Будь умным!

У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематической статистике ~ вероятностная или статистическая зависимость не имеющая вообще говоря строго фун

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 9.11.2024

Лекция 4

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

4.1. Основные понятия

Корреляция – термин, применяемый в различных областях науки и техники для обозначения взаимозависимости, взаимного соответствия, соотношения понятий, предприятий, предметов, функций.

Корреляция в математической статистике – вероятностная или статистическая зависимость, не имеющая вообще говоря строго функционального характера. В отличие от функциональной зависимости, корреляционная зависимость возникает тогда, когда один из признаков зависит не только от данного второго признака, но и от ряда других случайных факторов, или же тогда, когда среди условий, от которых зависят и тот и другой признаки, имеются общие для них условия. Пример такого рода зависимости - корреляционная таблица, в которой, например, отражена зависимость производительности ПК от его стоимости.

Корреляционный анализ. В основе корреляционного анализа лежит допущение о том, что исследуемые явления подчинены определённым вероятностным закономерностям. Зависимость между двумя случайными событиями проявляется в том, что условная вероятность одного из них при наступлении другого отличается от безусловной вероятности.

Корреляционный анализ – совокупность математических методов обнаружения корреляционной зависимости между двумя случайными признаками.

Технология корреляционного анализа включает в себя следующие этапы.

Построение корреляционного поля.

Составление корреляционной таблицы.

Определение нормальности.

Выбор метода корреляционного анализа.

Вычисление количественных характеристик.

Оценка значимости (существенности) связи.

Вид зависимости можно определить по результатам регрессионного анализа.

(Весь этот абзац – 32 строки с очень небольшими изменениями заимствован из БСЭ т.13 стр. 210 – 211.)

Рассмотрим предложенную технологию подробно.

4.2. Корреляционное поле. Корреляционная таблица

Корреляционное поле и корреляционная таблица являются вспомогательными средствами наглядного анализа собранных статистических данных. Их достоинство простота построения и наглядность. По ним можно сделать предварительные выводы о форме зависимости случайных величин.

При нанесении выборочных точек на координатную плоскость получают корреляционное поле. По корреляционному полю можно, например, установить, что один признак в среднем возрастает, или убывает при возрастании другого признака.

По корреляционному полю с помощью группировки можно построить корреляционную таблицу. В каждой клетке корреляционной таблицы записывается количество пар признаков, которые попадают в соответствующие интервалы группировки по каждому признаку. Рассмотрим зависимость ВВП РФ (таблица 4.2.1) от численности персонала, занятого исследованиями и разработками (таблица 4.2.2) по регионам РФ. Таблицы 4.2.1 и 4.2.2 заимствованы из Статистического ежегодника РФ за 2012 год.

Таблица 4.2.1. Объёмы ВВП по регионам РФ

	Всего, млн. руб.	На душу населения1), руб.
	2000	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2000	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Валовой внутренний продукт Российской Федерации в рыночных ценах	7305646	21609766	26917201	33247513	41276849	38807219	45172748	49835	150571	188167	232817	289170	271787	316226
в том числе валовая добавленная стоимость в основных ценах	6472199	18517666	22977344	28484471	35182698	33831324	38871057	44150	129026	160625	199464	246477	236938	272112
из нее валовой региональный продукт по субъектам Российской Федерации (валовая добавленная стоимость в основных ценах) - всего	5753672	18034385	22492120	27963956	33908757	32007228	37398520	39532	125659	157233	195819	237552	224163	261804
Центральный федеральный округ	1841499	6278360	7965170	10208918	12674395	11405183	13363655	48205	164888	208807	267272	331472	297793	348100
Белгородская область	42074	144988	178846	237013	317656	304345	397070	27970	95911	118211	156225	208548	199046	259173
Брянская область	24650	66692	82100	102706	125834	126477	144264	17414	49923	62188	78519	96885	98015	112623
Владимирская область	33018	86927	112842	146663	175396	185825	218712	21073	58261	76185	99683	119942	127815	151311
Воронежская область	49524	133587	166177	222812	287072	301729	328771	20365	56535	70493	94850	122591	129113	140810
Ивановская область	16900	44415	55090	74752	86980	87062	98209	14240	40039	50272	68866	80709	81287	92306
Калужская область	23903	70954	86150	111869	150395	154946	184581	22438	69192	84317	109790	147930	152612	182375
Костромская область	16662	44685	54351	65700	81041	78921	92291	21985	63304	78227	95687	119072	116856	137817
Курская область	30168	86625	104036	128799	167866	161571	192442	23678	72995	88949	111348	146276	141834	170255
Липецкая область	48068	145194	179057	209822	259532	226662	254738	39051	121376	150197	176535	219136	192165	216884
Московская область	176694	708062	934329	1295650	1645753	1519446	1796536	26688	104738	137092	188565	237596	217340	254279
Орловская область	22161	53182	64802	77101	96670	90624	102450	25168	64180	79342	95387	120531	113849	129788
Рязанская область	27957	84383	105492	121305	150151	153634	173526	22070	70666	89011	102983	128212	131891	150002
Смоленская область	28141	65526	79043	95703	121601	125349	149091	25798	63687	77367	94432	121013	125743	150910
Тамбовская область	23387	63615	79766	106040	120836	136324	139017	19134	55574	70416	94533	108653	123512	126994
Тверская область	35341	96897	127364	156035	192283	197687	218644	23073	68049	90518	112022	139216	144258	161039
Тульская область	42061	116221	142240	174111	231731	214925	237208	24292	71587	88476	109226	146466	136852	152301
Ярославская область	41756	131252	153252	186578	214946	212684	234246	29828	99335	117309	143936	166712	165758	183644
г. Москва	1159034	4135155	5260233	6696259	8248652	7126972	8401859	115631	381997	477873	601147	734242	628930	733042

Продолжение табл.4.2.1

	Всего, млн. руб.	На душу населения1), руб.
	2000	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2000	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Северо-Западный федеральный округ	578505	1799780	2198608	2770191	3388222	3415871	3905154	40565	130846	160591	202974	248743	251018	286828
Республика Карелия	28215	77125	84228	104603	115208	105924	127734	38539	112950	125613	157959	175466	162649	197838
Республика Коми	59473	171307	218491	241151	291812	302629	352335	56620	176075	229054	256586	314252	329967	389064
Архангельская область	61807	166433	215933	268672	289756	323607	355884	44797	128965	169458	212908	231493	260585	289058
в том числе Ненецкий автономный округ	11924	44718	67248	97838	91476	130178	145750	…	…	…	…	…	…	…
Вологодская область	69195	193966	201939	243336	294926	213397	252063	53433	156380	164130	199003	242348	176179	209220
Калининградская область	23290	81838	103139	143928	179267	169520	195063	24309	87123	110255	153964	191533	180797	207464
Ленинградская область	56002	205417	265260	309029	383255	430396	502126	33265	122024	157122	182658	226011	252891	293342
Мурманская область	55135	132870	158127	191585	213734	202235	234649	59158	156653	190124	233766	263756	251957	294445
Новгородская область	20966	63848	74924	86665	115141	117710	127271	29347	95286	113246	132335	177472	183197	200033
Псковская область	16179	40583	51465	61562	73283	74648	84345	20545	55773	72029	87457	105449	108798	124663
г. Санкт-Петербург	188243	666393	825102	1119660	1431840	1475805	1673684	39811	141796	174433	235410	299436	306455	343951
Южный федеральный округ	329696	936057	1195195	1577083	2001112	1994912	2293686	23418	67566	86428	114086	144634	144046	165579
Республика Адыгея	5520	17029	21132	29085	36134	41512	46149	12315	38515	48050	66366	82378	94437	104921
Республика Калмыкия	6213	9686	12844	17226	20790	23948	24344	20184	33018	43797	58925	71451	82587	84150
Краснодарский край	137125	372930	483951	648211	803834	861603	1008152	26714	72794	94244	125700	155104	165555	193055
Астраханская область	28116	70128	85112	100359	147549	134418	145430	27815	69814	84950	99999	146391	133019	143924
Волгоградская область	63767	203232	252143	331767	416679	377514	437414	23341	76741	95683	126313	159002	144303	167538
Ростовская область	88955	263052	340013	450435	576126	555917	632197	20004	60575	78642	104603	134137	129626	147710
Северо-Кавказский федеральный округ	105178	352069	457118	573221	728231	786670	887606	13803	39051	50434	62724	78922	84494	94465
Республика Дагестан	20921	90443	124154	156929	216277	257833	285279	8490	33840	45742	56813	77034	90543	98662
Республика Ингушетия	2619	7419	9034	16812	19173	18953	21537	6668	17435	21922	41341	47002	46174	52131
Кабардино-Балкарская Республика	14081	36833	43310	48909	58093	65660	76056	15949	42253	50225	57012	67731	76451	88470
Карачаево-Черкесская Республика	5462	16724	23260	27470	35714	38584	43324	12404	36972	50779	59201	76277	81759	91094
Республика Северная Осетия - Алания	8363	31182	43341	52805	57708	64081	74845	11965	44127	61230	74357	81097	90041	105104
Чеченская Республика	…	22899	32344	48056	66274	64308	69676	…	20038	27831	40573	54742	51981	55188
Ставропольский край	53732	146569	181675	222240	274992	277251	316889	19604	53415	66136	80715	99503	99995	113923
Приволжский федеральный округ	1036787	2799036	3513341	4330426	5324051	4922532	5660130	32792	91574	115728	143366	176879	163958	189071
Республика Башкортостан	145125	381647	505206	590054	743133	647912	757570	35246	93683	124440	145544	183169	159429	186121
Республика Марий Эл	11208	33351	43664	55069	65765	69272	82426	15115	46590	61413	77919	93512	98889	118184
Республика Мордовия	17553	44267	57974	77049	94058	90862	104327	19220	50983	67310	90139	110877	107903	124760
Республика Татарстан	186154	482759	605912	757401	926057	885064	1004690	49139	128227	161046	201172	245629	234206	265372
Удмуртская Республика	53307	139995	164849	205647	243136	230938	264464	33489	90316	106891	133905	158851	151269	173675
Чувашская Республика	22995	69392	93172	123453	155032	139910	152490	17277	54002	73147	97529	122980	111300	121682
Пермский край	124142	327273	383770	477794	607363	539832	630755	43273	119654	141865	178097	227719	203364	238823
Кировская область	35795	79801	97047	118155	151117	146321	166219	23166	55727	68958	85144	110128	107680	123516
Нижегородская область	105056	299724	376180	473307	588791	547223	646676	29090	87355	110663	140298	175587	164072	194945
Оренбургская область	76343	213138	302808	370881	430023	413396	454993	34585	101110	145533	179882	209770	202332	223390
Пензенская область	25219	74363	88805	119104	147853	147185	158214	16900	52164	62720	84558	105477	105487	113970
Самарская область	140407	401812	487713	584969	699296	584000	692928	42759	124575	151239	181530	217090	181298	215321
Саратовская область	63068	170930	204291	252867	321747	326370	369630	23315	65657	79127	98570	126086	128474	146252
Ульяновская область	30415	80584	101950	124676	150680	154247	174748	21412	59805	76475	94376	114808	118180	134828

