Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Федеральное агентство по образованию
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ
(образован в 1953 году)
Кафедра физики и высшей математики
|
Дистанционное обучение |
Физ. мат. 4.11.0135 зчн.плн. Физ. мат. 4.11.0135 зчн. скр Физ. мат. 4.11.3117 зчн. плн. Физ. мат. 4.11.3117 зчн. скр |
Математика
Методические указания
по практическим занятиям для студентов
заочной формы обучения специальностей 020803 (0135), 110901 (3117).
www.msta.ru
Москва – 2006
УДК 51
Калашникова А.В. Математика. Методические указания по практическим занятиям. – М., МГУТУ, 2006.
Пособие разработано в соответствии с программой по высшей математике для вузов. Содержит задания для проведения практических занятий по важнейшим разделам курса.
Приведены основные теоретические сведения, решения типовых задач и примеров, задачи и упражнения для самостоятельной работы.
Автор: Калашникова Альбина Васильевна
Рецензент: старший преподаватель Родионова Е.Н.
Редактор: Свешникова Н.И.
Московский государственный университет технологий и управления, 2006
109004, Москва, Земляной вал, 73.
СОДЕРЖАНИЕ
Исследование функций.
Нахождение площадей плоских фигур
Введение
Данное пособие предназначено для студентов-заочников специальностей «Биоэкология» и «Водные ресурсы и аквакультура». Оно содержит задания для проведения практических занятий по темам: аналитическая геометрия, предел функции, дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, теория вероятностей. Каждое практическое занятие включает перечень вопросов для подготовки к занятиям, решение типовых задач и примеров, а также задания для самостоятельной работы над изучаемым материалом.
Предлагаемый материал поможет студенту-заочнику при закреплении теоретических знаний на практических занятиях и при самостоятельном изучении указанных разделов.
ЗАНЯТИЕ 1. (4 часа)
Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости.
Цель занятия: Научиться пользоваться формулами для решения простейших задач, освоить различные виды уравнений прямой.
Вопросы
Решение. Расстояние d между двумя точками и равно
.
По этой формуле получаем:
.
Решение. Воспользуемся формулами
и .
; ; ; ; .
Следовательно, координаты точки С выразятся так:
.
Итак, .
Решение: Подставляя в данное уравнение координаты точки А вместо текущих координат, получим ; значит точка А лежит на данной прямой. Для точки В ; значит точка В не лежит на данной прямой.
Решение. Из условия задачи следует, что отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат, b=5, угловой коэффициент . Следовательно, по формуле имеем .
Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении:
.
Согласно условию ; и , следовательно, искомое уравнение прямой будет:
или .
и .
Решение: Имеем . Используем формулу . Получаем ; .
7. Проверить параллельность прямых
и
Решение. Приводим уравнение каждой прямой к виду , получаем и , откуда . Следовательно, прямые параллельны.
8. Доказать, что прямые и взаимно перпендикулярны.
Решение. Приведя уравнения прямых к виду , получаем и , откуда и , при этом выполняется условие ; следовательно, данные прямые перпендикулярны.
9. Найти расстояние от точки до прямой .
Решение. Воспользуемся формулой
.
Имеем , - уравнение прямой;
получаем .
Задания для самостоятельного работы
1) ;
2) ;
3).
1) ;
2).
1) ;
2)
до прямой .
Занятие 2. (2 часа)
Элементы векторной алгебры
Цель занятия: Научиться выполнять линейные операции над векторами; освоить скалярное произведение двух векторов.
Вопросы
Решение типовых задач
Решение. Абсцисса , ордината , аппликата . Следовательно, . Радиус-вектор лежит в плоскости xОу.
Решение..
Следовательно, сумма векторов . Искомый вектор параллелен плоскости yOz так как его компонента по оси Оx равна нулю.
Решение. . Результат запишем так: . Вектор коллинеарен с осью оу.
Решение. . Следовательно, .
Решение. Воспользовавшись формулой , получим .
Решение. Скалярное произведение векторов найдем по формуле: . Получаем .
Решение. Воспользуемся формулой:
.
отсюда
Задания для самостоятельного решения
. Найти скалярное произведение векторов.
