Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Кафедра: математических методов и моделирования в экономике и управлении
Курсовая работа по математическому программированию и моделирования в экономике и управлении.Выполнила: студентка ФЭУ, II курса, 4 группы
д/о, направление 521500
менеджмент
Гузеева ОльгаЗачётная книжка № 600033
Преподаватели: П. Н. Коробов, А. А. МоисеевСанкт-Петербург
2002 год
Методология математического моделирования ассортиментной задачи (задачи оптимизации программы выпуска продукции по ассортименту).Этапы решения задач:
выбор проблемы решения;
постановка проблемы и разработка экономико-математической модели (ЭММ);
выбор метода решения;
выполнение решения;
анализ результата и проведение эксперимента;
внедрение результата, полученного в результате опыта.
Задачи оптимизации:
обеспечение балансовой увязки между знаниями по выпуску продукции разных видов и наличием производственных ресурсов (сырьё, материалы, машинное время, трудовые ресурсы, энергия и т. п.);
обеспечение максимального экономического эффекта при использовании производственных ресурсов;
проведение эксперимента (повторы решения при изменённых условиях, чтобы выработать альтернативные варианты и выбрать из них наиболее приемлемый).
Под оптимизацией программы выпуска продукции по ассортименту понимаются такие объёмы выпуска различной продукции, которые обеспечивают получение максимального экономического эффекта от реализации всей продукции.
Условия задачи: на предприятии имеются свободные ресурсы: сырьё, материалы, машинное время, трудовые и т. п. В условии задачи известны фонды производственных ресурсов на планируемый период, нормы их затрат на единицу (десяток, сотню или комплект продукции), а также известны показатели прибыли от реализации продукции. Найти программу выпуска продукции по ассортименту, обеспечивающую максимальную суммарную прибыль от её реализации.
Виды производственных ресурсов Фонды производственных ресурсов на планируемый период Нормы затрат производственных ресурсов на единицу продукцииР1 …………….. Рj ……………… Рn
1
.
.
.
r
.
.
.
R
bj
.
.
.
br
.
.
.
bR
A=[arj]Rx n
Критерий оптимальностис1 ……………… сj ………………. cn
j – индекс вида продукции;
Pj – виды продукции;
r – индекс вида производственных ресурсов (от 1 до R);
br – фонд r-производственного ресурса;
arj – норма затрат rj-производственного ресурса;
cj – критерий оптимальности; его сущность заключается в том, что это экономический, технико-экономический показатель, который заложен в условии задачи для суждения об оптимальности её решения;
xj –количество продукции Pj.
Х=(х1, х2…хj…xn) – оптимальная программа выпуска продукции по ассортименту.
Критерий оптимальности:
Система ограничений:
Суммарные затраты r-производственного ресурса на выполнение всех n видов продукции не должен превышать фонды этого ресурса, которым предприятие владеет на планируемый период.
Экономическое содержание и математическое моделирование распределительных нетранспортных задач.I. Известна программа выполнения продукции на период. Эта программа может быть выполнена на разных станках, а также известны фонд эффективного рабочего времени каждого исполнителя, часовая производительность каждого из исполнителей при выработке каждого вида продукции. Известны затраты по выполнению продукции у разных исполнителей.
i – индекс исполнителя (отдельной машины, рабочего, цеха, участка), i=1,2…m;
j – индекс вида продукции (работы), j=1,2…n;
m – количество рабочих (станков);
n – число видов продукции (работ);
bi – фонд эффективного рабочего времени i-исполнителя в планируемом периоде в часах;
λij – часовая производительность j-продукции у i-исполнителя;
Λ=[ λij]mxn – известно;
sij – себестоимость производства единицы j-продукции у i-исполнителя;
S=[ sij] mxn – известно;
Pj – вектор показателей, которые характеризуют объёмы выпуска продукции (выполнения работ) по всем видам – известно;
Наименование
исполнителя
Фонд эффективного рабочего времениP1 ………………… Pj …………………. Pn
производительность / себестоимость1
.
