Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
1.7 |
2.7 |
3.13 |
4.15 |
5.26 |
6.30 |
7.23 |
8.23 |
9.23 |
1. Какова вероятность того, что выбранное наугад двузначное число будет: а) кратно пяти; б)менее 70?
Решение:
Найдем количество всех двузначных чисел. Это все числа от 10 до 99. Значит их количество -90.
а) Найдем количество двузначных чисел кратных пяти. Их можно записать в виде 5к, где к=2,...,19.Т.е таких чисел будет 18.
Значит, искомая вероятность будет равна: Р(А)=
б) Количество двузначных чисел ≥70 будет равно 30. Тогда, искомая вероятность Р(В)=.
2.Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятность отказа элементов соответственно равна 0,05 и 0,08 . Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
Решение:
Вероятность отказа устройства является противоположной вероятностью того, что устройство не отказала.
Из условия задачи следует, что устройство не откажет только в случае того, если оба элемента не откажут. Вероятность того, что 1-й элемент не откажет 1-0,05=0,95. Вероятность того, что 2-й элемент не откажет 1-0,08=0,92.
Тогда, искомая вероятность будет равна 1-0,92*0,95=0,126
Ответ: 0,126
3. В первой урне находится 5 шаров, из них 2 белых; во второй урне - 10 шаров, из них 6 белых. Из первой урны наудачу извлекли один шар и переложили во вторую урну. Затем из второй урны вынимают один шар. Какова вероятность того, что он белый?
Решение:
Вероятность, что из первой урны будет извлечён и положен во вторую урну не белый шар равна 3/5=0,6 и белый шар 2/5=0,4. Во второй урне станет 11 шаров.
В этом случае вероятность извлечения из второй урны белого шара будет зависеть от того, какой шар был в неё переложен из первой урны, и будет равна Р(А)=0,6*6/11+0,4*7/11≈0,58
Ответ: 0,58.
4. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,9 утверждать, что частота интересующего нас события будет отличаться от вероятности появления этого события, равной 0.7 не более чем на 0.01
Решение:
По условию р=0,7, q=1-0,7=0,3,
Значит,
n=115
Ответ: n=115
5. По данным длительной проверки качества запчастей определенного вида брак составляет 3 %. Изготовлено 1000 запчастей. Определить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа годных запчастей.
Решение:
Дискретная случайная величина Х- число годных запчастей имеет биномиальное распределение. q=0,03, p=0,997
Математическое ожидание Х есть М(Х) = n p =1000*0,97=970, а дисперсия - D(X) = n p q=1000*0,97*0,03=29,1,
Ответ: 970;
6. Предполагая, что время, необходимое для ремонта поступившего вагона, распределено по экспоненциальному закону с параметром = 0.25[час-1], найти вероятность того, что для ремонта одного вагона понадобится не более шести часов.
Решение:
= 0,125 [час-1].
