Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ВІДОКРЕМЛЕНИЙ СТРУКТУРНИЙ ПІДРОЗДІЛ
ТЕХНОЛОГІЧНИЙ КОЛЕДЖ
НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»
Методичні вказівки і завдання
для самостійної роботи з дисципліни «Вища математика»
на тему «Ряди»
студентів напряму підготовки 6.050102 “Комп’ютерна інженерія” спеціальності 5.0510201 “Обслуговування комп’ютерних систем і мереж”
Львів – 2013
Вища математика
Розділ : Ряди.
Методичні вказівки та завдання для самостійної роботи студентів напряму підготовки 6.050102 “Комп’ютерна інженерія” спеціальності 5.0510201 “Обслуговування комп’ютерних систем і мереж”.
Укладач : Білінська В.Л., 2013 -19 с.
Вступ
В пятому семестрі програмою з вищої математики для студентів напряму підготовки 6.050102 “Комп’ютерна інженерія” спеціальності 5.0510201 “Обслуговування комп’ютерних систем і мереж” передбачено розділ «Ряди».
Методичні вказівки укладено згідно програми і включають основні теоретичні відомості та приклади розв’язування типових задач, а також завдання для самостійної роботи студентів, список літератури для детальнішого ознайомлення з темою.
Мета пропонованих методичних вказівок – допомагати студентам глибше засвоїти даний матеріал, розвинути навички застосування теоретичних знань до розвязання конкретних задач та активізувати самостійну роботу студентів.
Методичні вказівки призначені для використання на практичих заняттях з вищої математики та для самолстійної роботи студентів.
Числові ряди.
Числовий ряд
(1)
називається збіжним, якщо існує скінченна границя:, де . У супротивному разі ряд (1) називається розбіжним.
Якщо ряд (1) – збіжний, то послідовність його членів є нескінченно малою:
(необхідна умова збіжності ряду).
Якщо ,то ряд (1) - розбіжний (груба ознака розбіжності).
Ряд (1) називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд
(2) .
В цьому разі ряд (1) також збігається . Якщо ряд (1) збігається, а ряд (2) розбігається, то ряд (1) називається умовно збіжним.
Ознаки збіжності числових рядів.
Перша ознака порівняння.
Розглянемо також ряд
(3)
Якщо , то із збіжності ряду (3) випливає збіжність ряду (1). Із розбіжності ряду (1) випливає розбіжність ряду (3).
Друга ознака порівняння.
Якщо , то ряд (1) збігається при і розбігається при .
Ознака Даламбера.
Якщо і , то ряд (1) збігається при і розбігається при .
Ознака Коші.
Якщо і , то ряд (1) збігається при і розбігається при .
Ознака Раабе.
Якщо і , то ряд (1) збігається при і розбігається при .
Ознака Лейбніца збіжності знакозмінного ряду.
Ряд , де збігається , якщо 1) і 2) .
Завдання 1. Дослідити збіжність числового ряду.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25.
Завдання 2. Дослідити збіжність ряду.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25.
Завдання 3. Дослідити збіжність ряду.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25.
Завдання 4. Дослідити збіжність знакозмінного ряду.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25.
Функціональні ряди.
Сукупність усіх значень , при яких збігається ряд
(1) ,
де - деякі дійсні функції, називається областю збіжності
функціонального ряду (1), а функція
називається сумою ряду (1).
Рівномірна збіжність.
Послідовність функцій рівномірно збігається на множині , якщо :
існує гранична функція ;
.
Рівномірна збіжність позначається як .
Наведене означення рівномірної збіжності послідовності функцій еквівалентне виконанню граничної рівності:
.
Функціональний ряд (1) називається рівномірно збіжним на множині , якщо послідовність його частинних сум рівномірно збігається на множині .
Ознака Вейерштрасса рівномірної збіжності функціонального ряду.
Ряд (1) збігається абсолютно і рівномірно на множині , якщо існує збіжний числовий ряд такий, що ,
Степеневі ряди.
Функціональний ряд (1) у якого називається степеневим рядом за степенями . Для кожного степеневого ряду існує інтервал збіжності , всередині якого степеневий ряд збігається , а зовні – розбігається. Радіус збіжності визначається по формулі Коші-Адамара:
, або .
Ряд Тейлора.
Функція , яка має достатню кількість похідних в точці може бути записана у вигляді степеневий ряд за степенями :
.
Залишковий член цього ряду може бути поданий у формі Пєано: ,
або у формі Лагранжа :
Ряди Фур’є.
Якщо 1) функція визначена на інтервалі , періодична з періодом , є кусково-гладкою на вказанному інтервалі, то у кожній точці неперервності функції має місце рівність :
(2) , де
,
Ряд (2) називається тригонометричним рядом Фур’є періодичної функції . Якщо - точка розриву функції , то тригонометричний ряд Фур’є збігається у цій точці до значення .
Завдання 5. Знайти області збіжності (абсолютної та умовної) функціонального ряду.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25.
Завдання 6. Знайти області збіжності (абсолютної та умовної) функціонального ряду.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25.
Завдання 7. Визначити радіус та інтервал збіжності степеневого ряду та дослідити його поведінку в граничних точках інтервалу збіжності.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25.
Завдання 8. Розкласти функцію в ряд Тейлора.
1. по степенях .
2. по степенях .
3. по степенях .
4. по степенях .
5. по степенях .
6. по степенях .
7. по степенях .
8. по степенях .
9. по степенях .
10. по степенях .
11. по степенях .
12. по степенях .
13. по степенях .
14. по степенях .
15. по степенях .
16. по степенях .
17. по степенях .
18. по степенях .
19. по степенях .
20. по степенях .
21. по степенях .
22. по степенях .
23. по степенях .
24. по степенях .
25. по степенях .
Завдання 9. Розкласти функцію в ряд Фур’є на вказанному проміжку.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25.
Рекомендована література
1. Соколенко О.І. Вища математика: Підручник.-К.: Видавничий центр
“Академія”,2002.-432с. (Альма-матер)
2. Дубовик В.П., Юрик I.І. Вища математика: Навч.посібник. – К.:Вища шк.,
1993.–648с.
3. Овчинников П. П., Михайленко В. М. Вища математика: У 2 ч. Ч. 2. ,Диференціальні рівняння. Операційне числення. Ряди та їх застосування… Числові методи: Підруч. для студ. вищих
техн. навч. закл./ П. П. Овчинников, В. М. Михайленко; За заг. ред. П. П.Овчинникова. - 3-тє вид., виправл. – К.: Техніка, 2004.- 792 с