Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 22
Vektor
2. Линейные операции над векторами.
3. Понятие линейной зависимости векторов.
4. Понятие о проекциях.
5. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами.
5.а. Скалярное произведение векторов.
5.б. Векторное произведение.
5.в. Смешанное произведение трех векторов.
Все величины бывают скалярные и векторные. Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая вполне определяется своим численным значением.
Примеры физических скалярных величин: -температура; - масса; - плотность; - длина; - площадь и т.д.
Вектором или векторной величиной называется величина, которая характеризуется не только своим численным значением, но и определенным направлением в рассматриваемом пространстве.
Векторы - сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля.
Определение 1. Направленный отрезок (или, и что то же, упорядоченная пара точек - начало и конец отрезка) называется вектором.
Геометрическое изображение вектора:
Обозначение вектора: , либо либо жирной строчной буквой . Направление на отрезке обозначается стрелкой.
Численное значение вектора называется его модулем или абсолютной величиной и обозначается: , .
Нулевой вектор – это вектор у которого начало и конец совпадают. Он обозначается и его модуль равен нулю, а направление неопределенно.
Определение 2. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначают: .
Определение 3. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Определение 4. Два вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют одинаковую длину.
Из этого определения следует, что мы будем изучать свободные векторы. То есть вектор параллельно самому себе, не изменяя направления, можно переносить в любую точку пространства.
Векторы являются предметом векторного исчисления подобно тому, как числа являются предметом арифметики или алгебры.
2. Линейные операции над векторами.
К линейным операциям над векторами относятся операции умножения вектора на число и сложение векторов.
Определение 5. Под произведением вектора на число понимается вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
Произведение вектора на число обозначается .
Замечание 1. Пусть , рассмотрим вектор , тогда . Векторы и коллинеарные и одинаково направлены, тогда -единичный вектор, сонаправленный с . Вектор - орт вектора , и обозначается 0, т.е. и или .
Замечание 2. Пусть дан вектор . Для любого коллинеарного ему вектора существует и притом одно число , удовлетворяющее равенству . Тогда и , если и одинаково направлены и , если они противоположно направлены.
Если точка совпадает с точкой , то сумма векторов равна нулю.
Определение 7. Вектором, противоположным к данному вектору , называется вектор , модуль которого равен модулю вектора , а направление противоположно (см. рис. 4).
Определение 8. Под разностью двух векторов и понимается такой третий вектор , который при сложении с вычитаемым вектором дает уменьшаемый вектор .
Правило построения разности векторов и :
Приводим векторы и к общему началу, и соединяем концы векторов и . Вектор разности направлен из конца вычитаемого вектора () в конец уменьшаемого вектора ( см. рис. 5).
Свойства линейных операций над векторами.
3. Понятие линейной зависимости векторов.
Определение 9. Пусть дана система векторов 1, 2, …,n и совокупность вещественных чисел . Тогда выражение вида называется линейной комбинацией векторов, а числа называются коэффициентами линейной комбинации. Если некоторый вектор представлен как линейная комбинация векторов , т.е. в виде: , то говорят, что вектор разложен по этим векторам.
Определение 10. Векторы , , …, называются линейно зависимыми, если существует набор коэффициентов , одновременно не равных нулю и таких, что
.
Определение 11. Векторы называются линейно независимыми, если равенство нулю линейной комбинации этих векторов возможно лишь при всех коэффициентах одновременно равных нулю.
Определение 12. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой.
Определение 13. Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.
Определение 14. Базисом в пространстве называются три линейно независимые вектора в этом пространстве, взятые в определенном порядке.
Теорема 1 (о разложении вектора по базису в пространстве R3)
Пусть даны три некомпланарные вектора: . Любой вектор раскладывается по ним. Такое разложение единственно. Существует набор чисел такой, что:
.
Свойства линейно зависимой и линейно независимой системы векторов:
4. Понятие о проекциях.
Пусть дан вектор и ось , - угол между вектором и положительным направлением оси . и - основания перпендикуляров, опущенных из точек и соответственно (см. рис. 6).
Определение 15. Проекцией вектора на ось называется длина отрезка оси , взятая со знаком плюс, если вектор образует острый угол с направлением оси, и со знаком минус в противоположном случае.
Теорема 2. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью: .
Следствие. При умножении вектора на некоторое число его проекция умножается на это же число: .
Теорема 3 (о проекции суммы). Проекция суммы некоторого числа векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов: , .
Декартова система координат.
Ортонормированный базис образуют взаимно перпендикулярные векторы ,, единичной длины, т.е.
и .
Точка - начало координат . Прямые, проходящие через начало координат в направлении векторов ,,, называются осями координат. Векторы ,, соответствуют положительному направлению осей координат: , , - оси абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями , , (см. рис. 7).