.
.
i
.
.
.
m
b1
.
.
.
bi
.
.
.
bm
Λ=[ λij]mxn / S=[ sij] mxn
Найти план распределения производственного задания по выпуску продукции (выполнения работ) между исполнителями, при котором задание было бы выполнено с минимальными суммарными затратами.
xij – затраты эффективного рабочего времени у i-исполнителя на произведение j-продукции;
Х=[ xij]mxn – искомые величины.
Целевая функция:
s’ij – себестоимость часового объёма выпуска продукции определённого вида на определённом оборудовании.
Система ограничений:
– суммарные затраты эффективного рабочего времени на выполнение всех видов работ не должен превышать фонда, которым располагает i-рабочий в плановом периоде;
– суммарный объём выпущенной продукции j-вида у всех m исполнителей должен быть равен производственному заданию;
II. На предприятии известна программа выпуска продукции по видам, которая может быть выполнена разными исполнителями (на разных участках). В условии задачи известны: фонд эффективного рабочего времени каждого исполнителя в плановом периоде, показатели норм затрат эффективного рабочего времени на производство различных видов продукции на разном оборудовании, а также прибыль от реализации единицы продукции, выработанной разными исполнителями.
Наименование
исполнителя
Фонд эффективного рабочего времениP1 ………………… Pj …………………. Pn
нормы затрат / прибыль1
.
.
.
i
.
.
.
m
b1
.
.
.
bi
.
.
.
bm
A=[ aij]mxn / C=[ cij] mxn
i – индекс исполнителя (отдельной машины, рабочего, цеха, участка), i=1,2…m;
j – индекс вида продукции (работы), j=1,2…n;
m – количество рабочих (станков);
n – число видов продукции (работ);
bi – фонд эффективного рабочего времени i-исполнителя в планируемом периоде в часах;
aij – показатель нормы затрат на производство j-продукции у i-исполнителя;
A=[ аij]mxn – известно;
сij – показатель прибыли от единицы j-продукции у i-исполнителя;
С=[ сij] mxn – известно;
Pj – вектор показателей, которые характеризуют объёмы выпуска продукции (выполнения работ) по всем видам – известно.
Требуется найти план распределения производственного задания между исполнителями, при котором это задание было бы выполнено с максимальной суммарной прибылью от реализации всей продукции.
xij – объём (количество) j-продукции выработанной i-исполнителем;
Х=[ xij]mxn – искомые величины.
Целевая функция:
Система ограничений:
При решении этой системы линейных уравнений и неравенств, нужно найти такие неотрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принимала максимальное значение.
Методология математического моделирования раскройной задачи (задачи оптимизации программы раскроя материалов).Пусть имеются ДСП стандартных размеров, из которых необходимо нарезать m различных по размеру заготовок и деталей для производства мебели. ДСП определённого размера может быть раскроена n способами (вариантами). По каждому из возможных вариантов раскроя составляется соответствующая карта раскроя, из которой видно, что при j (j=1,2…n) способе раскроя из одной плиты получается определённое количество (обозначим через aij) заготовок i (i=1,2…m) вида (размера). По картам раскроя устанавливается также величина отходов (площадь, вес, стоимость) при раскрое одной плиты j способом (обозначим – сj). В задании на раскрой должно быть указано общее количество заготовок каждого i вида (размера) – bi, которое необходимо нарезать из плит, поступивших в раскрой (обозначим – R). В задаче требуется определить оптимальный план раскроя ДСП, обеспечивающий минимальные отходы (или минимальный расход раскраиваемых материалов), при условии выполнения задания по выходу заготовок.
xj – количество ДСП, которое следует раскраивать с тем, чтобы нарезать заданное число заготовок каждого вида, при этом суммарные отходы (или суммарный расход плит) должны быть минимальными.
