Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
37
X
Y
Z
A
M
F
Q
B
N
E
P
Рис. 4
X
Y
M
A
F
Q
B
P
N
E
Лабораторная работа № 9
Крутильный маятник
Цель работы: Изучение крутильных колебаний и определение методом крутильных колебаний моментов инерции твердых тел.
Оборудование: лабораторная установка, электронный секундомер.
Материал для изучения:
Момент инерции.
Оценка погрешностей измерений.
Теоретическое введение
Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения называется произведение ее массы на квадрат расстояния до оси вращения:
I = mr2
Если тело не является материальной точкой, то моментом инерции тела будет сумма моментов инерций всех материальных точек, из которых состоит тело:
Момент инерции – мера инертности тела при его вращательном движении (аналогично массе тела – меры инертности тела при поступательном движении).
В системе единиц СИ момент инерции измеряется в кгм2, зависит от массы тела, его формы, распределения плотности в объеме тела, а также от того, относительно какой оси вращения вычисляется момент инерции.
В работе проверяется соотношение
I(n) = Ixcos2 + Iycos2 + Izcos2 (1)
для однородных симметричных твердых тел (куб, прямоугольный параллелепипед). Главные оси таких тел являются осями симметрии. Они перпендикулярны граням и проходят через геометрический центр тела (рис. 1).
Z z n
c y
y O
a x
x
Рис. 1. Рис. 2.
Для измерения моментов инерции твердого тела относительно оси, определяемой единичным вектором n
n = cos, cos, cos
n2 = cos2 + cos2 + cos2 = 1 (2)
где , и - углы между направлениями вектора n и осями координат ОХ, ОУ и ОZ (рис. 2), применяется метод крутильных колебаний.
Исследуемое твердое тело жестко закрепляется в рамке крутильного маятника, подвешенной на упругой вертикально натянутой проволоке. Если вывести маятник из положения равновесия, то он будет совершать крутильные колебания. Период этих колебаний равен
(3)
где Iм – момент инерции маятника относительно выбранной оси вращения, D – постоянная момента упругих сил, возникающих в закрученной проволоке.
Момент инерции маятника равен сумме момента инерции Io рамки и момента инерции I исследуемого тела: Iм = Io + I . Поэтому период колебаний маятника
(4)
Если колеблется свободная рамка без тела, то ее период колебаний, очевидно, равен
(5)
Из этих уравнений можно исключить неизвестную величину D. В результате находим:
I = Io(T2 – To2) / To2 (6)
Соотношение (6) позволяет выразить момент инерции I тела относительно оси маятника через момент инерции Io свободной рамки. Для этого нужно измерить периоды колебаний То и Т соответственно для свободной рамки и для рамки с телом. Период колебаний Т, так же как и момент инерции тела I , зависит от ориентации тела по отношению к оси маятника. Запишем (6) в виде
I(n) = Io(T2(n) – To2) / To2 (7)
где n – единичный вектор, направленный вдоль оси маятника. В лабораторной установке ось маятника (она же ось вращения тела) направлена по вертикали. Поэтому во всех опытах следует считать, что единичный вектор n направлен вертикально вверх. Момент инерции тела относительно вертикальной оси, т.е. I(n) , изменяют, поворачивая тело и закрепляя его в различных положениях по отношению к этой оси (рис. 3).
Направив оси ОХ, ОУ и ОZ n
вдоль главных осей тела, мы
выбрали систему координат Y
ОХУZ , жестко связанную с Z
телом. Поворачивая тело, мы
изменяем направления вектора
n в жестко связанной с телом O
системе координат ОХУZ.
Закрепим тело в рамке
так, чтобы ось вращения n сов-
падала с какой-либо его главной X
осью ОХ, ОУ или ОZ . Тогда из
(7) получим: Рис. 3.
Ix = Io(Tx2 – To2) / To2 , Iy = Io(Ty2 – To2) / To2 , Iz = Io(Tz2 – To2) / To2 (8)
где Tx , Tу и Tz – соответственно, периоды колебаний маятника, когда ось его вращения n совпадает с одной из главных осей ОХ, ОУ или ОZ .