Функция распределения вероятностей величины Х имеет вид
Вероятность того, что , вычислим по формуле
= F(6) = (1)=1-≈0,528
Ответ: 0,528
7. Приведенные ниже данные о ценах на 100 видов товаров ( в у. е.) записаны в случайном порядке. Используя эти данные, необходимо:
1) сделать механическую выборку, отобрав 20 видов товаров (каждый пятый считая в порядке записи сверху вниз по колонкам и по этой выборке) ;
2) записать эмпирическую функцию распределения;
3) построить интервальный вариационный ряд с шириной интервала 20 у.е;
4) построить гистограмму и эмпирическую кривую распределения;
5) предполагая, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение с плотностью
найти методом моментов по выборке из I) статистические оценки неизвестных параметров а и ;
|
6) найти доверительные интервалы дляа и с доверительной вероятностью 0,95
118 |
158 |
131 |
127 |
115 |
114 |
93 |
126 |
113 |
96 |
162 |
146 |
135 |
141 |
90 |
108 |
130 |
117 |
132 |
176 |
175 |
143 |
187 |
113 |
123 |
175 |
189 |
112 |
99 |
132 |
124 |
159 |
122 |
118 |
136 |
108 |
142 |
126 |
99 |
117 |
130 |
140 |
129 |
108 |
149 |
150 |
123 |
148 |
127 |
141 |
151 |
115 |
126 |
140 |
120 |
93 |
94 |
123 |
139 |
153 |
78 |
150 |
137 |
130 |
132 |
130 |
135 |
131 |
121 |
109 |
109 |
89 |
113 |
103 |
140 |
114 |
96 |
126 |
127 |
123 |
150 |
127 |
100 |
129 |
96 |
115 |
144 |
85 |
119 |
122 |
150 |
127 |
100 |
129 |
96 |
115 |
144 |
85 |
119 |
122 |
89 |
109 |
143 |
133 |
97 |
104 |
158 |
118 |
114 |
124 |
Решение:
130 |
140 |
129 |
108 |
149 |
150 |
123 |
148 |
127 |
141 |
150 |
127 |
100 |
129 |
96 |
115 |
144 |
85 |
119 |
122 |
3). Составляем вариационный ряд с шириной интервала h = 20 (у .е )
Интервалы |
[80, 100) |
[100, 120) |
[120,140) |
[140, 160) |
Частоты |
2 |
4 |
7 |
7 |
4). Строим гистограмму и эмпирическую (выборочную) кривую распределения, откладывая на оси абсцисс интервалы, а по оси координат
5) При изучении нормального закона доказывается, что в плотности параметр есть математическое ожидание, а параметр - дисперсия:
.
Имеем:
Находим:
Итак, - называется смещенной выборочной дисперсией.
По выборке вычислим оценки
85+ 96+ 100+ 108+ 115+ 119+ 122+ 123+ 127+ 127+ 129+ 129+ 130+ 140+ 141+ 144+148+ 149+ 150+ 150.
6) По формуле
.
По условию задачи .
В 5) мы вычислили .
.
Подставляя в эту формулу, имеем
.
Отсюда .
По таблицам распределения Стьюдента с n-1=19 степенью свободы находим t при доверительной вероятности 0,95.
.
Выписываем доверительный интервал:
покрывающий параметр с вероятностью 0,95.
По формуле
и находим по таблице распределения с n-1=19 степенью свободы с .
Выписываем доверительный интервал
покрывающий параметр с вероятностью 0,95.
8. Получить механическую выборку из данных о ценах на товары, приведенных в задании 7, отобрав 50 видов товара (каждый второй, считая в порядке записи сверху вниз по колонкам и по этой выборке). Используя критерий согласия Пирсона, проверить согласие выборочных значений с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности с параметрами, оцененными предваритзльно по выборке.
Решение:
118 |
158 |
131 |
127 |
115 |
114 |
93 |
126 |
113 |
96 |
175 |
143 |
187 |
113 |
123 |
175 |
189 |
112 |
99 |
132 |
130 |
140 |
129 |
108 |
149 |
150 |
123 |
148 |
127 |
141 |
78 |
150 |
137 |
130 |
132 |
130 |
135 |
131 |
121 |
109 |
150 |
127 |
100 |
129 |
96 |
115 |
144 |
85 |
119 |
122 |
Произведем выборку. Получаем
162 |
146 |
135 |
141 |
90 |
108 |
130 |
117 |
132 |
176 |
124 |
159 |
122 |
118 |
136 |
108 |
142 |
126 |
99 |
117 |
151 |
115 |
126 |
140 |
120 |
93 |
94 |
123 |
139 |
153 |
109 |
89 |
113 |
103 |
140 |
114 |
96 |
126 |
127 |
123 |
89 |
109 |
143 |
133 |
97 |
104 |
158 |
118 |
114 |
124 |
Построим следующую таблицу:
85 |
89 |
90 |
93 |
94 |
96 |
99 |
100 |
103 |
109 |
108 |
113 |
114 |
115 |
117 |
118 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
119 |
120 |
122 |
123 |
124 |
126 |
127 |
129 |
130 |
132 |
135 |
136 |
139 |
140 |
141 |
||
|
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
3 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
|
142 |
144 |
146 |
150 |
151 |
153 |
159 |
162 |
176 |
||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Оценим сначала параметры распределения, используя метод моментов. Для этого найдем выборочные среднее и дисперсию.
