Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 27. Число степеней свободы и работа сил связи.
Принцип возможных перемещений
Числом степеней свободы системы называют число независимых механических движений, которые одновременно может испытывать механическая система. Иначе говоря, числом степеней свободы назы вают число независимых координат, определяющих положение меха нической системы (т. е. положение всех её материальных точек).
Положение одной материальной точки определяется тремя коор динатами х, у, z;, если механическая система состоит из n материаль ных точек, то нужно знать 3n координат этих точек, чтобы иметь точное представление о положении механической системы в пространстве. Однако весьма часто движение материальных точек бывает стеснено теми или иными условиями, вследствие чего не все координаты являются независимыми; зная часть координат, другие можно определить из условий, ограничивающих свободу движения материальных точек.
Материальная точка, движение которой не стеснено никакими условиями, имеет, очевидно, три степени свободы. Если движение материальной точки ограничено так, что точка может перемещаться только по некоторой поверхности f(x, у, г)=0, то достаточно знать две координаты точки, чтобы третью координату можно было вычи слить; следовательно, материальная точка, принуждённая двигаться по поверхности, имеет две степени свободы. Если же движение стеснено так, что материальная точка принуждена двигаться по линии [а линию всегда можно рассматривать как пересечение каких-либо двух поверхностей: fl (х, у, z)=0 и f2(х, у, z) = 0], то в этом случае материальная точка имеет одну степень свободы; зная одну из координат точки, две другие координаты можно вычислить по уравнениям линии.
Рис. 50. Движение мате риальной точки по поверх ности: две степени свободы.
Рис. 51. Движение мате риальной точки по линии: одна степень свободы.
Ограничения свободы движения могут быть весьма разнообразными. Например, движение может быть стеснено тем, что между некото рыми телами, которые мы рассматриваем как материальные точки, имеются лёгкие, но жёсткие стержни, связывающие эти тела, или же гибкие, но нерастяжимые нити, и т. п. Любые способы ограничения свободы движения в механике называются связями.
Примеры некоторых видов связи уже были рассмотрены нами, когда мы говорили о силах инерции, которые всегда приложены к связям (§ 20). Примером связи, побуждающей материальную точку двигаться по поверхности, может служить шарнирный подвес массив ного шара на лёгком жёстком стержне (рис. 50): такой маятник может качаться в любой плоскости, причём центр массы маятника будет двигаться по поверхности сферы. Тот же шар, будучи подвешен на двух жёстких стержнях, может совершать качания только в одной плоскости (рис. 51); центр массы шара будет двигаться по линии.
Рис. 52. a — система с пятью степенями свободы движения, б—система с шестью степенями свободы движения.
Подсчитаем, каково число степеней свободы у двух материальных точек, связанных весьма лёгким, но жёстким стержнем (рис. 52, а). Если одну из этих точек мы закрепим, то тем самым мы отнимем у системы три степени свободы; другая материальная точка может при этом двигаться по поверхности сферы, т. е. остаются ещё две степени свободы. Следовательно, две материальные точки, связанные жёстким стержнем, имеют пять степеней сво боды.
Пусть система состоит из трёх материальных то чек, связанных друг с дру гом тремя жёсткими стерж нями (рис. 52, б). Закрепив одну из материальных то чек, мы отнимаем у системы три степени свободы; закре пив вторую точку, отнимаем ещё две степени свободы;
третья материальная точка может при этом двигаться по окружности вокруг стержня, связывающего первые две точки, т. е. остаётся ещё одна степень свободы. Число степеней свободы будет 3+2+1 = 6. Если система состоит из четырёх или ещё большего числа материаль ных точек, которые все попарно связаны друг с другом жёсткими стержнями, то, когда закреплены первые три не лежащие на одной прямой точки, никакое движение других материальных точек уже не является возможным. Итак, три или большее число материальных точек, связанных друг с другом жёсткими стержнями, имеют шесть степеней свободы. Силы, приложенные к материальным точкам вследствие существования связей, мы будем называть реакциями связей или просто силами связи.
В предыдущем изложении мы не выделяли сил связи из других сил. Силы, передаваемые и развиваемые связями, часто являются внутренними силами системы. Однако, когда движение системы огра ничено внешними телами, то реакции таких связей мы должны рас сматривать как внешние силы. Например, для маятников, изображён ных на рис. 50 и 51, реакции связей будут внешними силами. Для поезда реакции рельсов также будут внешними силами, тогда как реакции сцепки вагонов и буферов — внутренними силами.
Силы связи выделены в особую категорию не по каким-либо принципиальным соображениям, но вследствие желания упростить решение задач. Даже в сравнительно простых системах вычисление сил связи часто представляет значительные трудности. Вместе с тем силы связи только ограничивают свободу движения системы, но в отличие от других сил не оказывают глубокого влияния на движе ние системы, а именно, мы убедимся сейчас, что суммарная работа сил связи равна нулю. Поэтому во многих случаях можно полностью исследовать движение механической системы, не затрачивая времени на вычисление сил связей.
Силы связи, и внутренние и внешние, непосредственно не могут изменить ни кинетическую, ни потенциальную энергию системы. На взаимопревращаемость кинетической и потенциальной энергий силы связи могут влиять только косвенно, создавая ограничения движения: (так, например, если бы массивный шар маятника, изображённого на рис. 50, не был подвешен на стержне, то шар упал бы и его потен циальная энергия тяжести стала бы превращаться в кинетическую; реакция стержня удерживает шар от падения и единственно возмож ным для маятника движением делает качание).
