6 Центр тяжести. Геометрические характеристики плоских сечений Центром параллельных сил называется так
Работа добавлена на сайт samzan.net:
1.6 Центр тяжести. Геометрические характеристики плоских сечений
Центром параллельных сил называется такая точка на линии действия равнодействующей системы параллельных сил, через которую проходит равнодействующая и в том случае, если все силы системы повернуть вокруг их точек приложения на один и тот же угол, сохраняя параллельность сил.
Покажем существование центра параллельных сил на системе двух сил и , так как при повороте их на один и тот же угол отношение плеч ВС И СА не изменится и равнодействующая пройдет через точку С (см. рисунок 1).
Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3
Если дана система п параллельных сил, то равнодействующую этой системы можно найти, последовательно попарно складывая все силы. На линии действия равнодействующей системы параллельных сил также будет существовать точка, обладающая свойством параллельных сил. Формулы для определения координат центра параллельных сил имеют следующий вид:
; ; . (1)
1.6.1 Определение положения центра тяжести тела, плоской фигуры
Силой тяжести называется сила, с которой тело притягивается к Земле.
Элементарной частицей тела называется такая малая частица, положение которой в пространстве определяется координатами одной точки. Рассмотрим тело, состоящее из большого количества элементарных частиц. Силы тяжести каждой частицы, направленные к центру Земли, образуют систему сходящихся сил, но для тел размеры, которых малы по сравнению с размерами Земли, с достаточной степенью точности можно считать эти силы системой параллельных сил.
Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести всех элементарных частиц тела.
Центр тяжести есть геометрическая точка, которая может лежать вне тела (например, кольцо, цилиндр с отверстием).
Координаты центра тяжести тела находят по тем же формулам, что и координаты центра параллельных сил:
; ; , (2)
где - сила тяжести каждой элементарной частицы тела; , , - координаты частицы; - сила тяжести всего тела.
Если тело представляет собой однородную пластину толщиной h, то сила тяжести элементарной частицы, выраженная через площадь равна: , где - удельная сила тяжести (для однородного тела величина постоянная), тогда координаты центра тяжести плоской фигуры определяют по формулам:
; , (3)
где - площадь частей, на которые разбита плоская фигура, , - координаты центра тяжести этих частей .
1.6.2Методы нахождения центра тяжести
1.6.2.1 Метод симметрии. Представим себе однородное тело, которое имеет плоскость симметрии. Выберем такую систему координат, чтобы оси х и z лежали в плоскости симметрии (см. рисунок 2). этом случае каждой элементарной частице силой тяжести с абсциссой соответствует такая же частица с абсциссой , тогда .
Следовательно, если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести лежит в этой плоскости. Кроме того, аналогично можно доказать:
- Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести лежит на этой оси.
- Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести находится в точке их пересечения.
- Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.
1.6.2.2 Метод разбиения. Этот метод заключается в том, что тело разбивают на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжести которых известны, после чего применяют формулы (2), в которые можно подставить не силы тяжести элементарных частиц , а силы тяжести составных частей; под координатами понимают , , - координаты центров тяжести частей, на которые тело разбито. Для плоской фигуры применяют формулы (3).
1.6.2.3 Метод отрицательных масс (площадей). Этот метод заключается в том, что тело (плоскую фигуру), имеющее свободные полости, полагают сплошным, а массу (площади) свободных полостей считают отрицательными. Вид формул при этом не меняется. Для плоских фигур используют формулы (3), в которых площади свободных полостей подставляются со знаком минус. То есть при определении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять метод разбиения, но считать массу (площади) свободных полостей отрицательными.
1.6.2.4 Метод подвешивания основан на второй аксиоме статике (см. рисунок 3,а). Если тело в виде пластинки любой формы подвесить на нити, например в точке А, то при равновесии центр тяжести тела обязательно займет положение на вертикали, проходящей через точку подвеса А, так как только в этом положении центра тяжести сила тяжести и реакция нити уравновешивают друг друга. С помощью отвеса отметим на теле линию , на которой расположен искомый центр тяжести. Подвесив затем тело на нити в другой точке, например В (см. рисунок 3,б), получим линию, которая пересечением с линией фиксирует положение центра тяжести С.