Продолжение табл.4.2.1

	Всего, млн. руб.	На душу населения1), руб.
	2000	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2000	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Уральский федеральный округ	866133	3091363	3720616	4236326	4815668	4360451	5087786	69327	254078	307374	350767	398807	360909	420920
Курганская область	18705	50246	68435	81076	106223	107915	115223	17759	51724	71739	86224	114237	117059	126106
Свердловская область	156077	475576	653908	820793	923551	825267	1033748	34215	108697	150549	189763	213922	191415	240247
Тюменская область	570790	2215584	2551355	2758813	3121401	2870284	3292883	176918	673208	773076	831305	934230	852920	970771
в том числе:
Ханты-Мансийский автономный округ - Югра	403822	1399336	1594097	1728340	1937159	1778637	1976224	…	…	…	…	…	…	…
Ямало-Ненецкий автономный округ	117101	441722	546366	594679	719397	649640	771769	…	…	…	…	…	…	…
Челябинская область	120561	349957	446918	575644	664493	556985	645932	33012	99160	127443	164798	190566	159901	185681
Сибирский федеральный округ	687072	1951300	2442999	2990665	3442210	3391089	4093589	33682	99628	125749	154702	178421	175846	212440
Республика Алтай	2738	8806	11609	15109	18701	19912	21636	13505	43592	57555	74634	91713	97112	105050
Республика Бурятия	21575	74913	91712	107442	124738	121188	136374	21555	77313	94965	111354	129145	125173	140500
Республика Тыва	3594	11663	15147	19384	23871	26922	30601	11749	38430	50052	63959	78381	87890	99442
Республика Хакасия	17418	41727	53689	63722	72309	81020	93709	31333	77865	100828	119953	136024	152205	175975
Алтайский край	46737	135686	173811	223563	259343	265613	299715	17661	53812	69852	90760	106020	109089	123642
Забайкальский край	30025	69647	90732	110822	140302	148588	162100	25320	61741	81066	99545	126362	133974	146357
Красноярский край	214663	439737	585882	734155	737951	749195	1050158	71281	152389	205042	258394	260318	264479	370952
Иркутская область	103014	258096	330834	402655	438852	458775	539246	39115	102904	133414	163588	178988	187689	221531
Кемеровская область	88728	295378	342211	437790	575902	512408	622513	30048	104765	122394	157302	207286	184674	224969
Новосибирская область	72013	235382	296064	365531	453575	425400	482027	26472	88476	111679	138199	171430	160210	180939
Омская область	46028	220686	262507	296005	347760	336260	371218	21643	108971	130614	148129	174710	169328	187458
Томская область	40539	159579	188801	214487	248906	245808	284292	38386	155365	184434	209320	241911	237293	272208
Дальневосточный федеральный округ	308802	826420	999073	1277126	1534868	1730520	2106914	44932	127161	155389	200069	241574	273411	334306
Республика Саха (Якутия)	81960	183027	206845	242657	309518	328202	384726	85376	191896	216536	253424	322922	342520	401468
Камчатский край	18141	43974	56120	66077	77854	94643	101677	49109	129241	168173	200610	238405	291954	315364
Приморский край	62089	186623	215934	259041	316582	368997	464325	29140	92504	108099	130632	160417	187556	236978
Хабаровский край	64795	161194	194260	231293	269178	276895	351261	44171	116258	141995	170398	198952	205081	260956
Амурская область	26315	76861	95091	111761	131564	151119	179509	28317	88597	111116	131888	156330	180572	215812
Магаданская область	13010	27168	31203	35314	42054	47896	58174	65705	157799	185018	213450	258848	299404	368734
Сахалинская область	34777	121014	166105	286273	333582	392380	492730	61596	230298	321109	559774	657783	779943	987418
Еврейская автономная область	3784	14204	17977	23726	23977	25320	32538	19485	77319	99578	132505	134378	142388	183930
Чукотский автономный округ	3931	12355	15538	20984	30559	45068	41974	65963	237135	295107	396907	582270	872422	826865

Таблица 4.2.2. Численность персонала, занятого исследованиями и разработками, по регионам РФ (человек)

	2000	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011
Российская Федерация	887729	813207	807066	801135	761252	742433	736540	735273
Центральный федеральный округ	455985	408330	411958	415522	396272	385392	381795	380363
Белгородская область	1953	1289	1297	1314	1189	1185	1189	1198
Брянская область	2611	1927	1770	1950	2010	1352	790	1172
Владимирская область	9499	7913	7640	7453	7075	6638	4871	5131
Воронежская область	13140	13806	14144	14984	14651	14677	13184	14106
Ивановская область	1557	1105	918	892	732	774	749	644
Калужская область	11881	10413	10708	10920	10386	10374	10091	10422
Костромская область	305	147	139	137	146	134	116	109
Курская область	2016	1571	3469	3377	3185	2955	2944	3128
Липецкая область	547	362	417	352	353	369	323	326
Московская область	100601	88681	91062	88114	84375	83653	84574	86130
Орловская область	1900	920	1082	1006	936	844	797	844
Рязанская область	3637	3311	3461	3584	3555	3064	2373	2265
Смоленская область	1102	944	1170	1094	1031	964	873	760
Тамбовская область	2933	2800	2285	2282	2038	1964	1665	1807
Тверская область	5978	5499	5430	5340	5505	5089	4851	4625
Тульская область	10241	9959	10359	7544	5754	5521	4992	3759
Ярославская область	9259	6608	6660	7190	6739	6358	6187	6311
г. Москва	276825	251075	249947	257989	246612	239477	241226	237626
Северо-Западный федеральный округ	116812	104752	103635	103864	99556	97633	95826	97221
Республика Карелия	1307	935	867	945	951	907	934	978
Республика Коми	2170	2047	2049	2089	2105	1889	1806	1748
Архангельская область	1316	1496	3065	3011	2971	1473	1148	1064
в том числе Ненецкий автономный округ	22	24	24	31	43	81	75	58
Вологодская область	424	464	561	469	483	466	482	410
Калининградская область	2533	2075	2023	1961	1897	1799	1859	1990
Ленинградская область	6246	6388	6422	6467	6374	6463	6477	6431
Мурманская область	2765	2345	2195	2102	2071	2057	2097	2102
Новгородская область	1253	861	876	849	820	873	892	982
Псковская область	427	280	287	262	230	276	318	516
г. Санкт-Петербург	98371	87861	85290	85709	81654	81430	79813	81000

