Показательные уравнения Определение 6
Работа добавлена на сайт samzan.net:
6. Показательные уравнения и неравенства
6.1. Показательные уравнения
Определение 6.1. Показательными называется уравнения, у которых переменная содержится в показатели степени.
Рассмотрим основные методы решения показательных уравнений.
1. Приведение обеих частей уравнения к одинаковому основанию:
, где , .
2. Вынесение общего множителя за скобки.
3. Уравнения, в которых правая и левая часть не приводится к одному основанию, можно решить логарифмированием:
.
4. Введение новой переменной.
5. Уравнение вида , где , , , , .
6. Показательно-степенные уравнения
7. Функциональный метод.
Пример 6.1. Решить уравнение .
Решение.
Ответ: .
Пример 6.1. Решить уравнение .
Решение. Найдем предварительно ОДЗ уравнения:
.
Тогда на ОДЗ получим:
Оба корня принадлежат ОДЗ.
Ответ: .
Пример 6.2. Решить уравнение .
Решение. Так как левая часть является строго убывающей функцией, то любое положительное значение эта функция принимает ровно один раз. Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Подбором получаем, что решением уравнения является .
Ответ: .
Пример 6.3. Решить уравнение .
Решение. Прологарифмируем уравнение по основанию 4:
Ответ: .
Пример 6.4. Решить уравнение: .
Решение. Прологарифмируем уравнение, например, по основанию 4. Тогда:
Ответ: .
Пример 6.5. Решить уравнение
.
Решение. Отметим, что
, , .
Введем замену , , тогда уравнение примет вид:
Сделаем замену: , , тогда
.
Переходя обратно к переменной , получаем
Ответ: .
Пример 6.6. Решить уравнение
Решение. Проведем предварительно преобразование правой части уравнения
.
Тогда исходное уравнение привет вид:
Ответ: .
6.2. Показательные неравенства
Решение показательных неравенств основывается на свойствах монотонности показательной функции . Напомним, что при функция строго возрастает, а при функция убывает.
Перечислим основные методы решения показательных неравенств.
1. Приведение обеих частей неравенства к одинаковому основанию:
;
2. Вынесение общего множителя за скобки.
3. Введение новой переменной.
4. Логарифмирование обеих частей неравенства по выбранному основанию.
5. Неравенства вида , где , , , , .
6. Неравенства вида
Пример 6.7. Решить уравнение .
Решение. Так как ; , то, учитывая, что основание , исходное неравенство перепишется в виде:
.
Ответ: .
Пример 6.8. Решить уравнение .
Решение. Так как основание , то
.
Ответ: .
Пример 6.9. Решить неравенство .
Решение. Так как основание , то
.
Ответ: .
Пример 6.10. Решить неравенство .
Решение.
.
Ответ: .
Пример 6.11. Решить неравенство .
Решение.
.
Ответ: .
Пример 6.12. Решить неравенство .
Решение. .
Сделаем замену , , тогда исходное неравенство примет вид:
.
Ответ: .
Пример 6.13. Решить неравенство
Решение. .
Сделаем замену: , , тогда
.
Ответ: .
Пример 6.14. Решить неравенство:
Решение.
Разделим обе части неравенства на , получаем .
Сделаем замену , тогда
.
Ответ: .
Пример 6.15. Решить неравенство:
Решение: Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:
.
Ответ: .
Пример 6.16. Решить неравенство:
Решение.
Решим первую систему полученной совокупности:
Данная система решений не имеет.
Решим вторую систему совокупности:
.
Ответ: .
Пример 6.17. Решить неравенство .
Решение.
.
.
Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:
1.
2.
Сравним числа и . Так как , а , то , значит . Тогда получаем, что первая система решений не имеет, а решениями второй служит промежуток .
Ответ: .
Пример 6.18. Решить неравенство: .
Решение. Область определения неравенства определяется условием . Исходное неравенство равносильно совокупности:
.
Из уравнения получаем .
Так как , то первое неравенство системы можно записать в виде
Учитывая условие , получаем решение системы – промежуток . Тогда решение исходного неравенства имеет вид .
Ответ: .
Пример 6.19. Решить неравенство
Решение. .
Сделаем замену , тогда
.
Ответ: .
Задачи для самостоятельного решения
Группа А
Решить уравнение (1-5)
1. . (Ответ: .)
2. . (Ответ: .)
3. . (Ответ: .)
4. . (Ответ: .)