1.6.3 Положение центра тяжести некоторых плоских фигур
1) Прямоугольник. Так как прямоугольник имеет две оси симметрии, то центр тяжести его площади находится в точке пересечения этих осей или в точке пересечения диагоналей (см.рисунок 4).
2)Треугольник. Центр тяжести площади треугольника лежит на расстоянии одной трети высоты от каждого основания (см.рисунок 5).
Для прямоугольного треугольника центр тяжести лежит на расстоянии одной трети от вершины прямого угла (см.рисунок 6).
3)Круг. Центр тяжести площади круга лежит в точке пересечения осей симметрии (см.рисунок 7).
4) Дуга окружности , (см.рисунок 8).
5) Круговой сектор , (см.рисунок 9).
6) Полукруг.Для полукруга , тогда , ,.
Рисунок 4 Рисунок 5 Рисунок 6 Рисунок 7 Рисунок 8
Рисунок 9 Рисунок 10 Рисунок 11
1.6.4 Геометрические характеристики плоских сечений
Статический момент площади плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на расстояния их до этой оси (см. рисунок 10). Статический момент площади обозначим S c индексом соответствующей оси:
; .
Координаты центра тяжести плоской фигуры: ;.
В этих формулах под можно понимать площадь элементарной площадки, тогда в пределе при , стремящемся к нулю, выражения и будут представлять собой статические моменты площади фигуры относительно осей x и y, а есть площадь всей фигуры, тогда:
; .
Статический момент площади фигуры относительно оси, лежащей в этой плоскости, равен произведению площади фигуры на расстояние ее центра тяжести до этой оси. Единица статического момента площади: м 1м2 = 1 м3.
Статический момент может быть положительным, отрицательным или равным нулю.
Статический момент сложной фигуры определяется как алгебраическая сумма статических моментов отдельных частей: .
Полярный момент инерции относительно полюса, лежащего в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до полюса (см.рисунок 10): .
Единица измерения полярного момента инерции: м2 1 м2 = 1 м4.
Полярный момент инерции величина положительная и неравная нулю. Полярный момент инерции для:
1) круга диаметром d: .
2) кольца размером D x d:
или , где .
Осевой момент инерции плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой оси (см. рисунок 10): ;
Единица измерения осевого момента инерции: м2 м2 = 1 м4; он всегда положительный.
Сложим моменты относительно двух взаимно перпендикулярных осей х и у:
+=;
,
т.е. сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно начала координат.
Момент инерции сложной фигуры можно вычислить как сумму моментов инерции простых фигур.
Осевые моменты инерции для:
1) прямоугольника b x h: ; ;
2) квадрата а x а: ;
3) круга размером d относительно диаметров х и у: ;
4) кольца размером D x d относительно оси х и у:
или .
Оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называют центральными.
Момент инерции относительно центральной оси называют центральным моментом инерции.
Момент инерции при параллельном переносе осей: Момент инерции относительно какой-либо оси равен центральному моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями (см. рисунок 11) :
.
Из ряда параллельных осей момент инерции будет наименьшим относительно центральной оси. Представим себе плоскую фигуру, моменты инерции которой относительно начала координат и , а полярный момент относительно начала координат , тогда .
Если оси координат поворачивать в своей плоскости вокруг начала координат, то полярный момент инерции останется неизменным, а осевые моменты инерции будут изменяться при этом . Если сумма двух переменных величин остается постоянной, то одна из них уменьшается, а другая увеличивается. Следовательно, при каком-то положении осей один из осевых моментов достигает максимального, а другой - минимального значений.
Оси, относительно которых моменты инерции имеют максимальное и минимальное значения, называют главными осями инерции .
Момент инерции относительно главной оси называется главным моментом инерции.
Если главная ось проходит через центр тяжести фигуры, то она называется главной центральной осью , а момент инерции относительно этой оси - главным центральным моментом.
Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось всегда будет одной из главных центральных осей.
Центробежным моментом инерции плоской фигуры называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на произведения расстояний этих площадок до двух данных взаимно перпендикулярных осей: , где х, у - расстояния от площадки до осей у и х соответственно.