Продолжение табл.4.2.2

	2000	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011
Южный федеральный округ	31752	28875	29290	30458	27492	27695	28109	27738
Республика Адыгея	168	163	361	361	320	327	330	357
Республика Калмыкия	205	221	227	217	214	199	203	190
Краснодарский край	7332	7000	7324	6997	6452	6379	6256	6059
Астраханская область	1669	1621	1444	1859	1047	942	917	966
Волгоградская область	4797	4157	4017	4553	3657	3965	4001	3988
Ростовская область	17581	15713	15917	16471	15802	15883	16402	16178
Северо-Кавказский федеральный округ	5670	5655	5920	6256	6141	6051	6053	8585
Республика Дагестан	1776	1827	1882	1910	1778	1658	1642	1628
Республика Ингушетия	-	23	26	87	83	95	95	112
Кабардино-Балкарская Республика	732	682	730	725	678	727	677	704
Карачаево-Черкесская Республика	592	569	546	522	507	497	491	506
Республика Северная Осетия - Алания	642	549	572	684	686	608	643	685
Чеченская Республика	…	271	276	351	333	361	412	639
Ставропольский край	1928	1734	1888	1977	2076	2105	2093	4311
Приволжский федеральный округ	150046	140592	134188	126903	120644	117000	116285	111579
Республика Башкортостан	10290	8415	8047	8281	8005	7543	7655	8052
Республика Марий Эл	1835	1011	520	475	201	206	170	190
Республика Мордовия	1393	1100	1089	1068	1316	1204	901	926
Республика Татарстан	16243	14352	14227	13289	12940	12783	13175	13258
Удмуртская Республика	2506	2102	1972	1594	1692	1438	1525	2000
Чувашская Республика	1809	1406	1069	745	1158	1008	942	943
Пермский край	12729	13229	11506	10510	9740	9877	9739	9899
Кировская область	2009	2038	1937	2044	1973	1815	1615	1707
Нижегородская область	48251	49797	46989	44400	42832	40909	40636	39902
Оренбургская область	1337	919	949	1039	1065	1048	947	914
Пензенская область	7858	7103	7119	7194	6611	6082	6220	6413
Самарская область	25857	24506	24856	23390	20462	20627	20189	15666
Саратовская область	9610	6677	6317	5811	5414	5099	4982	4828
Ульяновская область	8319	7937	7591	7063	7235	7361	7589	6881
Уральский федеральный округ	50803	49670	49377	47562	43695	42276	42672	43586
Курганская область	1927	1267	945	924	828	717	644	706
Свердловская область	27565	25076	24755	23859	21357	20390	20379	20906
Тюменская область	4935	5488	6147	7605	6883	6923	7160	6750
в том числе:
Ханты-Мансийский автономный округ - Югра	1085	2269	2192	3266	2634	2641	1958	1876
Ямало-Ненецкий автономный округ	209	98	111	100	85	4	16	46
Челябинская область	16376	17839	17530	15174	14627	14246	14489	15224
Сибирский федеральный округ	62477	60986	58647	56427	53956	53463	53024	52794
Республика Алтай	90	111	132	168	173	156	158	172
Республика Бурятия	1209	1231	1003	985	954	969	952	1144
Республика Тыва	285	327	332	416	414	425	416	415
Республика Хакасия	128	282	205	198	193	166	149	148
Алтайский край	3427	2732	2775	2731	2267	2054	1955	2182
Забайкальский край	680	509	608	520	512	335	322	313
Красноярский край	7196	7102	6846	6685	6287	6299	6475	6748
Иркутская область	5295	4829	4557	4910	4897	4919	4912	5075
Кемеровская область	2090	1476	1511	1496	1327	1336	1258	1231
Новосибирская область	25168	24791	23438	22561	21597	21622	21615	21569
Омская область	8872	9367	8983	7246	6961	6622	6125	5002
Томская область	8037	8229	8257	8511	8374	8560	8687	8795
Дальневосточный федеральный округ	14184	14347	14051	14143	13496	12923	12776	13407
Республика Саха (Якутия)	2662	2573	2450	2537	2359	2258	2249	2379
Камчатский край	993	1293	1333	1232	1193	1207	1154	1152
Приморский край	6225	6471	6458	6296	5965	5548	5493	5590
Хабаровский край	1683	1536	1390	1737	1700	1635	1500	1627
Амурская область	1013	890	807	778	774	819	830	824
Магаданская область	567	599	617	603	575	566	572	638
Сахалинская область	912	865	883	858	834	794	901	869
Еврейская автономная область	71	72	74	65	60	60	60	309
Чукотский автономный округ	58	48	39	37	36	36	17	19

По данным таблиц 4.2.1 и 4.2.2 для регионов Центрального, Северо-западного и Приволжского округов составим корреляционную таблицу 4.2.3 и корреляционное поле, приведённое на рис.4.2.1. Средние значения ВВП, вычисленные по градациям аргумента таблицы 4.2.3, прорисованы на рис. 4.2.1 красным цветом.

Таблица 4.2.3. - Корреляционная таблица

ВВП Кол.	До 100	До 150	До 200	До 250	До 300	До 350	До 400	До 800	Кол.	Ср. кол.	Ср. ВВП
До 500	-	3	-	2	-	-	-	-	5	281.8	161.4
До 1000	1	4	3	1	-	-	-	-	9	874.3	150.3
До 2000	-	2	1	1	2	-	1	-	7	1523	224.1
До 4000	-	1	1	-	1	-	-	-	3	2471	204.7
До 8000	-	3	5	-	1	-	-	-	9	5977	169.1
До 16000	-	1	1	1	1	-	-	-	4	11547	206.8
До 32000	-	-	-	1	-	-	-	-	1	20189	215.0
До 64000	-	-	1	-	-	-	-	-	1	40636	195.0
До 128000	-	-	-	-	1	1	-	-	2	82194	299.0
До 256000	-	-	-	-	-	-	-	1	1	241226	733.0

Итого: 42 региона

Центрального, Северо-западного и Приволжского регионов

350 •

ВВП на душу населения в тыс. руб. •

300

•

• •

250 • • •

•

200 • • •

• • •

150 • • • • •

• •

• • •• •• • • •

100• • •

0.5 • 1.0 2.0 4.0 8.0 16.0 32.0 64.0 128

Количество исследователей и разработчиков в тысячах человек

Рис.4.2.1. – Корреляционное поле зависимости объёма ВВП на душу

населения от количества разработчиков и исследователей

Республика Коми при количестве разработчиков и исследователей – 1748 имеет ВВП – 389064 рубля на душу населения, что вводит некоторую флуктуациюв рис.4.2.1.

По рис.4.2.1 и таблице 4.2.3 можно сделать вывод о наличии общей тенденции повышения ВВП при увеличении количества исследователей и разработчиков. Корреляционная зависимость между этими признаками имеет нелинейный колебательный характер. Можно надеяться, что при увеличении количества анализируемых регионов корреляционная зависимость будет приближаться к линейной и пропадёт выявленный колебательный процесс.

4.3. Выбор метода корреляционного анализа

Из 14 используемых на практике методов установления наличия связи между случайными величинами [10] сформулируем рекомендации по их вы-бору в зависимости от вида переменных, которые могут быть количествен-ными, или качественными, ранжируемыми, или неранжируемыми, ограни-ченными по количеству градаций, или неограниченными, подчиняющимися нормальному закону, или произвольному закону. В соответствии с выше-сказанными условиями составим таблицу методов 4.3.1.

Таблица 4.3.1. Основные методы корреляционного анализа.

Коэф. оценки	Фактор	Отклик	Ранжиру- емость	Нормаль- ность	Линей- ность	Наличие кол. показ.сущест.	Средства реализации
1.Биссериаль- ный	Колич.	Качест.	2 град. по отклику	Не треб.	Не треб.	Не имеется
2.Фехнера	Колич.	Колич.	Не треб.	Не треб.	Не треб.	Не имеется
3.Ранг. Спир- мена	Колич. и качест.	Колич. и качест.	Треб.Кол. не огран.	Требуется	Не треб.	Имеется
4.Ранг. Кен- дала	Колич. и качест.	Колич. и качест.	Треб.Кол. не огран.	Не треб.	Не треб.	Не имеется
5.Ассоциации	Качест.	Качест.	Треб. 2 градации	Не треб.	Не треб.	Не имеется
6.Континген- тности	Качест.	Качест.	Треб. 2 градации	Не треб.	Не треб.	Не имеется
7.Коэф. лине-йной коррел.	Колич.	Колич.	Не треб.	Требуется	Требу- ется	Имеется
8.Корреляци- онное отнош.	Колич.	Колич.	Не треб.	Не треб.	Не треб.	Не имеется
9.Пирсона- Чупрова	Качест.	Качест.	Треб. 2 градации	Не треб.	Не треб.	Имеется
10.Пирсона- Чупрова 1	Качест.	Качест.	Треб. 2 градации	Не треб.	Не треб.	Имеется
11.Пирсона- Чупрова 2	Качест.	Качест.	Треб. 2 градации	Не треб.	Не треб.	Имеется
12.Конкорда-ции	Качест.	Качест.	Треб.	Не треб.	Не треб.	Имеется
13.Множеств.детерминаци	Колич.	Колич.	Не треб.	Треб.	Треб.	Имеется
14.Множеств. корреляции	Колич.	Колич.	Не треб.	Треб.	Треб.	Имеется

Существенность вычисленных показателей корреляционной связи можно оценить по шкале Чеддока, приведённой в таблице 4.3.2.

