Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
.
1.Дайте определение модели.
В общенаучном понимании модель - это вещественная, знаковая или воображаемая (мысленная) система, отображающая принципы внутренней организации или функционирования, определенные свойства или характеристики объекта исследования (оригинала), непосредственное изучение которого невозможно, осложнено или нецелесообразно, и может заменить этот объект в познавательном процессе с целью получения новых знаний о нем.
Общая теория систем.
Систем общая теория – научное направление, связанное с разработкой совокупности философских, методологических, конкретно-научных и прикладных проблем анализа и синтеза сложных систем произвольной природы.
Первоначально система – комплекс элементов находящихся во взаимодействии.
2. Какие уровни абстрактного описания систем Вы знаете?
Система – множество объектов вместе с отношениями между объектами и между их атрибутами.
Обзор современного состояния математики позволяет определить следующие уровни абстрактного описания систем:
символический (лингвистический);
теоретико-множественный;
абстрактно-алгеброический;
топологический;
логико-математический;
теоретико-информационный;
динамический;
эвристический.
3.Какие отличия Вы можете определить между «физическим» и «предметно-математическим» моделированием?
По своей "физической" природе различают модели физические (одной природы с оригиналом), предметно-математические (имеющие отличную от оригинала природу, но эквивалентные ему в смысле математического описания), знаковые (построенные в виде упорядоченной совокупности символов - знаков: схемы, формулы, тексты, графики и т.п.) и мысленные.
4. Какие уровни описания систем Вам известны?
Строго доказанный изоморфизм для систем различной природы даёт возможность переносить знания из одной области знания в другую.
Лингвистический – наиболее высокий уровень абстрагирования, из которого, как частные случаи, можно получить другие уровни абстрактного описания систем низшего ранга.
На лингвистическом уровне абстрактного описания (по Мисаровичу), системой называют множество правильных высказываний. Все высказывания делятся на два типа:
1.Термы (имена предметов, члены предложений и т.д.) с помощью которых обозначаются объекты исследования.
2.Функторы, определяющие отношения между термами.
Теоретико-множественный уровень абстрагирования (более низкого ранга) – если представить, что термы, есть суть некоторые множества , а функторы устанавливают характер отношений между введёнными в описании множествами.
На теоретико-множественном языке СИСТЕМА – собственное подмножество , где - прямое (декартовое) произведение множеств . ()
Абстрактно-алгеброический – некоторое отношение , определяемого на декартовом произведении множества .
Топологический - метод исследования процессов и явлений при помощи определения непроизводных (структурных) элементов и некоторого отношения .
Логико-математический – метод исследования процессов и явлений путём построения их математических моделей. В основу метода положена идентичность формы уравнений и однозначность соотношений между переменными в уравнениях оригинала и модели. В зависимости от используемых вычислительных машин различают аналоговое и дискретное математическое моделирование
Теоретико-информационный;
Динамический– строится с помощью математического описания, в котором адекватно отражаются свойства проявляемые системой в различных условиях, используя аппарат дифференциальных уравнений, методы теории вероятностей и математической статистики.;
Эвристический – проверка выдвинутых гипотез.
5. Возможно, ли провести классификацию видов моделирования?
Классификация видов моделирования.
Единая классификация видов моделирования затруднена в силу многозначности понятия модель в науке и технике. Её можно проводить по различным основаниям: по характеру моделей (т.е. по средствам моделирования), по характеру объекта, по сферам приложения модели (в технике, в физических науках, химии и т.д.). В связи с этим любая классификация обречена на неполноту.
Например:
модели объектов распознавания,
модели производства,
модели равновесия,
модели роста,
модели экономики,
модели восприятия,
моделирование живых систем,
моделирование инженерных сетей,
моделирование мышления или памяти,
моделирование системы «человек машина» и т.д.
Классификация моделей.
1.Предметное моделирование. Предметным моделированием называется моделирование в ходе которого исследование ведётся на моделях, воспроизводящих основные физические, динамические и функциональные характеристики оригинала.
На таких моделях изучают процессы, происходящие в оригинале.
Если модель и объект имеют одну и туже физическую природу, то говорят о физическом моделировании.
2. Знаковое моделирование – моделями служат знаки какого-либо вида: схемы, графики, формулы, слова, предложения в некотором алфавите.
Математическое моделирование – важнейший вид знакового моделирования.
Возникает понятие интерпретации. Реально построенная знаковая модель может заменяться мысленно наглядным представлением знаков и операций над ними, Эту разновидность знакового моделирования называют мысленным моделированием.
По характеру объекта подвергаемого моделированию различают:
При кибернетическом моделировании абстрагируются от структуры системы и рассматривают её как чёрный ящик.