Определение 16. Прямоугольной системой координат называется совокупность точки () и ортонормированного базиса.
Определение 17. Радиус-вектором произвольной точки по отношению к точке , называется вектор . Точке можно сопоставить упорядоченную тройку чисел () - компоненты ее радиус-вектора: и (см. рис. 8).
Определение 18. Компоненты радиус-вектора точки по отношению к началу координат называют координатами точки в рассматриваемой системе координат.
Координаты вектора совпадают с проекцией вектора на соответствующие оси координат (рис.8):
, , , ,
Согласно рис. 9 имеем: , , , ,
.
Пусть вектор задан координатами крайних точек, и (рис. 10).
Тогда
Следовательно, чтобы определить координаты вектора по координатам крайних точек, надо из координат конца вычесть соответствующие координаты начала: .
Определение 19. Пусть - углы между вектором и соответственно ортами ,, (рис. 9), тогда направляющие косинусы вектора определяются по правилу:
,
,
,
Следовательно, сумма квадратов направляющих косинусов равна : .
Пример 1. Даны точки , , , .
Найти координаты и длину вектора .
Решение. Найдем координаты векторов и :
, ,
, .
По правилам действий с векторами, получим:
и }.
Теперь находим длину искомого вектора:
==.
Пример 2. Даны точки , .
Найти направляющие косинусы вектора .
Решение. Так как , то и направляющие косинусы находятся согласно формулам:
, , .
Связь компонент, проекций, направляющих косинусов и коэффициентов в разложении по базису.
Пусть вектор в пространстве ; ,, - ортонормированный базис в данной системе координат, - углы между вектором и соответственно ортами ,,. Тогда
,
где , , -составляющие вектора , - координаты вектора в базисе ,,,
, , .
Деление отрезка в данном отношении.
Пусть , . Координаты точки на отрезке , которая делит этот отрезок в отношении , т.е. , определяются по формулам:
, , .
Координаты середины отрезка соответствуют значению и определяются как полусумма координат концов отрезка:
, , .
5. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами.
Пусть и .
5.а. Скалярное произведение векторов.
Определение 20. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначается скалярное произведение символом или .
Скалярное произведение векторов можно выразить формулами:
Отсюда скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного вектора на проекцию на него другого.
Пусть вектор перемещения будет неподвижен, а точка приложения вектора силы скользит вдоль вектора , тогда
есть работа, совершаемая под действием силы вдоль вектора .
Пример 3. Вычислить, какую работу производит сила , когда точка ее приложения перемещается из в .
Решение. Образуем вектор перемещения .
Тогда работа .
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами.
Пусть и тогда
.
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат.
Свойства скалярного произведения.
.
Рассмотрим таблицу скалярного умножения ортов:
Скалярное произведение одноименных ортов равно единице, а разноименных - нулю.
Угол между двумя векторами.
Из определения скалярного произведения:
.
Условие ортогональности двух векторов:
Проекция вектора на вектор:
.
Пример 4. Даны точки , , , .
Найти скалярное произведение .
Решение. найдем по формуле скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Поскольку
, ,
,
то .
Пример 5. Даны точки , , , .
Найти проекцию .
Решение. Поскольку
, ,
,
то и .
На основании формулы проекции, имеем
.
Пример 6. Даны точки , , , .
Найти угол между векторами и .
Решение. Заметим, что вектора
, ,
,
не являются коллинеарными, поскольку не пропорциональны их координаты:
.
Эти вектора не являются также перпендикулярными, так как их скалярное произведение .
Найдем ,
Угол найдем из формулы:
.
Пример 7. Определить при каких вектора и коллинеарны.
Решение. В случае коллинеарности, соответствующие координаты векторов и должны быть пропорциональны, то есть:
.
Отсюда и .
Пример 8. Определить, при каком значении вектора и перпендикулярны.
Решение. Вектора и перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Из этого условия получаем: . Стало быть, .
Пример 9. Найти, если , , .
Решение. В силу свойств скалярного произведения, имеем:
Пример 10. Найдите угол между векторами и , где и - единичные векторы и угол между векторами и равен 120о.
Решение. Имеем: , ,
Значит
Значит
Окончательно имеем: .
5.б. Векторное произведение.
Определение 21. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , или , определяемый следующими тремя условиями:
Отсюда следует, что модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.
Векторное произведение двух векторов, заданных своими проекциями.
Пусть даны векторы и , тогда
.
Если разложить определитель по элементам первой строки, то
=.
Механический смысл векторного произведения.
Пусть в точке к диску приложена сила . Определить момент силы относительно точки на диске.
Пусть - радиус-вектор точки приложения силы , - плечо, т.е. расстояние от точки до вектора силы , - угол между векторами и , - плоскость диска. Векторы и принадлежат диску ().
Отсюда следует, что .
