Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
6
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
РЫБИНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АВИАЦИОННАЯ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМ. П.А. СОЛОВЬЕВА
КАФЕДРА ФИЗИКИ
на заседании методического
семинара кафедры физики
«9» октября 2002 г.
Зав.каф. Пиралишвили Ш.А.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
|
Нормоконтроль: |
Автор: доцент |
|
________________Михайлов В. В. |
_________________Суворова З.В. |
|
Рецензент: доцент |
|
|
______________Мельников Ю.П. |
Рыбинск, 2002
ИНСТРУКЦИЯ ПО ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ
Работа выполняется в соответствии с общими требованиями техники безопасности, действующими в учебных лабораториях кафедры физики.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: исследование колебаний математического и физического маятников, определение ускорения силы тяжести с помощью математического маятника.
ПРИБОРЫ И ОБОРУДОВАНИЕ: универсальный маятник, секундомер.
Колебания – это движение или состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.
Во многих задачах классической физики в качестве точной или приближенной модели периодического движения системы может быть использован гармонический осциллятор.
Классическим гармоническим осциллятором считают систему, которая будучи слегка выведена из положения равновесия, совершает гармонические колебания, описываемые уравнением:
, (1)
где – смещение системы от положения равновесия;
А – амплитуда колебаний;
– фаза колебаний;
– циклическая частота колебаний;
– начальная фаза колебаний.
Рассмотрим механическую систему с одной степенью свободы, положение которой описывается обобщенной координатой . Величиной может быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости, расстояние, отсчитываемое вдоль заданной кривой (прямой), линейные комбинации этих величин и т.д. Потенциальная энергия такой системы является функцией одной переменной:
.
Будем считать, что система совершает малые свободные колебания относительно положения равновесия. В этом положении функция имеет минимум (рис.1).
Координату и потенциальную энергию будем отсчитывать от положения равновесия. Тогда .
Если функцию разложить в ряд по степеням , и высшими степенями пренебречь ввиду малости колебаний, то получим следующее выражение для потенциальной энергии:
, (2)
где (т.к. кривая зависимости от симметрична при 0 и ее производная равна нулю), . Следовательно
, (3)
обозначим , (4)
тогда . (5)
Отклонения системы от положения равновесия приводит к возникновению возвращающей силы
,
которая стремится вернуть систему обратно. Дифференцируя (5), имеем
. (6)
Выражение (6) тождественно выражению для упругой силы деформируемой пружины, потому такие силы, пропорциональные смещению системы от положения равновесия, называются квазиупругими независимо от их природы.
Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы равна
,
где – некоторая функция, зависящая от вида обобщенной координаты.
Если в качестве обобщенной координаты используется декартова координата х, то
и ,
где т – масса колеблющейся системы, – ее скорость.
Если в качестве обобщенной координаты взять угол отклонения системы от положения равновесия, то
и ,
где I – момент инерции колеблющейся системы относительно точки ее подвеса, – угловая скорость вращения системы относительно точки подвеса.
Если система движется без трения, то выполняется закон сохранения энергии:
, или .
По второму закону Ньютона движение системы описывается уравнением:
,
где – обобщенное ускорение системы. Подставив значения из (6), имеем:
. (7)
Это линейное дифференциальное уравнение, описывающее простые свободные гармонические колебания. Его решение будем искать в виде:
. (8)
Действительно, , и
,
т.е (8) является решением уравнения (7) при условии, что циклическая частота собственных колебаний:
. (9)
Рассмотренный подход позволяет описывать положение рассмотренных здесь технических колебаний, колебания любого классического гармонического осциллятора независимо от физической природы колебаний.
Время одного полного колебания называется периодом Т. Он связан с собственной циклической частотой соотношением:
. (10)
Под маятником понимают тело, которое совершает под действием силы тяжести колебания относительно неподвижной точки или оси.
Различают физический и математический маятники.
Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из невесомой нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной материальной точке.
Примером математического маятника является шарик, подвешенный на длинной нерастяжимой нити (см. рис. 2).
Рассмотрим малые свободные колебания математического маятника. В качестве обобщенной координаты примем смещение от положения равновесия х, в качестве функции – массу шарика т. Если маятник находится в положении равновесия (нить вертикальна), на него действуют силы натяжения нити и тяжести , которые компенсируют друг друга. Если же маятник вывести из положения равновесия, отклонив его на угол , то сила тяжести уже не будет уравновешиваться силой натяжения нити. Разложим силу тяжести на две составляющие:
, направленную перпендикулярно нити, и , направленную по нити.
