Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Пример решения типовой расчета
Задание №1.
Даны матрицы и . Найти:
; ;
Решение.
1) Транспонируем матрицу , заменив строки столбцами.
Получим .
Тогда матрица равна:
.
Теперь найдем матрицу :
.
2) Будем вычислять определители матриц различными способами.
Найдем определитель матрицы , разложив его по элементам первой строки:
Вычислим определитель матрицы , используя свойства определителей (римскими цифрами обозначены номера строк):
Вычислим определитель матрицы по правилу треугольников:
3) Матрица – неособенная (), следовательно, она имеет обратную. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы :
Составим из алгебраических дополнений присоединенную матрицу и разделим ее элементы на определитель матрицы .
Тогда обратная матрица окажется равной:
Сделаем проверку:
Проверить самостоятельно, что
Ответ: 1) ; ; 2)
3)
Задание №2.
Решить систему линейных уравнений
1) методом Крамера; 2) матричным методом; 3) методом Гаусса.
Решение.
1) Выпишем матрицу системы и найдем ее определитель (например, по правилу треугольников):
Теперь найдем вспомогательные определители , заменяя в исходной матрице -ый столбец на столбец свободных членов (= 1,2,3).
Получим:
Применяя формулы Крамера, найдем решение системы:
т.е. .
Сделаем проверку (самостоятельно!) и убедимся, что найденные значения неизвестных действительно являются решением исходной системы.
2) Матричный метод решения системы основывается на формуле:
, где – столбец неизвестных, – обратная матрица системы, – столбец свободных членов.
Матрица – неособенная (), следовательно, она имеет обратную. Найдем (см. задание 1).
.
Проверьте самостоятельно, что обратная матрица найдена верно!
Тогда . Следовательно, .
3) Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных.
Составим расширенную матрицу, приписав справа к матрице системы столбец свободных членов. Преобразуем полученную матрицу с помощью элементарных преобразований и приведем её к трапециевидной форме («прямой ход Гаусса»). Заметим, что при решении систем, преобразуют только строки матрицы!
Полученная система равносильна исходной. Прочитав её снизу вверх («обратный ход Гаусса»), получим:
Ответ: .
Задание №3.
Найти ранг матрицы
.
Решение.
Приведем данную матрицу с помощью элементарных преобразований к трапециевидной форме. Заметим, что, вычисляя ранг матрицы, можно преобразовывать как строки, так и столбцы!
Из второго, третьего и четвертого столбца полученной матрицы можно составить определитель (минор), отличный от нуля (он выделен пунктиром). Это наибольший по размеру ненулевой минор (базисный минор), следовательно, его размерность и равна рангу матрицы, т.е. Ответ:
Задание №4.
Исследовать систему с помощью теоремы Кронекера–Капелли и найти (в случае совместности) ее решения.
Решение.
Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем её с помощью элементарных преобразований к трапециевидной форме.
Наибольший порядок ненулевого минора, как матрицы системы, так и расширенной матрицы системы равен 2: Следовательно, согласно теореме Кронекера-Капелли, система совместна, т.е. имеет решения. Поскольку число неизвестных () больше ранга матрицы, то система является неопределенной, т.е. имеет бесконечное множество решений.
Найдем общее решение системы. Базисные неизвестные – это , коэффициенты при которых входят в ненулевой (базисный) минор. Остальные неизвестные – параметрические или свободные. Решим систему относительно базисных неизвестных (читаем снизу вверх).
Итак, придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесконечно много частных решений системы.
Общее решение можно записать в виде:,
где – любые числа.
Подставив полученные выражения для неизвестных в исходную систему, убеждаемся в том, что решение найдено верно (сделать проверку самостоятельно!).
Ответ: , где – любые числа.
Задание №5.
Доказать, что векторы линейно зависимы и найти эту зависимость:
Решение.
Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Имеем:
Значит, векторы линейно зависимы. Найдем эту зависимость.
Выразим один из векторов, например , через остальные. Другими словами, найдем коэффициенты и в разложении:
Распишем последнее равенство по координатам, получим систему:
Решим систему методом Гаусса:
Итак,
Ответ:
Задание №6.
Дан
Найти:
1) длину и уравнение стороны ;
2) длину и уравнение медианы ;
3) длину и уравнение высоты ;
4) площадь ;
5) угол .
Решение.
1) Используем уравнение прямой на плоскости через две точки:
Подставляя координаты точек , получим:
– уравнение стороны .
Длина стороны равна длине вектора .
ед.
2) Точка – середина отрезка .