Пример 11. Сила приложена в точке . Определить момент силы относительно точки .
Решение. Образуем вектор . Тогда момент относительно точки вычисляется по формуле: . Отсюда
, или .
Свойства векторного произведения векторов.
.
().
Таблица векторного умножения ортонормированного базиса , , .
.
Для запоминания можно воспользоваться круговым правилом:
Если перемещаться последовательно от одного к другому вектору против хода часовой стрелки, то следующий вектор надо писать со знаком (+), а по ходу стрелки следующий вектор со знаком (-).
Пример 12. Даны точки , , , .
Найти векторное произведение и его модуль.
Решение. Найдем
, ,
,
По формуле векторного произведения, имеем
.
Таким образом, векторное произведение имеет координаты:
, а его модуль
.
Пример 13. Даны точки , , .
Найти площадь треугольника .
Решение. Найдем , .
Векторное произведение и его модуль найдем как.
,
, .
Применив формулу площади для треугольника , построенного на векторах и , запишем . Отсюда получаем, что (кв. ед.).
Пример 14. Найти , если , , , .
Решение. Используя свойства векторного произведения, упростим конструкцию вектора , а именно:
.
Так как , то . Следовательно,
.
Теперь по формуле модуля векторного произведения, получаем
.
Пример 15. Зная векторы и , вычислите длину высоты треугольника (см. рис).
Решение. Обозначая площадь треугольника через , получим:
. Тогда , . С другой стороны, площадь треугольника определяется через векторное произведение как: .
Длину стороны найдем из равенства: . Значит, вектор имеет координаты.
.
Следовательно, модуль этого векторного произведения равен:
,
Откуда
.
Пример 16. Даны два вектора и . Найдите единичный вектор , ортогональный векторам и и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов , , была правой.
Решение. Обозначим координаты вектора относительно данного правого ортонормированного базиса через .
Поскольку , и , то , . По условию задачи требуется, чтобы и .
Имеем систему уравнений для нахождения :
Из второго уравнения системы получим:. Подставим в первое
.
Подставляя и в третье уравнение, будем иметь: , откуда .
Используя условие , получим неравенство
Или
Отсюда
С учетом выражений для и перепишем полученное неравенство в виде: , откуда следует, что . Итак, , , .
5.в. Смешанное произведение трех векторов.
Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется векторное произведение двух векторов , скалярно умноженное на третий вектор :
Смешанное произведение есть скалярная величина, по модулю численно равная объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах.
Пусть , тогда
Vпараллелепипеда, где “+” означает, что ,, образуют правую тройку, а “-“ –левую тройку. Отсюда получаем, что
; .
Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами.
Если перемножаемые векторы заданы их разложением по ортам:
, ,
то их смешанное произведение будет равно определителю третьего порядка:
.
Свойства смешанного произведения.
.
.
Это свойство позволяет записывать смешанное произведение в виде без знаков векторного и скалярного умножения.
а) хотя бы один из перемножаемых векторов есть нуль- вектор;
б) два из перемножаемых векторов коллинеарные;
в) три перемножаемые вектора компланарны;
Заметим, что случай в) содержит в себе и оба предыдущих: Если хотя бы один из трех векторов есть нуль-вектор или два из них коллинеарны, то все три вектора будут компланарны, следовательно,
,,-компланарны или =0.
Пример 17. Даны точки , , , .
Определить лежат ли точки в одной плоскости.
Решение. Точки будут лежать в одной плоскости, если три вектора, соединяющие эти точки, являются компланарными. Составим, например, вектора , , и найдем их смешанное произведение:
,
Поскольку, то вектора не компланарны, а стало быть, точки не лежат в одной плоскости.
Пример 18. Даны точки , , , .
Найти объем пирамиды .
Решение. Объем пирамиды равен части объема параллелепипеда, построенного на векторах , и вычисляется он по формуле:
Эти три вектора имеют координаты:
, , . Их смешанное произведение будет равно:
Отсюда получим Vпир=(куб.ед.).
Понятие вектора обобщают и на случай - мерного пространства, только уже не физического, а, например, пространство товаров, услуг и т.д.
В этом случае под вектором понимают упорядоченную совокупность - вещественных чисел и называют ее - мерным вектором, а числа - компонентами, или координатами, вектора.
Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену легковых автомобилей, грузовых, автобусов, комплектов запчастей для легковых автомобилей и комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора , имеющего пять компонент.
В этом случае произведением вектора на действительное число называется вектор .
Суммой векторов и называется вектор .
Кроме того, N-мерное векторное пространство определяется как множество всех - мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.
Экономическая иллюстрация - мерного векторного пространства: пространство благ (товаров). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, что существует конечное число наличных товаров . Количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров
,
где через обозначается количество - го блага, приобретенного потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров .
FVB