Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ
ТОВСТОЛІС Олександр Володимирович
УДК 517.5
МУЛЬТИПЛІКАТОРИ ФУР’Є В ПРОСТОРАХ ХАРДІ
В ТРУБЧАСТИХ ОБЛАСТЯХ НАД ВІДКРИТИМИ КОНУСАМИ ТА ДЕЯКІ ПИТАННЯ ТЕОРІЇ АПРОКСИМАЦІЇ
01.01.01 – МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Донецьк – 1998
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Донецькому державному університеті, Міністерство освіти України.
|
Науковий керівник |
доктор фізико-математичних наук, професор Тригуб Роальд Михайлович, Донецький державний університет, завідувач кафедри математичного аналізу та теорії функцій. |
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, професор Шевчук Ігор Олександрович, Національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри математичного аналізу,
кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Кузнецова Ольга Іванівна, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, старший науковий співробітник відділу теорії функцій.
Провідна установа
Дніпропетровський державний університет, кафедра теорії функцій, Міністерство освіти України, Дніпропетровськ.
Захист відбудеться “_19_” березня 1999 р. о _15_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 340114, м.Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інститута прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 340114, м.Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.
Автореферат розісланий “_17_” _лютого_ 1999 р.
|
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради |
Ковалевський О.А. |
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. В роботі досліджуються деякі питання гармонічного аналізу та теорії апроксимації функцій, а саме: мультиплі катори в просторах Харді , , у верхній півплощині та істотно більш загальних областях (трубчастих областях над відкритими конусами), їх застосування до методів підсумовування інтегралів Фур’є та визначення функціоналу пари просторів гладких функцій, асимптотика наближен ня функції класу на півосі цілими функціями скінченного півстепеня.
Мультиплікатори рядів Фур’є були введені М.Фекете, а першу ефек тив ну достатню умову для мультиплікатора тригонометричного ряду Фур’є в просторі при було отримано Й.Марцинкевичем. В просторі (або ) питання про мультиплікатор пов’язане з можливістю зображен ня функції-мультиплікатора у вигляді перетворення Фур’є скінченної борелівської міри. Загальні факти, що стосуються мульти плікаторів Фур’є та їх застосування, викладені у відомих монографіях А.Зігмунда, І.Стейна, І.Стейна та Г.Вейса, Р.Едвардса.
До теорії наближення функцій мультиплікатори застосовували Б.С.Мітягін, С.О.Теляковський, Р.М.Тригуб, Е.С.Белінський та ін.
Деякі питання теорії функцій в (або ) при дослід жували Е.О.Стороженко, В.Г.Кротов, П.Освальд, В.І.Іванов, В.А.Юдін, О.Б.Олек сандров, Л.В.Ходак, Р.М.Тригуб, Віт.В.Волчков та ін. Особли вістю цих просторів є те, що в них немає рядів Фур’є і взагалі нетриві аль них лінійних неперервних функціоналів. Інша річ – простори , , на крузі, де є степеневі ряди і мультиплікатори визначаються так само. Завдя ки класичній теоремі М.Рісса, послідовність є мульти плікатором в , , тоді і лише тоді, коли після продов ження нулем для від’ємних значень вона буде мультиплікатором в . Випадок дослідив Л.В.Тайков. Ефективні достатні умови для мульти плі каторів степеневих рядів в , , нещодавно одержані Р.М.Тригу бом1).
У випадку неперіодичних функцій на всій числовій прямій замість рядів Фур’є розглядаються інтеграли Фур’є. Мультиплікатори в при визначають за допомогою функції-множника, що вводиться в інтеграл Фур’є. Ефективні достатні умови у випадку отримані С.Г.Міхліним та Л.Хьормандером.
Простори , , в верхній півплощині мають істотні відмінності від випадку круга, особливо при . Перетворення Фур’є для функцій з , , в верхній півплощині введено Ч.Фефферманом та І.Стейном. Мультиплікаторам в , , в верхній півплощині та їх застосуванню присвячено дисертацію О.О.Соляніка2).
З 60-х років простори розглядаються в трубчастих областях, зокрема, з конічною основою. Для вивчення перетворення Фур’є і мульти плікаторів в найбільш загальними областями є саме трубчасті області над відкритими конусами.
