81 Митрофанова Д
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Федеральное агентство связи
ГОУ ВПО “СибГУТИ”
Уральский технический институт связи и информатики
КУРСОВАЯ РАБОТА
по информатике:
Визуализация численных методов.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Выполнила:
студентка гр.: СЕ-81
Митрофанова Д.И.
Проверила:
Тюпина О.М.
Екатеринбург
2009 г.
Содержание:
Введение………………………………………………………………….3
1. Постановка задачи…………………………………………………….4
2. Описание методов решения…………………………………………..5
2. 1. Суть задачи………………………………………………………….5
2. 2. Геометрический смысл задачи…………………………………….5
2. 3. Численные методы решения задачи Коши……………………….6
2. 4. Метод Эйлера……………………………………………………….9
2. 5. Метод Эйлера модифицированный……………………………….9
2. 6. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка………………………………….10
2. 7. Решение поставленной задачи методами Эйлера и Рунге-Кутта…………………………………………………………….12
2. 7. 1. Метод Эйлера……………………………………………………12
2. 7. 2. Метод Рунге-Кутта……………………………13
3. Алгоритм решения задачи…………………………………………...16
3. 1. Алгоритмы подпрограмм.………………………………………....16
3. 1. 1. Подпрограмма метода Эйлера………………………………….16
3. 1. 2 Подпрограмма метода Эйлера модифицированного…………..16
3. 1. 3. Подпрограмма общего решения и поиска максимальных значений x и y……………………………………………………………………17
3. 2. Алгоритм функции…………………………………………………17
3. 3. Алгоритм программы………………………………………………19
4. Форма программы…………………………………………………….20
5. Листинг программы…………………………………………………..21
6. Решение задачи в MathCad…………………………………………..23
Заключение………………………………………………………………25
Введение
При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде дифференциальных уравнений связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Например, исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, мы можем получить сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными. Не всегда удается решить дифференциальное уравнение без помощи компьютера, поэтому создание все лучших и удобных программ для решения уравнений всегда будет являться актуальным вопросом.
Целью данной курсовой работы является решение дифференциального уравнения двумя численными методами: методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4 порядка точности.
Для достижения цели я поставил перед собой следующие задачи:
- Написать программу для решения данного дифференциального уравнения двумя численными методами в программе Visual Basic.
- Проверить решение с помощью приложения MathCad.
- Сравнить полученные разными методами результаты с общим решением.
1. Постановка задачи
Решить методами Эйлера и Рунке-Кутта задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке [X0; Xk] с шагом h и начальным условием: Y(X0) = Y0.
Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:
|
X |
Y(1) |
Y(2) |
YT |
|
X0 |
Y0(1) |
Y0(2) |
Y(X0) |
|
X1 |
Y1(1) |
Y1(2) |
Y(X1) |
|
… |
… |
… |
… |
|
Xk |
Yk(1) |
Yk(2) |
Y(Xk) |
Где Y(1), Y(2) – решения, полученные различными численными методами, YT – точное решение дифференциального уравнения.
Возможно представление результатов решения не в виде таблицы, а в виде списков.
Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.
Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычесть значение коэффициента c, используемого в общем решении.
|
Дифференциальное уравнение |
X0 |
Xk |
h |
Y0 |
Общее решение |
|
y’ *(x+1)=y+2 |
0 |
0,8 |
0,1 |
0 |
y=(x+1)*c-2 |
2. Описание методов решения
2. 1. Суть задачи
Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.
Задачу Коши можно сформулировать следующим образом:
Пусть дано дифференциальное уравнение и начальное условие y(x0) = у0. Требуется найти функцию у(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.
Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
2. 2. Геометрический смысл задачи.
y’ = f(x,y) - тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (х, у) к оси 0Х, - угловой коэффициент (рис. 1).
Рисунок 1. Геометрический смысл задачи Коши.
Существование решения:
Если правая часть f(x, y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами
|x-x0| < а; |y-y0| < b,
то существует, по меньшей мере, одно решение у = у(х), определённое в окрестности |х – х0| < h, где h - положительное число.
Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица
|f(x,y)-f(x,y)| ≤N|y-y|(x,y),
где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от а и b. Если f(x, у) имеет ограниченную производную
f’y(x, y) в R, то можно положить N = мах |f’y(х, у)| при (х, y) принадлежащим R.
2. 3. Численные методы решения задачи Коши
При использовании численных методов выполняется замена отрезка [х0, X] - области непрерывного изменения аргумента х множеством . состоящего из конечного числа точек х0 < х1 < ... < xn = Х - сеткой.
При этом xi называют узлами сетки.
Во многих методах используются равномерные сетки с шагом:
Задача Коши, определённая ранее на непрерывном отрезке [х0, X], заменяется её дискретным аналогом - системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1, y2,…,yn - приближённые значения функции в узлах сетки.
Численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.
Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на
кривой у = f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге.
Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге - Кутта.
Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскания следующей точки кривой у = f(x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. Чтобы получить достаточно точное численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милна, Адамса - Башфорта и Хемминга.
Явные методы, в которых функция Ф не зависит от yn+1.
Неявные методы, в которых функция Ф зависит от yn+1.
2. 4. Метод Эйлера
Иногда этот метод называют методом Рунге-Кутта первого порядка точности.
Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:
Y’ = f(x, y)
с начальным условием
y(x0) = y0
Выберем шаг h и введём обозначения:
xi = х0 + ih и yi = y(xi), где i = 0, 1, 2, ...,
xi - узлы сетки,
yi - значение интегральной функции в узлах.
Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.
Проведем прямую АВ через точку (xi, yi) под углом α. При этом tg α = f(xi, yi)
В соответствий с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведем замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной АВ.
Тогда yi+1 = yi + Δy
Из прямоугольного треугольника ABC
Приравняем правые части tg α = f(xi, yi) и . Получим
Отсюда Δу = h ∙ f(xi, yi).
Подставим в это выражение формулу yi+1 = yi + Δy, а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчета очередной точки интегральной функции:
.
Рисунок 2. Метод Эйлера.
Из формулы видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.
Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера приведена на рисунке 3.
F(x, у) - заданная функция – должна
быть описана отдельно.
Входные параметры:
Х0, XK—начальное и конечное
значения независимой переменной;
Y0 – значение y0 из начального условия
y(x0) = y0;
N - количество отрезков разбиения;
Выходные параметры:
У - массив значений искомого решения
в узлах сетки.
Рисунок 3. Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера.
Метод Эйлера - один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 2 погрешность вычислений для i-гo шага обозначена ε. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.
2. 5. Метод Эйлера модифицированный
Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
с начальным условием:
Выберем шаг h и введём обозначения:
xi = x0 + ih и yi = y(xi), где i = 0, 1, 2, ...,
xi - узлы сетки,
yi - значение интегральной функции в узлах.
При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.
Иллюстрации к решению приведены на рисунке 4.
Рисунок 4. Метод Эйлера модифицированный
Проведем решение в несколько этапов:
- Обозначим точки: А(хi, yi,), C(xi + h/2, yi + h/2 ∙ f(xi, yi)) и B(xi+1, yi+1);
- Через точку А проведем прямую под углом α, где tg α = f(xi, yi);
- На этой прямой найдем точку С(хi + h/2, yi + h/2 ∙ f(xi, yi));
- Через точку С проведем прямую под углом α1, где tg α1 = f(xi + h/2,yi + h/2 ∙ f(xi, yi));
- Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой;
- Найдем точку B(xi+1, yi+1). Будем считать B(xi+1, yi+1) решением дифференциального уравнения при х = xi+1;
- После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения уi+1:
yi+1 = yi + h ∙ f(xi + h/2, yi + h/2 ∙ f(xi, yi)).
Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 4 это хорошо видно. Так величина εl характеризует погрешность метода Эйлера, а ε - погрешность метода Эйлера модифицированного.
Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированным приведена на рисунке 5.
F(x, у) - заданная функция - должна
быть описана отдельно.
