Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.
Для квадратной матрицы можно вычислить число, которое называется определителем. Определитель второго порядка вычисляется по схеме крест, а определитель третьего порядка - по схеме треугольников.
2.
Для решения этой системы вычислим определители:
Если d0, то система имеет единственное решение: x=dx/d, y=dy/d. Если d=0, а dx0 или dy0 то система не имеет решений. Если d=dx=dy=0, то одно из уравнений системы следствие другого. В этом случае его надо отбросить и решать оставшееся уравнение.
8.
Прямая на плоскости и различные способы её задания.
|
Ax + By + C = 0 |
A2 + B2 0 |
Общее уравнение прямой. (A,B) - вектор, перпендикулярный прямой. |
|
y = kx + b |
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k |
|
|
a0, b0 |
Уравнение прямой в отрезках a и b |
|
|
a0, b0 |
Уравнение прямой по точке (x0,y0) и направляющему вектору (a,b) |
|
|
x2x1, y2y1 |
Уравнение прямой по двум точкам (x1,y1) и (x2,y2) |
|
|
Уравнение прямой по двум точкам (x1,y1) и (x2,y2) |
||
|
Параметрическое уравнение прямой по точке (x0,y0) и направляющему вектору (a,b) |
9.
Виды уравнения прямой в пространстве:
|
Общее уравнение прямой |
||
|
a0, b0, c0 |
Уравнение прямой по точке (x0,y0,z0) и направляющему вектору (a,b,c) |
|
|
x2x1, y2y1, z2z1 |
Уравнение прямой по двум точкам (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2) |
|
|
Параметрическое уравнение прямой по точке (x0,y0,z0) и направляющему вектору (a,b,c) |
10.
Виды уравнения плоскости в пространстве:
|
Ax + By + Cz + D = 0 |
A2+B2+C20 |
Общее уравнение плоскости. (A,B,C) - вектор, перпенди-кулярный плоскости. |
|
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 |
A2+B2+C20 |
Уравнение плоскости по точке (x0,y0,z0) и ортогональ-ному вектору (A,B,C) |
|
z = kxx + kyy + b |
Уравнение плоскости с угло-выми коэффициентами kx и ky |
|
|
a0, b0, c0 |
Уравнение плоскости в отрезках a, b и c |
|
|
Уравнение плоскости по трём точкам (x1,y1,z1), (x2,y2,z2) и (x3,y3,z3) |
11 - 14. Эллипс. Гипербола. Парабола. Окружность.
Линии второго порядка.
|
(x-x0)2+(y-y0)2=R2 |
(x0,y0) - центр, R - радиус |
|
|
Окружность |
x2+y2+2Ax+2By+C=0 |
общее уравнение окружности, A2+B2>C |
|
Парабола |
y2=2px или x2=2py |
p - расстояние между фокусом и директрисой |
|
Эллипс |
, a>b |
a и b - полуоси, расстояние от центра до фокусов c=, =c/a<1 эксцентриситет. |
|
, a<b |
a и b - полуоси, расстояние от центра до фокусов c=, =c/b<1 - эксцентриситет. |
|
|
Гипербола |
a - действительная полуось, b - мнимая полуось, расстояние от центра до фокусов c=, эксцентриситет =c/a>1. |
|
|
a - мнимая полуось, b - действи-тельная полуось, расстояние от центра до фокусов c=, эксцентриситет =c/b>1. |
|
Парабола y2=2px (p>0) |
y x |
|
Эллипс (a>b) |
|
|
Гипербола |
15.
Функцией (y = f(x)) называется соответствие между двумя числовыми множествами при котором каждому элементу первого множества (область определения) соответствует единственный элемент второго множества (множество значений). Функции могут быть заданы формулами, таблицами или графиками.
17.
Свойства предела последовательности:
1) 2)
3) 4)
5) 6) Число е: .
18.
Пусть дана последовательность: a1,a2,a3,...,an,..., тогда формальная запись a1+a2+a3+...+an+... или короче называется числовым рядом. Пусть Sn= a1+a2+a3+...+an. Если существует , то говорят, что ряд сходится, а этот предел называется суммой ряда. Если ряд сходится, то (необходимый признак сходимости).
19.
Степенным называется ряд вида: , где a0,a1,a2,...,an,... - числовая последовательность. Радиус сходимости степенного ряда R=, при этом при |x|<R ряд сходится, а при |x|>R расходится.
20.
Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если . Функция f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.
21.
Производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю:
Основные свойства производных (правила дифференцирования):
1) c=0
2) (yz)=yz
3) (yz)=yz+yz, в частности (cy)=cy
4) , в частности
5)
6) (f(g(x)))=f(g(x))g(x), в частности (f(ax+b))=af(ax+b)
Дифференциалом функции называется выражение dy=ydx.
23.
Если при переходе через точку x0 вторая производная f(x) меняет знак, то в этой точке перегиб. Это оформляется например так:
|
- + + - - x перегиб перегиб на рисунке указаны знаки второй производной f(x) |
24.
Если f(x)>0, то f(x) возрастает, а если f(x)<0, то f(x) убывает.
Если при переходе через точку x0 производная f(x) меняет знак, то в этой точке экстремум. Это оформляется например так:
|
- + + - - x min max на рисунке указаны знаки производной f(x) |
25.