Підкреслимо, що застосування мультиплікаторів в теорії апроксимації пов’язане з визначенням регулярності методів підсумовування кратних рядів і інтегралів Фур’є, зростання констант Лебега, точного порядку наближення різними методами підсумовування через модулі гладкості, функ ціо налів пари просторів гладких функцій та ін.
функціонали введено Я.Петре для побудови інтерполяцій них просторів дійсним методом інтерполяції. З.Чесельський поста вив задачу визначення порядку функціоналу через лінійні середні ряду Фур’є. функціонали для пари просторів гладких функцій є модулями гладкості. В кратному випадку для отримання потрібних оцінок доводиться вводити нові спеціальні модулі гладкості.
Розв’язання класичної екстремальної задачі про найкраще набли ження функції класу на колі тригонометричними поліномами даного порядку (Ж.Фавар, Н.І.Ахієзер, М.Г.Крейн) і на прямій функціями даного експонен ціального типу (Н.І.Ахієзер, М.Г.Крейн) викладено у відомих монографіях О.Ф.Тімана, Н.І.Ахієзера, М.П.Корнійчука. Ту саму задачу для на від різ ку дійсної вісі з урахуванням положення точки3) нещодав но розв’язано в асимптотично точній формі Р.М.Тригубом4). У випадку півосі ця задача залишалась не розв’язаною. Ще С.Н.Бернштейн показав, що в цьому випадку треба наближувати цілими функціями скінченного півстепеня, а прямі та обернені теореми одержано вже досить давно Ю.А.Брудним. Останніми роками з’явились нові підходи в цьому колі проблем.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у межах держбюджетних наукових тем В.86.50.1/4.14 “Теорія опера торів і комплексний аналіз” та № 0196 UKRAINE 007096 “Гармоніч ний аналіз функцій та операторів”.
Мета і задачі дослідження.
Ввести означення перетворення Фур’є і мультиплікатора в просторах Харді в загальному випадку трубчастих областей над відкритими конусами при та дослідити їхні основні властивості.
Отримати ефективні достатні умови для мультиплікаторів. Дослідити певну точність отриманих достатніх умов шляхом отримання деяких необхідних.
Застосувати мультиплікатори до отримання двосторонніх оцінок швидкості наближення функції її середніми Бохнера-Рісса та визначення функціоналу пари просторів, що задаються полігар монічним оператором, а також довести еквівалентність двох модулів гладкості в просторах Харді в верхній півплощині.
Отримати асимптотично точний розв’язок задачі про наближення функції класу на півосі цілими функціями скінченного пів степеня з урахуванням положення точки.
Методи дослідження. В роботі використовуються різні методи гармонічного аналізу, теорії наближень, багатовимірного комплексного аналізу. Зокрема, метод мультиплікаторів застосовується для отримання двосторонніх оцінок наближення в задачах теорії апроксимації. Для отримання асимптотично точного розв’язку задачі про наближення функції класу на півосі цілими функціями скінченного пів степеня використо вується метод спеціальних зображень функції.
Наукова новизна одержаних результатів.
В роботі введені означення перетворення Фур’є і мультиплікатора в просторах Харді в загальному випадку трубчастих областей над відкритими конусами при та досліджені їхні основні властивості.
Отримано ефективні достатні умови для мультиплікаторів в просторах Харді в трубчастих областях над відкритими конусами при і встановлено певну точність цих умов.
Досліджено деякі властивості згаданих просторів Харді, при цьому зазначено їх істотні відмінності від аналогічних просторів у крузі (полікрузі, областях Рейнхарта), а також проведено порівняння загаль ного випадку трубчастих областей над довільними відкритими кону сами з класичним випадком просторів Харді в верхній півплощині (конус – перший октант в ).
Знайдено точний порядок наближення функції середніми Бохнера-Рісса її інтегралу Фур’є, обчислено функціонал пари просторів, що задаються полігармонічним оператором, доведено еквівалентність двох різних модулів гладкості.
Слід відзначити, що основні результати є істотно багатовимірними, тобто не є простим перенесенням одновимірних результатів, однак, навіть для одновимірного випадку вони є новими.
