Лабораторная работа 9 Крутильный маятник Цель работы- Изучение крутильных колебаний и определение м
Работа добавлена на сайт samzan.net:
37
X
Y
Z
A
M
F
Q
B
N
E
P
Рис. 4
X
Y
M
A
F
Q
B
P
N
E
Лабораторная работа № 9
Крутильный маятник
Цель работы: Изучение крутильных колебаний и определение методом крутильных колебаний моментов инерции твердых тел.
Оборудование: лабораторная установка, электронный секундомер.
Материал для изучения:
Момент инерции.
Оценка погрешностей измерений.
Теоретическое введение
Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения называется произведение ее массы на квадрат расстояния до оси вращения:
I = mr2
Если тело не является материальной точкой, то моментом инерции тела будет сумма моментов инерций всех материальных точек, из которых состоит тело:
Момент инерции – мера инертности тела при его вращательном движении (аналогично массе тела – меры инертности тела при поступательном движении).
В системе единиц СИ момент инерции измеряется в кгм2, зависит от массы тела, его формы, распределения плотности в объеме тела, а также от того, относительно какой оси вращения вычисляется момент инерции.
В работе проверяется соотношение
I(n) = Ixcos2 + Iycos2 + Izcos2 (1)
для однородных симметричных твердых тел (куб, прямоугольный параллелепипед). Главные оси таких тел являются осями симметрии. Они перпендикулярны граням и проходят через геометрический центр тела (рис. 1).
Z z n
c y
y O
a x
x
Рис. 1. Рис. 2.
Для измерения моментов инерции твердого тела относительно оси, определяемой единичным вектором n
n = cos, cos, cos
n2 = cos2 + cos2 + cos2 = 1 (2)
где , и - углы между направлениями вектора n и осями координат ОХ, ОУ и ОZ (рис. 2), применяется метод крутильных колебаний.
Исследуемое твердое тело жестко закрепляется в рамке крутильного маятника, подвешенной на упругой вертикально натянутой проволоке. Если вывести маятник из положения равновесия, то он будет совершать крутильные колебания. Период этих колебаний равен
(3)
где Iм – момент инерции маятника относительно выбранной оси вращения, D – постоянная момента упругих сил, возникающих в закрученной проволоке.
Момент инерции маятника равен сумме момента инерции Io рамки и момента инерции I исследуемого тела: Iм = Io + I . Поэтому период колебаний маятника
(4)
Если колеблется свободная рамка без тела, то ее период колебаний, очевидно, равен
(5)
Из этих уравнений можно исключить неизвестную величину D. В результате находим:
I = Io(T2 – To2) / To2 (6)
Соотношение (6) позволяет выразить момент инерции I тела относительно оси маятника через момент инерции Io свободной рамки. Для этого нужно измерить периоды колебаний То и Т соответственно для свободной рамки и для рамки с телом. Период колебаний Т, так же как и момент инерции тела I , зависит от ориентации тела по отношению к оси маятника. Запишем (6) в виде
I(n) = Io(T2(n) – To2) / To2 (7)
где n – единичный вектор, направленный вдоль оси маятника. В лабораторной установке ось маятника (она же ось вращения тела) направлена по вертикали. Поэтому во всех опытах следует считать, что единичный вектор n направлен вертикально вверх. Момент инерции тела относительно вертикальной оси, т.е. I(n) , изменяют, поворачивая тело и закрепляя его в различных положениях по отношению к этой оси (рис. 3).
Направив оси ОХ, ОУ и ОZ n
вдоль главных осей тела, мы
выбрали систему координат Y
ОХУZ , жестко связанную с Z
телом. Поворачивая тело, мы
изменяем направления вектора
n в жестко связанной с телом O
системе координат ОХУZ.
Закрепим тело в рамке
так, чтобы ось вращения n сов-
падала с какой-либо его главной X
осью ОХ, ОУ или ОZ . Тогда из
(7) получим: Рис. 3.
Ix = Io(Tx2 – To2) / To2 , Iy = Io(Ty2 – To2) / To2 , Iz = Io(Tz2 – To2) / To2 (8)
где Tx , Tу и Tz – соответственно, периоды колебаний маятника, когда ось его вращения n совпадает с одной из главных осей ОХ, ОУ или ОZ .
Подставив (7) и (8) в исходное соотношение (1), получим:
T 2(n) = Tx2cos2 + Ty2cos2 + Tz2cos2 (9)
Таким образом, существует простая связь между периодами крутильных колебаний тела Tx , Tу и Tz относительно его осей симметрии ОХ, ОУ и ОZ и периодом колебаний этого же тела относительно оси n с направляющими косинусами (cos, cos , cos) .