Таблица 4.3.2. Шкала Чеддока

4.4. Биссериальный коэффициент корреляции

Биссериальный коэффициент корреляции позволяет изучить связь меж-ду качественным результативным (откликом) и количественным факторным признаком. Для его вычисления исследуемые объекты разбиваются на две группы. Биссериальный коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

(4.4.1)

где среднее значение отклика в первой группе;

среднее значение отклика во второй группе;

p1 - удельный вес (вероятность) первой группы в совокупности;

p2 - удельный вес (вероятность) второй группы в совокупности;

σy – среднее квадратическое отклонение отклика;

Z1 - табличное значение Z-распределения в зависимости от p1.

Значение Zi для рi можно взять из соответсвующей таблицы, либо вычислить по формуле:

(4.4.2)

Если вычисленное значение r ≥0,3 то корреляционная связь считается существенной.

Пример 4.4.1

Требуется оценить связь между семейным положением женщины – качественным признаком (откликом) и уровнем оплаты её труда количественным признаком (фактором). Исходные статистические данные обследования представлены в виде таблицы 4.4.1.

Таблица 4.4.1. Исходные данные для примера 4.4.1

Семейное	Уровень	оплаты	труда	в тыс. руб.	Всего
положение	До 8	8 - 16	16 -24	Более 24	человек
Среднее значение	7	12	20	25
Замужем	98	86	42	24	250
Не замужем	37	46	78	89	250
Итого	135	132	120	113	500

Проведём вычисления.

Средняя зарплата замужних женщин:

Средняя зарплата незамужних женщин:

Средняя зарплата замужних и незамужних женщин:

Стандартное отклонение заработной платы:

Вероятность учёта замужних женщин:

Вероятность учёта незамужних женщин:

Значение Z-распределения:

Биссериальный коэффициент корреляции:

Так как r=0,38>0,3 делаем заключение, что связь между семейным положением женщин и их заработанной платой имеется, но превышение r над 0,3 сравнительно невелико, то её следует отнести к умеренной.

4.5. Непараметрический показатель связи – коэффициент Фехнера

Простейшим непараметрическим показателем связи является коэффициент Фехнера. Коэффициент Фехнера не требует нормальности распределений случайных величин. В основе его вычисления лежит принцип сопоставления отклонений признаков от своих средних значений. Его применение основано на допущении, что отклонения отклика от своей средней величины должно соответствовать отклонению фактора от своей средней величины. Коэффициент Фехнера вычисляется по формуле:

(4.5.1)

где С – число совпадений знаков отклонений;

Н – число несовпадений знаков отклонений.

Коэффициент Фехнера может принимать значения от -1 до +1. При Kf=±1

связь между признаками х и у функциональная (не случайная). При Kf=0 связь между признаками х и у отсутствует. Промежуточные значения Kf характеризуют степень связи между между признаками х и у.

Пример 4.5.1. Оценить связь объёмов продаж с затратами на рекламу по данным, приведённым в таблице 4.5.1. Средние значения признаков вычислены по следующим формулам:

(4.5.2)

Результаты вычислений сведены в таблицу 4.5.1.

Таблица 4.5.1. Исходные данные и вычисление коэффициента Фехнера

Календарный интервал - i	Затраты на рекламу - xi		Объём продаж - yi		Совпадение отклонений +
1	194	60.7	2560	233.9	+
2	186	52.7	1945	-381.1	-
3	52	-81.3	1450	-876.1	+
4	78	-55.3	1120	-1206.1	+
5	145	11.7	2389	62.9	+
6	178	44.7	4590	2263.9	+
7	130	-3.3	3460	1133.9	-
8	189	55,7	2378	51.9	+
9	89	-44.3	1580	-746.1	+
10	92	-41.3	1789	-537.1	+
Итого:	133.3		2326.1		8 совпадений; 2 несовпадения

По формуле (4.5.1) вычислим коэффициент Фехнера:

Связь между объёмом продаж и затратами на рекламу можно считать прямой и умеренной.

Недостатком коэффициента Фехнера является равенство различных по абсолютной величине отклонений физических значений признаков от средних значений без учёта величины разницы.

4.6. Коэффициенты корреляции рангов

Коэффициенты корреляции рангов можно вычислять как между количественными, так и между качественными признаками при условии, что их можно ранжировать. К ним относятся коэффициенты корреляции рангов Спирмена и Кендалла.

Коэффициент корреляции рангов Спирмена

Для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками, при условии, что они представляют однородные объекты и могут быть ранжированы по одному и тому же принципу можно использовать коэффициент корреляции рангов Спирмена, вычисляемый по формуле:

(4.6.1)

где di – разность между величинами рангов аргумента (фактора) и функции (отклика) i – го варианта;

n - количество вариантов.

Если количество вариантов сравнительно велико и их распределение подчиняется нормальному закону, то значимость коэффициента рангов Спирмена можно оценить по критерию Стьюдента по формуле:

(4.6.2)

По статистическим таблицам находится критическое значение критерия Стьюдента tкрит для рекомендуемого уровня значимости α=0,05 при количестве степеней свободы k=n-2. Если tвыч ≥ tкрит то связь между переменными считается существенной. При сравнительно небольших выборках для установления существенности связи между переменными используют специальную таблицу критических значений коэффициента корреляции рангов Спирмена [10].

Пример 4.6.1

Для примера применения коэффициента корреляции рангов Спирмена используем значения затрат на рекламу и объёма продаж, представленные в таблице 4.5.1, введём по ним ранги по возрастанию их значений. Результаты ранжирования представим в таблице 4.6.1.

Таблица 4.6.1. Значения объёмов продаж и затрат на рекламу

Календарный нтервал - i	Затраты на рекламу - xi	Ранг - Rxi	Объём продаж - yi	Ранг - Ryi	di= Rxi - Ryi	di2
1	194	10	2560	8	2	4
2	186	8	1945	5	3	9
3	52	1	1450	2	-1	1
4	78	2	1120	1	1	1
5	145	6	2389	7	-1	1
6	178	7	4590	10	-3	9
7	130	5	3460	9	-4	16
8	189	9	2378	6	3	9
9	89	3	1580	3	0	0
10	92	4	1789	4	0	0

Так как количество вариантов п=10 сравнительно не велико, то для оценки существенности связи воспользуемся специальной статистической таблицей [10], по которой найдём, что при п=10 и рекомендуемом уровне значимости α=0,05 критическое значение ρкрит=0,634. Так как вычисленное значение ρвыч превышает критическое значение ρкрит , то связь между переменными при принятых условиях признаем существенной. Если, например, уменьшить уровень значимости до α=0,02 то критическое значение ρкрит=0,733. Так как вычисленное значение ρвыч при принятых условиях не превышает критическое значение ρкрит, то связь между переменными при принятых условиях признаем несущественной.

При допущении о нормальности распределения переменных вычислим критерий Стьюдента:

По статистическим таблицам найдём критическое значение критерия Стьюдента для рекомендуемого значения уровня значимости α=0,05 и количестве степеней свободы п-2: tкрит=2,31. Так как вычисленное значение критерия Стьюдента превышает критическое, то будем считать связь между переменными существенной.

Коэффициент корреляции рангов Кендалла

Для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками, характеризующие однородные объекты и ранжированные по одному и тому же принципу можно использовать коэффициент корреляции рангов Кендалла, вычисляемый по формуле:

(4.6.3)

где Рi – количество случаев для i-го варианта (календарного интервала),

ранг которых превышает i-е значение;

Qi - количество случаев для i-го варианта (календарного интервала),

ранг которых не превышает i-е значение;

n - количество вариантов.

Существенность коэффициента корреляции рангов Кендалла, при условии нормальности распределений случайных величин, проверяют по формуле:

(4.6.4)

Критическое значение критерия Стьюдента находится по статистическим таблицам [10] для рекомендуемого значения уровня значимости α=0,05 и количества степеней свободы п-2.

Пример 4.6.2

Подсчитаем коэффициент корреляции рангов Кендалла для примера 4.5.1. Проведём ранжирование вариантов по рангу Rxi по данным таблицы 4.5.1 и вместе с проведёнными расчётами составим таблицу 4.6.2.

Таблица 4.6.2. Значения объёмов продаж и затрат на рекламу

Календарный нтервал - i	Затраты на рекламу - xi	Ранг - Rxi	Объём продаж - yi	Ранг - Ryi	Pi	Qi	Pi -Qi
3	52	1	1450	2	8	1	8
4	78	2	1120	1	8	0	8
9	89	3	1580	3	7	0	7
10	92	4	1789	4	6	0	6
7	130	5	3460	9	1	4	-3
5	145	6	2389	7	2	2	0
6	178	7	4590	10	0	3	-3
2	186	8	1945	5	2	0	2
8	189	9	2378	6	1	0	1
1	194	10	2560	8	0	0	0

Вычислим коэффициент корреляции рангов:

Вычисленное значение положительно и превышает рекомендуемое значение 0,50, что указывает на наличие существенной зависимости между переменными.