Подставив (7) и (8) в исходное соотношение (1), получим:
T 2(n) = Tx2cos2 + Ty2cos2 + Tz2cos2 (9)
Таким образом, существует простая связь между периодами крутильных колебаний тела Tx , Tу и Tz относительно его осей симметрии ОХ, ОУ и ОZ и периодом колебаний этого же тела относительно оси n с направляющими косинусами (cos, cos , cos) .
Выражение (9), так же как и формула (3) для периода крутильных колебаний, справедливо, если затухание мало. Практически достаточно, чтобы число колебаний N, за которое амплитуда уменьшается в 2 – 3 раза, удовлетворяло неравенству N 10 (подробнее см. описание работы № 6). Если это неравенство выполняется, то проверка соотношения (1) сводится к проверке равенства (9). Оно удобно тем, что все входящие в него величины в условиях опыта могут быть измерены непосредственно.
Измерения
Будем проверять зависимость (9) для простого случая, когда исследуемое твердое тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b и c. Исследуем три образца: куб (a = b = c), симметричный параллелепипед (a= b c) и параллелепипед, у которого длины всех трех ребер различны (a b c) . Выясним, как можно провести проверку зависимости (9) в этих трех случаях.
Очевидно, что все три момента инерции куба относительно главных осей ОХ, ОУ и ОZ одинаковы: Ix = Iy = Iz .
Из (1) с учетом равенства (2) находим:
I(n) = Ix(cos2 + cos2 + cos2) = Ix = const (10)
Таким образом, момент инерции однородного куба относительно любой проходящей через его центр оси одинаков. Ясно, что и период крутильных колебаний куба должен быть одинаковым для любой оси вращения, проходящей через его центр:
T(n) = Tx = const (11)
Проверить это можно, закрепляя куб в рамке в различных положениях, при которых ось вращения проходит через центр куба и измеряя соответствующие периоды крутильных колебаний.
Очевидно, что и в этом случае моменты инерции параллелепипеда относительно главных осей ОХ и ОУ и соответствующие им периоды крутильных колебаний равны между собой: Ix = Iy , Tx =Tу .
Из (1) и (9) с учетом равенства: cos2 + cos2 = 1 - cos2 получаем:
I(n) = Ix(1 - cos2) + Izcos2 (12)
T2(n) = Tx2 (1 - cos2) + Tz2cos2 (13)
Таким образом, период крутильных колебаний T(n) зависит только от угла , который ось вращения n образует с осью тела OZ. Величина T(n) не зависит от углов и (при = const). В частности, должен быть одинаковым период колебаний относительно любой оси, лежащей в плоскости ОХУ (т.е. при
= 2). В любом случае cos = 0 и, согласно (13),
T(n) = Tx = const (при = 2) (14)
Проверить это соотношение можно, закрепляя в рамке крутильного маятника симметричный параллелепипед так, чтобы ось вращения была перпендикулярна его большому ребру. Периоды крутильных колебаний при любом таком положении тела должны совпадать.
Закрепим параллелепипед
в рамке так, чтобы ось вращения
совпадала с его главной диагона-
лью АВ (рис. 4). Вычислив направ-
ляющие косинусы, из (9) находим
T 2AB(a2 + b2 + c2) =
= Tx2a2 + Ty2b2 + Tz2c2 (15)
Аналогично, для осей EF,
MN и PQ из (9) следует:
T 2EF(b2 + c2) = Ty2b2 + Tz2c2
T 2MN(a2 + c2) = Tx2a2 + Tz2c2 (16)
T 2PQ(a2 + b2) = Tx2a2 + Ty2b2
.
Таким образом, для проверки формулы (9) в случае несимметричного параллелепипеда можно выяснить, выполняются ли соотношения (15) и (16) для измеренных значений периодов колебаний.
Обсудим теперь, как можно измерить момент инерции исследуемого тела. В соотношениях (7) и (8) моменты инерции тела выражаются через соответствующие периоды крутильных колебаний и момент инерции Io свободной рамки. Поэтому, измерив Io , мы сможем найти момент инерции I(n) любого из изучаемых в работе тел.
