Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопросы к экзамену по функц. анализу. 3 курс, VI семестр. (2012-2013гг.)
Первая часть
1.Определение скалярного произведения и Гильбертова пространства. Неравенство Коши-Буняковского.
2.Ортогональность в Н-пространствах. Теорема о разложении элемента в сумму 2-х проекций на подпространство.
3. Лемма о всюду плотном в Н линейном многообразии.
4.Ортогональные системы функций. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном Гильбертовом пространстве.
5.Лемма о минимизирующем свойстве частичных сумм ряда Фурье.
6.Полнота и замкнутость ортонормированных систем в Н-пространстве. Их эквивалентность. Теорема Рисса-Фишера.
7.Критерий полноты ортонормированной системы в Н-пространстве. Изоморфизм Н-пространств.
8.Принцип сжимающих отображений.
9.Применения принципа сжимающих отображений.
10.Линейные функционалы. Определение. Теоремы о коразмерности ядра функционала и об определении функционала.
11.Теорема Хана-Банаха в линейном пространстве.
12.Линейные непрерывные функционалы в ЛНП. Непрерывность и ограниченность линейного функционала в ЛНП.
13.Теорема Хана-Банаха в ЛНП.
14.Сопряженные пространства. Теорема о полноте L*.
15.Слабая сходимость в ЛНП.
16.Теорема Рисса о представлении линейного непрерывного функционала в H-пространстве.
17.Понятие линейного оператора. Непрерывный линейный оператор в ЛНП. Непрерывность и ограниченность оператора.
18.Норма линейного оператора. Свойства. Примеры.
19.Равномерная сходимость линейных операторов. Теоремы о равномерной сходимости в единичном круге. Следствие. Полнота L(L,L1).
20.Сильная сходимость в L(L,L1). Примеры.
Вторая часть
21.Принцип равномерной ограниченности.
22.Теорема Банаха-Штейнгауза.
23.Обратный оператор. Определение. Теорема о существовании и линейности A-1.
24.Теорема о существовании оператора (I+A)-1.
25.Теорема об ограниченной обратимости оператора, близкого к ограниченно обратимому.
26.Достаточное условие ограниченной обратимости оператора.
27.Регулярное множество. Спектр и резольвента линейного оператора. Спектральный радиус.
28.Понятие сопряженного оператора. Теорема о его представлении в H-пространстве.
29.Теорема о непрерывности и линейности A*.
30.Самосопряженные операторы. Свойства.
31.Определение и простейшие свойства компактных операторов.
32.Теорема о структуре компактного оператора.
33.Леммы Рисса. Первая теорема Фредгольма.
34.Вторая теорема Фредгольма.
35.Третья теорема Фредгольма.
36. Теорема Гильберта-Шмидта.
37.Применение теорем Фредгольма к решению интегральных уравнений Фредгольма.
38. Решение интегральных уравнений Фредгольма с малым ядром.