5. . (Ответ: .)
Решить неравенство (6-10)
6. . (Ответ: .)
7. . (Ответ: .)
8. . (Ответ: .)
9. . (Ответ: .)
10. . (Ответ: .)
Группа B
Решить уравнение (1-5)
1. . (Ответ: .)
2. . (Ответ: .)
3. . (Ответ: .)
4. . (Ответ: .)
5. . (Ответ: .)
Решить неравенство (6-10)
6. . (Ответ: .)
7. . (Ответ: .)
8. . (Ответ: .)
9. . (Ответ: .)
10. . (Ответ: .)
Группа С
Решить уравнение (1-5).
1. . (Ответ: .)
2. . (Ответ: .)
3. . (Ответ: .)
4. . (Ответ: .)
5. . (Ответ: .)
Решить неравенство (6-10)
6. . (Ответ: .)
7. . (Ответ: .)
8. . (Ответ: .)
9. . (Ответ: .)
10. . (Ответ: .)
7. Логарифмические уравнения и неравенства
7.1. Преобразование логарифмических выражений
Определение 7.1 Логарифмом данного числа по данному основанию называется показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число , то есть .
Замечание 7.1. Десятичным называется логарифм по основанию и обозначается . Натуральным называется логарифм по основанию и обозначается .
Свойства логарифмов
Пусть .
- Основное логарифмическое тождество:
.
- Логарифм произведения, частного и степени:
;
четное целое.
- Формула перехода к новому основанию. Пусть Тогда
, в частности, , при .
Кроме того, .
- Пусть , тогда
, ;
, целое четное.
- .
- Для любого положительного числа существует, и притом только одно, такое действительное число , что .
- Из равенства следует, что (и наоборот).
Пример 7.1. Вычислить: a) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
Решение. а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е)
.
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) 0; д) ; е) .
Пример 7.2. Вычислить: a) ;
б) ; в) ; г) ;
д) ; е) .
Решение. а)
б)
;
в) ;
г)
;
д)
;
е)
.
Ответ: а) 3; б) 1; в) 8; г) 1; д) ; е) .
Пример 7.3. Вычислить .
Решение.
.
Ответ: 1.
Пример 7.4. Найти , .
Решение. .
Ответ: 8.
Пример 7.5. Вычислить .
Решение.
.
Ответ: 1.
Пример 7.6. Вычислить .
Решение.
.
Ответ: .
Пример 7.7. Вычислить .
Решение.
Ответ: 4.
Пример 7.8. Вычислить .
Решение.
.
Ответ: 7.
Пример 7.9. Вычислить .
Решение.
.
Ответ: .
Пример 7.10. Вычислить .
Решение. .
Ответ: 48.
Пример 7.11. Найти значение выражения , если .
Решение.
Ответ: .
7.2. Логарифмические уравнения
Выделим некоторые методы решения логарифмических уравнений.
1. Логарифмические уравнения, решаемые по определению логарифма.
.
2. Уравнения вида
.
3. Уравнения первой степени относительно логарифма, решаемые потенцированием. Уравнения вида равносильны каждой из следующих систем:
или ,
выбирают ту систему, которая проще для решения.
4. Уравнения вида
равносильно системе
или .
5. Применение свойств логарифмов: произведения, частного и степени.
6. Переход к одному основанию в уравнениях, содержащих логарифмы с различными основаниями. Отметим, что предпочтительнее переходить к основанию, не содержащему переменной, чтобы не потерять корни уравнения.
7. Замена переменной.
8. Функциональный метод.
Замечание 7.2. Формальное использование перечисленных выше методов может привести к изменению ОДЗ уравнения. При нетождественных преобразованиях уравнения необходимо сделать проверку.
Пример 7.12. Решить уравнение .
Решение.
Ответ: 2; 9.
Пример 7.13. Решить уравнение .
Решение.
.
Ответ: .
Пример 7.13. Решить уравнение .
Решение.
Ответ: 2.
Пример 7.14. Решить уравнение
Решение. Преобразуем логарифмы, стоящие в левой части уравнения:
.
.
Исходное уравнение будет равносильно системе
.
Введем замену , тогда
Ответ: 2; .
Пример 7.15. Решить уравнение .
Решение. Учитывая, что , прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
.
Ответ: 0,1; .
Пример 7.16. Решить уравнение .
Решение.
.
Ответ: .
Пример 7.17. Решить уравнение .
