
B ( -3 , 1 ) |
C ( 6 , 1 ) |
Задание № 5. Даны вершины пирамиды ABCD.
Найти:
1. Площадь грани BCD;
2. Уравнение плоскости, содержащей грань BCD;
3. Уравнение прямой, содержащей высоту пирамиды AH;
4. Объем пирамиды;
5. Проекции векторов DB и CA на оси координат, разложения этих векторов по базису, угол между ними.
|
№ |
Координаты вершин пирамиды |
|||
|
1 |
A(-7,2,-3) |
B(4,6,2) |
C(-3,7,4) |
D(2,9,-7) |
|
2 |
A(-5,5,2) |
B(-6,-8,5) |
C(6,-6,8) |
D(-9,-5,3) |
|
3 |
A(-3,8,7) |
B(1,-3,8) |
C(-2,0,-5) |
D(-1,0,-4) |
|
4 |
A(-1,-6,-7) |
B(8,2,-8) |
C(7,6,-1) |
D(7,5,6) |
|
5 |
A(1,-3,-2) |
B(-2,7,-5) |
C(-1,-7,3) |
D(-4,-9,-1) |
|
6 |
A(3,0,3) |
B(5,-7,-2) |
C(8,-1,7) |
D(4,-4,-8) |
|
7 |
A(5,3,8) |
B(-5,-2,1) |
C(0,5,-6) |
D(-7,1,2) |
|
8 |
A(7,6,-6) |
B(2,3,4) |
C(-8,-8,-2) |
D(1,6,-5) |
|
9 |
A(9,-8,-1) |
B(-8,8,7) |
C(1,-2,2) |
D(9,-8,5) |
|
10 |
A(-8,-5,4) |
B(-1,-6,-9) |
C(-7,4,6) |
D(-2,-3,-2) |
|
11 |
A(-6,-2,9) |
B(6,-1,-6) |
C(2,-9,-7) |
D(6,2,8) |
|
12 |
A(-4,1,-5) |
B(-4,4,-3) |
C(-6,-3,-3) |
D(-5,7,1) |
|
13 |
A(-2,4,0) |
B(3,9,0) |
C(3,3,1) |
D(3,-7,-6) |
|
14 |
A(0,7,5) |
B(-7,-5,3) |
C(-5,9,5) |
D(-8,-2,4) |
|
15 |
A(2,-7,-9) |
B(0,0,6) |
C(4,-4,-8) |
D(0,3,-3) |
|
16 |
A(4,-4,-4) |
B(7,5,9) |
C(-4,2,-4) |
D(8,8,7) |
|
17 |
A (6,-1,1) |
B(-3,-9,-7) |
C(5,8,0) |
D(-3,-6,0) |
|
18 |
A(8,2,6) |
B(4,-4,-4) |
C(-3,-5,4) |
D(5,-1,-7) |
|
19 |
A(-9,5,-8) |
B(-6,1,-1) |
C(6,1,8) |
D(-6,4,3) |
|
20 |
A(-7,8,-3) |
B(1,6,2) |
C(-2,7,-5) |
D(2,9,-4) |
|
21 |
A(-5,-6,2) |
B(8,-8,5) |
C(7,-6,-1) |
D(-9,-5,6) |
|
22 |
A(-3,-3,7) |
B(-2,-3,8) |
C(-1,0,3) |
D(-1,0,-1) |
|
23 |
A(-1,0,-7) |
B(5,2,-8) |
C(8,6,7) |
D(7,5,-8) |
|
24 |
A(1,3,-2) |
B(-5,7,-5) |
C(0,-7,-6) |
D(-4,-9,2) |
|
25 |
A(3,6,3) |
B(2,-7,-2) |
C(-8,-1,-2) |
D(4,-4,-5) |
|
26 |
A(5,-8,8) |
B(-8,-2,1) |
C(1,5,2) |
D(-7,1,5) |
|
27 |
A(-7,2,-2) |
B(4,6,3) |
C(-2,7,5) |
D(3,-9,-6) |
|
28 |
A(-5,5,3) |
B(-6,-8,6) |
C(7,-6,-8) |
D(-8,-4,4) |
|
29 |
A(-3,8,8) |
B(1,-3,9) |
C(-1,0,-4) |
D(0,1,-3) |
|
30 |
A(-1,-6,-6) |
B(8,2,-7) |
C(8,6,0) |
D(8,6,7) |
Задание №6 .Какую кривую определяет данное уравнение?