Правило Лопиталя: если или , то
26.
Первообразной для функции f(x) называется такая функция F(x), что F(x) = f(x). Неопределённым интегралом называется множество всех первообразных. Он обозначается так: f(x)dx. В этой записи f(x)dx называется подынтегральным выражением, а f(x) - подынтегральной функцией. При этом можно записать f(x)dx=F(x)+C, где F(x) - одна из первообразных, то есть F(x)=f(x).
Свойства неопределённых интегралов.
1) d(f(x))=f(x)+C
2) df(x)dx=f(x)dx
3) kf(x)dx=kf(x)dx, где k - постоянная величина.
4) (f(x)g(x))dx=f(x)dxg(x)dx
5) udv=uv-vdu (интегрирование по частям)
6) f(x)dx=F(x)+C f((t))(t)dt=F((t))+C (замена переменной
интегрирования)
7) f(x)dx=F(x)+C f(ax+b)dx=F(ax+b)+C
28.
Если существует предел этой суммы, когда длины всех частей стремятся к нулю, то он называется определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается .
Свойства определённого интеграла.
1) , где F(x) - первообразная для f(x) (формула Ньютона-Лейбница)
2)
3)
4) (интегрирование по частям)
5) , где a=() и b=() (замена переменной)
6)
7) если a<b и f(x)0, то если a<b и f(x)g(x), то
8) если f(x) непрерывна на [a;b], то , где с(a;b) (теорема о среднем)
29.
, где F(x) - первообразная для f(x) (формула Ньютона-Лейбница)
30-33.
Приложения определённого интеграла:
|
Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x=a, x=ba, y=f(x)0, y=0 |
, или кратко |
|
Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x=a, x=ba, y=f(x), y=g(x)f(x) |
|
|
Площадь плоской фигуры в полярной системе координат, ограниченной линиями: =, =, r=r()0 |
|
|
Длина плоской линии, заданной параметрически: |
|
|
Длина плоской линии, заданной уравнением: y=f(x), axb |
|
|
Длина плоской линии в полярной системе координат: r=r(), |
|
|
Объём тела, полученного вращением фигуры 0yf(x), axb вокруг оси Ox |
или кратко |
|
Аналогично вокруг оси Oy |
|
|
Площадь поверхности, образованное вращением линии y=f(x), axb вокруг оси Ox |
или кратко |
|
Аналогично вокруг оси Oy |
35.
Рассмотрим множество A пар действительных чисел (x,y). Говорят, что на множестве A задана функция (двух аргументов) f, если задано соответствие по которому каждому элементу множества A (область определения) соответствует единственный элемент числового множества B (множество значений). Функции двух аргументов могут быть заданы формулами, таблицами или графически.
36.
Частной производной функции z = f(x,y) по x называется обычная производная при условии, что y - постоянная и аналогично - частная производная по y. Они обозначаются так:
или: или: zx и zy или: fx(x,y) и fy(x,y)
Полным дифференциалом называется выражение: dz = zxdx + zydy
37.
Экстремум функции нескольких аргументов.
Если в некоторой окрестности точки (x0,y0) выполняется условие f(x,y)<f(x0,y0), то (x0,y0) называется точкой максимума, а если f(x,y)>f(x0,y0), то (x0,y0) называется точкой минимума. Максимум и минимум называются экстремумами.
Необходимые условия экстремума:
38.
Достаточные условия экстремума:
Обозначим A = fxx(x0,y0), B = fxy(x0,y0), C = fyy(x0,y0).
Если B2 -4AC<0, то в точке (x0,y0) минимум при A>0 и максимум при A<0.
Если B2 -4AC>0, то в точке (x0,y0) экстремума нет.
39.
Уравнение вида y=f(x)g(y) называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно решается так: умножим обе части на dx, разделим на g(y) и проинтегрируем. При этом если g(y0)=0, то y=y0 тоже является решением.
40.
Уравнение вида называется однородным уравнением. Замена неизвестной по формуле y=zx приводит к уравнению с разделяющимися переменными.
41.
Уравнение вида y+f(x)y=g(x) называется линейным уравнением. Для его решения делаем замену y=uv. Получим uv+uv+f(x)uv=g(x); uv+u(v+f(x)v)=g(x); v+f(x)v=0; найдём какое-нибудь v и подставим в предыдущее равенство: uv=g(x); найдя отсюда u и подставив в y получим ответ.
42.
Уравнение вида y = xy+f(y) называется уравнением Клеро. Общее решение уравнения Клеро имеет вид y = xC+f(C). Особое решение уравнения Клеро имеет вид: , где p - параметр.
43.
Уравнение ay+by+cy=0 называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составим уравнение a2 + b + c = 0. Пусть его корни 1 и 2. Тогда возможны три случая:
1) 1 и 2 действительны и различны
2) 1 = 2 = y=C1ex+C2ex
3) 1 и 2 комплексные 1,2 = i y=ex(C1cos(x) +C2sin(x))
45.
Основные приближённые методы решения уравнений: метод итераций, метод деления пополам, метод хорд и метод касательных. Метод хорд и метод касательных обычно применяются совместно.
46.