Виды заготовок Задание по раскрою Способы раскроя1 ……………………. j ………………….. n
1
.
.
.
i
.
.
.
m
b1
.
.
.
bi
.
.
.
bm
A=[ аij]mxn
ОтходыC=[ cj] n
Критерий оптимальности:
Система ограничений:
При решении этой системы линейных уравнений и неравенств, нужно найти такие неотрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принимала минимальное значение.
Рассмотрим пример решения задачи оптимизации программы раскроя материалов симплексным методом.F=0.26x1+0.28x2+0.3x3+0.29x4=min
F=0.26x1+0.28x2+0.3x3+0.29x4+0x5+0x6+0x7+0x8+0x9+M(y1+y2+y3+y4)=min
C0
P0
B 0.26 0.28 0.3 0.29 0 0 0 0 0 M M M M ∑β
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
Y1
Y2
Y3
Y4
0X5
250 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 255 250 MY1
540 131
1 2 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 547 180 MY2
200 2 1 0 2 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 205 200 MY3
400 0 2 3 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 405 200 MY4
390 1 2 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 393 195 1530M 4M-0.28 8M-0.28 4M-0.3 4M-0.29 0 -M -M -M -M 0 0 0 0 0X5
70 2/3 0 2/3 1/3 1 1/3 0 0 0 -1/3 0 0 0 218/3 70/3 0.28X2
180 1/3 1 1/3 2/3 0 -1/3 0 0 0 1/3 0 0 0 547/3 - MY2
20 5/3 0 -1/3 4/3 0 1/3 -1 0 0 -1/3 1 0 0 68/3 20/3 MY3
40 -2/3 0 7/3 -4/3 0 2/3 0 -1 0 -2/3 0 1 0 121/3 80/3 MY4
30 1/3 0 -2/3 -4/3 0 2/3 0 0 -1 -2/3 0 0 1 85/3 60/3 50.4+90M 4/3M-1/6 0 4/3M-31/150 -4/3M-31/300 0 5/3M-7/75 -M -M -M -8/3M+7/75 0 0 0Дальнейшее решение было проведено на компьютере и получены следующие ответы: всего подлежит раскрою 200 плит, причем все раскраиваются вторым способом, тогда мы получим 600 заготовок первого вида, 200 – второго, 400 – третьего, 400 – четвёртого, при минимальных отходах, равных 56 м2.
Экономическая сущность и математическое моделирование транспортных задач.
Известны: пункты производства (А1, А2 … Ai … Аm); m – пунктов, производящих конкретную продукцию;
аi – мощность i-поставщика (сколько необходимо реализовать продукции, т. е. перевести из Аi)
– суммарная мощность поставщиков в плановом периоде;
пункты потребления (В1, В2 … Bj … Вn); n – пунктов потребления конкретной продукции;
bj – потребность (спрос, ёмкость) j-поставщика в конкретной продукции;
– суммарный спрос n-потребителей.
1) – сбалансированные спрос и предложение, такие задачи называются закрытыми транспортными задачами;
– открытая транспортная задача.
2) возможна поставка продукции из любого пункта производства в любой пункт потребления.
3) сij – затраты на поставку продукции, т. е. критерий оптимальности (может быть и на производство, и на транспортировку).
В задаче требуется найти план транспортных связей между поставщиками и потребителями продукции, при котором потребности всех потребителей были бы удовлетворены с минимальными суммарными затратами на поставку всей продукции.
xij – объём поставки от i-поставщика к j-потребителю (искомая величина)
Поставщики
и их мощности
Потребители и их спросB1 ………………………….. Bj ………………………………….. Bn
b1 …………………………… bj ………………………………….. bn
С=[ сij] mxn / Х=[ xij]mxn
A1
a1
c11
…………………….
x11…………………
c1j
………………….
………x1j………
c1n
………………
………….. x1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
. . .