Решение.
Ответ: .
Пример 7.18. Решить уравнение
Решение.
Ответ: 48.
Пример 7.18. Решить уравнение
Решение.
.
Ответ: 1,4.
7.3. Логарифмические неравенства
Решение логарифмических неравенств основано на свойствах монотонности логарифмической функции.
Перечислим некоторые методы решения логарифмических неравенств.
1. При неравенства вида
.
При
.
2. Замена переменной.
Пример 7.19. Решить неравенство .
Решение. Так как основание логарифмов , то исходное неравенство равносильно системе:
Ответ:
Пример 7.20. Решить неравенство .
Решение. Заметим, что
,
тогда
.
Ответ: .
Пример 7.21. Решить неравенство .
Решение. Так как , то
.
Ответ: .
Пример 7.22. Решить неравенство .
Решение. Область определения данного неравенства: .
.
Сделаем замену: , тогда
.
Ответ: .
Пример 7.23. Решить неравенство .
Решение. Рассмотрим два случая.
1. Если , то
,
нет решений.
2. Если , то
.
Ответ: .
Задачи для самостоятельного решения
Группа А
Вычислить (1-6)
1. . (Ответ: .)
2. . (Ответ: .)
3. . (Ответ: .)
4. . (Ответ: .)
5. . (Ответ: .)
6. . (Ответ: .)
Решить уравнение (7-11)
7. . (Ответ: .)
8. . (Ответ: .)
9. . (Ответ: .)
10. . (Ответ: .)
11. . (Ответ: .)
Решить неравенство (12-16)
12. . (Ответ: .)
13. . (Ответ: .)
14. . (Ответ: .)
15. . (Ответ: .)
16. . (Ответ: .)
Группа B
Вычислить (1-7)
1. . (Ответ: .)
2. . (Ответ: .)
3. . (Ответ: .)
4. . (Ответ: .)
5. Найти , если .
(Ответ: .)
6. . (Ответ: .)
7. . (Ответ: .)
Решить уравнение (8-12)
8. . (Ответ: .)
9. . (Ответ: .)
10. . (Ответ: .)
11. . (Ответ: .)
12. . (Ответ: .)
Решить неравенство (13-17)
13. . (Ответ: .)
14. . (Ответ: .)
15. . (Ответ: .)
16. . (Ответ: .)
17. . (Ответ: .)
Группа С
1. Найти , если . (Ответ: .)
2. Вычислить . (Ответ: .)
3. Вычислить . (Ответ: .)
4. Найти , если . (Ответ: .)
5. Найти , если , . (Ответ: .)
6. Найти значение выражения . (Ответ: 4.)
Решить уравнение (7-10)
7. . (Ответ: .)
8. . (Ответ: .)
9. . (Ответ: .)
10. . (Ответ: .)
Решить неравенство (11-14)
11. . (Ответ: .)
12. . (Ответ: .))
13. . (Ответ: .)
14. . (Ответ: .)
8. Тригонометрия
8.1. Преобразование тригонометрических выражений
Определение 8.1. Числовой единичной окружностью называют окружность , у которой точка - начало отсчета, положительное направление отсчета – против часовой стрелки, единичный отрезок – часть дуги окружности, длина которой равна длине радиуса окружности.
Определение 8.2. Один радиан равен центральному углу окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности.
, .
|
рис. 8.1 |
Между множеством действительных чисел и множеством точек числовой окружности установлено соответствие: каждому действительному числу соответствует точка числовой окружности, что длина дуги равна , а каждая точка окружности соответствует бесконечному множеству чисел вида , |
- длина одной из дуг, соединяющих точки и . Любая точка на числовой окружности имеет декартовы координаты (рис. 8.1).
- ордината точки ; ,
- абсцисса точки ; .
|
Углы в градусах |
||||||||
|
Углы в радианах |
Значение тригонометрических функций некоторых углов
|
0 |
|||||||
|
0 |
1 |
0 |
|||||
|
1 |
0 |
0 |
|||||
|
0 |
1 |
- |
0 |
- |
|||
|
- |
1 |
0 |
- |
0 |
Основные тригонометрические тождества
Формулы суммы и разности аргументов
Формулы двойного и тройного аргументов
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла
Если , , то
Преобразование суммы и разности тригонометрических
функций в произведение
Также бывает удобно использовать следующие преобразования.
|
(8.1) |
где , а определяется из формул ; .
|
(8.2) |
где , а определяется из формул ; .