Входные параметры:
Х0, XК - начальное и конечное
значения независимой
переменной;
Y0 – значение y0 из начального условия
y(x0)=y0;
N - количество отрезков разбиения;
Выходные параметры:
Y - массив значений искомого решения
в узлах сетки.
Рисунок 5. Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированным.
2.6 Метод Рунге-Кутта 4 порядка
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием y(x0)=y0. Выберем шаг h и введем обозначения:
xi = x0 + ih и yi = y(xi), где i = 0, 1, 2, ... .
Аналогично описанному выше методу производится решение
дифференциального уравнения. Отличие состоит в делении шага на 4 части.
Согласно методу Рунге-Кутта четвертого порядка, последовательные значения yi искомой функции y определяются по формуле:
yi+1 = yi +∆yi где i = 0, 1, 2 ...
∆y=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6
a числа k1, k2 ,k3, k4 на каждом шаге вычисляются по формулам:
k1 = h*f(xi, yi )
k2 = f (xi +h/2, yi +k1 /2)*h
k3 = F(xi +h/2, yi +k2 /2)*h
k4 = F(xi +h, yi +k3 )*h
Это явный четырехэтапный метод 4 порядка точности.
Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта приведена на рисунке 6.
F(x, у) - заданная функция - должна
быть описана отдельно.
Входные параметры:
Х0, XК - начальное и конечное
значения независимой
переменной;
Y0 – значение y0 из начального условия
y(x0)=y0;
N - количество отрезков разбиения;
Выходные параметры:
Y - массив значений искомого решения
в узлах сетки.
2. 7. Решение поставленной задачи методами Эйлера и Рунге-Кутта
2. 7. 1. Метод Эйлера
1. Строим оси координат;
2. Отмечаем A(0; 0) – первую точку интегральной кривой;
3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:
4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;
5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования
x1 = 0 + 1 · 0,1 = 0,1;
6. Проводим прямую x = x1 = 0,1 до пересечения с прямой l0, отмечаем точку B(x1; y1);
7. Ищем y точки B:
Из прямоугольного треугольника ABC ,
Δy = y1 – y0,
Δx = x1 – x0 = h,
f(x0; y0) = (y1 – y0)/h =>
y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 0 + 0,1 · f(0;0) = 0 + 0,1 · 2 = 0,2
Следовательно, точка B имеет координаты (0,1; 0,2).
2.7.2. Метод Рунге-Кутта 4 порядка
1. Строим оси координат;
2. Отмечаем А(0; 0) – первую точку интегральной кривой;
3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:
4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;
5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih
x1 = 0 + 1 · 0,1 = 0,1;
- Находим по формулам:
k1=0,1·f(0,0)=0,1·2=0,2
k2=0,1· f(0,1+0,1/2;0+0,2/2)= 0,2
k3=0,1· f(0,1+0,1/2;0+0,2/2)= 0,2
k4=0,1· f(0,1+0,1;0+0,2)= 0,2
∆y1=(0,2+2·0,2+2·0,2+0,2)/6=0,2
∆y2=0+0,2=0,2
Следовательно, следующая точка графика решения имеет координаты (0,1; 0,2)
. Алгоритм решения задачи
3. 1. Алгоритмы подпрограмм
3. 1. 1. Подпрограмма метода Эйлера
3.1.2 Подпрограмма метода Рунге-Кутта 4 порядка
3. 1. 3. Подпрограмма общего решения
3. 2. Алгоритм функции
3. 3. Алгоритм программы
4. Форма программы.
5. Листинг программы.