Итак, Уравнение медианы будет иметь вид:
Длина медианы равна длине вектора
ед.
3) Для высоты используем уравнение прямой на плоскости через точку и нормаль: , где нормаль – вектор перпендикулярный прямой, а точка принадлежит данной прямой.
Имеем
– уравнение высоты .
Длина высоты – расстояние от точки до прямой . Уравнение прямой имеет вид:
Используем формулу расстояния от точки до прямой :
Получим: ед.
4) Площадь можно найти по формуле: , где – координаты вершин треугольника.
Имеем: кв. ед.
Замечание. Вычисленное значение площади можно проверить по формуле: (верно!).
5) Угол находим как угол между векторами и .
Ответ: 1) Сторона ед.;
2) медианаед.;
3) высота ед.;
4) кв. ед.; 5)
Задание №7.
Дана пирамида
Найти:
1) длину и уравнение ребра ;
2) площадь и уравнение грани ;
3) объем пирамиды;
4) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины на плоскость
;
5) угол между ребром и гранью .
6) угол между гранями и
Решение.
1) Используем уравнение прямой в пространстве через две точки:
Подставляя координаты точек , получим:
– уравнение ребра .
Длина стороны равна длине вектора .
ед.
2) Площадь грани равна площади , которую можно найти через векторное произведение по формуле:
кв. ед.
Уравнение грани – это уравнение плоскости через три точки:
Подставляя в это уравнение координаты точек , получим уравнение грани :
3) Объем пирамиды равен модуля смешанного произведения векторов . Найдем координаты векторов:
Тогда смешанное произведение равно:
куб. ед.
4) Из уравнения грани : найдем координаты вектора нормали , расположенного перпендикулярно плоскости , а значит параллельно высоте, опущенной из вершины .
Используем каноническое уравнение прямой в пространстве:
Подставляя вместо координаты точки , а вместо координаты вектора нормали , получим уравнение высоты:
Длина высоты – расстояние от точки до плоскости . Используем формулу
Получим: ед.
5) Угол между ребром и гранью найдем как угол между векторами .
Имеем:
Заметим, что угол по определению всегда острый. Поэтому, если окажется меньше нуля, то его значение надо взять по модулю!
6) Угол между гранями и найдем как угол между нормалями к этим граням. Плоскость имеет уравнение и, следовательно, её нормаль . Напишем уравнение плоскости :
Тогда её нормаль . Находим косинус угла между векторами и :
Замечание. Угол по определению всегда острый. Поэтому, если косинус окажется меньше нуля, то его значение надо взять по модулю!
Ответ: 1) ед.;
2) : ; кв. ед.;
3) куб. ед.;
4) – уравнение высоты; длина высотыед.;
5)6)
Задание №8.
Определить, какая линия на плоскости задается уравнением. Сделать чертеж.
1) ; 2) ;
3) .
Решение.
1) Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты:
Получим уравнение эллипса с центром в точке с координатами и полуосями (рис.1).
2) Данное уравнение задает в полярной системе координат кривую – кардиоиду.
Меняя от до , вычислим значения полярного радиуса :
При изменении от до 2 значения будут меняться от до в обратном порядке.
Построим кривую по точкам. Направим полярную ось вдоль оси и поместим полюс в начало координат (рис.2).
3) В данном случае кривая задана параметрически: .
Кривая называется астроидой. Её можно построить по точкам, изменяя параметр от до 2 (рис.3). Составим таблицу значений и для от до /2 (в остальных четвертях значения будут повторяться с учетом знака):
Задание №9.
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы из задания №1.
Собственными называются число и ненулевой вектор , удовлетворяющие уравнению: , где – матрица.
Собственные числа находятся из характеристического уравнения:, где – единичная матрица.
Для нахождения собственного вектора , соответствующего собственному числу , надо решить однородную систему уравнений: .
Составляем и решаем характеристическое уравнение для матрицы :
.
Найдем собственные векторы из системы уравнений:
Подставляя , получим
Система имеет бесчисленное множество решений. Положим ,
тогда – собственный вектор, соответствующий собственному числу .
Аналогично, для имеем
Положим , тогда – собственный вектор, соответствующий собственному числу .
Ответ:
Замечания.
PAGE 31
y
x
Рис. 1.
Рис. 2.
y
a
0
EMBED Equation.3
y
a
a x
Рис. 3.
Данное уравнение можно преобразовать к виду: EMBED Equation.3
Складывая, получим уравнение астроиды в декартовой системе координат: EMBED Equation.3