Найти:
1. Центр, полуоси, координаты фокусов кривой;
2. Построить эту кривую.
|
№ |
Уравнение |
|
1 |
25x2-1y2-350x+10y+1175=0 |
|
2 |
-49x2+16y2-686x-256y-2161=0 |
|
3 |
y2+20y-4x+104=0 |
|
4 |
1x2+9y2-14x+126y+481=0 |
|
5 |
9x2-25y2+126x-200y-184=0 |
|
6 |
-25x2+9y2+50x+18y-241=0 |
|
7 |
y2-4y+2x-10=0 |
|
8 |
36x2+4y2+504x-40y+1720=0 |
|
9 |
1x2-16y2-2x+256y-1039=0 |
|
10 |
-9x2+4y2+126x+80y-77=0 |
|
11 |
y2+14y-32x-175=0 |
|
12 |
16x2+1y2-32x+8y+16=0 |
|
13 |
36x2-9y2-504x-18y+1431=0 |
|
14 |
-36x2+1y2-504x-4y-1796=0 |
|
15 |
y2-10y+16x+9=0 |
|
16 |
4x2+25y2-56x-400y+1696=0 |
|
17 |
16x2-4y2+224x-80y+320=0 |
|
18 |
-36x2+25y2+72x+350y+289=0 |
|
19 |
y2+8y-8x+72=0 |
|
20 |
49x2+16y2+686x+32y+1633=0 |
|
21 |
4x2-1y2-8x+4y-4=0 |
|
22 |
-1x2+9y2+14x-90y+167=0 |
|
23 |
y2-16y+4x+92=0 |
|
24 |
25x2+9y2-50x+180y+700=0 |
|
25 |
49x2-25y2-686x-350y-49=0 |
|
26 |
-4x2+9y2-56x+72y-88=0 |
|
27 |
49x2-4y2-980x+80y+4304=0 |
|
28 |
-4x2+25y2-32x+400y+1436=0 |
|
29 |
y2+10y-8x+49=0 |
|
30 |
9x2+16y2-180x+64y+820=0 |
- графики элементарных функций;
- теоремы о вычисление пределов;
- замечательные пределы. Раскрытие неопределенностей.
- точки разрыва и их классификация;
- таблица производных, правила дифференцирования;
- производная сложной и параметрически заданной функции;
- первообразная, свойства неопределённого интеграла;
- таблица интегралов;
- непосредственное интегрирование. Интегрирование разложением;
- интегрирование подстановкой;
- интегрирование по частям;
- интегрирование рациональных дробей;
- интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции;
- интегрирование некоторых иррациональных выражений.
- основные свойства определённого интеграла. Формула Ньютона – Лейбница;
- вычисление определенного интеграла подстановкой;
- вычисление определенного интеграла по частям.
Число называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого найдется такое , что при .
Обозначение:
Условно записывают: если при , где - произвольное положительное число.
В этом случае функция называется бесконечно большой величиной при .
Если , то функция называется бесконечно малой величиной при .
Величина, обратная к бесконечно большой, является бесконечно малой (условно можно записать ).
Величина, обратная к бесконечно малой, является бесконечно большой ().
Число А называется пределом функции f(x) на бесконечности, то есть при х (х-), если для 0, М (М0) такое, что х удовлетворяющих условию |x|>M, выполняется условие |f(x)–А|.
Обозначение:
А= (А =).
Если и , то употребляют запись , если и - запись . Числа и называются соответственно левым и правым пределом функции в точке .
Для существования предела функции при необходимо и достаточно, чтобы .
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоретических положениях: если существуют и , то
1) ;
2) ;
3) (при условии ).
Используются также следующие пределы:
- первый замечательный предел;
- второй замечательный предел.
При решении задач полезно иметь в виду следующие равенства:
Функция f(x) непрерывна при значении х=х0 (или в точке х=х0), если выполняется соотношение =f(x0), если же оно нарушено, то говорят, что при этом значении (или в этой точке) функция имеет разрыв.
Данное определение непрерывности функции является основным.
Функция является непрерывной в точке , если выполняется одно из условий:
Если две функции и определены в окрестности точки и непрерывны в точке , то функции ; ; , где будут непрерывными в точке , так же, как и суперпозиция этих функций есть функция непрерывная.
Функция называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывная в каждой точке множества Х. Всякая элементарная функция непрерывна в области определения. Некоторые свойства непрерывной на а; b функции:
1) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значения (если она определена на а; b);
2) если то , что (по крайней мере, одна);
3) если значения и то , что ; то есть значения функции сплошь заполняют некоторый промежуток.
Точками разрыва называют точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, а также точки, в которых функция неопределенна, но в любой их окрестности есть точки из области определения функции.