. . .
.
.
.
. . .
. . .
. . .
.
.
.
. . .
. . .
. . .
Ai
ai
ci1
…………………….
xi1…………………
cij
………………….
………xij………
cin
………………
………….. xin
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
am
cm1
…………………….
xm1…………………
c11
………………….
………xmj………
c11
………………
…………..xmn
Целевая функция:
(1)
Условие реализации продукции у каждого из поставщиков:
(2)
Условие обеспечения всех потребителей продукцией по их потребности:
(3)
Условие не отрицательности переменных:
В решении системы линейных уравнений 2 и 3 необходимо найти такие не отрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принимала минимальное значение.
m+n-1 – линейно независимых уравнений, ранг системы, r= m+n-1.
В каждом опорном плане должно быть m+n-1 базисных элементов (xij>0), если таких переменных равно или больше, чем m+n-1, план называется невырожденный; если одна или несколько базисных переменных равна нулю, то такой план считается вырожденным.
Открытые транспортные задачи.a)
(1)
(2)
(3)
Bn+1: – потребность какого-то потребителя, находящегося за пределами района (фиктивный потребитель).
(1)
(2)
(3)
сi, n+1=0 (i=1,2…m)
б)
(1)
(2)
(3)
Аn+1: – фиктивный поставщик.
(1)
(2)
(3)
Ограничение транспортных возможностей.
а) xij=0 => cij=М, где М»0;
б) 0 ≤ хij ≤ dij
dij – характеризует транспортные возможности между i-поставщиком и j-потребителем.
Тогда поставщик Аi условно делится на Аi` и Аi``, при этом ai`=dij и ai``= ai`-dij, cij`=cij и cij``=М, где М»0.
Рассмотрим пример решения транспортной задачи методом потенциалов.В1
200
В2
250
В3
275
В4
255
В5
120
Ui
A1
300
7-
10-
M-
6255
045
0
A2
125
9-
5125
60
8-
0-
-5
A3
125
9-
5125
M-
8-
0-
-5
A4
270
8-
6-
11195
10-
075
0
A5
280
6200
11-
980
7-
0-
-2
Vj
-8
10 11 6 0Δ11=-1
Δ12=0
Δ13=M-11
Δ21=6
Δ24=7
Δ25=5
Δ31=6
Δ33=M-6
Δ34=7
Δ35=5
Δ41=0
Δ42=-4
Δ44=4
Δ52=13
Δ54=0
Δ55=2
В1
200
В2
250
В3
275
В4
255
В5
120
Ui
A1
300
7-
10-
M-
6255
045
0
A2
125
9-
5-
6125
8-
0-
-5
A3
125
9-
5125
M-
8-
0-
-1
A4
270
8-
6125
1170
10-
075
0
A5
280
6200
11-
980
7-
0-
-2
Vj
8 6 11 6 0Δ11=-1
Δ12=4
Δ13=M-11
Δ21=6
Δ22=4
Δ24=7
Δ25=5
Δ31=2
Δ33=M-10
Δ34=3
Δ35=1
Δ41=0
Δ44=4
Δ52=7
Δ54=3
Δ55=2
В1
200
В2
250
В3
275
В4
255
В5
120
Ui
A1
300
745
10-
M-
6255
0-
0
A2
125
9-
5-
6125
8-
0-
-4
A3
125
9-
5125
M-
8-
0-
0
A4
270
8-
6125
1125
10-
0120
1
A5
280
6155
11-
9125
7-
0-
-1
Vj
7 5 10 6 -1Δ12=5
Δ13=M-10
Δ15=1
Δ21=6
Δ22=4
Δ24=6
Δ25=5
Δ31=2
Δ33=M-10
Δ34=2
Δ35=1
Δ41=0
Δ44=3
Δ52=7
Δ54=2
Δ55=2
F=7x1+10x2+Mx3+6x4+7x1+10x2+Mx3+6x4+9x5+5x6+6x7+8x8+8x9+6x10+11x11+
+10x12+6x13+11x14+9x15+7x16=min
при ограничениях:
F=7*45+6*155+5*125+6*125+6*125+11*25+9*125+6*255=6300
Оптимальный план поставок для деревообрабатывающих предприятий, обеспечивающий минимальные транспортные затраты в сумме 6300000 руб., заключается в следующем:
1-ое лесозаготовительное предприятие поставляет 45 т. м3 1-ому деревообрабатывающему предприятию;
1-ое – 4-ому: 255 т. м3;
2-ое – 2-ому: 125 т. м3;
2-ое – 3-ему: 125 т. м3;
3-е – 2-ому: 125 т. м3;
3-е – 3-ему: 25 т. м3;
у 3-го предприятия остаётся запас в 120 т. м3;