При допущении о нормальности распределений исходных данных существенность коэффициента корреляции рангов Кендалла проверим по формуле (4.6.4):

Критическое значение критерия Стьюдента находится по статистическим таблицам для рекомендуемого значения уровня значимости α=0,05 и количества степеней свободы п-2 [10]: tкрит=2,31.

Так как τвыч = τкрит то делаем заключение о наличии существенной связи между переменными.

4.7. Коэффициенты ассоциации и контингенции

Коэффициенты ассоциации и контингенции можно использовать для оценки тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух градаций. Для проведения расчётов строится таблица сопряжённости 4.7.1.

Таблица 4.7.1. Таблица сопряжённости двух признаков

	1-е значение	2-е значение	Сумма
1-й признак	a	b	a+b
2-й признак	c	d	c+d
Сумма	a+c	b+d	a+b+c+d

По таблице сопряжённости вычисляются коэффициент ассоциации:

(4.7.1)

и коэффициент контингенции:

(4.7.2)

Связь считается существенной, если Ka ≥0.5 и Kk ≥0.3. (4.7.3)

Пример 4.7.2. Установить тесноту связи между наличием вклада и семейным положением клиентов сбербанка по результатам таблицы 4.7.2.

Таблица 4.7.2. Таблица сопряжённости наличия вклада и семейного

положения клиентов сбербанка

Семейное положение	Число клиентов со сбережениями	Число клиентов со сбережениями	Сумма
Одинокие	250	150	400
Семейные	800	450	1250
Сумма	1050	600	1650

По формулам (4.7.1), (4.7.2) вычислим коэффициенты ассоциации и контингенции:

Ввиду того, что вычисленные значения коэффициентов ассоциации и контингенции не удовлетворяют условию (4.7.3) делаем заключение, что наличие вкладов в сбербанке не зависит от семейного положения клиентов.

4.8. Коэффициенты оценки связи качественных

признаков, представленных несколькими градациями

Если каждый из двух качественных признаков состоит из более чем двух градаций, то для определения тесноты связи возможно применение коэффициента сопряжённости Пирсона-Чупрова и двух его модификаций. Коэффициент сопряжённости Пирсона-Чупрова вычисляется по формулам:

(4.8.1)

(4.8.2)

где φ2 – показатель взаимной сопряжённости;

К1 – число градаций первого признака:

К2 - число градаций второго признака.

Коэффициент взаимной сопряжённости вычисляется по формуле:

(4.8.3)

где nij – число сотрудников по i-ой градации первого признака и j-ой

градации второго признака;

ni - общее количество сотрудников по i-ой градации первого признака;

nj - общее количество сотрудников по j-ой градации второго признака.

Пример 4.8.1. Требуется проанализировать зависимость распределения сотрудников строительной фирмы по должностям (второй признак) от их уровня образования (первый признак). Исходные данные представлены в таблице 4.8.1.

Должность Образование	Руководители	Служащие	Рабочие	Итого
Высшее	10	30	5	45
Неполн. высшее	7	25	10	42
Среднее специальное	2	15	50	67
Среднее общее	1	10	25	36
Итого	20	80	90	190

По (4.8.3) по данным таблицы 4.8.1 вычислим показатель взаимной сопряжённости:

φ2= (102/20+302/80+52/90)/45+(72/20+252/80+102/90)/42+

+(22/20+152/80+502/90)/67+(12/20+102/80+252/90)/36-1=0.326.

Вычислим коэффициенты взаимной сопряжённости:

По значения вычисленных коэффициентов сопряжённости определяем наличие связи, которую следует считать умеренной.

На практике используются две модификации коэффициента взаимной сопряжённости Чупрова. Первая из них требует вычисления по формуле:

(4.8.4)

где χ2 – критерий Пирсона;

n - общее количество градаций по первому и второму признакам.

Критерий Пирсона вычисляется по формуле:

(4.8.5)

По второй модификации коэффициент сопряжённости вычисляется по формуле:

(4.8.6)

Продемонстрируем применение модифицированных коэффициентов сопряжённости на рассмотренном ранее примере по данным таблицы 4.8.1.

Вычислим значение критерия Пирсона:

Вычислим коэффициенты сопряжённости Чупрова по первой и второй модификации:

По значения вычисленных коэффициентов сопряжённости по первой и второй модификации определяем наличие связи, которую следует считать средней.

4.9. Коэффициенты корреляции количественных признаков

В качестве количественной меры оценки взаимосвязи между случайными величинами используются коэффициент линейной корреляции и эмпирическое корреляционное отношение. Оба показателя введены Пирсоном.

Коэффициент линейной корреляции используется в случае нормальности распределений случайных величин х и у и наличия линейной зависимости между ними. Он вычисляется по n экспериментальным данным по следующей формуле:

(4.9.1)

В формуле (4.9.1) оценки математических ожиданий переменных х, у и их произведения вычисляются по формулам:

(4.9.2)

Оценки вторых начальных моментов требуются для вычисления средних квадратических отклонений. Для этого используются следующие формулы:

(4.9.3)

(4.9.4)

Если коэффициент линейной корреляции близок к 1, то корреляционная связь между переменными положительная, близкая к линейной (рис.4.9.1). Если коэффициент линейной корреляции близок к -1, то корреляционная связь между переменными отрицательная, близкая к линейной (рис.4.9.2). Если коэффициент линейной корреляции близок к 0, то между переменными имеется слабая корреляционная связь (рис.4.9.3). Для независимых переменных коэффициент линейной корреляции равен нулю.

Рис.4.9.1. Графики зависимости между случайными переменными при

различных значениях коэффициента линейной корреляции

Оценить существенность коэффициента линейной корреляции между случайными переменными по критерию Стьюдента можно при условии, что распределения этих случайных величин подчиняется нормальному закону и что они имеют совместное двумерное нормальное распределение.

Коэффициент линейной корреляции является случайной величиной, и поэтому для него может быть вычислена стандартная ошибка

. (4.9.5)

По статистическим таблицам находим критическое значение коэффициента линейной корреляции.

. (4.9.6)

В случае, если значение коэффициента линейной корреляции, вычисленное по (4.9.1), по абсолютной величине не меньше 0,8, то можно ожидать наличие между переменными линейной зависимости и в уравнения регрессии вводить сами факторы в первой степени. Если значение коэффициента линейной корреляции по абсолютной величине лежит в диапазоне от критического значения до 0,8, то в уравнения регрессии рекомендуется вводить сравнительно несложные функции от факторов. Рекомендуется использовать следующие функции от факторов xi; : для увеличения масштаба фактора х относительно результативного показателя эффективности у; - для уменьшения масштаба фактора х относительно результативного показателя эффективности у; - для отображения обратной связи между фактором х и результативным показателем эффективности у. Если значение коэффициента линейной корреляции по абсолютному значению меньше критического, то такие факторы рекомендуется не включать в уравнения регрессии.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется по формуле

(4.9.7)

где δ* – оценка межгруппового среднего квадратического отклонения;

σу* – оценка среднего квадратического отклонения результативного

признака.

. (4.9.8)

Эмпирический коэффициент детерминации в долях от 1 показывает на сколько изменение результативного признака объясняется изменением факторного признака, Он вычисляется по формуле:

(4.9.9)

Пример 4.9.1

Вычислим коэффициент линейной корреляции и эмпирическое корреля-ционное отношение для оценки тесноты связи между оборотным капиталом предприятий и их прибылью, Статистические данные по указанным признакам для 25 предприятий приведены в таблице 4.9.1.

Таблица 4.9.1. Исходные данные для примера 4.9.1

№ предприятия - i	Оборотный капитал - хi в тыс. руб.	Прибыль - yi в тыс. руб.
1	634	127
2	536	86
3	726	184
4	510	82
5	656	137
6	547	110
7	809	193
8	732	190
9	807	184
10	766	189
11	664	135
12	751	175
13	556	115
14	836	210
15	739	169
16	846	215
17	934	264
18	927	241
19	851	235
20	678	167
21	832	275
22	748	157
23	717	164
24	944	314
25	959	286

Для наглядности вычислений добавим в таблицу 4.9.1 ещё три вспомогательных столбца со значениями: хi2, yi2, xi yi и поместим полученные результаты в таблицу 4.9.2.