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
Формулы приведения
Формулы, сводящие значения тригонометрической функции аргумента , , к функции аргумента , называют, обычно, формулами приведения.
Справедливы следующие правила:
1. при переходе от функций углов , к функциям угла название функции меняют на «ко-функцию»; при переходе от функций углов , к функциям угла имя функции не меняется;
2. знак определяется по функции, которую нужно преобразовать.
|
Функция |
Аргумент |
||||||
Пример 8.1. Найти значение выражения , если .
Решение. .
Ответ: .
Пример 8.2. Найти значение выражения , если .
Решение. Возведем обе части равенства в квадрат, тогда получим:
Ответ: .
Пример 8.3. Вычислить: .
Решение. Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций и формулами приведения для каждого множителя исходного выражения:
;
;
;
.
Следовательно,
.
Ответ: .
Пример 8.4. Упростить выражение .
Решение. Используя формулы приведения, получим
Тогда
.
Ответ: 2.
Пример 8.5. Найти значение выражения , , , если и .
Решение. Так как , то и
.
; .
Ответ: .
Пример 8.5. Найти значение выражения , если и .
Решение. Преобразуем первоначально , используя формулы двойного аргумента.
.
Вычислим . Так как по условию , то и
.
Ответ: .
Пример 8.6. Найти значение выражения , если и .
Решение. Воспользуемся соотношением , тогда
,
откуда . Так как и по условию , то принадлежит четвертой четверти, то есть . Тогда , поэтому и .
Ответ: .
Пример 8.7. Найти значение выражения , если , а .
Решение.
.
Найдем . По условию,
,
следовательно, . Тогда получаем
и .
Ответ: .
Пример 8.8. Найти значение выражения , если , а .
Решение. Так как по условию , а , то , поэтому . Тогда имеем
.
Ответ: .
Пример 8.9. Упростить выражение , если .
Решение.
.
По условию ; , следовательно, и значит,
.
Тогда
.
Из следует, что , значит . Тогда
.
Ответ: .
Определение обратных тригонометрических функций
|
; |
; |
|
; |
. |
Свойства обратных тригонометрических функций
|
, если |
|
|
, если ; |
, если |
Некоторые значения обратных тригонометрических функций
|
0 |
1 |
-1 |
||||
|
0 |
||||||
|
0 |
|
0 |
1 |
|||
|
0 |
||||
8.2. Тригонометрические уравнения
Определение 8.3. Уравнения, содержащие тригонометрические функции, называются тригонометрическими.
Рассмотрим первоначально основные виды и способы решения простейших тригонометрических уравнений.
, , .
, , .
, , .
, , .
Пример 8.10. Решить уравнение .
Решение.
,
, .
Ответ: , .
Пример 8.11. Решить уравнение .
Решение. ,
, , .
Ответ: , .
Пример 8.12. Решить уравнение .
Решение. ,
, , .
Ответ: , .
Пример 8.13. Решить уравнение .
Решение. ,
, .
Ответ: , .
Пример 8.14. Решить уравнение .
Решение. Воспользуемся четностью функции , тогда
,
, .
Ответ: , .
Пример 8.15. Решить уравнение .
Решение. Учитывая нечетность функции , имеем
, .
Ответ: , .
Если уравнение не является простейшим, то с помощью тождественных преобразований его нужно привести к одному или нескольким простейшим. Отметим, что не существует единого алгоритма решения тригонометрических уравнений. Выделим некоторые методы решения тригонометрических уравнений.
1. Разложение на множители.
2. Однородные уравнения.
Определение 8.4. Однородными тригонометрическими уравнениями й степени относительно и называются уравнения вида:
|
, |
(8.3) |
где - действительные числа, . Сумма показателей степени при и у всех слагаемых уравнений равна .
Замечание 8.1. Отметим, что не может быть равен нулю, так как при исходное уравнение примет вид: , откуда , что невозможно, поскольку и не могут равняться нулю одновременно.
Разделим уравнение (8.3) на , тогда имеем
|
, |
(8.4) |
В (8.4) сделаем замену , тогда получим алгебраическое уравнение
.
3. Введение вспомогательного аргумента (при этом используются формулы (8.1), (8.2)).
4. Метод оценки левой и правой части. Такие уравнения решаются путем сведения к системе тригонометрических уравнений.
5. Использование формул понижения степени (формул половинного аргумента).