4-е – 1-ому: 155 т. м3;
4-е – 3-ему: 125 т. м3;
имеется альтернативный приведённому план поставок при тех же транспортных издержках:
1-ое – 4-ому: 255 т. м3;
2-ое – 2-ому: 125 т. м3;
2-ое – 3-ему: 125 т. м3;
3-е – 1-ому: 25 т. м3;
3-е – 2-ому: 125 т. м3;
у 3-го предприятия остаётся запас в 120 т. м3;
4-е – 1-ому: 130 т. м3;
4-е – 3-ему: 150 т. м3.
Оптимизация замены оборудования. Динамическое программирование в планировании производством и управлении им.Под динамическим программированием понимается вычислительный метод, опирающийся на аппарат рекуррентных соотношений.
Динамическое программирование – планирование многошагового процесса, при котором на каждом шаге решения, оптимизируется только этот шаг. Идея динамического программирования заключается в том, что отыскание множества переменных, что имело место в линейном программировании, заменяется на многократное отыскание одной или очень небольшого числа исходных переменных.
Весь процесс динамического программирования планируется в виде составления функциональных уравнений, которые решаются на каждом шаге.
Под функциональными уравнениями понимаются такие уравнения, в которых выражается функциональная зависимость между множеством функций – это сущность и отличие динамического программирования от линейного.
Содержание проблемы и сущность алгоритма решения.Процесс решения задачи осуществляется следующим способом. Берётся период в N лет. К этому времени оборудование отработало некое количество лет и пришло t0 возраста.
Решение задачи начинается с последнего N-го года, составляется пара функциональных уравнений в предположении, что пришло старое оборудование без замены:
рассчитывается доход от эксплуатации оборудования при замене;
рассчитывается доход от эксплуатации оборудования в течение года при условии его старения.
Вторая гипотеза: к N-ому году оборудование могло прийти замененным в каком-то году, тогда составляется пара уравнений, в которых определяется доход за год от эксплуатации единицы оборудования при условии замены или сохранения оборудования.
Шаг второй: рассматриваем (N-1) год.
Рассматриваются две гипотезы:
пришло старое оборудование без замены;
пришло оборудование, которое было заменено.
Шаг третий: рассматривается (N-2) год при двух гипотезах, составляются уравнения, рассчитывается доход.
Решение продолжается по всем шагам. На первом году будет одна гипотеза, что пришло старое оборудование, используемое t0 лет.
Составление функциональных уравнений.Под критерием оптимальности может быть принят любой экономический показатель, если он хорошо подготовлен, т.е. он должен быть отчищен от факторов, не зависящих от работы оборудования.
r(t) – стоимость продукции, созданной единицей оборудования возраста t лет за год.
U(t) – затраты на содержание в течение года единицы оборудования возраста t лет.
С(t) – затраты на замену единицы оборудования возраста t лет (затраты на приобретение, отладку за вычетом остаточной стоимости старого оборудования).
i – год установки нового оборудования.