ЗАНЯТИЕ 3 (4 часа)
Вычисление пределов функций
Цель занятия: Освоить основные приемы вычисления пределов функций.
Вопросы
Решение типовых задач
Решение. Для нахождения предела данной функции заменим аргумент его предельным значением:
.
Решение. Проверим, не обращается ли знаменатель дроби в нуль при : имеем . Подставив предельное значение аргумента, находим
.
Решение. Здесь имеем неопределенность типа . Для того, чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель дроби на множители и до перехода к пределу сократим дробь на множитель . В результате получим .
Решение. Здесь пределы числителя и знаменателя при равны 0. Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, получим
Решение. При имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на . Тогда получим
Решение. Здесь для раскрытия неопределенности применим первый замечательный предел .
Решение. Имеем
.
Решение. Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом
.
Получаем .
Задания для самостоятельного решения
Найдем пределы:
1. 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. .
ЗАНЯТИЕ 4 (4 часа)
Производная и дифференциал функции.
Исследование функций и построение графиков
Цель занятия: Научиться находить производные основных элементарных функций, уметь исследовать функции с помощью производной.
Вопросы
Решение типовых задач
а) ; б) ; в) .
Решение. Вычислим производные данных функций:
а) .
б)
в).
а) ; б) .
Решение. а) .
б) .
Решение. . Дифференцируя производную , получаем: .
а) ; б) .
Решение. а) Вычислим производную функции:
.
Дифференциал функции найдем по формуле :
.
б) Вычислим дифференциал по аналогии с предыдущим примером:
.
Решение.
Пусть , тогда ;
График пересекает ось Ох в точках и .
Найдем
при и .
Выясним знак в окрестности критических точек.
При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, - точка минимума функции.
.
Функция убывает на интервале на и возрастает на интервале .
Найдем производную второго порядка
;
, .
Исследуем знак в окрестности точек и .
В интервале кривая вогнута, в интервале кривая выпуклая, в интервале кривая вогнута.
Итак, при переходе через точки и вторая производная меняет знак. Следовательно, кривая имеет две точки перегиба: и . Найдем ординаты точек перегиба
; .
Задания для самостоятельного решения
1. ; ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. .
, .
а) ; б) .
1) ; 2) .
.
ЗАНЯТИЕ 5 (4 часа)
Неопределенный интеграл
Цель занятия: Освоить основные методы интегрирования.
Вопросы
Решение типовых задач
Найти неопределенные интегралы:
а) .
Решение. Воспользуемся методом непосредственного интегрирования:
.
б) .
Решение. Применим подстановку , откуда . Дифференцируя, получаем , следовательно,
.
в) .
Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Для этого полагаем . Согласно формуле интегрирования по частям , получим:
.
Примеры для самостоятельного решения
1. ;
ЗАНЯТИЕ 6 (4 часа)
Вычисление определенных интегралов.
Нахождение площадей плоских фигур
Цель занятия: Овладеть приемами вычисления определенных интегралов, научиться применять определенный интеграл для вычисления площади криволинейной трапеции.
Вопросы
Решение типовых задач
а) .
Решение. Применим метод непосредственного интегрирования:
б) .
Решение. Применим подстановку .
Найдем пределы интегрирования для переменной :
, ;
, . Следовательно,
.
в) .
Решение. Используем метод интегрирования по частям:
.
Далее, применяя формулу получаем:
Примеры для самостоятельного решения
1.; 2. ;
3. ; 4. ;
5.; 6. .
а) Вычислить площадь, ограниченную линиями
.
Решение. Искомую площадь криволинейной трапеции найдем по формуле: .
.
б) Вычислить площадь, ограниченную линиями и .
Решение. Решая систему уравнений и , найдем координаты точек пересечения параболы и прямой: .
Искомая площадь равна разности площадей двух криволинейных трапеций:
Задания для самостоятельного решения
Найдите площади фигур, ограниченных указанными линиями:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5.
ЗАНЯТИЕ 7 (4 часа)
Дифференциальные уравнения
Цель занятия: Научиться решать дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными и однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Вопросы
Решение типовых задач
а) Решить уравнение .
Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Преобразуем его: .
Разделяя переменные, получим:
.
Теперь интегрируем:
,
откуда ; положим , тогда .