Пример 8.16. Решить уравнение .
Решение.
, .
Ответ: ; , .
Пример 8.17. Решить уравнение .
Решение.
, .
Так как при , , решения первого и третьего уравнения совокупности совпадают, то получаем:, и , .
Ответ: ; , , .
Пример 8.18. Решить уравнение
.
Решение. Используя четность функции и формулы приведения, получаем
, .
Тогда исходное уравнения примет вид:
.
Так как , то . Тогда из последнего уравнения имеем:
,
,
, , .
Ответ: , .
Пример 8.19. Решить уравнение .
Решение.
, .
Ответ: ; , .
Пример 8.20. Решить уравнение .
Решение. Сделаем замену , причем , тогда исходное уравнение примет вид
.
Ответ: .
Пример 8.21. Решить уравнение .
Решение.
Введем новую переменную , тогда
.
Ответ: .
Пример 8.22. Решить уравнение .
Решение.
.
Сделаем замену , тогда
, .
Ответ: ; , , .
Пример 8.23. Решить уравнение .
Решение. .
Сделаем замену , тогда
, .
Ответ: ; , , .
Пример 8.24. Решить уравнение .
Решение. Пусть , тогда . Исходное уравнение примет вид
, .
Ответ: ; , , .
Пример 8.24. Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение является однородным. Разделим обе части уравнения на . Имеем
.
Ответ: .
Пример 8.25. Решить уравнение .
Решение. Уравнение является однородным, поэтому разделим обе части уравнения на :
.
Пусть , тогда имеем:
, .
Ответ: ; , .
Пример 8.25. Решить уравнение .
Решение.
.
Последнее уравнение является однородным. Разделив обе части уравнения на , получим
, .
Ответ: ; , .
Пример 8.26. Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение не является однородным. Перепишем его следующим образом: . Умножив обе части уравнения на и приведя подобные слагаемые, получим:
.
Разделив обе части уравнения на и положив , получим: .
Ответ: , .
Пример 8.27. Решить уравнение .
Решение. Воспользуемся формулами двойного аргумента:
.
Разделим обе части уравнения на и сделаем замену , тогда получим:
, .
Ответ: ; , .
Пример 8.28. Решить уравнение .
Решение. Преобразуем исходное уравнение, используя формулы понижения степени (половинного аргумента):
, .
Ответ: ; , .
Пример 8.29. Решить уравнение .
Решение.
.
Ответ: , .
Пример 8.29. Решить уравнение .
Решение.
.
Введем замену , получим:
.
Ответ: .
Пример 8.30. Решить уравнение .
Решение. Разделим обе части уравнения на :
, .
Ответ: , .
Пример 8.31. Решить уравнение .
Решение. Так как функции синус и косинус ограничены, то равенство достигается только тогда, когда и одновременно, следовательно,
, .
Приравняем правые части полученных равенств:
.
Подставляя полученное для значение, получим общее решение системы
, .
Ответ: , .
8.3. Тригонометрические неравенства
Определение 8.5. Неравенства, содержащие тригонометрические функции, называются тригонометрическими.
При решение тригонометрических неравенств используют периодичность тригонометрических функций и их монотонность на соответствующих промежутках.
Функции и имеют наименьший положительный период . Поэтому неравенства вида
, , , ,
, , ,
достаточно решить сначала на каком-либо отрезке длины , тогда множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида , .
Пример 8.32. Решить неравенство .
Решение. На отрезке функция монотонно убывает, а уравнение имеет одно решение (рис. 8.2)
|
рис. 8.2. |
На отрезке функция монотонно возрастает, и уравнение имеет решение . |
Значения из отрезка являются решениями данного неравенства на отрезке . Таким образом, множество решений неравенства на отрезке есть объединение отрезков .
Функция периодична с периодом , поэтому все значения , каждое из которых удовлетворяет неравенствам
, , ,
являются решениями исходного неравенства или
, .
Ответ можно записать в более компактном виде:
, .
Неравенства вида
, , ,
удобно решать сначала на интервале , а неравенства вида
, , , –
на интервале .
Так как функции и имеют период , поэтому прибавляя к найденным на соответствующих интервалах решениям числа вида , , получим все решения данных неравенств.
Пример 8.33. Решить неравенство .
|
рис. 8.3. |
Решение. На интервале функция монотонно возрастает и уравнение имеет одно решение (рис. 8.3). Решениями данного неравенства на всей числовой прямой являются , , |
или , .