Отримано асимптотично точний (з точною константою в головному члені наближення) розв’язок задачі про наближення функції класу на півосі цілими функціями скінченного пів степеня з урахуванням положення точки. Таким чином повністю розв’язано відому екстре мальну задачу.
Теоретичне значення одержаних результатів. Одержані в дисертації результати мають теоретичне значення. Вони можуть бути застосовані в гармонічному аналізі та теорії апроксимації.
За допомогою одержаних достатніх умов для мультиплікаторів можна отримати оцінки швидкості наближення різноманітними середніми інтегра лів Фур’є, визначити функціонали для пари просторів, що задаються різними диференціальними операторами еліптичного типу і т. ін. Слід зазначити також, що за допомогою цих результатів можна проводити оцінки з урахуванням геометрії конуса, який є основою розглядуваної трубчастої області.
Метод, використаний для отримання асимптотично точного розв’язку задачі про наближення функції класу на півосі, можна викори сто вувати також для отримання подібних асимптотично точних оцінок в інших задачах теорії апроксимації.
Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації належать автору, однак деякі з них опубліковані в роботах зі співавторами. В роботі [3] автору належить теорема 3 (випадок півплощини), що зазначено в тексті статті. В роботі [4] автору належить теорема 4 (наближення на півосі), що також зазначено в тексті статті. В роботі [6] автором анонсована теорема 2, що доведена в [4].
Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертації доповідались на Міжнародній конференції “Теорія наближення та задачі обчислювальної математики” (Дніпропетровськ, 1993 р.), ІІ школі “Ряди Фур’є: теорія і застосування” (Кам’янець-Подільський, 1997 р.), науко вих конференціях професорсько-викладацького складу Донецького дер жав ного університету (Донецьк, 1995 та 1997 рр.), Міжнародній кон ферен ції “Тео рия приближений и гармонический анализ” (Тула, 1998 р.).
В цілому дисертація доповідалась на семінарі профе сора І.О.Шевчука (Національний університет імені Тараса Шевченка, 1998 р.), семінарі професорів В.П.Мо тор ного та В.Ф.Бабенка (Дніпропетровський держав ний універ ситет, 1998 р.), семінарі професора Р.М.Тригуба (Донецький держав ний університет, 1993 – 1998 рр.).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 10 роботах, з яких 5 – статті в наукових виданнях, 5 – тези або матеріали доповідей конференцій.
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 137 сторінках і містить перелік умовних скорочень, вступ, основну частину з двох розділів, висновки та список літератури, що складається з 57 джерел і розташований на 8 сторінках.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ
У вступі обгрунтовується актуальність досліджень, огляд робіт у даному напрямку, стисло наведено зміст роботи та сформульовано основні її результати.
Перший розділ цілком присвячено мультиплікаторам Фур’є. В ньому розбудовується теорія мультиплікаторів у просторах Харді в труб частих областях над відкритими конусами при . Отримані резуль тати є істотно багатовимірними (це видно як з формулювань, так і з доведень), але навіть у одновимірному випадку (випадок верхньої півплощини) вони є новими.
В § 1.1. вводиться поняття перетворення Фур’є в просторах Харді в трубчастих областях над відкритими конусами при . Для коректного введення цього поняття доводиться така теорема.
Теорема 1.1 Нехай – відкритий конус в , 5), . Тоді існує в термінах теорії узагальнених функцій повільного зростання6), тобто
, де .
Окрім того, є регулярною узагальненою функцією повільного зростання, що породжена звичайною функцією, яка може бути обчислена за формулою (права її частина не залежить від ):
, ,
де – класичне перетворення Фур’є 7) функції
(у випадку – класичне перетворення Фур’є граничної функції (границя в нормі)).
Як результат, вводиться перетворення Фур’є, яке узгоджується як з класичним перетворенням Фур’є в , так і з його означенням в термінах теорії узагальнених функцій повільного зростання в при :
Означення 1.1 Нехай – відкритий конус в . Перетворенням Фур’є функції , , будемо називати функцію:
, вибирається довільно,
(у випадку – це є класичне перетворення Фур’є граничної функції (границя в - нормі)).