Модель строится в терминах соотношений вход-выход.
Математические модели. Основы классификации.
Математические модели – детерминированные и стохастические.
По методу их исследования – аналитические и имитационное моделирование.
6.Какие виды моделей Вы знаете? Какие задачи решает регрессионный анализ?
В регрессионном анализе рассматривается связь между одной переменной, называемой зависимой переменной, и несколькими другими, называемыми независимыми переменными. Эта связь представляется с помощью математической модели, т. е. уравнения, которое связывает зависимую переменную с независимыми с учетом множества соответствующих предположений. Независимые переменные связаны с зависимой посредством функции регрессии, зависящей также от набора неизвестных параметров. Если функция линейна относительно параметров, то говорят о линейной модели регрессии. В противном случае модель называется нелинейной. В каждом из этих случаев говорят о регрессии зависимой переменной по независимым переменным. Статистическими проблемами регрессионного анализа являются:
7. Что характеризует эмпирическая линия регрессии? Что называют «предельной теоретической линией регрессии?
8.Дайте определение корреляционной зависимости параметров?
9.Какие основные трудности возникают в процессе принятия решений при создании математических моделей?
10. Какая теория лежит в основе принятия решений при создании моделей?
11.Для каких задач используют критерий Вальда?
12. Для каких задач используют критерий Гурвица?
13. Для каких задач используют критерий Лапласа?
14. Для каких задач используют критерий Сэвиджа?
15. Дайте определение математической модели.
Математическая модель есть последовательность где - класс изучаемых объектов, - выбранная сигнатура, - выбранный язык, - используемая логика, - совокупность высказываний языка сигнатуры , истинных в логике на всех объектах из .
Как правило, в качестве выбирается класс алгебраических систем сигнатуры . В качестве - классическая двухзначная логика. Меняя язык , получаем различные теории класса .
Всякая теория
класса объектов
набором понятий, отношений и операций (сигнатура)
выбранный язык
- используемая логика (обычно классическая двухзначная логика)
Таким образом, математическая модель есть последовательность
.
16. Какую роль играет теорема «Гёделя-Мальцева» при создании моделей?
Теорема 1. (Гёделя-Мальцева)
Если каждая конечная подсовокупность совокупности высказываний языка совместна, то совместна и вся совокупность .
Теорема 2. (Лёвингейма-Сколема-Мальцева)
Если совокупность высказываний языка сигнатуры имеет бесконечную модель, то она имеет модель любой бесконечной мощности, не меньшей мощности сигнатуры .
Теорема 1 часто называется теоремой компактности, получила широкое применение в алгебре.
А.И.Мальцев создал метод доказательства т.н. локальных теорем алгебры.
Совокупность подсистем системы , называется локальным покрытием , если любой элемент из содержится в некотором и любые две подсистемы и содержатся в некоторой третьей подсистеме .
Алгебраическая система локально обладает свойством , если она имеет локальное покрытие подсистемы, каждая из которых обладает свойством .
Говорят, что для справедлива локальная теорема, если из того, что некоторая алгебраическая система локально обладает свойством , следует, что эта система обладает свойством . (Например, для свойства группы быть абелевой справедлива локальная теорема, а для свойства быть конечной локальная теорема не справедлива.)
17.
Предметно-унивесальной называется предварённая формула языка второй ступени, не содержащая кванторов существования, относящихся к предметным переменным.
Квазиуниверсальной называется замкнутая формула языка второй ступени, полученная из булевой комбинации предметно-унивесальных формул навешиванием кванторов всеобщности по предметным переменным.
Если квазиуниверсальная формула истинна на подсистемах, локально покрывающих алгебраическую систему, то истинна на этой системе.
Многие исследования связаны с изучением свойств, сохраняющимися при операциях над алгебраическими системами. К числу важнейших операций относятся:
гомоморфизмы;
прямые произведения;
фильтрованные произведения и т.д.
Говорят, что высказывание устойчиво относительно гомоморфизмов, если из истинности в алгебраической системе следует истинность во всех эпиморфных образах .
Формула языка называется положительной если не содержит знаков отрицания, импликации и эквивалентности.
Высказывание языка устойчиво относительно гомоморфизмов, тогда и только тогда , когда эквивалентно положительному высказыванию.
Пусть,
- Алгебраические системы сигнатуры , а - фильтр на , т.е. такая совокупность подмножеств множества , которая замкнута относительно надмножеств и конечных пересечений и не содержит пустого множества.
На декартовом произведении
основных множеств систем рассмотрим отношение эквивалентности , пологая для любых из
т.е.
,
Через для обозначим класс эквивалентности, содержащий . Множество полученных всех классов эквивалентности обозначается через
.
