Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Правило розкладу: Визначник дорівнює сумі добутків елементів рядка (або стовпчика) на їх алгебраїчні доповнення.
З цієї формули виведемо 2 теореми:
1. Теорема заміщення
Сума добутків довільних n чисел b1, b2, … bn на алгебраїчні доповнення елементів деякого рядка (стовпчика) квадратної матриці порядка n дорівнює визначнику матриці, одержаної з даної заміною елементів цього рядка на числа b1, b2, … bn.
Доведення (для рядка). Розглянемо i-й рядок:........
Аналогічно розкладу det A, тільки ми замінили aіk на ....
2. Теорема анулювання
Сума добутків елементів одного рядка (стовпчика) квадратної матриці на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпчика) дорівнює нулю.
Доведення: За теоремою заміщення це дорівнює визначнику, в якому замість j-го рядка стоїть і-й,
тобто 2 рядки однакові .....
Властивість № : Визначник матриці дорівнює 0, якщо її рядки, як вектори, є лінійно залежними.
Властивість № : Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників.
Трикутні матриці та їх визначники.
Означення: Верхня трикутна матриця – квадратна матриця, у якої нижче головної діагоналі усі ел-ти = 0.
Нижня трикутна матриця – навпаки (вище діагоналі).
Теорема: Визначник трикутної матриці = добутку елементів головної діагоналі.
Доведення: (Для верхньої трикутної матриці). Розкладемо визначник за 1 стовпчиком.
=
і т. д. = .
Визначник діагональної матриці дорівнює добутку ел-тів головної діагоналі, зокрема визначник Е дорівнює 1.
Обернена матриця.
Означення: Оберненою матрицею А-1 до квадратної матриці А називається така матриця, що
Зауваження: Якщо det A=0, то у А не може бути оберненої матриці: det A = 0 A-1 не існує. Тому що
Якщо det A = 0, то матриця називається виродженою.
Теорема: У кожної невиродженої матриці А існує єдина обернена матриця А-1, елементи якої можна обчислити за формулою
, де Аij – алгебраїчне доповнення ел-та аij матриці А.
Алгоритм обчислення оберненої матриці:
Лінійні системи n рівнянь з n невідомими,
їх матричний запис.
Приклад: Можна виробити n видів продукції, при цьому є m видів ресурсів.
Нехай аij – це кількість ресурсу i-го виду для виробництва одиниці продукції j-го виду. Нам відома кількість ресурсів кожного виду:
1-го виду - b1, 2-го виду b2, ………, m-го виду bm
Питання: Скільки продукції треба виробити кожного виду, щоб ресурси використати повністю?
Розв’язування системи за допомогою
оберненої матриці.
Кількість невідомих n = m (кількості рівнянь), то матриця А – квадратна. Якщо вона ще й не вироджена (det A0), то в неї існує обернена А-1. Домножимо на А-1 зліва.
, то
Висновок: Розв’язок системи (значення невідомих х1, ...,х n) можна одержати як компоненти добутку матриці, оберненої до матриці системи, на стовпчик вільних членів.
Запишемо це в загальному вигляді
. Отже,
Теорема (Правила Крамера): Якщо матриця коефіцієнтів системи лінійних рівнянь (СЛР) квадратна (n рівнянь і n невідомих) та невироджена (det A 0) то система завжди має єдиний розв’язок. Його компоненти хі можна знайти за формулами:
, і = 1, 2, ..., n
де - визначник матриці системи, а і– визначник, який одержується заміною і-го стовпчика матриці системи на стовпчик вільних членів.
Алгоритм розв’язання системи рівнянь
правилами Крамера (квадратної системи):
Класифікація СЛР.
Означення: Система ЛР сумісна - якщо вона має розв’язки, і несумісна, якщо розв’язків немає.
Означення: СЛР називається однорідною, якщо стовпчик вільних членів нульовий (b1=0, b2=0, … bn=0) і неоднорідною, якщо не всі bi=0.
Зауваження: Однорідна система завжди сумісна, адже...
Означення: СЛР називається означеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і неозначеною, якщо більше ніж один розв’язок (насправді нескінченно багато).
Зауваження: СЛР з квадратною невиродженою матрицею є означеною, адже…
Зокрема однорідна СЛР з квадратною невиродженою матрицею має тільки нульовий розв’язок.
Метод Гаусса розв’язання СЛР.
Полягає у приведенні системи елементарними перетвореннями до такого вигляду, з якого всі невідомі знаходяться безпосередньо.
4 види елементарних перетворень:
Замість рівнянь дії частіше виконуються з їх коефіцієнтами та вільними членами, записаними в таблиці (матриці).
Алгоритм реалізації метода Гаусса.
(один з можливих)
Пункти 1-3 – прямий хід, 4 – зворотній хід.
Зауваження: 1. Порядок виключення невідомих можна змінювати.
2. Іноді доводиться перенумеровувати невідомі, щоб елемент, який стоїть на діагоналі не дорівнював 0 (перестановка стовпчиків).
Ранг прямокутної матриці.
Означення: Ранг матриці- це найбільша кількість лінійно незалежних її рядків, як векторів.
Твердження 1: Всі інші рядки матриці будуть лінійними комбінаціями цих рядків.
Твердження 2: Від елементарних перетворень рядків ранг матриці не змінюється.
Знаходження рангу матриці:
Добиваємось елементарними перетвореннями щоб , далі і т.д.
Виконуємо ці операції поки вони виконуються. В результаті одержимо трапецієвидну матрицю:
Теорема: У трапецієвидної матриці ранг дорівнює кількості ненульових рядків r.
Теорема (Кронекера-Капеллі): Система лінійних рівнянь є сумісною, тоді і тільки тоді, коли ранг її матриці дорівнює рангу розширеної матриці цієї системи (дописаний справа вектор вільних членів).
Однорідні СЛР (ОСЛР).
ОСЛР коли права частина = 0.
- завжди є розв’язком ОСЛР
Розглянемо: (1)
де , ...,, а - розв’язки системи.
Доведемо, що множина всіх розв’язків системи (1) є лінійним простором. Знайдемо його розмірність та вкажемо в ньому базис.
Якщо 1) - розв’язок, то - розв’язок.
2) , - розв., то - розв.
Доведемо, що розмірність простору n-r, де r – ранг А. Для цього елементарними перетвореннями зведемо систему до трапецієвидного вигляду:
Означення: Сукупність n-r лінійно незалежних розв’язків системи (1) - фундаментальна система розв’язків (n – кількість невідомих, r - ранг матриці системи). Невідомі хr+1, ...,хn – вільні, а х1, ..., – базисні (вільним можна надавати довільних значень і після цього обчислювати базисні). Вона є базисом .........
Теорема: Будь-який розв’язок ОСЛР є лінійною комбінацією векторів, які складають фундаментальну систему розв’язків:
Неоднорідні СЛР. Загальний та частковий розв’язки НСЛР.
НСЛР: Не всі вільні члени = 0.
(1)
(2), де , ... ,;
Якщо то (3)
.
Теорема (алгоритм) Загальний розв’язок НСЛР є сумою довільного часткового розв’язку цієї системи та загального розв’язку відповідної однорідної системи.