Крім того, має місце така формула обернення:
|
|
(тут і надалі – спряжений до конус, тобто ). |
Далі введено означення мультиплікатора Фур’є та наведено деякі його власти во сті.
Означення 1.2 Нехай – відкритий конус в . Вимірна функція називається мультиплікатором в , (позна чення: ), якщо функція майже скрізь на збігається з перетворенням Фур’є деякої функції і
.
Завдяки формулі обернення, функція в цьому означенні визна ча ється однозначно:
,
що робить означення мультиплікатора надзвичайно природним.
1.2. містить у собі необхідні для подальшого допоміжні резуль тати, а також обговорення особливостей просторів Харді в трубчастих областях над відкритими конусами, їх відмінності від відповідних просторів в крузі (або областях Рейнхарта).
Основні результати розділу містяться в 1.3., де наведено достатні та деякі необхідні умови для мультиплікаторів. Основою тут є наступна теорема, що дає зручну для перевірки достатню умову мультиплікатора.
Теорема 1.2 Нехай – гострий відкритий конус в , і . Якщо до того ж для деякого , то і
,
де – деяка додатна константа, що залежить лише від і ,
– максимально можливий об’єм симплексу, який можна побуду ва ти на одиничних лінійно незалежних векторах, що містяться в .
Відзначимо, що подібну теорему в одновимірному випадку і без виписування залежності від було одержано О.О.Соляніком. У випадку просторів Харді в полікрузі така теорема належить Р.М.Тригубу, а в більш загальному випадку областей Рейнхарта – Віт.В.Волчкову.
Звернемо увагу також, що теорема 1.2, окрім того, що вона є аналогом згаданих теорем у випадку просторів Харді в трубчастих обла стях над відкритими конусами, відображає залежність від геометрії конуса (кон станта ).
Умова теореми 1.2: в деякому змісті є також необхідною.
Теорема 1.3 Нехай – гострий відкритий конус в , , . Якщо , то в будь якому її околі збігається з деякою неперервною фінітною функцією, перетворення Фур’є якої належить .
Далі доводиться критерій мультиплікатора для радіальної функції, який знову підкреслює точність теореми 1.2.
Пропозиція 1.3 Нехай – гострий відкритий конус в , . Якщо – неперервна фінітна функція, що залежить лише від , а після довизначення до радіальної функції на в деякому околі нуля збігається з функцією, чиє перетворення Фур’є належить , то тоді і лише тоді, коли продовжена радіальна функція має перетворення Фур’є, що належить .
Наступна теорема дає ефективну достатню умову належності функції до класу і без припущення її фінітності.
Теорема 1.4 Нехай – гострий відкритий конус в .
а). Нехай для деяких та . Якщо до того ж
; ,
де
,
то і
.
Зокрема, , якщо і , або .
б). Нехай , а для і . Якщо частинна похідна як функція від задовільняє в метриці умові Ліпшица степеня більшого рівномірно по решті аргументів, а відрізок можна розбити на скінченне число відрізків (обмежене по решті аргументів), на кожному з яких дійсна та уявна частини як функції від є опуклими або угнутими, , то .
Твердження, подібне частині а) наведеної теореми в одновимірному випадку, було отримане О.О.Соляніком, але в ньому містилася вимога належності функції класу та експоненційного спадання функції і всіх її похідних.
Окрім наведених результатів розділ 1 містить ряд тверджень, що ілюструють застосування основних теорем і зауважень, підсилюють окремі результати у випадку, коли на конус накладаються додаткові умови (наприклад, коли ).
Другий розділ присвячено деяким задачам теорії апроксимації. В 2.1. отримано двосторонні оцінки швидкості наближення функції се ред ні ми Бохнера-Рісса її інтегралу Фур’є:
(тут , та – додатні дійсні числа) і функціоналу пари просторів, що задаються полігармонічним оператором:
, .
Для цього, подібно до випадку мультиплікаторів степеневих рядів, вводиться спеціальний модуль гладкості:
(тут , інтеграл беремо по декартовому добутку одиничних куль в ).
Теорема 2.1 Нехай – гострий відкритий конус в . Для будь-яких , , , , і будь-якої функції
(двостороння нерівність з додатними константами, що не залежать від та ).