Центробежный момент может быть положительным, отрицательным и в частном случае равен нулю.
Единица измерения центробежного момента: м 1м 1м2 = 1 м4
Если взаимно перпендикулярные оси х и у или одна из них являются осью симметрии плоской фигуры, то относительно таких осей центробежный момент инерции равен нулю. Центробежный момент инерции входит в формулы для определения положения главных осей несимметричных сечений.
Контрольные вопросы по теме к тесту-опросу:
Указать номер правильного ответа
1 ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ МЕТОДОМ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОЩАДИ СВОБОДНЫХ ПОЛОСТЕЙ СЧИТАЮТ
1) положительными 2) отрицательными
2 ОСЕВОЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ МОЖЕТ БЫТЬ
1) положительным 2) отрицательным 3) равным нулю
3 ВЗЯТАЯ ПО ВСЕЙ ПЛОЩАДИ СУММА ПРОИЗВЕДЕНИЙ ПЛОЩАДЕЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПЛОЩАДОК НА РАССТОЯНИЯ ИХ ДО ЭТОЙ ОСИ НАЗЫВАЕТСЯ
1) статическим моментом площади 2) полярным моментом инерции
3) осевым моментом инерции 4) центробежным моментом инерции
4 ВЗЯТАЯ ПО ВСЕЙ ПЛОЩАДИ СУММА ПРОИЗВЕДЕНИЙ ПЛОЩАДЕЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПЛОЩАДОК НА КВАДРАТ ИХ РАССТОЯНИЙ ДО ПОЛЮСА, ЛЕЖАЩЕГО В ТОЙ ЖЕ ПЛОСКОСТИ, НАЗЫВАЕТСЯ
1) статическим моментом площади 2) полярным моментом инерции
3) осевым моментом инерции 4) центробежным моментом инерции
5 ВЗЯТАЯ ПО ВСЕЙ ПЛОЩАДИ СУММА ПРОИЗВЕДЕНИЙ ПЛОЩАДЕЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПЛОЩАДОК НА ПРОИЗВЕДЕНИЯ РАССТОЯНИЙ ЭТИХ ПЛОЩАДОК ДО ДВУХ ДАННЫХ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ОСЕЙ, НАЗЫВАЕТСЯ
1) статическим моментом площади 2) полярным моментом инерции
3) осевым моментом инерции 4) центробежным моментом инерции
6 ВЗЯТАЯ ПО ВСЕЙ ПЛОЩАДИ СУММА ПРОИЗВЕДЕНИЙ ПЛОЩАДЕЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПЛОЩАДОК НА КВАДРАТ ИХ РАССТОЯНИЙ ДО ОСИ, ЛЕЖАЩЕЙ В ТОЙ ЖЕ ПЛОСКОСТИ, НАЗЫВАЕТСЯ
1) статическим моментом площади 2) полярным моментом инерции
3) осевым моментом инерции 4) центробежным моментом инерции
Указать номера правильных ответов
1 Центр тяжести прямоугольника лежит на
1) пересечении диагоналей 2) пересечении осей симметрии
3) одной трети высоты от каждого основания
4) одной трети от вершины прямого угла
2 Центр тяжести прямоугольного треугольника лежит на
1) пересечении диагоналей 2) пересечении осей симметрии
3) одной трети высоты от каждого основания
4) одной трети от вершины прямого угла
5) на двух третях от вершины острого угла
3 Статический момент площади может быть
1) положительным 2) отрицательным 3) равным нулю
4 Полярный момент инерции может быть
1) положительным 2) отрицательным
3) равным нулю 4) неравным нулю
5 Центробежный момент инерции
1) положительным 2) отрицательным 3) равным нулю
1 Единица измерения площади
2 Единица измерения статического момента площади сечения
3 Единица измерения полярного момента инерции
4 Единица измерения осевого момента инерции
5 Единица измерения центробежного момента инерции
1) м 2) м2 3) м3 4) м4
6 Если взаимно перпендикулярные оси x и y или одна из них являются осью симметрии плоского сечения, то относительно таких осей центробежный момент
1) больше нуля 2) равен нулю 3) меньше нуля
Дополнить: 1 Точка на линии действия равнодействующей системы параллельных сил, через которую проходит равнодействующая и в том случае, если все силы системы повернуть вокруг их точек приложения на один и тот же угол, сохраняя параллельность сил, называется ______________ .