На множестве определим предикаты и операции, интерпретирующие соответствующие символы из . Полагая
для - местного предикатного символа из и любых полагаем
Множество вместе с так определёнными предикатами и операциями образует алгебраическую систему сигнатуры , которая называется фильтрованным произведением систем по фильтру и обозначается через
.
Если совпадает с одной и той же системой для всех , то называется фильтрованной степенью системы по фильтру и обозначается через .
В случае, когда фильтр по является ультрафильтром, т.е. не является собственной частью никакого фильтра на , фильтрованное произведение по фильтру называется ультра произведением, а фильтрованная степень – ультрастепенью.
Формула языка сигнатуры называется фильтрующейся (условно фильтрующейся) по фильтру , если для каждого набора алгебраических систем сигнатуры и каждых
имеем
Формула
языка сигнатуры называется хорновской, если её можно получить конъюнкциями и навешиванием кванторов из формул вида
,
где
, - элементарные (атомные) формулы языка сигнатуры .
Примерами хорновских формул являются тождества и квазитождества.
Центральной в теории ультра произведений является теорема Лося:
Всякая формула языка условно фильтруется по любому ультрафильтру.
Формула языка условно фильтруется по любому фильтру тогда и только тогда когда эта формула эквивалентна хорновской формуле.
Интересна теорема Кислера-Шелаха:
Алгебраические системы и тогда и только тогда элементарно эквивалентны, когда существует такой ультрафильтр на множестве , что
и эквивалентны.
Из теоремы Лося следует, что аксиоматизируемые классы являются замкнутыми относительно операции взятия ультрапроизведения (ультра замкнутыми).
Всякий ультра замкнутый и замкнутый относительно элементарной операции эквивалентности класс алгебраических систем одной сигнатуры являются аксиоматизируемым.
В моделях основанных на теории игр можно выделить определённое количество соперничающих сторон преследующих противоположные цели.
Формализованную модель конфликтной ситуации называют игрой.
Игра отличается от реальной конфликтной ситуации тем, что ведётся по определённым правилам.
Если в игре можно выделить две антагонистические стороны, то игра называется парной. При большем числе антагонистических сторон игра называется множественной.
Для возможного математического анализа игры необходима точная договорённость о правилах игры, под которыми понимают:
.
Модели с использованием элементов теории игр
Ситуация может быть названа конфликтной если при её анализе можно выделить определённое количество соперничающих сторон преследующих противоположные цели.
Формализованную модель конфликтной ситуации называют игрой.
Игра отличается от реальной конфликтной ситуации тем, что ведётся по определённым правилам.
Если в игре можно выделить две антагонистические стороны, то игра называется парной. При большем числе антагонистических сторон игра называется множественной.
Для возможного математического анализа игры необходима точная договорённость о правилах игры, под которыми понимают:
Игра классифицируется, как игра с нулевой суммой, если одна из сторон выигрывает, а другая проигрывает.
Отдельные решения, принимаемые в процессе игры, называются ходами.
При сознательном выборе решения ход называется личным ходом.
Случайным ходом называется выбор решения под воздействием, какого-либо механизма случайного выбора.
Игрой с полной информацией называется игра в которой каждый игрок во время своего хода знает исходы всех предыдущих ходов (личных и случайных). Возможные исходы случайных ходов задаются распределение вероятностей.
Стратегией называется совокупность правил, однозначно определяющих выбор решения при личном ходе отдельного игрока, в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.
Понятие стратегии имеет смысл только для игр, где присутствуют личные хода. Для игр состоящих только из случайных ходов стратегии нет.
Игра называется конечной, если число стратегий конечно, и бесконечной в противном случае.
Если у одной стоны стратегий , а другого стратегий , то когда игра состоит только из личных ходов и игроками выбраны стратегии , то единственным образом определяется исход игры .
Исход игры где кроме личных присутствуют случайные ходы, определяется математическим ожиданием.
Если известны все исходы для каждой пары стратегий можно составить платёжную матрицу (матрицу игры).
Оптимальной стратегией называется стратегия, которая при многократном повторении обеспечивает одной из сторон максимальный выигрыш.
Элементарный пример
Решение
Конфликтную ситуацию можно рассматривать как игру с двумя личными ходами и одним случайным. Личный ход противника – выбор типа самолёта для участия в бою. Личный ход – выбор вооружения. Случайный ход – применение вооружения.