Dim x(), e(), em(), o() As Single
Private i, n As Integer
Private x0, xk, y0, h, miny, maxy, minx, maxx As Single
Function f(a, b) As Single
f = (b + 2) / (a + 1)
End Function
Private Sub Eiler()
ReDim x(n + 1)
ReDim e(n + 1)
e(0) = y0
For i = 0 To n
x(i) = Round(x0 + (i * h), 3)
e(i + 1) = Round(e(i) + h * f(x(i), e(i)), 3)
Next i
End Sub
Private Sub RungeKutta()
ReDim x(n + 1)
ReDim em(n + 1)
em(0) = y0
For i = 0 To n
x(i) = Round(x0 + i * h, 3)
k1 = h * f(x(i), em(i))
k2 = h * f(x(i) + (h / 2), em(i) + (k1 / 2))
k3 = h * f(x(i) + (h / 2), em(i) + (k2 / 2))
k4 = h * f(x(i) + h, em(i) + k3)
k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6
em(i + 1) = Round(em(i) + k, 3)
Next i
End Sub
Private Sub Obhee()
ReDim x(n + 1)
ReDim o(n + 1)
maxy = y0
miny = y0
maxx = x0
minx = x0
For i = 0 To n
x(i) = Round(x0 + i * h, 3)
c = (y0 + 2) / (x0 + 1)
o(i) = Round((x(i) + 1) * c - 2, 3)
Next i
End Sub
Private Sub Command1_Click()
x0 = Val(Text1.Text)
y0 = Val(Text2.Text)
xk = Val(Text3.Text)
h = Val(Text4.Text)
n = Round((xk - x0) / h)
MSFlexGrid1.Cols = 4
MSFlexGrid1.Rows = n + 2
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "x"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Общее рещение"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "эйлер"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Рунге-Кутт"
Eiler
RungeKutta
Obhee
For i = 0 To n
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(o(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(e(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(em(i))
Next i
minx = x(0)
maxx = x(n)
miny = o(0)
maxy = o(n)
If e(n) > o(n) Then maxy = e(n)
If em(n) > o(n) Then maxy = em(n)
If e(n) > em(n) Then maxy = e(n)
Label10.Caption = Str(miny)
Label11.Caption = Str(maxy)
Label8.Caption = Str(minx)
Label12.Caption = Str(maxx)
Picture1.Cls
kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)
ky = (Picture1.Height - 1000) / (maxy - miny)
For i = 0 To n - 1
z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)
z2 = Round(5400 - (e(i) - miny) * ky)
z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)
z4 = Round(5400 - (e(i + 1) - miny) * ky)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(0, 0, 9999)
Next i
For i = 0 To n - 1
z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)
z2 = Round(5400 - (em(i) - miny) * ky)
z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)
z4 = Round(5400 - (em(i + 1) - miny) * ky)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(0, 9999, 0)
Next i
For i = 0 To n - 1
z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)
z2 = Round(5400 - (o(i) - miny) * ky)
z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)
z4 = Round(5400 - (o(i + 1) - miny) * ky)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(9999, 0, 0)
Next i
End Sub
6. Решение задачи в MathCad.
Метод Эйлера
Метод Эйлера IV порядка точности (Метод Рунге-Кутта)
Общее решение
Заключение
При расчете уравнения ,двумя методами (Эйлера и Рунге-Кутта), получил значения сходные с общим, хотя метод Рунге-Кутта является наиболее точным. Это совпадение обуславливается маленьким шагом и небольшим диапазоном конечных значений.
В ходе работы я выполнил все поставленные задачи: написал программу для решения данного дифференциального уравнения двумя численными методами в программе Visual Basic, проверил решение с помощью приложения MathCAD,сравнил полученные разными методами результаты с общим решением. Поэтому я считаю что полностью выполнил поставленное передо мной задание курсовой работы.