Точки разрыва делятся на два типа.
Точки разрыва I рода, когда:
, или не существует (устранимый разрыв);
(разрыв с конечным скачком).
Точки разрыва II рода, когда:
нет хотя бы одного одностороннего предела (или он равен бесконечности).
Пусть и - значения аргумента, и - соответствующие значения функции . Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке [].
Производной от функции по аргументу называется предел отношений приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
, или .
(Производная обозначается также ).
Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке , то есть . Производная есть скорость изменения функции в точке .
Таблица производных основных элементарных функций
1. Степенная 4. Тригонометрические
2. Показательная
5. Обратные тригонометрические
3. Логарифмическая
Основные правила дифференцирования
Пусть - постоянная, , - функции, имеющие производные. Тогда: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Производная сложной функции
Если , , то есть , где функции и имеют производные, то или.
Производная параметрически заданной функции
Если функция у аргумента х задана параметрическими уравнениями
то .
Если функция y=f(x) имеет производные до (n+1)-го порядка включительно в некоторой δ-окрестности точки а (δ(а)), то для всякого хδ(а) справедлива формула
,
,
где ξ=a+θ(x-a), причем 0<θ<1,
при а=0 получается формула Маклорена
,
, 0<θ<1.
Разложение некоторых функций по формуле Маклорена:
|
, |
. |
|
, |
. |
|
, |
. |
|
, |
|
|
. |
Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на [a, b], если выполняется равенство F'(x)=f(x).
Теорема. Если F1(x) и F2(x) – две первообразные от функции f(x) на [a, b], то разность между ними равна постоянному числу.
Если F(x) является первообразной для f(x), то выражение F(x)+С называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается символом ∫f(x)dx, то есть ∫f(x)dx=F(x)+C.
При этом функцию f(x) называют подынтегральной, f(x)dx – подынтегральным выражением, знак ∫ - знаком интеграла.
Некоторые свойства неопределенного интеграла
1.
2.
3.
4.
5. где a=const.
6. где a, b – const.
Интегрирование подстановкой или замена переменной
Требуется найти , причем непосредственно подобрать первообразную для f(x) не можем, но известно, что она существует.
Сделаем замену переменной, положив x=φ(t), где φ(t) – функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда dx=φ(t)dt и имеет место следующее равенство:
При интегрировании иногда целесообразно использовать полученное равенство справа налево:
,
где , .
Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям:
Эта формула чаще всего применяется к интегрированию следующих выражений:
|
a) |
, |
(u=xα). |
|
б) |
, |
(u=lnβx). |
|
в) |
, |
(u=arctgβx). |
|
г) |
, |
(u=eαx). |
|
д) |
, |
(u=x). |
Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие
Простейшими дробями называются правильные рациональные дроби вида
где и
Простейшие дроби всегда можно проинтегрировать.
Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей, например:
где P(x) – многочлен степени ниже степени Q(x).
Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
а) ”Универсальная тригонометрическая подстановка”.
Рассмотрим интеграл вида где R-рациональная функция.
б) Если R-нечетное относительно sinx, то есть R(-sinx, cosx)=-R(sinx, cosx), тогда R=R1(sin2x, cosx)·sinx, R=R1(1-cos2x, cosx)·sinx и замена t=cosx.
в) R-нечетное, относительно cosx, тогда R=R2(sinx, cos2x)·cosx, R=R2(sinx 1- sin2x)·cosx и замена t=sinx.
г) R-четное, относительно sinx и cosx, тогда замена
Замечание: где
m, n – одно из целых чисел нечетное;
m и n – четные положительные;
m и n – четные, но хотя бы одно из них отрицательно.
д)
Задание №1. Построить график функции ,
исследовав ее на непрерывность
Решение.
D(y) = R
1) Исследуем функцию в точке х = 1.
f(1)=2 – функция непрерывна в точке 1.
2) Исследуем функцию в точке х = 3.
f(3)=6 – в точке х = 3 разрыв первого рода.
Во всех других точках области определения функция непрерывна.
Построим график исследуемой функции.
Задание №2. Найти пределы:
а). ; б). ;
в). ; г). .
Решение.
а). Используем первый замечательный предел.
;
б). ;
в). ;
г). Используем второй замечательный предел.
.
Задание №3. Найти производные:
Решение.
.
Используем производную произведения, суммы и производную сложной функции.
;
Задание №4. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции
при .
Решение.
; .
;
;
;
;
;
.
Задание №5 . Найти интегралы:
№ 1 № 2 № 3
№ 4 № 5 № 6 .