Стратегия 1-го – три варианта самолётов. Стратегия 2-го – три варианта вооружения. Наш выигрыш равен 1 если поражён самолёт и 0 в противном случае. Среднее значение выигрыша при каждой выбранной стратегии есть вероятность поражения самолёта данным оружием.
|
0.9 |
0.4 |
0.2 |
|
|
0.3 |
0.6 |
0.8 |
|
|
0.5 |
0.7 |
0.2 |
Если стратег выбрал стратегию, то он должен рассчитывать, что стратег выберет такую стратегию, чтобы его проигрыш был минимальный
Избегая всякого риска, стратег должен остановиться на той стратегии, для которой даёт максимум
Это выражение определяет нижнюю цену игры (максимин). Эта стратегия, называется максиминной. Эта стратегия даёт гарантированный минимум, который получит стратег .
Очевидно, стратег заинтересован в минимизации выигрыша стратега . Следовательно, он должен проанализировать каждую из свои стратегий с точки зрения максимального выигрыша. При этом стратегии
Эта величина называется верхней ценой игры (минимакс), а стратегия минимаксной.
Принцип, по которому работают стратеги, называется принципом минимакса.
Учитывая полученные соотношения дополним рассматриваемые матрицы столбцом справа , и строкой снизу .
|
0.9 |
0.4 |
0.2 |
0.2 |
|
|
0.3 |
0.6 |
0.8 |
0.3 |
|
|
0.5 |
0.7 |
0.2 |
0.2 |
|
|
0.9 |
0.7 |
0.8 |
Таким образом, нижняя граница игры 0.3 , а верхняя цена игры 0.7.
Анализ показывает неустойчивость минимаксных стратегий.
Это означает, что если стратег применяет свою наиболее осторожную стратегию , а стратег - стратегию (свою наиболее осторожную) то средний выигрыш равен 0.6.
|
0.9 |
0.4 |
0.2 |
0.2 |
|
|
0.3 |
0.6 |
0.8 |
0.3 |
|
|
0.5 |
0.7 |
0.2 |
0.2 |
|
|
0.9 |
0.7 |
0.8 |
Но как только стратегу станет известно, что стратег применяет свою наиболее осторожную стратегию , он может ответить на неё стратегией и свести выигрыш к 0.3.
|
0.9 |
0.4 |
0.2 |
0.2 |
|
|
0.3 |
0.6 |
0.8 |
0.3 |
|
|
0.5 |
0.7 |
0.2 |
0.2 |
|
|
0.9 |
0.7 |
0.8 |
Выигрыш от минимаксных стратегий неустойчивый. Он зависит от сведений стратегии противника.
Существуют игры, для которых минимаксные стратегии устойчивы. Для таких игр нижняя и верхняя оценка игры совпадают и называются чистой ценой игры. Элемент матрицы называется - седловой точкой матрицы. А платёжная матрица, называется игрой с седловой точкой.
Для таких игр отклонение от оптимальной стратегии любой стороной приводит к проигрышу.
При решении игр не имеющих седловой точки возникает вопрос – «можно ли гарантировать себе средний выигрыш, больше , если применять не одну чистую стратегию, а чередовать некоторым образом несколько стратегий.
Смешанной стратегией называется набор вероятностей применения чистых стратегий.
Если, например, один стратег применяет чистые стратегии с вероятностями . То его фиксированная смешанная стратегия есть этот набор вероятностей, и его можно обозначить буквой
Где число показывает количество чистых стратегий данного стратега.
Аналогично для другого стратега фиксированная смешанная стратегия
Так как каждый раз применение одной из чистых стратегий исключает применение другой. То чистые стратегии являются несовместимыми событиями. Кроме того. Поскольку есть возможность применения только чистых стратегий, то они являются единственно возможными событиями. Следовательно
Если один из стратегов применяет смешанную оптимальную стратегию , а другой , и матрица имеет вид
То математическое ожидание выигрыша стратега
Выражение можно преобразовать. В результате получим
- математическое ожидание выигрыша стратега при использовании обоими стратегами фиксированных смешанных стратегий , и соответственно.
Если обозначить
Как две произвольные смешанные стратегии соответственно стратегов и , то
Будет математическим ожиданием выигрыша стратега , использующего стратегию , при условии, что стратег примет стратегию
При использовании стратегом стратегии , а стратегом стратегии
Математическое ожидание выигрыша стратега А
Таким образом, если определить и выше описанными выражениями,
То и называются оптимальными смешанными стратегиями соответственно стратегов и
Из неравенств определяемых выражениями () можно сделать выводы:
, должно быть не меньше цены игры , а каждое из выражений , стоящее в скобках в выражении , должно быть не больше цены игры . Другими словами, справедливы следующие неравенства
………..
…………..
Таким образом, формально, задача нахождения цены игры и оптимальных смешанных стратегий сводится к решению системы неравенств с учётом, что
PAGE 15