Для доказательства, что суммарная работа сил связи равна нулю, рассуждаем следующим образом. Пусть имеется какая угодно меха ническая система, свобода движения которой ограничена некоторыми связями. Вообразим, что на материальные точки системы не действуют никакие силы, кроме сил связей. Дадим материальным точкам системы толчок в любом направлении и предоставим им двигаться по инерции и под действием сил связей. Наша материальная система представляет собой механизм, который, по условию, не обладает потенциальной энергией и в котором ввиду отсутствия каких бы то ни было сил, кроме сил связи, кинетическая энергия не может превращаться в дру гие виды энергии. Следовательно, кинетическая энергия такого меха низма, по закону сохранения энергии, должна оставаться неизменной. Но если бы суммарная работа сил связи не была равна нулю, то кинетическая энергия должна была бы измениться на величину этой работы. Следовательно, суммарная работа сил связи равна нулю, каково бы ни было движение материальных точек, допускаемое свя зями. Это приводит нас к формуле
Здесь Rxi , Ryi, Rzi— компоненты силы, с которой связи дей ствуют на i-ю материальную точку; величины xi:,, yi, zi, представляют собой бесконечно малые изменения координат i-й материальной точки при каком-либо совместимом со связями перемещении этой точки, (через 8s принято обозначать любое возможное, или, что то же, виртуальное перемещение в отличие от ds, означающего факти чески происходящее перемещение).
Вышеприведённое обоснование формулы (6) ясно показывает, что эта формула справедлива постольку, поскольку реализация связей может считаться идеальной; например, в стержнях и в нитях, реализующих связи, не должно происходить «рассеяние» механической энергии, т. е. превращение её в энергию упругих деформаций и в энергию молекулярно-теплового движения.
Теорема о равенстве нулю суммарной работы сил связей вносит значительные упрощения в методы решения задач статики и динамики.
Имеются различные приёмы изложения вопросов статики, но не сомненно, что самый общий и вместе с тем простейший метод реше ния задач статики заключается в применении принципа возможных перемещений. Этот метод применялся ещё Галилеем; его значение понял и оценил Иоганн Бернулли (1717 г.), но полное развитие этот метод получил позднее благодаря работам Лагранжа (1788 г.). В самом общем виде принцип возможных перемещений был установлен и развит в своих применениях в середине прошлого столетия замеча тельным русским математиком и механиком Михаилом Васильевичем Остроградским.
Как уже было сказано в предыдущем параграфе, возможным перемещением называют такое бесконечно малое перемещение тела или материальной точки, которое допускается связями системы, т. е. существующими ограничениями свободы передвижения тел, об разующих систему. Так, например, по условию задачи может быть задано, что тело при своём перемещении должно оставаться на не которой поверхности; стало быть, возможным перемещением в этом случае является перемещение по этой поверхности. Вообще под воз можными перемещениями понимают только те перемещения, которые не противоречат условиям рассматриваемой задачи; при этом имеют в виду перемещения бесконечно малые.
Принцип возможных перемещений заключается в следующем:
Необходимое и достаточное условие равновесия состоит в том, что сумма работ всех сил, приложенных к телам, системы, для каждого возможного перемещения системы должна быть равна нулю или меньше нуля.
Для перемещений, допускаемых «удерживающими» (двусторонними) связями, сумма работ должна быть равна нулю; для перемещений, допускаемых «неудерживающими» (односторонними) связями, сумма работ должна быть меньше нуля или равна нулю. Примером одно сторонних связей может служить тело, лежащее на какой-либо по верхности.
Когда тела, образующие систему, связаны какими-либо совер шенно жёсткими стержнями или натянутыми нерастяжимыми нитями, то, применяя принцип возможных перемещений, нет надобности рас сматривать «силы связей» (давления и натяжения, передаваемые свя зями, и реакции связей), так как, как было доказано в предыдущем параграфе, суммарная работа этих сил при всяком перемещении всегда будет равна нулю. Это право игнорирования сил жёстких (недефор мируемых) связей крайне упрощает решение многих задач ста тики, позволяя при применении принципа возможных перемещений ограничиваться рассмотрением одних только внешних сил и силы трения.
Отбрасывая работу сил связи, которая в сумме для всех мате риальных точек равна нулю, и сохраняя для компонентов приложен ных сил прежние обозначения X, Y, Z, принцип возможных перемещений аналитически можно выразить следующей формулой:
Здесь, как было отмечено выше, знак равенства относится к слу чаю «удерживающих» (двусторонних) связей, тогда как для «неудер живающих» (односторонних) связей наряду со знаком равенства может иметь место и знак неравенства.
Уравнение (7) является наиболее общим уравнением равновесия.
Принцип возможных перемещений можно рассматривать как след ствие закона сохранения энергии. Действительно, если в начальный момент все тела системы были неподвижны, а в последующее время они пришли в движение, то это означает, что приложенные к телам силы произвели работу, равную возникшей кинетической энергии. Кинетическая энергия не может возникнуть, и следовательно, система будет пребывать в равновесии, если для всякого возможного пере мещения работа всех приложенных к телам сил (внешних и внутрен них) равна нулю или меньше нуля.
Принцип возможных перемещений был установлен задолго до того, как был открыт и общепризнан закон сохранения энергии; поэтому в своё время был предложен ряд доказательств справедли вости этого принципа, подчиняющих этот принцип другим, подтвер ждённым на опыте утверждениям.
В дальнейшем мы применим принцип возможных перемещений к расчёту условий равновесия некоторых простейших механизмов.