Выражение (9), так же как и формула (3) для периода крутильных колебаний, справедливо, если затухание мало. Практически достаточно, чтобы число колебаний N, за которое амплитуда уменьшается в 2 – 3 раза, удовлетворяло неравенству N 10 (подробнее см. описание работы № 6). Если это неравенство выполняется, то проверка соотношения (1) сводится к проверке равенства (9). Оно удобно тем, что все входящие в него величины в условиях опыта могут быть измерены непосредственно.
Измерения
Будем проверять зависимость (9) для простого случая, когда исследуемое твердое тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b и c. Исследуем три образца: куб (a = b = c), симметричный параллелепипед (a= b c) и параллелепипед, у которого длины всех трех ребер различны (a b c) . Выясним, как можно провести проверку зависимости (9) в этих трех случаях.
Однородный куб
Очевидно, что все три момента инерции куба относительно главных осей ОХ, ОУ и ОZ одинаковы: Ix = Iy = Iz .
Из (1) с учетом равенства (2) находим:
I(n) = Ix(cos2 + cos2 + cos2) = Ix = const (10)
Таким образом, момент инерции однородного куба относительно любой проходящей через его центр оси одинаков. Ясно, что и период крутильных колебаний куба должен быть одинаковым для любой оси вращения, проходящей через его центр:
T(n) = Tx = const (11)
Проверить это можно, закрепляя куб в рамке в различных положениях, при которых ось вращения проходит через центр куба и измеряя соответствующие периоды крутильных колебаний.
Симметричный прямоугольный параллелепипед
Очевидно, что и в этом случае моменты инерции параллелепипеда относительно главных осей ОХ и ОУ и соответствующие им периоды крутильных колебаний равны между собой: Ix = Iy , Tx =Tу .
Из (1) и (9) с учетом равенства: cos2 + cos2 = 1 - cos2 получаем:
I(n) = Ix(1 - cos2) + Izcos2 (12)
T2(n) = Tx2 (1 - cos2) + Tz2cos2 (13)
Таким образом, период крутильных колебаний T(n) зависит только от угла , который ось вращения n образует с осью тела OZ. Величина T(n) не зависит от углов и (при = const). В частности, должен быть одинаковым период колебаний относительно любой оси, лежащей в плоскости ОХУ (т.е. при
= 2). В любом случае cos = 0 и, согласно (13),
T(n) = Tx = const (при = 2) (14)
Проверить это соотношение можно, закрепляя в рамке крутильного маятника симметричный параллелепипед так, чтобы ось вращения была перпендикулярна его большому ребру. Периоды крутильных колебаний при любом таком положении тела должны совпадать.
Несимметричный прямоугольный параллелепипед
Закрепим параллелепипед
в рамке так, чтобы ось вращения
совпадала с его главной диагона-
лью АВ (рис. 4). Вычислив направ-
ляющие косинусы, из (9) находим
T 2AB(a2 + b2 + c2) =
= Tx2a2 + Ty2b2 + Tz2c2 (15)
Аналогично, для осей EF,
MN и PQ из (9) следует:
T 2EF(b2 + c2) = Ty2b2 + Tz2c2
T 2MN(a2 + c2) = Tx2a2 + Tz2c2 (16)
T 2PQ(a2 + b2) = Tx2a2 + Ty2b2
.
Таким образом, для проверки формулы (9) в случае несимметричного параллелепипеда можно выяснить, выполняются ли соотношения (15) и (16) для измеренных значений периодов колебаний.
Обсудим теперь, как можно измерить момент инерции исследуемого тела. В соотношениях (7) и (8) моменты инерции тела выражаются через соответствующие периоды крутильных колебаний и момент инерции Io свободной рамки. Поэтому, измерив Io , мы сможем найти момент инерции I(n) любого из изучаемых в работе тел.
Для определения момента инерции рамки можно воспользоваться эталонным телом, момент инерции Iэ которого известен. Тогда согласно (6) имеем:
Iо = IэTo2 /(Tэ2 – To2) (17)
где Tэ – период колебаний рамки с закрепленным в ней эталонным телом. В качестве эталонного тела в работе используется однородный куб. Момент инерции такого куба относительно оси, проходящей через его центр, можно вычислить по формуле:
(18)
где m – масса куба, а – сторона куба.
Вычислив Iэ по формуле (18), можно измерить периоды колебаний To
и Tэ свободной рамки и с кубом и затем определить искомую величину Iо из соотношения (17).