;
Принимаем эти величины соответственно за математическое ожидание и дисперсию случайной величины . Таким образом, нам нужно проверить гипотезу , где - функция нормального распределения с параметрами (123,38; 410,64). Для этого вычислим величину . Разобъем множество значений случайной величины Х на 5 интервалов: (- ; 100), [100; 115), [115; 130), [130; 145), [145; +) и подсчитаем число выборочных значений, попадающих в каждый интервал: .
Далее вычисляем вероятности - попадания с.в. Х в i-й интервал. Принимая во внимание, что при справедливости гипотезы с.в. Х распределенная нормально с параметрами (40,705; 1,749), для вычисления вероятностей , получим следующую формулу:
, где функция Лапласа.
Используя приведенную выше формулу и таблицу значений функции Лапласа, получим:
Вычисляем величину :
Зададим уровень значимости =0,01. Принимая во внимание замечание 1, найдем критическую точку распределения, отвечающую уровню значимости =0,01 и числу степеней свободы
k =5 12 =2, то есть
Поскольку , то можно считать, что выборочные данные не противоречат нашей гипотезе о нормальности распределения.
9. Получить две механические выборки, обьемом по 50 значений, из данных о ценах на товары, приведенных в задании 7, включая в первую значения, стоящие на нечетных местах, а во вторую - на четных (нумерация производится по колонкам).
Найти выборочное уравнение линейной регрессии У на Х по результатам двух выборок, считая первую выборку значениями X ,а вторую - У Проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции
Решение:
Выборка Х:
120 |
104 |
151 |
148 |
103 |
114 |
120 |
129 |
132 |
168 |
117 |
125 |
130 |
164 |
148 |
129 |
122 |
99 |
154 |
159 |
150 |
109 |
91 |
134 |
127 |
167 |
127 |
127 |
100 |
101 |
85 |
90 |
108 |
81 |
120 |
146 |
100 |
79 |
137 |
117 |
133 |
148 |
121 |
161 |
104 |
130 |
108 |
116 |
123 |
112 |
Выборка Y:
162 |
146 |
135 |
141 |
90 |
108 |
130 |
117 |
132 |
176 |
124 |
159 |
122 |
118 |
136 |
108 |
142 |
126 |
99 |
117 |
151 |
115 |
126 |
140 |
120 |
93 |
94 |
123 |
139 |
153 |
109 |
89 |
113 |
103 |
140 |
114 |
96 |
126 |
127 |
123 |
150 |
127 |
100 |
129 |
96 |
115 |
144 |
85 |
119 |
122 |
Рассмотрим уравнение связи для линейной зависимости от одного признака. Такое уравнение называют уравнением линейной регрессии. Выборочное уравнение линейной регрессии Y на имеет вид:
, где
а есть выборочный коэффициент корреляции.
