Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Введение
Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы.
Точность математики означает, что основным методом в математических исследованиях являются логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения являются модели (математические). В этих моделях математика изучает соотношения между их элементами, количественные и качественные связи между ними, их форму. Одна и та же математическая модель может описывать с определенным приближением свойства очень далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений.
Математика неустанно продолжает развиваться, в ней создаются новые методы, появляются новые разделы. Развитие математики в целом определяет уровень ее использования и оказывает существенное влияние на развитие других наук и техники. В свою очередь, задачи практики, прогресс других фундаментальных и прикладных наук приводят к созданию новых направлений математики, стимулируют ту или иную направленность математических исследований, расширяют возможность применения математических методов.
В данной работе будет рассмотрено применение криволинейных интегралов в различных областях наук, в частности физики, механики и т.д.
Криволинейный интеграл первого рода
Для того чтобы естественным путем прийти к определению криволинейного интеграла, рассмотрим одну механическую задачу, которая к нему приводит.
Пусть на плоскости дана непрерывная простая спрямляемая кривая (К), вдоль которой расположены массы, причем известна их линейная плотность во всех точках M кривой. Требуется определить массу всей кривой (К).
криволинейный интеграл магнитный поле
Рис. 1
С этой целью между концами кривой вставим произвольно ряд точек для симметрии обозначений отождествляются с ). Эти точки пронумерованы в направлении от , хотя ничто не мешает перенумеровать их и в обратном направлении.
Взяв какую-нибудь точку на дуге кривой, вычислим плотность в этой точке. Приближенно считая, что такова же плотность во всех точках этого участка, и обозначая длину дуги через , для массы этой дуги будем иметь приближенное выражение
а для всей искомой массы - выражение
Погрешность этого последнего, связанная с сделанным выше приближенным допущением, будет стремиться к нулю, если длины всех участков стремятся к нулю. Таким образом, обозначая через наибольшую из длин для получения точной формулы остается лишь перейти к пределу:
.
Станем же изучать вообще пределы этого рода и, отвлекаясь от рассмотренной задачи, возьмем произвольную «функцию точки» заданную вдоль непрерывной простой спрямляемой кривой , и повторим указанный процесс: разбив кривую ) на элементарные дуги и выбрав на них произвольно по точке вычислим значения в них и составим сумму
она представляет собой также своего рода «интегральную сумму».
Аналогичный процесс может быть применен и в случае замкнутой кривой, если за точку выбрать любую ее точку, а остальные точки расположить в соответствии с тем или другим направлением на кривой.
Если при стремлении к нулю интегральная сумма имеет определенный конечный предел I, не зависящий ни от способа дробления кривой (K), ни от выбора точек на участках , то он называется криволинейным интегралом (первого типа) от функции взятым по кривой или по пути и обозначается символом
(где есть длина дуги кривой и напоминает об элементарных длинах .
Таким образом, полученное выше выражение для массы материальной кривой может быть переписано так:
Отметим особо, что в приведенном определении не играет никакой роли направление, которое может быть придано пути. Если, например, эта кривая не замкнута и под разуметь разно направленные кривые, то
Криволинейный интеграл второго рода
Пусть дана непрерывная кривая (которую мы для простоты предположим незамкнутой) и пусть вдоль нее снова задана некоторая функция Разложив кривую точками на части, выберем на отрезке кривой по произволу точку и вычислим в ней значение функции Но это значение умножим на этот раз не на длину дуги , а на величину проекции этой дуги, скажем, на ось , т.е. на ; затем составим сумму
Если при стремлении нулю эта сумма имеет конечный предел I, не зависящий ни от способа дробления кривой, ни от выбора точек , то этот предел называется криволинейным интегралом (второго типа) от взятым по кривой или по пути и обозначается символом
Аналогично, умножая значениеи составляя сумму
как предел ее получим криволинейный интеграл (второго типа) от
Если вдоль кривой и существуют интегралы
то и их сумму называют криволинейным интегралом («общего вида») и полагают
Сопоставим теперь определение криволинейного интеграла второго типа с определением криволинейного интеграла первого типа. При очевидном сходстве оба определения имеют существенное различие: в случае интеграла первого типа при составлении интегральной суммы значение функции умножается на длину участка кривой, а в случае интеграла второго типа это значение умножается на проекцию упомянутого участка на ось .
Направление пути , вдоль которого производится интегрирование, не играет роли в случае первого типа, ибо длина от этого направления не зависит. Иначе обстоит дело с интегралом второго типа: проекция упомянутой дуги на ту или другую из осей существенно зависит от направления дуги и меняет знак с изменением этого направления на обратное. Таким образом, для интегралов второго типа будет
и, аналогично,
Причем из существования интегралов справа уже вытекает существование интегралов слева, и обратно.