Ясно, что , т.к. нить нерастяжима и шар относительно нити неподвижен.
Сила стремится вернуть маятник в положение равновесия. Угол мал, поэтому . Шар описывает дугу . При малых углах дуга практически совпадает с хордой , которая равна величине смещения х от положения равновесия. Из чертежа видно, что .
Вектор смещения направлен от положения равновесия к точке С1, т.е противоположно силе , т.е
.
Согласно второму закону Ньютона, имеем:
или
,
тогда
(11)
, (12)
и совпадают по виду с уравнением (7). Его решение
. (13)
Из (12) видно, что частота колебаний математического маятника определяется только его длиной и ускорением силы тяжести и не зависит от массы маятника.
Период колебаний равен:
. (14)
Если колеблющееся тело нельзя считать материальной точкой, то маятник называют физическим (см. рис. 3).
Такой маятник, будучи выведен из положения равновесия, будет совершать колебательные вращательные движения относительно оси . Уравнение динамики для вращательного движения имеет вид:
,
где – момент силы, действующий на тело, – вектор углового ускорения тела, – момент инерции тела относительно оси вращения.
В проекциях на ось вращения , перпендикулярную к плоскости чертежа, это уравнение имеет вид:
, (15)
где .
Точка О пересечения оси вращения с плоскостью движения маятника, называется точкой подвеса.
Рассмотрим физический маятник, ось вращения которого удалена на расстояние от центра масс С маятника, . В положении равновесия сила тяжести уравновешивается силой, нормальной реакции оси . Если маятник вывести из положения равновесия, отклонив его на угол , то сила тяжести уже не будет компенсироваться силой . Силу тяжести представляют как сумму двух составляющих
, направленной по прямой ОС1 (эта сила уравновешивается силой реакции , линия действия силы проходит через ось вращения маятника, поэтому ее момент равен нулю), и , направленной перпендикулярно линии ОС1.
Момент силы равен
. (16)
Знак «–» означает, что сила направлена против смещения.
Подставим (16) в (15), имеем:
.
При малых углах , поэтому
,
или , (17)
где . (18)
(17) – это уравнение движения тела, совершающего гармонические колебания. Частота колебаний физического маятника, определяемая выражением (18), зависит от его массы, длины и момента инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса.
Для определения ускорения свободного падения с помощью математического маятника воспользуемся формулой (14). Имеем:
.
Точность определения прямо пропорциональна точности измерения длины маятника . Однако не всегда имеется возможность точно измерить . Поэтому при определении используют следующий подход. Измеряют период колебаний математического маятника при длине и длине :
.
Тогда
,
и
. (19)
Величину можно определить с высокой точностью. Выражение (19) является расчетной формулой для определения ускорения свободного падения. Чтобы получить формулу с помощью физического маятника, воспользуемся выражением (18). Точка подвеса не совпадает с центром масс маятника, момент инерции определим по теореме Штейнера:
,
где – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс; – расстояние от оси вращения (точки подвеса) до центра масс.
Меняя точку подвеса, получим различные значения , а следовательно, и период колебаний:
(20)
Маятник, используемый в данной лабораторной работе выполнен таким образом, что периоды колебаний для обеих точек подвеса одинаковы:
Т1=Т2
,
или
,
отсюда
, и ,
или
. (21)
Подставив (21) в (20), получим:
или
,
и
, (22)
где – расстояние между точками подвеса физического маятника, равное его приведенной длине.
Универсальный маятник (см. рис. 4), представляет собой неподвижную подставку 1, на которой смонтированы опоры 2, на которых установлены физический 3 и математический 4 маятники.
Таблица 1.
|
№ п/п |
, м |
, м |
, с |
, с |
, с |
, с |
, м |
, м |
, с |
, с |
Т2, с |
Т2, с |
|
1. |
||||||||||||
|
2. |
||||||||||||
|
3. |
||||||||||||
|
4. |
||||||||||||
|
5. |
||||||||||||
|
Ср. |
м/с2.
Таблица 2.
|
№ п/п |
, с |
, с |
, с |
Т2, с |
, м |
, с |
, с |
, с |
Т2, с |
, м |
, м/с2 |
, м/с2 |
|
1. |
||||||||||||
|
2. |
||||||||||||
|
3. |
||||||||||||
|
4. |
||||||||||||
|
5. |
||||||||||||
|
Ср. |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
ЛИТЕРАТУРА
1. Савельев И.В. курс общей физики. т. 1.–М.: Наука, 1982, § 49, 50, 53, §54.