tg(α) = f(x,y)
α
Eiler(X0, Xk, Y0, N, Y)
h = (Xk – X0)/N
i = 0, …, N - 1
x = X0 + i ∙ h
Yi+1 = Yi + h ∙ F(x, Yi)
End
End
Yi+1 = Yi + h ∙ F(x + h/2, Yi + h/2 ∙ F(xi, yi))
x = X0 + i ∙ h
i = 0, …, N-1
h = (Xk – X0)/N
EilerM(X0, Xk, Y0, N, Y)
α1
α
ε
ε1
xi+1
xi
h
h/2
В
С
А
0
y=y(x)
x
y
em(i + 1) = Round(em(i) + k, 3)
k2 = h * f(x(i) + (h / 2), em(i) + (k1 / 2))
k3 = h * f(x(i) + (h / 2), em(i) + (k2 / 2))
k4 = h * f(x(i) + h, em(i) + k3)
k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6
x(i) = Round(x0 + i * h, 3)
k1 = h * f(x(i), em(i))
h=(xk-x0)/n
Конец
i = 1, …, n
Конец
z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)
z2 = Round(5400 - (o(i) - miny) * ky)
z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)
z4 = Round(5400 - (o(i + 1) - miny) * ky)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)
i = 1, …, n-1
RungeKutta
z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)
z2 = Round(5400 - (em(i) - miny) * ky)
z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)
z4 = Round(5400 - (em(i + 1) - miny) * ky)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)
End
Yi+1= Yi+k
k=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6
k4= h*F(x+h, Yi +k3)
=
k3= h*F(x+h/2, Yi +k2/2)
k2=h*F(x+h/2, Yi +k1/2)
k1=h*F(x,Yi)
x = X0 + i ∙ h
i = 0, …, N-1
i = 1, …, n-1
z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)
z2 = Round(5400 - (e(i) - miny) * ky)
z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)
z4 = Round(5400 - (e(i + 1) - miny) * ky)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)
h = (Xk – X0)/N
i = 1, …, n-1
Picture1.Cls
kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)
ky = (Picture1.Height - 1000) / (maxy - miny)
miny
minx
maxy
maxx
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(e(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(em(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(o(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))
i = 1, …, n
Eiler
RungeKutta
Obhee
= Round((xk - x0) / h)
MSFlexGrid1.Cols = 4
MSFlexGrid1.Rows = n + 2
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "x"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Эйлер"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Рунге-Кутта"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Общее реш."
y0, x0,xk,h
Начало
Конец
f = (y+2)/(x+1)
f(x,y)
x(i) = Round(x0 + i * h, 3)
c = (y0 + 2) / (x0 + 1)
Eiler
ReDim x(n + 1)
ReDim e(n + 1)
e(0) = y0
x(i) = Round(x0 + (i * h), 3)
e(i + 1) = Round(e(i) + h * f(x(i), e(i)), 3)
i = 1, …, n
Конец
Конец
i = 1, …, n
o(i) = Round((x(i) + 1) * c - 2, 3)
maxy = y0
miny = y0
maxx = x0
minx = x0
Obhee
MSFlexGrid16
Picture1
Labe71
Text2
Text1
Labe41
Labe31
Label1
Text3
Labe21
Label11
Rynge4(X0, Xk, Y0, N, Y)
Text4
Command1
Label10
Labe81
Labe91
Label12
α
xi+1
хi
O
x
yi
h
yi+1
y=y(x)
B
e
A
y
2. УСЛОВИЯ УСПЕШНОЙ РЫБАЛКИ В ПРЕСНЫХ ВОДОЁМАХ ОКРЕСТНОСТЕЙ СТАНИЦЫ ВАРЕНИКОВСКОЙ
3. Курсовая работа- Экономико-географическая характеристика Западно-Сибирского экономического района
4. а не є в нотаріальній практиці поширеним явищем
5. реферату- Фактори впливу на організацію
6. Особенности личного страхования
7. День рождения Прямой Линии
8. І кандидат філософських наук професор;Алексєєв В
9. УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и международному сотрудничеству 20 года
10. 3.1. Общие положения 3.html
11. Болгарско-русские межъязыковые омонимы на примере имен существительных
12. В поисках радости
13. тематичних наук Одеса 2000 Дисертацією є рукопис
14. тема усиливает свою активность в стрессовой ситуации
15. У чому сенс життя хвилює та гризе у глибині душі кожну людину1
16. Петербурга МО город Ломоносов 19 сентября 2013 года
17. Реферат- Анализ качественных характеристик следящей системы
18. Лабораторная работа ’1 Аттестация рабочих мест.html
19. Статья 18 Методы определения таможенной СТОИМОСТИ 1
20. ии во многом зависит от правильной работы его организации которая должна соответствовать ряду требований-.html