Найдем числовые характеристики случайных величин X, Y, найденные по выборке:
для этого построим таблицы
-10,48 |
29,52 |
2,52 |
-1,48 |
-13,48 |
-14,48 |
-35,48 |
-2,48 |
-15,48 |
-32,48 |
46,52 |
14,52 |
58,52 |
-15,48 |
-5,48 |
46,52 |
60,52 |
-16,48 |
-29,48 |
3,52 |
1,52 |
11,52 |
0,52 |
-20,48 |
20,52 |
21,52 |
-5,48 |
19,52 |
-1,48 |
12,52 |
-50,48 |
21,52 |
8,52 |
1,52 |
3,52 |
1,52 |
6,52 |
2,52 |
-7,48 |
-19,48 |
21,52 |
-1,48 |
-28,48 |
0,52 |
-32,48 |
-13,48 |
15,52 |
-43,48 |
-9,48 |
-6,48 |
38,58 |
22,58 |
11,58 |
17,58 |
-33,42 |
-15,42 |
6,58 |
-6,42 |
8,58 |
52,58 |
0,58 |
35,58 |
-1,42 |
-5,42 |
12,58 |
-15,42 |
18,58 |
2,58 |
-24,42 |
-6,42 |
27,58 |
-8,42 |
2,58 |
16,58 |
-3,42 |
-30,42 |
-29,42 |
-0,42 |
15,58 |
29,58 |
-14,42 |
-34,42 |
-10,42 |
-20,42 |
16,58 |
-9,42 |
-27,42 |
2,58 |
3,58 |
-0,42 |
-34,42 |
-14,42 |
19,58 |
9,58 |
-26,42 |
-19,42 |
34,58 |
-5,42 |
-9,42 |
0,58 |
109,83 |
871,43 |
6,35 |
2,19 |
181,71 |
209,67 |
1258,83 |
6,15 |
239,63 |
1054,95 |
2164,11 |
210,83 |
3424,59 |
239,63 |
30,03 |
2164,11 |
3662,67 |
271,59 |
869,07 |
12,39 |
2,31 |
132,71 |
0,27 |
419,43 |
421,07 |
463,11 |
30,03 |
381,03 |
2,19 |
156,75 |
2548,23 |
463,11 |
72,59 |
2,31 |
12,39 |
2,31 |
42,51 |
6,35 |
55,95 |
379,47 |
463,11 |
2,19 |
811,11 |
0,27 |
1054,95 |
181,71 |
240,87 |
1890,51 |
89,87 |
41,99 |
1488,42 |
509,86 |
134,10 |
309,06 |
1116,90 |
237,78 |
43,30 |
41,22 |
73,62 |
2764,66 |
0,34 |
1265,94 |
2,02 |
29,38 |
158,26 |
237,78 |
345,22 |
6,66 |
596,34 |
41,22 |
760,66 |
70,90 |
6,66 |
274,90 |
11,70 |
925,38 |
865,54 |
0,18 |
242,74 |
874,98 |
207,94 |
1184,74 |
108,58 |
416,98 |
274,90 |
88,74 |
751,86 |
6,66 |
12,82 |
0,18 |
1184,74 |
207,94 |
383,38 |
91,78 |
698,02 |
377,14 |
1195,78 |
29,38 |
88,74 |
0,34 |
-404,32 |
666,56 |
29,18 |
-26,02 |
450,50 |
223,28 |
-233,46 |
15,92 |
-132,82 |
-1707,8 |
26,98 |
516,62 |
-83,10 |
83,90 |
-68,94 |
-717,34 |
1124,46 |
-42,52 |
719,90 |
-22,60 |
41,92 |
-97,00 |
1,34 |
-339,56 |
-70,18 |
-654,64 |
161,22 |
-8,20 |
-23,06 |
370,34 |
727,92 |
-740,72 |
-88,78 |
-31,04 |
58,36 |
-14,32 |
-178,78 |
6,50 |
-26,78 |
8,18 |
-740,72 |
21,34 |
-557,64 |
4,98 |
858,12 |
261,78 |
536,68 |
235,66 |
89,30 |
-3,76 |
Для вычисления выборочного коэффициента корреляции вычислим , предварительно преобразовав ее:
Таким образом,
Таким образом, выборочный коэффициент корреляции равен:
Следовательно, выборочное уравнение линейной регрессии Y на X ,будет иметь вид:
.
Мы нашли выборочный коэффициент корреляции и на основании его строили уравнение линейной регрессии, т.е. уравнение связи.
Или окончательно,
у = 0,008х + 122,35 |
Выясним вопрос о реальности связи, т.е. является ли полученный по наблюдениям коэффициент корреляции значимым? Следовательно, нам предстоит проверить гипотезу .
Вычислим величину
Для уровня значимости по таблице функции Лапласа находим . Поскольку , то гипотезу следует принять. Таким образом, на основании экспериментальных данных коэффициент корреляции X и Y следует признать незначимым.