№ 7 № 8 № 9
Решение.
№1. Применим непосредственное интегрирование.
.
№2. Применим непосредственное интегрирование.
.
№3. Применим непосредственное интегрирование.
.
№4. Применим интегрирование заменой переменной.
.
№5. Применим интегрирование заменой переменной.
.
№6. Применим интегрирование заменой переменной.
.
№7. Применим интегрирование по частям.
.
№8. Применим интегрирование рациональных дробей.
.
.
№9. Применим интегрирование тригонометрических выражений.
.
Задание №1. Построить график функции, исследовав ее на непрерывность.
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
6 |
|
7 |
8 |
|
9 |
10 |
|
11 |
12 |
|
13 |
14 |
|
15 |
Задание №2. Найти пределы:
|
1 а) ; б) ; в) ; г) . |
2 а) ; б) ; в) ; г) . |
|
3 а) ; б); в) ; г) . |
4 а) ; б); в) ; г) . |
|
5 а) ; б) в); г) . |
6 а). б); в) ; г) . |
|
7 а) ; б) ; в) ; г) . |
8 а) ; б) ; в) ; г) . |
|
9 а) ; б) ; в) ; г) . |
10 а) ; б) ; в) ; г) . |
|
11 а) ; б) ; в) ; г) . |
12 а) ; б) ; в) ; г) . |
|
13 а) ; б) ; в) г) . |
14 а) ; б) ; в) г) . |
|
15 а) ; б); в) ; г) . |
Задание №3. Найти производные:
|
1 |
2
|
|
3
|
4
|
|
5
|
6 |
|
7
|
8 |
|
9
|
10 |
|
11 |
12 |
|
13 |
14 |
|
15 |
Задание №4.
1. Записать формулу Маклорена 2-го порядка для функции у = х ex. Вычислить: .
2. Записать формулу Маклорена 2-го порядка для функции . Вычислить: .
3. Написать формулу Маклорена 2-го порядка для функции . Вычислить sin 0,1.
4. Написать формулу Маклорена 2-го порядка для функции . Вычислить cos 0,2.
5. Записать формулу Маклорена 2-го порядка для функции . Вычислить ln(0,88).
6. Записать формулу Маклорена 2-го порядка для функции . Вычислить ln(0,88).
7. Записать формулу Тейлора 2-го порядка для функции , в точке х0=1.
8. Записать формулу Тейлора 2-го порядка для функции , х0=0. Найти arctg 0,2.
9. Записать формулу Тейлора 2-го порядка для функции , в точке х0 = . Вычислить .
10. Записать формулу Маклорена 2-го порядка для функции . Вычислить .
11. Записать формулу Маклорена 2-го порядка для функции . Вычислить sin 0,1.
12. Записать формулу Тейлора 2-го порядка (x0 =0) для функции .
13. Записать формулу Тейлора 2-го порядка для функции , x0 = 1.
14. Записать формулу Маклорена 2-го порядка для функции . Вычислить: .
15. Записать формулу Маклорена 2-го порядка для функции , и вычислить .
Задание 5. Вычислить неопределенные интегралы:
1.
№1 . №2 . №3 .
№4 . №5 . №6 .
№7 . №8 . №9 .
2.
№1 . №2 . №3 .
№4 . №5 . №6 .
№7 . №8 . №9 .
3.
№1 . №2 . №3 .
№4 . №5 . №6 .
№7 . №8 . №9 .
4.
№1 . №2 . №3 .
№4 . №5 . №6 .
№7 . №8 . №9 .
5.
№1 . №2 . №3 .
№4 . №5 . №6 .
№7 . №8 . №9 .
6.
№1 . №2 . №3 .
№4 . №5 . №6 .
№7 . №8 . №9 .
7.
№1 . №2 . №3 .
№4 . №5 . №6 .
№7 . №8 . №9 .
8.
№1 . №2 .
№3 . №4 . №5 .
№6 . №7 . №8 .
№9 .
9.
№1 . №2 . №3 .
№4 . №5 . №6 .
№7 . №8 . №9 .
10.
№1 . №2 . №3 .
№4 . №5 . №6 .
№7 . №8 . №9 .
11.
№1 . №2 . №3 .
№4 . №5 . №6 .
№7 . №8 . №9 .
12.
№1 . №2 . №3 .
№4 . №5 . №6 .
№7 . №8 . №9 .
13.
№1 . №2 . №3 .
№4 . №5 . №6 .
№7 . №8 . №9 .
14.
№1 . №2 . №3 .
№4 . №5 . №6 .
№7 . №8 . №9 .