Зазначимо також, що, як доведено наприкінці першого розділу, середні типу Бохнера-Рісса є регулярними в тоді і лише тоді, коли .
Теорема 2.2 Нехай – гострий відкритий конус в . Для будь-яких , , , і будь-якої функції
(двостороння нерівність з додатними константами, що не залежать від та )8).
Зауважимо, що подібні оцінки можна отримати і для інших дифе ренці альних операторів.
В 2.2. розглядаються простори Харді в верхній півпло щині (в цьому ви падку замість пишемо просто ). Метод мультиплікаторів за с то со вується для доведення еквіва лент ності одного корисного модуля глад кості звичайному контурному. З цим новим лінеаризованим модулем глад ко сті:
|
, |
, , , |
простіше поводитися через відсутність в його означенні знаку і він може бути застосований до отримання різних оцінок, наприклад, аналогу теореми Харді-Літтльвуда і т. ін. Основним результатом 2.2. є наступна теорема.
Теорема 2.3 Для будь-яких , , , і будь-якої функції
(двостороння нерівність з додатними константами, що залежать лише від , та )9).
В 2.3. розглянуто задачу про наближення функції класу (клас функцій з майже скрізь обмеженою одиницею ю похідною) ціли ми функціями скінченного півстепеня з урахуванням положення точки. Основним результатом цих досліджень є наступна теорема.
Теорема 2.4 існує константа така, що та знайдеться ціла функція півстепеня не вищого така, що
.
Права частина отриманої нерівності залежить від , що при наближенні до нуля дає кращу оцінку наближення, а на нескінченності – зростаючий член. Зауважимо, що такого роду оцінки є правильними, як помітив ще С.Н.Бернштейн.
Важливою складовою частиною підрозділу є доведення точності кон стан ти (неможливості її зменшення) в головному члені набли жен ня в теоремі 2.4. У цьому полягає пропозиція 2.1. Точність вказаної константи ви пли ває з точності константи у відомій теоремі Ахієзера-Крейна про набли же ння функції класу цілими функціями експо нен ціаль ного типу та наступної теореми.
Теорема 2.5 Нехай та існують константи і такі, що та знайдеться ціла функція скінченного півстепеня не вищого така, що
.
Тоді для будь-якої функції , яка до того ж є періодичною і , для будь-якого має місце нерівність:
,
де – найкраще наближення функції цілими функціями експоненціального типу не вищого .
ВИСНОВКИ
В роботі введені означення перетворення Фур’є та мультиплікатора в просторах Харді в трубчастих областях над відкритими конусами при , досліджено їхні основні властивості.
Отримано ефективні достатні та деякі необхідні умови для мультиплі ка торів у вказаних просторах. Отримані результати є істотно багато вимір ними (навіть простежена залежність від геометрії конуса), хоча і в одно вимірному випадку просторів Харді в верхній півплощині вони є новими.
Одержані достатні умови для мультиплікаторів застосовано до отримання двосторонніх оцінок швидкості наближення функції середніми Бохнера-Рісса її інтегралу Фур’є (також знайдено критичний показник для регулярності цих середніх в ) і визначення функціоналу пари просторів, що задаються полігармонічним оператором.
Ці ж достатні умови дозволили довести еквівалентність двох модулів гладкості в просторах Харді в верхній півплощині.
Знайдено асимптотично точний розв’язок задачі про наближення функції класу цілими функціями скінченного півстепеня з ураху ванням положення точки.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
Товстолис А.В. Мультипликаторы в пространствах Харди при и их применение в теории аппроксимации // Доповіді НАН України. – 1997. – № 5. – С. 49-53.
Tovstolis A.V. Fourier multipliers in Hardy spaces in tube domains over open cones and their applications // Methods of functional analysis and topology. – 1998. – Vol. 4. – № 1. – P. 68-89.
Товстолис А.В., Тригуб Р.М. Эквивалентность разных модулей глад кости в пространствах Харди // Теория приближения функций. Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. – Т. 3. – Донецк: ИПММ НАНУ. – 1998. – С. 201-210.