Задание
1. Убедитесь в том, что колебания крутильного маятника являются слабо затухающими. Для этого выведите маятник из положения равновесия и определите приближено число колебаний N, за которое их амплитуда уменьшается в три раза. Измерения N проведите для свободной рамки и для рамки с закрепленным в ней образцом. Если N 1 (хотя бы в 10 раз), то затухание маятника мало и можно пользоваться формулой (3).
2. Определите периоды колебаний (с точностью до 10-4 с), закрепляя в рамке в различных положениях образец, имеющий форму куба. Результаты измерений занесите в табл. 1.
Таблица 1.
|
Т1 |
Т2 |
Т3 |
Т4 |
Т5 |
Т6 |
Т7 |
Т8 |
Т9 |
Т10 |
Тср |
Т |
Периоды колебаний определите для следующих положений куба:
А) ось вращения проходит через центры двух противоположных граней (Т1 , Т2 и Т3 );
Б) ось вращения проходит по главной диагонали куба (Т4 , Т5 , Т6 и Т7 );
С) ось вращения проходит через центр куба и середины противоположных ребер куба (Т8 , Т9 и Т10 ).
3. Определите период колебаний однородного симметричного прямоугольного параллелепипеда, закрепляя его в четырех различных положениях, при которых ось вращения перпендикулярна его большому ребру. Результаты измерений занесите в табл. 2.
Таблица 2.
|
Т1 |
Т2 |
Т3 |
Т4 |
Тср |
Т |
4. Определите период колебаний однородного несимметричного прямоугольного параллелепипеда
относительно осей AB, EF,MN и PQ
(см. рис.). Измерьте длину ребер па-
раллелепипеда. Результаты измерений
занесите в табл. 3. Убедитесь, что для
найденных значений этих величин с
хорошей точностью выполняются соот-
ношения (15) и (16):
Таблица 3.
|
Tx |
Ty |
Tz |
TAB |
TEF |
TMN |
TPQ |
a |
b |
c |
|
Tx2 |
Ty2 |
Tz2 |
TAB2 |
TEF2 |
TMN2 |
TPQ2 |
a2 |
b2 |
c2 |
T 2AB(a2 + b2 + c2) = Tx2a2 + Ty2b2 + Tz2c2 =
T 2EF(b2 + c2) = Ty2b2 + Tz2c2 =
T 2MN(a2 + c2) = Tx2a2 + Tz2c2 =
T 2PQ(a2 + b2) = Tx2a2 + Ty2b2 =
5. Измерьте длину ребра а куба и по формуле (18) найдите момент инерции Iэ куба относительно проходящей через его центр оси.
Измерьте период То крутильных колебаний свободной рамки и по формуле (17) вычислите ее момент инерции Io .
Найдите , пользуясь формулами (8) , по измеренным значениям периодов колебаний Tx, Ty и Tz (табл. 3) моменты инерции несимметричного параллелепипеда Ix , Iy и Iz . Результаты занесите в табл. 4.
Таблица 4.
|
m |
a |
Iэ |
Tэ |
To |
Iо |
Ix |
Iy |
Iz |
Оцените погрешности, с которыми определены моменты инерции Ix , Iy и Iz .
Контрольные вопросы.
1. Что называется моментом инерции твердого тела относительно некоторой оси вращения?
- Покажите, что момент инерции однородного куба относительно оси, проходящей через его центр, равен
I = ma2/6
- Выведите формулу (3):
T = 2(Iм/D)1/2
2. тематике для ЕНТ 2013 0~~-2~n; ~-2~-n nZ 0~-4~n -sinxcosx 0- 0~-4~n -sinx~cosx 0- 0~-22~n[x[3~-22~nnZ -cosx[
3. Курсовая работа- Сущность и типология государст
4. Тому правове регулювання строків розгляду і вирішення справ у господарських судах виконання рішень суду з
5. Рыбные ресурсы их использование и охрана
6. Черубина де Габриак
7. Договор перевозки грузов.html
8. Разъемы материнской платы Intel D815EEA
9. Криминалистическое значение следов пальцев рук
10. Безрадостное положение вещей сказывается на всех трех основных уровнях государственного управления федер
11. контрольная работа [277 K] добавлена 13
12. Виды маркетинга и их особенности
13. темами отсчета нет и все они в этом отношении равноправны
14. Реферат- Ціннісні характеристики соціальних працівників та соціальних педагогів
15. Своя среди чужих1820 лет Часть 2
16. IХ вв Так уже отмеченное развитие земледелия особенного пашенного в степном и лесостепном районе Среднег
17. Лабораторная работа 11 решение системы уравнений Инвертирующий сумматор Инвертирующий сумматор с
18. Риголетто молодой человек в черном костюме с бледным лицом.html
19. Сообщество молодых предпринимателей Красноярского края Совету АНО Сообщество мо
20. Теория кооперации