15.
№1 . №2 . №3 .
№4 . №5 . №6 .
№7 . №8 . №9 .
|
Пpeдмeт мaтeмaтики. Poль и место её в coвpeмeннoм миpe. |
|
Основные понятия теории множеств и oпepaции нaд ними. Чиcлoвыe мнoжecтвa нaтypaльныx, цeлыx, paциoнaльныx, вeщecтвeнныx чиceл |
|
Основные понятия математической логики. Символы математической логики, их использование |
|
Матрицы, действия над ними |
|
Определители второго и третьего порядков, их свойства. Определители n-го порядка |
|
Обратная матрица |
|
Cиcтeмa линeйныx ypaвнeний. Teopeмa Kpaмepa.Метод Гаусса |
|
Cиcтeмa m линeйныx ypaвнeний c n нeизвecтными. Teopeмa Kpoнeкepa-Kaпeлли (бeз дoкaзaтeльcтвa) |
|
Пoнятиe o cкaляpныx и вeктopныx вeличинax. Beктopы и линeйныe oпepaции нaд ними |
|
Дeкapтoв бaзиc. Koopдинaты вeктopoв. Линeйныe oпepaции над векторами в кoopдинaтнoй фopмe. Длинa вeктopa |
|
Скалярное пpoизвeдeниe вeктopoв и eгo cвoйcтвa. Угoл мeждy двyмя вeктopaми в кoopдинaтнoй фopмe. Уcлoвиe opтoгoнaльнocти двyx вeктopoв. Mexaничecкий cмыcл cкaляpнoгo пpoизвeдeния |
|
Beктopнoe пpoизвeдeниe двyx вeктopoв, eгo cвoйcтвa. Уcлoвиe кoллинeapнocти двyx вeктopoв |
|
Пpocтeйшиe пpилoжeния вeктopнoгo пpoизвeдeния |
|
Cмeшaннoe пpoизвeдeниe тpex вeктopoв. Его гeoмeтpичecкий смвсл |
|
Зaдaчи и мeтoды aнaлитичecкoй гeoмeтpии. Уpaвнeния линий нa плocкocти |
|
Paзличныe фopмы ypaвнeния пpямoй нa плocкocти Угoл мeждy пpямыми |
|
Kaнoничecкиe ypaвнeния кpивыx втopoгo пopядкa |
|
Уpaвнeниe поверхности |
|
Плocкocть в пpocтpaнcтвe.Угoл мeждy плocкocтями |
|
Уpaвнeния пpямoй в пpocтpaнcтвe.Угoл мeждy пpямыми. Угoл мeждy пpямoй и плocкocтью |
|
Отображение множеств. Функция |
|
Обратные функции. Сложные функции |
|
Последовательность и её предел |
|
Предел функции в точке и на бесконечности |
|
Неопределенность |
|
Непрерывность функции. Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность элементарных функций |
|
Односторонние пределы. Точки разрыва и их классификация |
|
Свойства функций, непрерывных на отрезке |
|
Геометрические и физические задачи, приводящие к понятию производной |
|
Производная функции, её геометрический и механический смысл. Свойства производной |
|
Производная сложной и обратной функции |
|
Таблица производных |
|
Дифференцируемость функции |
|
Свойства дифференциала |
|
Параметрически заданные функции и их дифференцирование |
|
Производные и дифференциал высших порядков |
|
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши |
|
Правило Лопиталя |
|
Формула Тейлора (понятие) |
|
Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие |
|
Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка |
|
Отыскание наименьшего и наибольшего значений функций на отрезке |
|
Исследование направления выпуклости. Точки перегиба |
|
Асимптоты |
|
Общая схема исследования функции и построение её графика |
|
Комплексные числа в алгебраической форме, операции над ними. Комплексные корни алгебраических уравнений. Модуль и аргумент комплексного числа, его тригонометрическая и показательная формы. Формула Муавра, возведение в целую положительную степень и извлечение корня целой положительной степени из комплексного числа. Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры (без доказательства). Разложение многочлена на линейные и квадратичные множители. Первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Интегрирование разложением. Интегрирование подстановкой (в неопределенном интеграле). Интегрирование по частям (в неопределенном интеграле). Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Разложение рациональных дробей на простейшие. Интегрирование простейших дробей. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определение и основные свойства определённого интеграла. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона – Лейбница. Вычисление определенного интеграла. Замена переменной в определенном интеграле. Вычисление определенного интеграла. Интегрирование по частям. Вычисление площадей и объемов. Длина дуги. Нахождение физических величин. Численное интегрирование. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций. |