Таблица 4.9.2. Предварительные расчёты для примера 4.9.1

Номер предпри- ятия - i	Оборотный капитал- хi	Прибыль - yi	xi2	yi2	xi yi
1	634	127	401956	16129	80518
2	536	86	287296	7396	46096
3	726	184	527076	33856	133584
4	510	82	260100	6724	41820
5	656	137	430336	18769	89872
6	547	110	299209	12100	60170
7	809	193	654481	37249	156137
8	732	190	535824	36100	139080
9	807	184	651249	33856	148488
10	766	189	586756	35721	144774
11	664	135	440896	18225	89640
12	751	175	564001	30625	131425
13	556	115	309136	13225	63940
14	836	210	698896	44100	175560
15	739	169	546121	28561	124891
16	846	215	715716	46225	181890
17	934	264	872356	69696	246576
18	927	241	859329	58081	223407
19	851	235	724201	55225	190985
20	678	167	459684	27889	11326
21	832	275	692224	73625	228800
22	748	157	559504	24649	117436
23	717	164	514089	26896	117588
24	944	314	891`136	98596	296416
25	959	286	919681	81796	274274
Итого	18705	4604	14401233	937314	3625593
Оценки моментов	18705/25= =748,2	4604/25= =184,16	14401233/25= =576049,32	937314/25= =37492,56	3625593/25= =145023,72

Вычислим средние квадратические отклонения:

Вычислим коэффициент линейной корреляции.

Вычислим критическое значение коэффициента линейной корреляции:

Значение tкрит=2,0687 находим по статистическим таблицам для

рекомендуемого уровня значимости α=0.05 и количества степеней свободы:

п-2=25-2=23.

Ввиду того, что вычисленное значение коэффициента линейной корреля-

ции превышает критическое значение, то анализируемую связь будем счи-тать существенной, а ввиду того что оно превышает 0,8, то делаем заключе-ние, что эта связь положительная и близкая к линейной.

Для вычисления эмпирического корреляционного отношения сгруппи-

руем предприятия и результаты группировки представим в таблице 4.9.3.

Таблица 4.9.3. Исходные данные для вычисления корреляционного

отношения

Номер интервала - i	Границы интервала	Кол. предпри- ятий - ni	Середина ин- тервала - xi	Средняя прибыль - уi
1	510-600	4	555	98,25
2	600-690	4	645	141,50
3	690-780	7	735	175,43
4	780-870	6	825	218,67
5	879-960	4	915	276,25

Вычислим оценку межгрупповой дисперсии:

=((98,25-184,16)2×4+(141,5-184,16)2×4+

+ (175,43-184,160)2×7+(218,67-184,16)2×6+(276,25-184,16)2×4)/25=3136,12.

Вычислим общую дисперсию результативного признака:

Вычислим эмпирическое корреляционное отношение:

Вычислим эмпирический коэффициент детерминации:

Эмпирический коэффициент детерминации показывает, что более 87% изменения результативного признака объясняется изменением факторного признака, что позволяет сделать заключение о наличии существенной связи между ними.

Возможность применения линейной функции для представления

зависимости y=f(x) можно оценить по величине ω, вычисляемой по формуле:

Ввиду того, что вычисленное значение ω2 по абсолютному значению

меньше критического значения критерия Фишера Fкрит=3,1, найденного по статистическим таблицам для рекомендуемого значения уровня значимости α=0,05 и двух степенях свободы: k1=k-2=5-2=3 и k2=n-k=25-5=20, то делаем заключение о сильной близкой к линейной связи результативного признака у с факторным признаком х.

Вычислим коэффициенты линейного уравнения регрессии y=b0+b1;

Таким образом, получили линейное уравнение:

Вычислим коэффициент эластичности, который показывает на сколько процентов изменится результативный признак при изменении факторного признака на один процент:

Вычислим β-коэффициент, который показывает на сколько процентов изменится среднее квадратическое отклонение результативного признака при изменении среднего квадратического отклонения факториного признакана один процент:

Пример 4.9.2

Провести корреляционный анализ показателей нефтегазодобывающей отрасли России, представленных в таблице 4.9.4.

Таблица 4.9.4. Исходные данные для примера 4.9.2

Показатель	Код	1996 г.	1977 г.	1998 г.	1999 г.	2000 г.	2001 г.	2002 г.
Добыча нефти в млн. тонн	y	269,91	270,94	264,70	268,53	281,29	301,73	341,60
Разведочное бурение в тыс. метрах	x1	1026,4	1006,7	789.0	824,9	1013,7	1145,1	1410,4
Эксплуатацион- ное бурение в тыс. метрах	x2	6762,2	6997,7	4697,7	4872,5	8286,7	9011,0	10024,5
Всего бурение в тыс. метрах	x3	7788,6	8004,4	5486,7	5697,4	9300,4	10156,1	11434,9
Кол. добываю- щих скважин	x4	106645	101224	97557	101937	109939	114883	113672
Кол. простаива- ющих скважин	x5	37396	35958	34131	32932	31940	31479	34228
Всего скважин	x6	144041	137182	131688	134869	141879	146362	147900
Ввод новых скважин	x7	3419	3001	2376	2552	3405	4023	3901
Закуплено бе- тонита в тыс. т.	x8	78,94	86,66	60,25	56,41	70,97	67,32	73,00

По данным таблицы 4.9.4 аналогично предыдущему примеру вычислены коэффициенты линейной корреляции между всеми переменными и результаты вычислений помещены в таблицу 4.9.5.

Таблица 4.9.5. Коэффициенты линейной корреляции для переменных

примера 4.9.2

Коды	y	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
y	1	0,932	0,850	0,862	0,865	-0,242	0,765	0,758	0,099
x1	0,932	1	0,937	0,948	0,831	-0,015	0,894	0,880	0,426
x2	0,830	0,937	1	0,999	0,916	-0,229	0,911	0,944	0,423
x3	0,862	0,948	0,999	1	0,913	-0,210	0,915	0,944	0,425
x4	0,865	0,831	0,916	0,913	1	-0,399	0,947	0,961	0,157
x5	-0,242	-0,015	-0,299	-0,210	-0,388	1	-0,071	-0,174	0,613
x6	0,765	0,894	0,911	0,915	0,947	-0,071	1	0,979	0,383
x7	0,758	0,882	0,944	0,944	0,961	-0,174	0,979	1	0,391
x8	0,099	0,426	0,423	0,425	0,157	0,613	0,383	0,391	1

Вычислим критическое значение коэффициента линейной корреляции:

Значение tкрит=2,5706 находим по статистическим таблицам для

рекомендуемого уровня значимости α=0.05 и количества степеней свободы:

п-2=7-2=5.

Проведём анализ результатов, приведённых в таблице 4.9.5. Так как коэффициенты линейной корреляции /ryx5/=0,242<rкрит и /ryx8/=0,099<rкрит, то связь результативного показателя у с факторами х5 и х8 является несущественной и поэтому эти факторы не будем включать в уравнение регрессии. Для решения вопроса о включении в уравнение регрессии других факторов будем последовательно рассматривать имеющиеся факторы попарно.

Сначала проверим выполнение неравенств для результативного показателя у и факторов х1 и х2.

ryx1>rx1x2; 0,932<0,937; не выполняется.

ryx2>rx1x2; 0,850<0,937; не выполняется.

Оба неравенства не выполняются, Это указывает на то, что связь между факторами х1 и х2 является более существенной чем между этими факторами и результативным показателем у. В этом случае рекомендуется оставить для включения в уравнение регрессии фактор, у которого коэффициент линейной корреляции больше. Так как rx1=0,932>rx2=0,850, то для включения в уравнение регрессии оставляем фактор х1.

Проверим выполнение неравенств для результативного показателя у и факторов х1 и х3.

ryx1>rx1x3; 0,932<0,948; не выполняется.

ryx3>rx1x3; 0,862<0,948; не выполняется.

Оба неравенства не выполняются. Это указывает на то, что связь между факторами х1 и х3 является более существенной чем между этими факторами и результативным показателем у. В этом случае рекомендуется оставить для включения в уравнение регрессии фактор, у которого коэффициент линейной корреляции больше. Так как ryx1=0,932>rуx3=0,862, то для включения в уравнение регрессии оставляем фактор х1.

Проверим выполнение неравенств для результативного показателя у и факторов х1 и х4.

ryx1>rx1x3; 0,932>0,785; выполняется.

ryx3>rx1x3; 0,865>0,785; выполняется.

Оба неравенства выполняются. Это указывает на то, что связь между факторами х1 и х3 является менее существенной чем между этими факторами и результативным показателем у. В этом случае рекомендуется оставить для включения в уравнение регрессии оба фактора: х1 и х4.

Проверим выполнение неравенств для результативного показателя у и факторов х1 и х6.

ryx1>rx1x6; 0,932>0,894; выполняется.

ryx6>rx1x6; 0,765<0,894; не выполняется.

Первое неравенство выполняется, а второе не выполняется. Это ещё раз подтверждает что связь между фактором х1 и результативным показателем у является существенной. Не выполнение второго неравенства позволяет не включать фактор х6 в уравнение регрессии, но для большей убедительности при принятии такого решения проверим выполнение неравенств для результативного показателя у и факторов х4 и х6.

ryx4>rx4x6; 0,865<0,947; не выполняется.

ryx6>rx4x6; 0,765<0,947; не выполняется.

Оба неравенства не выполняются. Это указывает на то, что связь между факторами х4 и х6 является более существенной чем между этими факторами и результативным показателем у. В этом случае рекомендуется оставить для включения в уравнение регрессии фактор, у которого коэффициент линейной корреляции больше. Так как ryx4=0,865>rуx6=0,765, то для включения в уравнение регрессии оставляем фактор х4.