Тригуб Р.М., Курганская Е.Н., Товстолис А.В. О приближении функций алгебраическими полиномами и целыми функциями // Вісник Донець кого університету. – 1997. – № 1. – С. 49-55.
Товстолис А.В. Преобразование Фурье в пространствах Харди в трубчатых областях над открытыми конусами при // Вісник Донець кого університету. – 1998. – № 1. – С. 42-48.
Товстолис А.В., Тригуб Р.М. Поточечное приближение полиномами на отрезке и целыми функциями на внешности отрезка и полуоси // Теорія наближення та задачі обчислювальної математики. Тези доповідей. – Дніпропетровськ: ДДУ. – 1993. – С.183.
Товстолис А.В. Мультипликаторы в пространствах Харди в верхнем полупространстве при и приближение средними Бохнера-Рисса интегралов Фурье // Тезисы докладов научной конферен ции профессорско-преподавательского состава Донецкого государ ствен ного университета (г.Донецк, апрель 1995 г.). – Донецк: ДонГУ. – 1995. – С. 189-190.
Товстолис А.В. Достаточные условия для мультипликаторов в прост ран ствах Харди в трубчатых областях над открытыми конусами при и их применение в теории аппроксимации // Матеріали вузівської наукової конференції професорсько-викладацького складу за підсумками науково-дослідницької роботи: математика, фізика, екологія (Донецьк, квітень 1997 р.). – Донецьк: ДонДУ. – 1997. – С. 38-42.
Товстолис А.В. Мультипликаторы в пространствах Харди в трубчатых областях над открытыми конусами при и их применение в теории аппроксимации // ІІ школа “Ряди Фур’є: теорія і застосування” (Кам’янець-Подільський, 30 червня – 5 липня 1997 р.). Тези доповідей. – Київ. – 1997. – С. 126-127.
Товстолис А.В. Неравенство типа Харди-Литтльвуда и разные модули гладкости в пространствах Харди в верхней полуплоскости // Международная конференция “Теория приближений и гармонический анализ” (Россия, Тула, 26-29 мая 1998 г.). Тезисы докладов. – Тула: ТулГУ. – 1998. – С. 258-259.
АНОТАЦІЇ
Товстоліс О.В. Мультиплікатори Фур’є в просторах Харді в труб частих областях над відкритими конусами та деякі питання теорії апроксимації. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-матема тич них наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 1999.
Дисертацію присвячено дослідженню мультиплікаторів в просторах Харді в трубчастих областях над відкритими конусами при та вирішенню деяких задач теорії апроксимації. В дисертації вводяться означення перетворення Фур’є та мультиплікатора для цих просторів, досліджуються їхні властивості. Отримано ефективні достатні умови для мульти плікаторів, які застосо вано до розв’язання задачі про наближення функції середніми Бохнера-Рісса її інтегралу Фур’є, обчислення функціоналу пари просторів, що задаються полігармонічним оператором, встановлення еквівалентності двох модулів гладкості. Також отримано деякі необхідні умови, що підкрес лю ють певну точність достатніх. Окрім того, отримано асимпто тично точну оцінку наближення функції з обмеженою ю похід ною на дійсній півосі цілими функціями скінченного півстепеня з урахуван ням положення точки. Результати мають теоретичне значення і можуть бути застосовані в гармо нічному аналізі та теорії апрокси мації.
Ключові слова: простір Харді, трубчаста область над відкритим конусом, перетворення Фур’є, мультиплікатор, середні інтегралу Фур’є, функціонал, модуль гладкості, ціла функція скінчен ного півстепеня.
Tovstolis A.V. Fourier multipliers in Hardy spaces in tube domains over open cones and some questions of the approximation theory. – Manuscript.
Thesis for a candidate’s degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.01.01 – mathematical analysis. – Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 1999.
The dissertation is devoted to investigation of the multipliers in Hardy spaces in tube domains over open cones for and to solution to some problems of the approximation theory. The definitions of Fourier transform and multiplier for these spaces are introduced and their properties are investigated. The effective sufficient conditions for multipliers are obtained and applied to the solution to the problem of approximation of a function by Bochner-Riesz means of its Fourier integral, to the evaluation of the functional of a pair of spaces defined by the polyharmonic operator, to the establishment of the equivalence of two modules of smoothness. Also, some necessary conditions, which emphasize some exactness of the sufficient conditions, are obtained. Besides, an asympto tically exact estimate for approximation of a function with bounded th deri vative on a real half-axis by entire functions of bounded half-degree with regard to position of a point is obtained. The results are theoretical and can be applied to harmonic analysis and approximation theory.