Ответ: , .
Пример 8.34. Решить неравенство .
Решение. Преобразуем выражение в левой части неравенства:
,
тогда
(рис. 8.4).
Ответ: ; .
|
рис. 8.4. |
рис. 8.5. |
Замечание 8.1. При решении тригонометрических неравенств можно вместо числовой оси использовать числовую окружность, которая корнями тригонометрических уравнений разбивается на дуги. Затем применяется метод интервалов.
Пример 8.35. Решить неравенство .
Решение. ОДЗ , . Найдем корни уравнения
.
Отметим найденные корни и ОДЗ на тригонометрической окружности (рис. 8.5). При переходе через точку, как и в традиционном методе интервалов, знак неравенства меняется на противоположный. Для определения знака, присущего каждой дуге, возьмем, например, точку и определим знак неравенства в этой точке:
.
Тогда решение исходного неравенства имеет вид:
, .
Ответ: , .
Задачи для самостоятельного решения
Группа А
Вычислить (1-5)
1. Найти , если и . (Ответ: .)
2. Найти , если и ; и .
(Ответ: .)
3. Найти значение выражения , если .
(Ответ: .)
4. Найти значение выражения , если .
(Ответ: .)
5. Найти значение выражения , если .
(Ответ: .)
Решить уравнение (6-9)
6. . (Ответ: , .)
7. . (Ответ: .)
8. . (Ответ: .)
9. . (Ответ: .)
10. . (Ответ: .)
Решить неравенство (11-15)
11. . (Ответ: .)
12. . (Ответ: .)
13. . (Ответ: .)
14. .
(Ответ: .)
15. . (Ответ: .)
Группа B
1. Упростить выражение . (Ответ: .)
2. Вычислить: , если и . (Ответ: .)
3. Вычислить: . (Ответ: .)
4. Вычислить: . (Ответ: .)
5. Найти значение выражения , если .
(Ответ: .)
Решить уравнение (6-10)
6. . (Ответ: .)
7. . (Ответ: .)
8. . (Ответ: .)
9. . (Ответ: .)
10. . (Ответ: .)
Решить неравенство (11-15)
11. . (Ответ: .)
12. .
(Ответ:,
.)
13. . (Ответ: .)
14. . (Ответ: .)
15. . (Ответ:, .)
Группа С
1. Вычислить: . (Ответ: .)
2. Найти значение выражения , если .(Ответ: .)
3. Вычислить: , если . (Ответ: .)
4. Вычислить: , если . (Ответ: .)
5. Упростить: . (Ответ: .)
Решить уравнение (6-10)
6. . (Ответ: .)
7. . (Ответ: .)
8. . (Ответ: .)
9. . (Ответ: .)
10. . (Ответ: .)
Решить неравенство (11-13)
11. . (Ответ:, .)
12. .
(Ответ:
, .)
13. . (Ответ:, .)
136
PAGE 155
2. институционализация теневой экономики Общепризнанный количественный рост теневой экономики в России2
3. білімге ша~ыр~ан 1 ~ле~ін таби~ат лирикасынан 1 ~ле~ін жазып жаттау с~здік ж~мысын ж~ргізу ма~ынасын ашу
4. ВАРИАНТ 3 Затраты предприятия на производство продукции представлены в табл
5. реферату- WlesРозділ- Журналістика Wles Wles is country of lkes nd mountins
6. Анализ деятельности автотранспортного подразделения сельскохозяйственного предприятия и обоснование
7. на тему- Побудова функціональних залежностей для обраної П
8. ринг два голоса и новый шанс приблизиться к мечте еще на один шаг.html
9. Титульный лист 2
10. а Геофизика. Завкаф.
11. Один метод построения полигональных изображений.html
12. тематическая статистика1
13. і. Інформацію для групи збирали Олег та Василь а Віктор іноді підвозив учасників групи до місця скоєння злочи
14. РЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата исторических наук СанктПетербург 1996 г
15. Про лізування окремих видів діяльності
16. ГОРЕ ОТ УМА Комедия Грибоедова была написана в первой четверти XIX века после войны 1812 года
17. геоморфология в буквальном переводе с греческого включает три понятия- гео земля; морфе форма; логос нау
18. реферат ученика 10 ldquo;Аrdquo; класса Захарова Леонида
19. Природные и географические факторы в истории России
20. Биография И