Для определения момента инерции рамки можно воспользоваться эталонным телом, момент инерции Iэ которого известен. Тогда согласно (6) имеем:
Iо = IэTo2 /(Tэ2 – To2) (17)
где Tэ – период колебаний рамки с закрепленным в ней эталонным телом. В качестве эталонного тела в работе используется однородный куб. Момент инерции такого куба относительно оси, проходящей через его центр, можно вычислить по формуле:
(18)
где m – масса куба, а – сторона куба.
Вычислив Iэ по формуле (18), можно измерить периоды колебаний To
и Tэ свободной рамки и с кубом и затем определить искомую величину Iо из соотношения (17).
1. Убедитесь в том, что колебания крутильного маятника являются слабо затухающими. Для этого выведите маятник из положения равновесия и определите приближено число колебаний N, за которое их амплитуда уменьшается в три раза. Измерения N проведите для свободной рамки и для рамки с закрепленным в ней образцом. Если N 1 (хотя бы в 10 раз), то затухание маятника мало и можно пользоваться формулой (3).
2. Определите периоды колебаний (с точностью до 10-4 с), закрепляя в рамке в различных положениях образец, имеющий форму куба. Результаты измерений занесите в табл. 1.
Таблица 1.
|
Т1 |
Т2 |
Т3 |
Т4 |
Т5 |
Т6 |
Т7 |
Т8 |
Т9 |
Т10 |
Тср |
Т |
Периоды колебаний определите для следующих положений куба:
А) ось вращения проходит через центры двух противоположных граней (Т1 , Т2 и Т3 );
Б) ось вращения проходит по главной диагонали куба (Т4 , Т5 , Т6 и Т7 );
С) ось вращения проходит через центр куба и середины противоположных ребер куба (Т8 , Т9 и Т10 ).
3. Определите период колебаний однородного симметричного прямоугольного параллелепипеда, закрепляя его в четырех различных положениях, при которых ось вращения перпендикулярна его большому ребру. Результаты измерений занесите в табл. 2.
Таблица 2.
|
Т1 |
Т2 |
Т3 |
Т4 |
Тср |
Т |
4. Определите период колебаний однородного несимметричного прямоугольного параллелепипеда
относительно осей AB, EF,MN и PQ
(см. рис.). Измерьте длину ребер па-
раллелепипеда. Результаты измерений
занесите в табл. 3. Убедитесь, что для
найденных значений этих величин с
хорошей точностью выполняются соот-
ношения (15) и (16):
Таблица 3.
|
Tx |
Ty |
Tz |
TAB |
TEF |
TMN |
TPQ |
a |
b |
c |
|
Tx2 |
Ty2 |
Tz2 |
TAB2 |
TEF2 |
TMN2 |
TPQ2 |
a2 |
b2 |
c2 |
T 2AB(a2 + b2 + c2) = Tx2a2 + Ty2b2 + Tz2c2 =
T 2EF(b2 + c2) = Ty2b2 + Tz2c2 =
T 2MN(a2 + c2) = Tx2a2 + Tz2c2 =
T 2PQ(a2 + b2) = Tx2a2 + Ty2b2 =
5. Измерьте длину ребра а куба и по формуле (18) найдите момент инерции Iэ куба относительно проходящей через его центр оси.
Измерьте период То крутильных колебаний свободной рамки и по формуле (17) вычислите ее момент инерции Io .
Найдите , пользуясь формулами (8) , по измеренным значениям периодов колебаний Tx, Ty и Tz (табл. 3) моменты инерции несимметричного параллелепипеда Ix , Iy и Iz . Результаты занесите в табл. 4.
Таблица 4.
|
m |
a |
Iэ |
Tэ |
To |
Iо |
Ix |
Iy |
Iz |
Оцените погрешности, с которыми определены моменты инерции Ix , Iy и Iz .
Контрольные вопросы.
1. Что называется моментом инерции твердого тела относительно некоторой оси вращения?
I = ma2/6
T = 2(Iм/D)1/2