Key words: Hardy space, tube domain over open cone, Fourier transform, multiplier, means of Fourier integral, functional, modulus of smoothness, entire function of bounded half-degree.
Товстолис А.В. Мультипликаторы Фурье в пространствах Харди в труб чатых областях над открытыми конусами и некоторые вопросы теории аппроксимации. – Рукопись.
Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-матема ти ческих наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Инс ти тут прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 1999.
Диссертация посвящена исследованию мультипликаторов в простран ствах Харди в трубчатых областях над открытыми конусами при и решению некото рых задач теории аппроксимации. В диссер та ции вводятся определения преобразования Фурье (которое полностью согла суется как с классическим определением, так и с определением в терминах обобщённых функций медленного роста) и мультипликатора в общей си туа ции трубчатых областей над открытыми конусами, изучаются их основные свойства. Отметим, что эти области являются наиболее общими областями в для изучения конструкций классического гармо нического анализа.
Для функций из рассматриваемых пространств Харди получена формула обращения для преобразования Фурье, справедливая всюду в данной трубчатой области, что позволяет естественно определить мультипликатор, рассмотреть различные средние интеграла Фурье, явно выписывать формулы для различных дифференциальных операторов и т.п.
В работе получены эффективные достаточные условия для того, чтобы функция определяла мультипликатор в указанных пространствах. При этом опре делена некоторая зависимость от геометрии открытого конуса. Точность полученных достаточных усло вий подтверж дают неко торые необходимые условия, также полу ченные в настоящей работе.
Достаточные условия применены к нахождению точного порядка приближения функции средними Бохнера-Рисса её интеграла Фурье (также найден крити ческий показатель для их регулярности), к вычисле нию функционала пары пространств, задаваемых полигармо ническим оператором. Для этих целей вводится специальный модуль гладкости. Достаточные условия также применены для установле ния эквивалент ности двух разных модулей гладкости (эта задача решается только для одномерного случая как демонстрация метода).
Кроме того, изучена специфика рассматриваемых пространств Харди, их отличие от аналогичных пространств в круге (в общем случае – области Рейнхарта), а также от одномерного случая. Приведены также замечания, позволяющие усилить результаты для случая, когда в качестве конуса берётся первый октант в .
Основные результаты являются существенно многомерными, но даже в одномерном случае пространств Харди в верхней полуплоскости они явля ются новыми.
Задача о приближении функции с ограниченной й производной на вещественной полуоси целыми функциями конечной полустепени с учётом положения точки рассматривается довольно давно. Эти функ ции, как аппа рат приближения, играют такую же роль, как целые функ ции экспонен ци аль ного типа при приближении на всей оси, или как ал ге браические полиномы при приближении функции на отрезке. В случае приближения функ ции класса на всей оси целыми функциями экспоненциального ти па имеется точная оценка наилучшего приближения (известная теорема Ахиезера-Крейна). Асимптотически точные оценки приближения функции алгебраи ческими полиномами на отрезке получены недавно Р.М.Тригубом. В случае полуоси вопрос оставался открытым, хотя прямые и обратные теоремы без точных констант получены уже довольно давно Ю.А.Брудным. В диссертации эта задача ре шена – полу чена асимптотически точная оценка приближения.
В работе используются различные методы гармонического анализа, теории аппроксимации, многомерного комплексного анализа. Метод мультипликаторов применяется для полу чения точных двусторонних оценок приближения. Оценки прибли же ния функции на полуоси целыми функциями конечной полустепени получены с использованием метода спе ци альных пред став лений функ ции.
Результаты носят теоретический характер и могут быть использованы в гармоническом анализе и теории аппроксимации.
Ключевые слова: пространство Харди, трубчатая область над откры тым конусом, преобразование Фурье, мультипликатор, средние интеграла Фурье, функционал, модуль гладкости, целая функция конечной полустепени.