Проверим выполнение неравенств для результативного показателя у и факторов х1 и х7.

ryx1>rx1x7; 0,932>0,882; выполняется.

ryx7>rx1x7; 0,758<0,882; не выполняется.

Первое неравенство выполняется, а второе не выполняется. Это ещё раз подтверждает что связь между фактором х1 и результативным показателем у является существенной. Не выполнение второго неравенства позволяет не включать фактор х7 в уравнение регрессии, но для большей убедительности при принятии такого решения проверим выполнение неравенств для результативного показателя у и факторов х4 и х7.

ryx4>rx4x7; 0,865<0,961; не выполняется.

ryx7>rx4x7; 0,758<0,961; не выполняется.

Оба неравенства не выполняются. Это указывает на то, что связь между факторами х4 и х7 является более существенной чем между этими факторами и результативным показателем у. В этом случае рекомендуется оставить для включения в уравнение регрессии фактор, у которого коэффициент линейной корреляции больше. Так как ryx4=0,865>rуx7=0,758, то для включения в уравнение регрессии оставляем фактор х4.

Таким образом, проведённый статистический анализ позволил обосновать целесообразность включения в уравнение регрессии двух факторов: х1 и х4. Решение о не включении в уравнение регрессии факторов: х5 и х8 принято ввиду несущественности их связи с результативным показателем у. а других факторов: х2, х3, х6, и х7 принято ввиду наличия существенной корреляционной связи между ними с факторами х1 и х4.

Пример 4.9.3

Вычислить коэффициенты линейной корреляции между результативными показателями социально-экономическеого состояния населения города Елабуга – уj; и расходными статьями бюджета - хi; и по вычисленным значениям построить столбчатые диаграммы. Перечень переменных, отобранных для исследования представлен в таблице 4.9.6.

Таблица 4.9.6. Перечень переменных для примера 4.9.3

Код	Наименование переменной
x1	Статья бюджета “Общегосударственные вопросы” (тыс. руб.)
x2	Статья бюджета “Национальная безопасность и правоохранительная деятельность” (тыс. руб.)
x3	Статья бюджета “Национальная экономика” (тыс. руб.)
x4	Статья бюджета “Жилищно-коммунальное хозяйство” (тыс. руб.)
x5	Статья бюджета “Культура, кинематография и средства массовой информации” (тыс. руб.)
x6	Статья бюджета “Образование” (тыс. руб.)
x7	Статья бюджета “Здравоохранение. Спорт и физическая культура” (тыс. руб.)
x 8	Статья бюджета “Социальная политика” (тыс. руб.)
x 9	Статья бюджета “Межбюджетные трансферты” (тыс. руб.)
z1	Численность населения (тыс. чел.)
z2	Численность населения трудоспособного возраста (тыс. чел.)
z3	Численность работающих на крупных предприятиях (тыс. чел.)
z4	Уровень безработицы (%)
z5	Объем промышленной продукции (млн. руб., до 1997г. – млрд. руб.)
z6	Среднемесячная заработная плата (руб., до 1997г. – тыс. руб.)
z7	Прожиточный минимум на члена семьи (руб., до 1997г. – тыс. руб.)
z8	Стоимость набора из 25 основных продуктов питания (руб., до 1997г. – тыс. руб.)
z9	Обеспеченность населения общей площадью жилья на 1 жителя (кв. м.)
z10	Ввод жилых домов (кв. м. общ. пл.)
z11	Объем реализации платных услуг в расчете на 1 жителя (руб., до 1997г. – тыс. руб.)
z12	Объем реализации бытовых услуг в расчете на 1 жителя (руб., до 1997г. – тыс. руб.)
z13	Оборот розничной торговли на душу населения (руб., до 1997г. – тыс. руб.)
z14	Оборот общественного питания на душу населения (руб., до 1997г. – тыс. руб.)
z15	Обеспеченность населения больничными койками (на 1000 чел.)
z16	Обеспеченность населения врачами (на 1000 чел.)
z17	Обеспеченность населения средним медицинским персоналом (на 1000 чел.)
z18	Общая раскрываемость преступлений (%)
z19	Потребление чистой воды (млн. куб. л.)
z20	Выброс вредных веществ в атмосферу (кг)
z21	Количество автомобилей (шт.)
z22	Отходы животноводческие (тыс. т.)
z23	Отходы бытовые (тыс. т.)
z24	Отходы промышленные (тыс. т.)
y1	Средняя продолжительность жизни (лет)
y2	Рождаемость (тыс. чел.)
y3	Смертность (тыс. чел.)
y4	Естественный прирост (чел.)
y5	Количество зарегистрированных браков (шт.)
y6	Количество расторгнутых браков (шт.)
y7	Разница между заключенными и расторгнутыми браками (тыс. шт.)
y8	Число умерших детей в возрасте до 1 года (на 1000 чел.)
y9	Заболеваемость туберкулезом (на 100 тыс. чел)
y10	Заболеваемость онкологическими заболеваниями (на 100 тыс. чел)
y11	Заболевания органов дыхания (на 1000 чел.)
y12	Заболеваемость системы кровообращения (на 1000 чел.)
y13	Общее количество преступлений (тыс. шт.)
y14	Количество особо тяжких преступлений (тыс. шт.)
y15	Количество тяжких преступлений (тыс. шт.)
y16	Количество преступлений средней тяжести (тыс. шт.)
y17	Количество преступлений небольшой тяжести (тыс. шт.)
y18	Количество умышленных убийств (тыс. шт.)
y 19	Количество причинений вреда здоровью (тыс. шт.)
y20	Количество умышленных причинений тяжкого вреда здоровью (тыс. шт.)
y21	Количество краж (тыс. шт.)
y22	Количество мошенничеств (тыс. шт.)
y23	Количество грабежей (тыс. шт.)
y24	Количество разбоев (тыс. шт.)
y25	Количество вымогательств (тыс. шт.)
y26	Количество неправомерных завладений автомототранспортом (тыс. шт.)
y27	Количество хулиганств (тыс. шт.)

Коэффициент линейной корреляции вычисляется по формуле:

Критическое значение коэффициента линейной корреляции вычисляется по формуле:

где tкрит =2.0181 – критическое значение критерия Стьюдента, найдено по статистическим таблицам [11] при n-2 = 44-2=42 степенях свободы и рекомендуемого уровня значимости α=0.05.

Коэффициенты линейной корреляции между результативными показателями и бюджетными факторами представлены в таблице 4.8.7. Таблица 4.9.7. Коэффициенты линейной корреляции между переменными

примера 4.9.3

	х1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9
y1	-0,35	-0,12	0,44	-0,15	-0.25	-0,49	0,20	-0,27	-0,60
y2	0,46	0,44	-0,31	0,05	0,48	0,62	-0,21	0,57	0,26
y3	0,09	-0,00	-0,34	0,10	0,04	0,25	-0,19	0,09	0,21
y4	-0,43	-0,49	0,05	0,03	-0,50	-0,47	0,06	-0,55	-0,10
y5	0,41	0,20	-0,18	0,01	0,29	0,46	0,08	0,33	0,40
y6	0,11	0,02	-0,02	0,17	0,07	0,08	0,15	0,05	0,39
y7	0,36	0,21	-0,18	-0,16	0,27	0,45	-0,05	0,34	0,08
y8	-0,63	-0,51	0,17	0,08	-0,59	-0,69	-0,05	-0,61	-0,37
y9	-0,60	-0,54	-0,01	0,37	-0,56	-0,60	-0,16	-0,61	-0,09
y10	0,12	-0,19	-0,55	0,20	-0,05	0,30	-0,29	-0,02	0,59
y11	-0,16	-0,01	0,21	-0,25	-0,06	-0,17	0,08	-0,09	-0,34
y12	0,37	0,54	0,34	0,06	0,52	0,22	0,28	0,46	-0,08
y13	0,48	0,33	-0,13	0,18	0,42	0,45	0,07	0,43	0,31
y14	0,24	0,05	-0,07	0,36	0,12	0,15	0,17	0,08	0,35
y15	-0,10	-0,17	-0,04	0,36	-0,14	-0,14	0,04	-0,17	0,13
y16	0,71	0,56	-0,19	-0,06	0,65	0,76	0,03	0,71	0,41
y17	0,56	0,41	-0,26	0,09	0,50	0,62	-0,05	0,54	0,44
y18	0,42	0,48	0,18	-0,01	0,43	0,27	0,35	0,51	-0,05
y19	0,38	0,33	-0,05	0,29	0,38	0,40	0,08	0,40	0,36
y20	0,51	0,36	-0,01	-0,05	0,41	0,44	0,28	0,45	0,23
y21	0,53	0,36	-0,13	-0,01	0,45	0,51	0,08	0,49	0,24
y22	0,43	0,29	-0,13	-0,04	0,36	0,41	0,06	0,40	0,16
y23	0,42	0,49	0,08	0,02	0,50	0,39	0,10	0,54	0,06
y24	0,86	0,64	-0,16	0,04	0,75	0,86	0,21	0,79	0,52
y25	0,32	0,14	-0,24	0,03	0,21	0,32	-0,03	0,20	0,34
y26	0,27	-0,03	-0,22	0,03	0,07	0,26	0,10	0,12	0,25
y27	0,04	0,11	-0,04	-0,11	0,09	0,09	-0,07	0,09	0,02

Приведем диаграммы коэффициентов корреляции для наиболее важных результативных показателей условий жизни на рис. 4.9.2 – рис.4.9.4.