Доход замены оборудования рассчитывается:
f’=r(t)-U(t)-C(t)
Доход от сохранения оборудования:
f’’=r(t)-U(t)
Если f’>f’’, то оборудование необходимо заменить, если f’≤f’’ – оставить.
Шаг 1-ый: N-ый год.
Гипотеза 1: пришло старое оборудование возраста N+t0 лет.
Тогда доход за N-ый год при условии замены или сохранения оборудования:
Гипотеза 2: пришло новое оборудование.
Возьмём N-t-й год:
Шаг 2-ой: (N-1)-ый год.
Рассчитывается суммарный условный доход, при условии замены или сохранения.
Гипотеза 1: пришло старое оборудование.
Гипотеза 2: пришло новое оборудование.
Рассмотрим пример решения задачи о замене оборудования.Исходная информация по старому оборудованию (t0=7):
Показатель Значение показателей на единицу оборудования возраста (лет) в тыс. руб. 8 9 10 11 12 r(t) 100 87 74 67 60 U(t) 27 32 39 42 40 C(t) 135 148 150 165 172Исходная информация по новому оборудованию:
Показатель Значение показателей на единицу оборудования возраста (лет) в тыс. руб. 0 1 2 3 4r1(t)
135 105 85 80 75U1(t)
12 15 20 22 25C1(t)
- 152 160 170 180r2(t)
125 100 90 84U2(t)
13 15 17 20C2(t)
- 132 142 152r3(t)
136 120 116U3(t)
15 16 19C3(t)
- 156 162r4(t)
145 135U4(t)
20 17C4(t)
- 180r5(t)
162U5(t)
35I этап (5 год):
Оборудова-ниеВозраст
Условие максимального дохода за 5 год Формула Расчёты Полити-ка Ст 12165-35-172= -42
60-40=20
Сохран.
Н 1165-35-180= -50
135-17=118
Сохран.
Н2
130-162= -32
116-19=97
Сохран.
Н 3130-152= -22
84-20=64
Сохран.
Н 4130-180= -50
75-25=50
Сохран.
II этап (4, 5 год):
Оборудова-ниеВозраст
Условие максимального дохода за 5 год Формула Расчёты Полити-ка Ст 11=145-20-165+
+118=78
=67-42+
+20=45
Замены
Н1
=125-156+
+118=87
=120-16+
+97=201
Сохран.
Н 2=243-142=
=101
=90-17+64=
=137
Сохран.
Н 3=243-170=
=73
=80-22+50=
=108
Сохран.
III этап (3, 4, 5 год):
Оборудова-ниеВозраст
Условие максимального дохода за 5 год Формула Расчёты Полити-ка Ст10
=136-15-150+
+201=172
=74-39+
+78=113
Замены
Н 1
=322-132=
=190
=100-15+
+137=222
Сохран.
Н 2=322-160=
=162
=85-20+108=
=173
Сохран.
IV этап (2, 3, 4, 5 год):
Оборудова-ниеВозраст
Условие максимального дохода за 5 год Формула Расчёты Полити-ка Ст9
=125-13-148+
+222=186
=87-32+
+179=227
Сохран.
Н 1
=334-152=
=182
=105-15+
+173=263
Сохран.
V этап (1, 2, 3, 4, 5 год):
Оборудова-ниеВозраст
Условие максимального дохода за 5 год Формула Расчёты Полити-ка Ст8
=135-12-135+
+263=251
=100-27+
+227=300
Сохран.
Оптимальная политика отношения к оборудованию, обеспечивающая максимальную прибыль 300 тыс. руб., заключается в следующем: в 1 год сохранить оборудование, при этом доход составит (300-263)=37 тыс. руб.; во 2 год – сохранить, при доходе (263-172)=91 тыс. руб.; в 3 год – заменить, при убытке (172-201)=55 тыс. руб.; в 4 год – сохранить, при доходе (201-97)=104 тыс. руб.; в 5 год – сохраняем, при доходе 97