Подобным же образом можно ввести понятие криволинейного интеграла второго типа, распространенного на пространственную кривую Именно, если функция задана в точках этой кривой, то строим сумму
и рассматриваем ее предел при условии стремления к нулю этот предел называется криволинейным интегралом (второго типа) от и обозначается символом
Аналогично определяются интегралы вида
Наконец, рассматривается и интеграл («общего вида»)
Здесь также направление интегрирования меняет знак интеграла.
Приложения криволинейных интегралов
Теперь можно перейти непосредственно к приложениям криволинейных интегралов. Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, рассмотрим геометрические и физические.
Геометрические.
С помощью криволинейных интегралов вычисляются:
Длина кривой
Пусть является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором Длина данной кривой выражается следующим криволинейным интегралом
где производная, а -компоненты векторной функции
Если кривая задана в плоскости, то ее длина выражается формулой
Если кривая представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции в плоскости O xy,то длина такой кривой вычисляется по формуле
Наконец, если кривая задана в полярных координатах уравнением и функция является непрерывной и дифференцируемой в интервале , то длина кривой определяется выражением
Пример 1
Найти длину кривой при условии
Решение.
Запишем функцию в виде или
Рис. 2
Поскольку y ≥ 0, то мы возьмем только положительный корень в уравнении кривой. Длина кривой равна
Пример 2
Вычислить длину параболы в интервале
Решение.
Применяя формулу находим, что
Для вычисления полученного интеграла сделаем замену
Следовательно, При получаем а при - соответственно, Тогда длина участка параболы равна
Сделаем еще одну замену. Положим
В приведенном выше выражении мы использовали тригонометрическое соотношение
В результате длина кривой равна
Разложим подынтегральное выражение на сумму элементарных рациональных дробей.
Следовательно,
Решая данную систему уравнений, находим коэффициенты
.
Площадь области, ограниченной замкнутой кривой
Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости . Тогда площадь области R, ограниченной данной кривой, определяется формулами
Рис. 3
Здесь предполагается, что обход кривой C производится против часовой стрелки.
Если замкнутая кривая C задана в параметрическом виде то площадь соответствующей области равна
Пример 3
Найти площадь области, ограниченной гиперболой осью и вертикальными прямыми
Решение.
Вычислим площадь с помощью криволинейного интеграла.
Рис. 4
Решение.
Вычислим площадь с помощью криволинейного интеграла.
Найдем отдельно каждый из интегралов.
Следовательно, площадь заданной области равна
Пример 4
Найти площадь области, ограниченной эллипсом, заданным параметрически в виде
Решение.
Рис. 5
Применим сначала формулу
Получаем
Площадь данной фигуры можно вычислить, используя также и две другие формулы:
Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси
Предположим, что область R расположена в верхней и ограничена гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой C, обход которой осуществляется против часовой стрелки.
В результате вращения области R вокруг оси образуется тело Ω. Объем данного тела определяется формулами
Рис. 6
Пример 5
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси области , ограниченной кривой и прямыми
Решение.
Рис. 7
Объем этого тела найдем по формуле:
Вычислим криволинейные интегралы
Следовательно, объем тела равен
Пример 6
Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллипса с полуосями .
Решение.
Рис. 8
Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса Мы можем ограничиться рассмотрением половины эллипса, лежащей в верхней полуплоскости Тогда объем эллипсоида с полуосями будет равен
где под функцией подразумевается верхняя половина эллипса. Переходя к параметрической форме записи, находим объем
Отсюда, в частности, следует, что объем шара (при этом ) равен
Физические
С помощью криволинейных интегралов вычисляются:
Масса кривой
Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой C. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью . Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода
Если кривая C задана в параметрическом виде с помощью векторной функции
то ее масса описывается формулой
В случае плоской кривой, заданной в , масса определяется как
или в параметрической форме
Пример 7
Определить массу проволоки, имеющей форму отрезка от точки Масса распределена вдоль отрезка с плотностью
Решение.
Составим сначала параметрическое уравнение прямой
или
где параметр изменяется в интервале . Тогда масса проволоки равна
Пример 8
Найти центр масс проволоки, имеющей форму кардиоиды , где с плотностью
Рис. 9
Решение.
Очевидно, в силу симметрии, . Чтобы найти координату центра масс , достаточно рассмотреть верхнюю половину кардиоиды.
Предварительно найдем полную массу кардиоиды. В полярных координатах получаем
Вычислим момент первого порядка Используя формулу
Полагая (нижний и верхний пределы интегрирования становятся равными, соответственно, ), можно записать
Тогда
Следовательно, координаты центра масс кардиоиды равны .
Центр масс и моменты инерции кривой
Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой C, а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами
− так называемые моменты первого порядка.
Моменты инерции относительно осей определяются формулами
Пример 9
Вычислить момент в форме окружности с плотностью
Решение.
Уравнения окружности в параметрической форме имеют вид
Момент инерции относительно оси вычисляется по формуле
Проводя вычисления, получаем
Работа поля
Работа при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой выражается через криволинейный интеграл второго рода
где − сила, действующая на тело, − единичный касательный вектор. Обозначение означает скалярное произведение векторов и .
Рис. 10
Заметим, что силовое поле не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы иногда может оказаться отрицательной.
Если векторное поля задано в координатной форме в виде
то работа поля вычисляется по формуле
В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой в плоскости справедлива формула
Если траектория движения определена через параметр часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид
изменяется в интервале от .
Если векторное поле потенциально, то работа по перемещению тела из точки выражается формулой
где − потенциал поля.
Пример 10
Найти работу, совершаемую полем при перемещении тела от начала координат до точки ) по траектории , где
) С − отрезок прямой 2) С - кривая .
Решение.
Вычислим работу при перемещении вдоль прямой
Определим теперь работу при перемещении вдоль кривой .
Пример 11
Тело массой брошено под углом к горизонту с начальной скоростью . Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.
Рис. 11
Решение.
Запишем закон движения тела в параметрической форме.
При соударении с землей так что время полета тела равно
Силу притяжения запишем в виде . Тогда работа за время перемещения тела равна
Полученный результат объясняется тем, что гравитационное поле Земли является потенциальным, поскольку выполняется равенство
Найдем потенциал этого поля. В общем виде он записывается как
Полагая , находим или
Таким образом, потенциал гравитационного поля равен
где C − константа, которую можно положить равной 0. В результате получаем потенциал в виде
Отсюда видно, что при перемещении тела из начальной точки ) до конечной точки работа равна
Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера)
Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией вдоль замкнутого контура пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную
Рис. 12
Это выражается формулой ,
где - магнитная проницаемость вакуума, равная Н/м.
Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея)
Электродвижущая сила наведенная в замкнутом контуре , равна скорости изменения магнитного потока , проходящего через данный контур
Рис. 13
Пример 12
Оценить значение электродвижущей силы и электрического поля , возникающих в кольце радиусом у пассажира самолета, при полете самолета в магнитном поле Земли со скоростью
Решение.
Согласно закону Фарадея
Поскольку проводящее кольцо перемещается в магнитном поле Земли, возникает изменение магнитного потока ψ, проходящего через кольцо.
Предположим, что магнитное поле перпендикулярно плоскости кольца. Тогда за время изменение потока равно
где, − скорость самолета, − индукция магнитного поля Земли. Из последнего выражения получаем
Подставляя заданные величины
находим значение э.д.с.:
Как видно, это вполне безопасно для авиапассажиров. Напряженность возникающего электрического поля найдем по формуле. В силу симметрии, наведенное электрическое поле будет иметь постоянную амплитуду в любой точке кольца. Оно будет направлено по касательной к кольцу в любой его точке. Это позволяет легко вычислить криволинейный интеграл.
Следовательно, напряженность электрического поля равна
Заключение
Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и современными математическими методами исследования, которые могут применяться в его области. Для того чтобы иметь возможность с успехом применять математические методы при изучении того или иного вопроса, нужно, конечно, прежде всего, иметь необходимые знания, уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели.
В данной работе я попыталась наиболее обширно раскрыть применение криволинейного интеграла в различных областях наук. Благодаря криволинейным интегралам можно вычислить многие физические величины, что, конечно же, облегчает работу научных работников. Я считаю, что математика - универсальная наука, и более чем уверена, что без нее не существовала ни одна современная наука. Применение математики обширно, начиная с физики и заканчивая, казалось бы далекой от математики наукой - медициной.
Список использованной литературы
1. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа», 2 том, Москва «Высшая школа» 1988 г.
2. Г.М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 3 том, «Наука» 1969 г.
. Г.М. Фихтенгольц «Основы математического анализа», 2 том.
. К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко «Сборник задач по высшей математике», 2 часть, «Айрис-пресс» 2007 г.
. Д. Письменный «Конспект лекций по высшей математике», «Айрис-пресс» 2007 г.
. www.math24.ru <http://www.math24.ru>
. А.П. Аксёнов «Математический анализ» Санкт - Петербург 2000 г.
. В.Р. Гаврилов, Е.Е. Иванова, В.Д. Морозова «Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля», 7 часть Москва 2003 г.