Общее решение будет иметь вид
.
б) Найти частное решение дифференциального уравнения ,
удовлетворяющее начальным условиям при х =2.
Решение. 1) Находим сначала общее решение:
; ;
откуда .
Приняв , получим
- это общее решение данного дифференциального уравнения.
2) Найдем частное решение. Для этого вычислим при .
, откуда .
Частное решение .
Задания для самостоятельного решения
Найти общее решение дифференциального уравнения
1. .
Найти частные решения дифференциальных уравнений:
Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений:
а) .
Решение. Составляем характеристическое уравнение
и находим его корни: .
Общее решение запишется так:
.
б)
Решение. Составляем характеристическое уравнение ,
корни которого .
Общее решение запишется так:
.
в) .
Решение. .
Общее решение будет
.
Примеры для самостоятельного решения
Найдите решение дифференциального уравнения
1.;
2. ;
3. .
4. Найдите частное решение уравнения
, если .
ЗАНЯТИЕ 8 (4 часа)
Элементы теории вероятностей
Цель занятия: Проработать на задачах основные понятия и теоремы, изучить приемы подсчета вероятностей.
Вопросы
Краткие теоретические сведения
При классическом определении за вероятность события А, принимается отношение числа т исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу n равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов испытания
.
При непосредственном вычислении вероятностей часто используются формулы комбинаторики.
Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их следования. Число возможных перестановок
, где .
Примеры.
.
Размещениями называются комбинации, составленные из п различных элементов по т элементов и отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком.
Число возможных размещений
.
Примеры .
.
Сочетаниями называются комбинации, составленные из п различных элементов по т элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Число сочетаний
.
Примеры.
.
Суммой событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В. Обозначение: .
Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении события А и события В. Обозначение: .
Теорема сложения: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Теорема умножения: 1)Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
.
2) Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:
.
Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую вероятность события А:
.
Это равенство называют формулой полной вероятности.
Для определения вероятности события при условии, что событие А уже произошло, используется формула Байеса:
.
Решение типовых задач
Решение. Событие, состоящее в появлении белого шара, обозначим через А.
Общее число случаев .
Число случаев, благоприятствующих событию А, .
Тогда: .
Решение. Обозначим через А событие, состоящее в появлении двух белых шаров.
Общее число возможных случаев
.
Число случаев, благоприятствующих событию А
.
Решение. Общее число возможных исходов . Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей способами; при этом остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10-7=3 нестандартных деталей можно способами.
Следовательно, число благоприятствующих исходов равно
.
Искомая вероятность равна
.
Решение..
События А,В,С – независимые.
Применяем теорему умножения вероятностей:
.
Решение. Вероятность того, что в мишень попадет первый стрелок и не попадет второй, равна
.
Вероятность того, что попадет второй стрелок в мишень и не попадет первым равна:
.
Вероятность того, что в мишень попадет только один стрелок, равна сумме этих вероятностей:
.
Решение.
;
;
;
.
Решение.
Событие А – был солнечный день 1-ого июля;
Событие В – был солнечный день 2-ого июля.
При этом события А и В зависимы.
.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий получаем
.
а) окажется бракованным;
б) изготовлено второй бригадой при условии, что изделие оказалось бракованным.
Решение.
а) Событие А – взятое наудачу изделие бракованное. Рассмотрим две гипотезы:
- изделие изготовлено первой бригадой;
- изделие изготовлено второй бригадой.
; .
Условные вероятности события А соответственно равны:
; .
Искомую вероятность найдем по формуле полной вероятности:
.
б) Для определения вероятности того, что бракованное изделие изготовлено второй бригадой, воспользуемся формулой Байеса:
.
Задания для самостоятельной работы
а) только один раз;
б) хотя бы один раз;
в) два раза.
а) все вопросы;
б) два вопроса.
; ; .
Пусть оценки по этим предметам независимы. Какова вероятность, что он:
Литература
ДЛЯ ЗАМЕЧАНИЙ
Калашникова Альбина Васильевна
Математика
Методические указания по практическим занятиям
Тираж:
Заказ № :
Подписано к печати:
3
0
+
–
–
2
0
0
y
x
-4
4
3
0
2
–
2
0
x
у
4
2