2 Сила, с которой тело, притягивается к земле, называется ___________ .
3 Малая частица тела, положение, которой в пространстве определяется коордрнатами одной точки, называется __________________ .
4 Центр параллельных сил тяжести всех элементарных частиц тела называется_________ .
5 Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести лежит на ___________ .
6 Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести лежит в __________ .
7 Центр тяжести однородного тела вращения лежит на ____________ .
8 Сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна ___________ моменту инерции относительно начала координат. .
9 Из ряда параллельных осей момент инерции будет наименьшим относительно ____________ оси .
10 Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют ___________ .
11 Момент инерции относительно центральной оси называют ____________ .
12 Оси, относительно которых моменты инерции имеют максимальное и минимальное значения, называют _________________ .
13 Момент относительно главной оси называется _______________ .
14 Если главная ось проходит через центр тяжести сечения, то она называется ____________.
15 Момент инерции относительно главной оси, проходящей через центр тяжести сечения, называется _________________ .
16 Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда будет одной из________________.
Дополнить формулу
1 Координаты центра тяжести тела _________________
2 Координаты центра тяжести плоских сечений __________________
3 Координаты центра тяжести полукруга __________________.
4 Центробежный момент инерции _____________________
5 Статический момент площади относительно оси х_______________________
6 Статический момент площади относительно оси y_______________________
7 Полярный момент инерции для круга диаметром d _____________________
8 Полярный момент инерции для кольца размером D x d ______________________
9 Осевой момент инерции относительно оси x ____________________
10 Осевой момент инерции относительно оси y ___________________
11 Сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей ____________.
12 Осевой момент инерции для прямоугольника размером b x h относительно оси х ____________.
13 Осевой момент инерции для квадрата размером а x а относительно оси х ______________.
14 Осевой момент инерции для круга диаметром d относительно оси х ______________.
15 Осевой момент инерции для кольца размером D x d относительно оси х________________
16 Осевой момент инерции относительно оси, если известен центральный момент, относительно оси, параллельной данной _________________
10 УСТАНОВИТЬ ПРАВИЛЬНУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ КЦТ СОСТАВНЫХ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
□ Разбиваем на простые геометрические фигуры
□ Выбираем оси координат
□ Определяем КЦТ и площади отдельных сечений и указываем их КЦТ на
рисунке в мм
□ Результаты заносим в таблицу в см
□ Определяем КЦТ сложного сечения и указываем на рисунке и в мм
2. Современная демографическая ситуация в РФ
3. Проектирование и расчет обделки гидротехнических туннелей
4. кліше й окремі слова- Наступною позицією яка варта уваги яку не можна зігнорувати -.
5. контрольная работа Предпосылки возникновения маркетинга
6. Необходимость и сущность кредита.html
7. Белорусский государственный университет физической культуры Кафедра педагогики и философии
8. клеточная анемия Желчнокаменная болезнь осложненная обтурацией желчных протоков в сочетании с таласем
9. 1855 гг вступил на престол в 1825 г
10. Исследование математической модели маятника
11. Реферат- Использование корреляционно-регрессионного анализа для обработки экономических статистических данных
12. ТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Контрольные вопросы и задания в соответствии с критериями оценки результато
13. Закрываю глаза в жалкой попытке обмануть себя поверить в иллюзию создаваемую измученным сознанием
14. .ru Все книги автора Эта же книга в других форматах Приятного чтения Город Солнца Tommso Cmp
15. і Повітря заповнює в предметах усі порожні місця
16. Семейно-бытовые преступления
17. Проектирование силового кулачкового контроллер
18. механічний технікум Східноукраїнського національного університету імені Володимира Даля ldquo;ЗАТВ
19. Реформы 70-90-х годов ХХ века в Китае и их влияние на дальнейшее совершенствование страны
20. Валвейк Качественный тур по самым низким ценам Пакет для отдыха с детьми