Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
6. Законы сохранения
При движении механической системы её координаты и скорости изменяются со временем, однако могут существовать такие функции координат и скоростей, которые при движении системы остаются постоянными. Их называют интегралами движения.
Так как движение системы описывается s дифференциальными уравнениями второго порядка, то общее решение системы должно содержать 2s произвольных постоянных, которые можно выразить через координаты, скорости и время.
Исключив из этих уравнений время, получим 2s-1 сохраняющихся функций – интегралов движения.
Среди интегралов движения есть аддитивные интегралы, т.е. такие, для которых значение интеграла системы равно сумме значений интегралов всех частей системы. Если же данное условие выполняется лишь в том случае, когда можно пренебречь взаимодействием частей системы, то интегралы называют асимптотически аддитивными.
Среди всех интегралов движения (асимптотически) аддитивные интегралы имеют особое значение. Их происхождение связанно с основными свойствами пространства и времени.
В 1918 году Эмми Нетер доказала теорему, из которой следует, что для системы уравнений Лагранжа инвариантность действия относительно k-параметрической непрерывной группы преобразований приводит к существованию k законов сохранения.
Так как пространство и время однородны и пространство изотропно, то действие (и функция Лагранжа) для замкнутой системы должно быть инвариантно относительно преобразований, соответствующих сдвигу во времени (1 параметр), сдвигу пространства (3 параметра) и вращению пространства (3 параметра). Таким образом, в замкнутой системе должны существовать семь сохраняющихся величин.
Сохранение энергии
Однородность времени означает, что на оси времени нет выделенной точки, и выбор начала отсчета времени никаким образом не может влиять на движение механической системы. Следовательно, функция Лагранжа замкнутой системы не должна содержать времени явно:
. (*)
Учтем это при составлении полной производной функции Лагранжа по времени:
, .
Учтем уравнения Лагранжа (44):
, отсюда
, следовательно,
. (47)
E – энергия системы. Энергия асимптотически аддитивна, так как линейно выражается через асимптотически аддитивную функцию Лагранжа.
При выводе закона (47) замкнутость системы была учтена условием (*). Это же условие выполняется для механических систем, находящихся во внешнем стационарном (постоянном) поле. Таким образом, в стационарных полях энергия сохраняется.
Покажем, что выражение(47) совпадает с суммой кинетической и потенциальной энергий для замкнутой системы и для системы, которая находится во внешнем стационарном поле.
Учтем, что функция Лагранжа равна:
.
Кинетическая энергия замкнутой (или находящейся во внешнем стационарном поле) механической системы определяется уравнением (34а) :
.
и является, таким образом, квадратичной функцией обобщенных скоростей.
Для однородных функций справедлива теорема Эйлера:
,
где n- степень однородности функции. Поэтому
.
Подставим этот результат в (47) и получим:
, ч.т.д.
Сохранение импульса.
Пространство однородно, т.е. в нем нет точек, обладающих особыми свойствами. Следовательно, произвольный параллельный перенос замкнутой механической системы как целого не должен изменять свойств этой системы и не должен изменять функцию Лагранжа.
В качестве обобщенных координат выберем декартовы координаты материальных точек механической системы. В общем случае декартовы координаты не являются независимыми, но вместо связей, которые наложены на систему мы можем рассматривать соответствующие силы. Это приведет к изменению потенциальной энергии системы, а уравнения Лагранжа будут иметь такую же форму, как и для независимых координат.
, . (45)
Запишем вариацию функции Лагранжа, вызванную параллельным переносом системы на бесконечно малый вектор и приравняем её нулю:
.
Поскольку 
– произвольный вектор, то
.
Учтём (45) и изменим порядок суммирования и дифференцирования, получим:
,
.
,
т.е. , (48)
; (49),
– суммарный импульс системы. Аддитивность импульса очевидна.
Во внешнем поле импульс системы не сохраняется, т.к. любое внешнее поле нарушает однородность пространства. Но если потенциальная энергия не зависит от какой-либо из декартовых координат, то сохраняется соответствующий компонент импульса системы.
Сохранение момента импульса.
Пространство изотропно, т.е. в нем нет выделенных направлений. Следовательно, произвольный поворот замкнутой механической системы как целого не должен изменять свойств этой системы и не должен изменять функцию Лагранжа. Изменения радиус-вектора и скорости материальной точки при повороте системы на бесконечно малый угол определяются равенствами:
,
.
Составим вариацию функции Лагранжа, вызванную поворотом системы на угол и приравняем ее к нулю.
.
Воспользуемся (45) и (48):
.
Ввиду произвольности
.
.
. (50)
– момент импульса системы. Аддитивность момента импульса очевидна (по повторяющемуся индексу подразумевается суммирование).
Момент импульс замкнутой системы сохраняется по отношению к любой точке пространства. Существуют поля, обладающие сферической симметрией (центральные поля). Во внешнем центральном поле сохраняется момент импульса системы относительно центра поля.
Таким образом, для всякой замкнутой механической системы сохраняются энергия, импульс и момент импульса:
т.е. всего 7 величин.
Для механической системы, находящейся во внешнем поле, могут остаться справедливыми некоторые из законов сохранения. Это будет выполняться, если внешнее поле обладает соответствующей симметрией.
Центр инерции
Импульс замкнутой механической системы имеет различные значения по отношению к различным (инерциальным) системам отсчета.
0 0’
Если система отсчета К` движется относительно системы отсчета К со скоростью , то скорости и частиц по отношению к этим системам связаны соотношением:
.
Поэтому связь между значениями импульса и в этих системах определяется формулой:
,
.
В частности, всегда существует некая система отсчета К`, в которой полный импульс обращается в 0 (), тогда скорость этой системы отсчёта равна:
.
Если полный импульс механической системы равен 0, то говорят, что она покоится относительно соответствующей системы отсчета. Соответственно, скорость приобретает смысл скорости «движения как целого» механической системы с отличным от нуля импульсом. Таким образом, закон сохранения импульса позволяет естественным образом сформулировать понятия покоя и скорости механической системы как целого.
Формула для показывает, что связь между импульсом и скоростью системы как целого такая же, какая была бы между импульсом и скоростью одной материальной точки с массой , равной сумме масс всех частиц в системе. Это обстоятельство можно сформулировать как утверждение об аддитивности массы.
С учетом обозначений
и
получим при интегрировании предыдущего уравнения:
. (51)
Можно сказать, что скорость системы как целого есть скорость перемещения в пространстве точки, радиус-вектор которой задается формулой (51). Такую точку называют центром инерции системы.
Закон сохранения импульса замкнутой системы можно сформулировать как утверждение о том, что её центр инерции движется прямолинейно и равномерно.
При изучении механических свойств замкнутой системы естественно пользоваться той системой отсчета, в которой её центр инерции покоится. Тем самым исключается из рассмотрения равномерное и прямолинейное движение системы как целого.
Энергию покоящейся как целое механической системы обычно называют её внутренней энергией . Она включает в себя кинетическую энергию относительного движения частиц в системе и потенциальную энергию их взаимодействия. Полная же энергия системы, движущейся как целое со скоростью , может быть представлена в виде
. (52)
Дадим вывод формулы (52). Энергии и механической системы в двух системах отсчёта K и K’ связаны соотношением
, т.е.
. (53)
Формула (53) определяет закон преобразования энергии при переходе от одной системы отсчета к другой.
Если в системе K` центр симметрии покоится, то , a и мы возвращаемся к (52).