Рис. 4.9.2. Диаграмма коэффициентов корреляции для переменной y2

Рис. 4.9.3. Диаграмма коэффициентов корреляции для переменной y10

Рис. 4.9.4. Диаграмма коэффициентов корреляции для переменной у13

4.10. Множественная корреляция

Для определения тесноты связи между откликом и несколькими факторами на практике используются следующие коэффициенты: конкордации, множественной корреляции и множественной детерминации.

Коэффициент конкордации – определяет тесноту связи между произвольным количеством признаков, которые могут быть качественными или количественными. Требуется, чтобы они были проранжированными.

Коэффициент конкордации вычисляется по следующей формуле:

(4.10.1)

где m – количество признаков;

n – общее количество наблюдений;

S - отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов которое вычисляется по формуле:

(4.10.2)

где n – общее количество наблюдений;

si – сумма рангов всех признаков по i-ой строке.

Сила связи определяется по критерию Пирсона, вычисляемого по формуле:

(4.10.3)

Пример 4.10.1

Вычисление коэффициента конкордации продемонстрируем на примере определения тесноты связи между уставным капиталом, числом акций, выставленных на продажу, и уставным капиталом. Исходные данные и результаты предварительных расчётов представлены в таблице 4.10.1.

Таблица 4.10.1. Исходные данные примера 4.10.1

№	Устав. кап. -х	Число акций –у	Число рабо-тников - z	Ранг х	Ранг у	Ранг z	Сумма строк	Квадр. сумм
1	29540	856	119	9	7	1	17	289
2	16050	930	125	1	9	2	12	144
3	41020	1563	132	10	10	3	23	529
4	23500	682	141	6	5	4	15	225
5	26250	616	150	7	3	5	15	225
6	17950	495	165	4	2	6	12	144
7	28130	815	178	8	6	7	21	441
8	17510	858	181	3	8	8	19	361
9	17000	467	201	2	1	9	12	144
10	22640	661	204	5	4	10	19	361
Итого							165	2863

Вычислим отклонение суммы квадратов рангов от среднего значения квадратов рангов:

S= 2863-1652/10=140.5.

По (4.10.1) вычислим коэффициент конкордации:

W=12·140.5/(32(103-10))=0.19.

По (4.10.2) вычислим значение критерия Пирсона:

χ2=12·140.5/(3·10·(10-1))=6.24.

По статистической таблице [2] находим критическое значение критерия Пирсона для рекомендуемого уровня значимости α=0.05 и количества степеней свободы n-1=10-1=9: χ2крит=16.919. Ввиду того, что вычисленное значение критерия Пирсона не превышает критическое значение делаем заключение об отсутствии связи между откликом – уставным капиталом и двумя факторами: количеством акций, выставленных на продажу, и количеством работников на предприятиях.

Коэффициенты множественной детерминации и корреляции требуют наличия линейной зависимости между откликом и всеми факторами и нормальности всех переменных, используемых в вычислениях. К достоинствам этих коэффициентов относится наличие возможности оценки их существенности.

Эти показатели как правило используются для оценки качества уравне-ний регрессии в стандартных процедурах регрессионного анализа. Они так-же могут использоваться и для самостоятельных расчётов по определению силы связи между случайными переменными. Вычисления являются матрич-ными и поэтому при проведении вычислений без применения компьютеров сложными.

Для вычисления коэффициента множественной детерминации требуется первоначально вычислить парные коэффициенты линейной корреляции между всеми переменными, т.е. откликом и всеми факторами и составить соответствующую матрицу. Коэффициент множественной детерминации –

R2y,x1,x2,…xm делением определителя матрицы Δ* на определитель матрицы Δ.

ryx1 ryx2 … ryxm 0

1 rx1x2 … rx1xm rx1y

Δ*=

rx2x1 1 … rx2xm rx2y (4.10.4)

rxmx1 rxmx2 … 1 rxmy

1 rx1x2 … rx1xm

Δ =

rx2x1 1 … rx2xm (4.10.5)

rxmx1 rxmx2 … 1

R2yx1x2…xm = Δ*/ Δ. (4.10.6)

Rкор,yx1x2…xm = √Δ*/ Δ. (4.10.7)

По статистическим таблицам [11] находим критические значения коэффициентов множественной детерминации и корреляции для рекомендуемого уровня значимости α=0.05 и количества степеней свободы равного количеству наблюдений минус 1, и если вычисленные по (4.10.6) и (4.10.7) значения превышают критические, то корреляционная связь между откликом и факторами считается существенной.

Для простоты приведём пример вычисления коэффициентов детермина-ции и корреляции для результативного показателя у – добычи нефти и двух наиболее существенно влияющих на неё факторов: х1 – разведочного бурения и х2 – количества добывающих скважин.

Пример 4.10.2

Провести корреляционный анализ показателей нефтегазодобывающей отрасли России, приведённых в таблице 4.10.2, полученные по таблице 4.9.4. Для упрощения формул фактор х4 таблицы 4.9.4 переименован в фактор х2.

Таблица 4.10.2. Исходные данные для примера 4.10.2

Показатель	Код	1996 г.	1977 г.	1998 г.	1999 г.	2000 г.	2001 г.	2002 г.
Добыча нефти в млн. тонн	y	269,91	270,94	264,70	268,53	281,29	301,73	341,60
Разведочное бурение в тыс. метрах	x1	1026,4	1006,7	789.0	824,9	1013,7	1145,1	1410,4
Кол. добываю- щих скважин	х2	106645	101224	97557	101937	109939	114883	113672

По данным таблицы 4.10.2 вычислены коэффициенты линейной корре-ляции между всеми переменными и результаты вычислений помещены в таблицу 4.10.3.

Таблица 4.10.3. Коэффициенты линейной корреляции для переменных

примера 4.10.2

Коды	y	x1	x2
y	1	0,932	0,865
x1	0,932	1	0,831
x2	0,865	0,831	1

Коэффициент множественной детерминации вычисляется по формуле:

(4.10.8)

Коэффициент множественной корреляции вычисляется по формуле:

(4.10.9)

Проведём вычисления по формулам (4.10.8) и (4.10.9):

По шкале Чеддока коэффициент множественной корреляции попадает в диапазон значений от 0.5 до 0.7 и следовательно корреляционная связь меж-ду результативным показателем у – добычи нефти и двух влияющих на неё факторов: х1 – разведочного бурения и х4 – количества добывающих скважин должна быть отнесена к заметным.

Полезно бывает вычислить и частные коэффициенты корреляции, кото-рые исключают влияние всех факторов кроме одного, по следующим формулам:

(4.10.10)

(4.10.11)

Естественно, что влияние фактора х1 на х2 без учёта влияния результатив-ного показателя у такое же как влияние фактора х2 на х1 без учёта влияния результативного показателя у:

(4.10.12)

По формулам (4.10.10) – (4.10.12) вычислим частные коэффициенты корреляции.

Частные коэффициенты линейной корреляции уменьшают значения коэффициентов линейной корреляции за счёт исключения совместного влияния переменных, что не противоречит здравому смыслу.

1. Характеристика и состав биосферы
2. Варианты среза знаний по дисциплине- Технология продукции общественного питания
3. Лекция 1 Электроннодырочный переход
4. Взаимосвязь основных внутриколониальных процессов при ветвлении у колониальных гидроидов
5. URU Начало формы Конец формы Карл Густав Ю
6. Тема 1 СЕРВИСНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ КАК ФОРМА УДОВЛЕТВОРЕНИЯ ПОТРЕБНОСТЕЙ ЧЕЛОВЕКА 1
7. Часть 1 Простое и веселое руководство для изучения Основатель В благода
8. До питання етики сімейного життя
9. I ПОНЯТИЕ ЮРИДИЧЕСКОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТИ 5
10. Вариант Вредное вещество Фактическая концентрация мгл 3
11. Тема ldquo;Личность и обществоrdquo; Исполнитель студенткаЗФ2624ФК21уч
12. Уголовная ответственность лиц с психическими аномалиями
13. Лексика английского языка
14. докладе по экономическим и историческим исследованиям
15. законченных единиц ошибок проекта и кодирования
16. Общественно-политические издания в репертуаре издательства АС
17. I В Петербурге в это время в высших кругах с большим жаром чем когданибудь шла сложная борьба партий Румян
18. Тема 8 Фінансова інвестиційна діяльність підприємств 8
19. Аудит основных средств и нематериальных активов
20. боярское правление

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе