Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ И ИНФОРМАТИКИ
УРАЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ
ФАКУЛЬТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ, ИНФОРМАТИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
КАФЕДРА ОРГАНИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ СВЯЗИ
По курсу: “Информатика”.
По теме: “Визуализация численных методов”.
г. Екатеринбург. 2006 г.
|
[1] Содержание. [2] Введение.
[3] [3.0.0.1] y`=f(x,y) – тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x,y) к оси OX (угловой коэффициент (в общей формуле прямой, y=k*x+b, обозначается как “k”)(рис 1). [3.0.0.2] Рисунок 1. Геометрический смысл задачи Коши
[4]
[5]
[6] [7] 2. Блок-схемы.
[8] [9] 3.1. Начальная форма.
[10] [11] 4. Программа для решения дифференциального уравнения в Visual Basic.
[12] |
Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и её производные называют дифференциальным уравнением. Решение дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обычным; в противном случае – уравнение в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными. В данной работе будут рассматриваться методы решения обычных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Чтобы решить ОДУ, необходимо знать значение зависимой переменной и (или) её производные при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши.
Числовое решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.
В данной курсовой работе будут рассматриваться два одношаговых метода: метод Эйлера первого порядка точности и Рунге – Кутта четвёртого порядка точности.
В данной курсовой работе необходимо решить ОДУ вида y` = (y+2)/(x+1) с заданными начальными значениями x0=0, xk=0.8, y0=0, h=0.1. Для проверки точности результатов дано общее решение данного уравнения y=(x+1)*2-2. Требуется решить уравнение двумя методами: Эйлера и Рунге – Кутта четвёртого порядка, сравнить результаты и сделать вывод какой метод эффективнее использовать, построить графики.
Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Геометрический смысл задачи:
y`=f(x,y) – тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x,y) к оси OX (угловой коэффициент (в общей формуле прямой, y=k*x+b, обозначается как “k”)(рис 1).
Рисунок 1. Геометрический смысл задачи Коши
Существующие решения:
Если правая часть f(x,y) непрерывная в некоторой области R, определяемой неравенствами |x – x0| < a; |y – y0| > b, то существует, по меньшей мере, одно решение y=y(x), определённое в окрестности |x – x0| < h, где h > 0.
При использовании численных методов выполняется замена отрезка [x0,X] – области непрерывного изменения аргумента x множеством wh, состоящего из конечного числа точек x0<x1<...<xn=X – сеткой.
При этом xi называют узлами решётки.
Задача Коши, определённая ранее на непрерывном отрезке [x0,X], заменяется её дискретным аналогом – системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1,y2,...,yn – приближённые значения функции в узлах сетки.
Данный метод, как сказано выше, является одношаговым. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчёта значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
y`=f(x,y)
с начальным условием
y(x0)=y0.
Выберем шаг h и введём обозначения:
xi=x0+i*h и yi=y(xi), где i=0,1,2,...,
xi- узлы сетки,
yi- значение интегральной функции в узлах.
Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.
Проведём прямую АВ через точку (xi,yi) под углом α. При этом
tgα=f(xi,yi) (1)
В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведём замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной АВ.
Тогда y i+1=yi+Δy (2).
Из прямоугольного треугольника АВС tgα= Δy/h (3).
Приравниваем правые части (1) и (3). Получим Δy/h= f(xi,yi).
Отсюда Δy= f(xi,yi)*h.
Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчёта очередной точки интегральной функции:
y i+1=yi+ h*f (xi,yi) (4).
Из формулы (4) видно, что для расчёта каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.
Рисунок 2. Метод Эйлера
Метод Эйлера – один из простейших методов численного решения ОДУ. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 2 погрешность вычислений дляi-го шага обозначена ε. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
y`=f(x,y)
с начальным условием
y(x0)=y0.
Выберем шаг h и введём обозначения:
xi=x0+i*h и yi=y(xi), где i=0,1,2,...,
xi- узлы сетки,
yi- значение интегральной функции в узлах.
Проведём решение в несколько этапов.
tg α2 = f(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)).
Согласно методу Рунге – Кутта четвёртого порядка, последовательные значения yi искомой функции y определяется по формуле:
y i+1=yi+Δy,
где
Δy=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6, i=0,1,2,...
а числа k1(i),k2(i),k3(i),k4(i) на каждом шаге вычисляются по формулам:
k1=h*f(xi,yi)
k2 =h*f(xi+h/2,yi+k1/2)
k3=h*f(xi+h/2,yi+k2/2)
k4 =h*f(xi+h,yi+k3)
Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.
Dim y(9) As Single
Dim YE(9) As Single
Dim YR(9) As Single
Dim YT(9) As Single
Dim l(9) As Single
Private x0 As Single
Private Function fun(a As Single, b As Single) As Single
f = (b + 2) / (a + 1)
fun = f
End Function
Private Sub Command1_Click()
x0 = Val(Text1.Text)
xk = Val(Text2.Text)
y0 = Val(Text3.Text)
h = Val(Text4.Text)
N = (xk - x0) / h
MSFlexGrid1.Rows = N + 2
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "x"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "YE"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "YR"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "YT"
Min = y0
Max = y0
l(0) = x0
y(0) = y0
YE(0) = y0
YR(0) = y0
YT(0) = y0
For i = 0 To N
l(i + 1) = x0 + i * h
k1 = h * fun(l(i), YR(i))
k2 = h * fun(l(i) + h / 2, YR(i) + k1 / 2)
k3 = h * fun(l(i) + h / 2, YR(i) + k2 / 2)
k4 = h * fun(l(i) + h, YR(i) + k3)
k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6
YR(i + 1) = YR(i) + k
YE(i + 1) = YE(i) + h * fun(l(i), YE(i))
YT(i) = (l(i + 1) + 1) * 2 - 2
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = l(i + 1)
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = YE(i)
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = YR(i)
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = YT(i)
If YE(i) > Max Then max1 = YE(i)
If YE(i) < Min Then min1 = YE(i)
If YR(i) > Max Then Max2 = YR(i)
If YR(i) < Min Then Min2 = YR(i)
If YT(i) > Max Then Max3 = YT(i)
If YT(i) < Min Then Min3 = YT(i)
Next i
For i = 0 To N - 1
px = (5415 / (xk - x0))
py = (6705 / (max1 - min1))
u1 = (l(i) - x0) * px + 600
u2 = 7440 - (YE(i) - min1) * py
u3 = (l(i + 1) - x0) * px + 600
u4 = 7440 - (YE(i + 1) - min1) * py
Picture1.Line (u1, u2)-(u3, u4)
u5 = (l(i) - x0) * px + 600
u6 = 7440 - (YR(i) - min1) * py
u7 = (l(i + 1) - x0) * px + 600
u8 = 7440 - (YR(i + 1) - min1) * py
Picture1.Line (u5, u6)-(u7, u8)
u9 = (l(i) - x0) * px + 600
u10 = 7440 - (YT(i) - min1) * py
u11 = (l(i + 1) - x0) * px + 600
u12 = 7440 - (YT(i + 1) - min1) * py
Picture1.Line (u9, u10)-(u11, u12)
Next i
End Sub
Заключение.
В данной курсовой рассматривались два метода решения ОДУ с начальными условиями, то есть задачи Коши: метод Эйлера и метод Рунге – Кутта четвёртого порядка.
Данные полученные этими методами идентичны друг другу, но с точки зрения простоты использования метод Эйлера гораздо проще в описании, чем метод Рунге – Кутта четвертого порядка.
Если посмотреть на графики и значения в точках, то можно убедится в том что методы почти точно определяют значения в у, и графики почти совпадают, имея небольшой угол отклонения.
3
2
1
YT(i) = (l(i) + 1) * 2 - 2
YE (i + 1) = YE(i) + h * fun(l(i), YE(i))
YR(i) = YR(i - 1) + k(i - 1)
k2 = h * fun(l(i) + h / 2, YR(i) + k1(i) /2)
k3 = h * fun(l(i) + h / 2, YR(i) + k2(i) / 2)
k4 = h * fun(l(i) + h, YR(i) + k3(i))
k = (k1(i) + 2k2(i) + 2k3(i) + k4(i)) / 6
k1 = h * fun(l(i), YR(i))
l(0) = x0
YT(0) = y0
YR(0) = y0
YE(0) = y0
шаблон графика
i = 0 . . n – 1
y
max = y0
min = y0
Line (u5, u6)-(u7, u8)
u8 = 7440 - (YR(i + 1) - Min1) * py
u7 = (l(i + 1) - x0) * px + 600
u6 =7440 - (YR(i) - Min1) * py
YE(i) < Min
YE(i) > Max
Max1 = YE(i)
Min1 = YE(i)
YR(i) > Max
Max2 = YR(i)
YR(i) < Min
Min2 = YR(i)
YT(i) > Max
Max3 = YT(i)
YT(i) < Min
Min3 = Y2(i)
xi
E
D
C
B
A
α
α
xi+1
xi +3h/4
u9 = (l(i) - x0) *px + 600
α
fun = (b + 2) / (a + 1)
α
Конец
Fun(a,b) as single
конец
u12 = 7440 - (YT(i + 1) - Min1) * py
u11 = (l(i + 1) - x0) * px + 600
2
u10=7440 - (YT(i) - Min1) * py
1
2
3
xi+h/4
1
3
4
1
3
4
u3 = (l(i + 1) - x0) * px + 600
u2 =7440 - (YE(i) - Min1) * py
u1 = (l(i) - x0) *px + 600
py = 6705 / (Max1 - Min1)
1
2
2
4
u5 = (l(i) - x0) *px + 600
u4 =7440- (YE(i + 1) - Min1) * py
x
l(i + 1) = x0 + i * h
l(i + 1),YE(i),YR(i),YT(i)
Line (u1, u2)-(u3, u4)
2
3
1
Text 3
MSFlexGrid1
Command1
Text 4
Label2
Text 2
Label1
Picture1
Text 1
Label4
Label3
i = 0 . . n
n = (xk - x0) / h
2
x0,y0,xk,h
px = 5415 / (xk - x0)
Начало
xi+h/2