Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Херсонська державна морська академія
ФАКУЛЬТЕТ СУДНОВОЇ ЕНЕРГЕТИКИ
Кафедра технічної механіки, інженерної та комп'ютерної графіки
Шифр №_______________
Реєстр. №______________
КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ
З дисципліни «Опір матеріалів»
підготовки бакалавра
галузей знань: 0701 – транспорт і транспортна інфраструктура
0507 – електротехніка та електроніка
напрями: 6.070104 – «Морський та річковий транспорт»,
6.050702 – «Електромеханіка»
професійне спрямування: «Судноводіння»,
«Експлуатація суднових енергетичних установок»
Спеціалізація: «Експлуатація електрообладнання і автоматики
суден»
курс другий, на базі ОКР «молодший спеціаліст»
форма навчання: денна і заочна
Херсон – 2011
Конспект лекцій розробив у відповідності з робочою навчальною програмою доцент кафедри технічної механіки, інженерної і комп’ютерної графіки Молчанов А.О. (російською мовою)
Конспект лекцій розглянуто і ухвалено на засіданні кафедри технічної механіки, інженерної і комп’ютерної графіки
01.09.2011 р. протокол №1
Завідувач кафедри професор Букетов А.В.
Начальник навчально-методичного
відділу Черненко В.В.
Содержание
1 Введение
1.1 Особенности краткого курса «Сопротивление материалов»
1.2 Общие принципы расчетов прочностной надежности
2 Растяжение и сжатие стержней
2.1 Напряжения и перемещения. Закон Гука.
2.2 Механические характеристики и свойства материалов
2.3 Расчеты стержней на прочность и жесткость
3 Изгиб прямолинейного бруса
3.1 Общие понятия
3.2 Расчеты на прочность и жесткость (теоретические предпосылки)
3.3 Примеры расчетов
3.4 Общая методика решения задач изгиба
3.5 Определение перемещений изгибаемой балки
4 Кручение стержня круглого сечения
4.1 Общие сведения
4.2 Расчеты на прочность и жесткость
5 Сложное сопротивление
6 Продольный изгиб (устойчивость сжатых стержней)
7 Местные напряжения
8 Переменные напряжения
9 Основные теории прочности (вместо заключения)
10 Распределение материала в соответствии с кредитно – модульной (болонской) системой
1 Введение
1.1 Особенности краткого курса «Сопротивление материалов»
Курс «Сопротивление материалов» является одним из старейших и наиболее разработанных в технических вузах. Характерной особенностью традиционного изложения его – это значительный объем предлагаемых сведений. Раздел «Основы расчета прочностной надежности элементов » в известном учебнике «Прикладная механика» [1] или «Основы расчетов на прочность» в другом не менее известном учебнике «Прикладная механика» [2] достаточно компактный, но здесь трудно улавливаются логические связи между отдельными задачами и общая методология их решения.
Этот же недостаток имеет место (хотя и в меньшей степени) в в современном учебнике «Короткий курс з опору матреріалів» [3].
При этом теряется суть учебной дисциплины «Сопротивление материалов» и, следовательно, возникает трудности при ее изучении. Часто вместе с «водой» (многословие) выплескивают «ребенка» (принципы и логика расчетов). А ведь, если охарактеризовать «Сопротивление материалов» двумя словами, то это будет – «условие прочности». Все остальное – это частные задачи, конкретные примеры, базирующиеся, в общем-то, на общей методологии решения. И решение частных задач определяемых различными видами напряженного состояния элемента и расчетными схемами нагружения, может оказаться вполне доступным, если не запугивать студента с самого начала сложными выкладками и расчетными схемами.
Материал надо излагать от простого к сложному, в т.ч. от растяжения (сжатия) к изгибу; а от него – к кручению (а не наоборот), к сложному нагружению, продольному изгибу и т.д., заканчивая материал обобщением в виде теорий прочности, характеризуемых уравнениями прочности (не ставя данный материал впереди расчетов по видам напряженного состояния).
Таким образом сведения по сопротивлению материалов надо начинать с простейших уравнений прочности, характеризующих прочностную надежность (раздел «Общие принципы расчетов»), и заканчивать ими же, характеризуя гипотетические теории прочности (в заключении).
Итак, характерными особенностями изложения основных положений предлагаемого краткого курса «Сопротивления материалов» яявляется:
1 Акцентирование внимания на том факте, что сущность решения задач «Сопротивления материалов» сводится к обеспечению условия прчности (жесткости), а частные задачи только конктеризируют условия и характер нагружения конструкции;
2 Нераздельное (совместное) изложение вопросов теоретических предпосылоу и практических предпосылок и практических примеров решения основных задач;
3 Частное (акцентированное) изложение методик решения основных практических задач;
4 Указание на общность методик решения задач, не зависимо от характера нагружения и схемы;
Насколько нам известно, подобный подход к изложению материала выше указанного курса реализуется впервые в вузовской практике.
Такой подход, на наш взгляд, является весьма продуктивным при освоении предмета для любых специальностей в сокращенном объеме учебных часов, в частности, для студентов морских вузов.
1.2 Общие принципы расчетов прочностной надежности
В процессе эксплуатации механизмов и машин всякий элемент конструкции в результате действия на него внешних сил изменяет в той или иной степени свои первоначальные размеры и форму, т.е. деформируются. Указанные изменения могут привести либо к разрушению элемента, либо к недопустимому искажению его формы и размеров. Чтобы этого не произошло необходимо правильно выбрать материал и поперечные размеры для каждого элемента конструкции в зависимости от характера действующих сил и условий эксплуатации. Основания для решения данной задачи дает наука о сопротивлении материалов, которая содержит изложение инженерных методов расчета элементов сооружений и машин на прочность, жесткость и устойчивость.
Под прочностью понимают способность конструкции, а также ее частей и деталей, выдерживать, не разрушаясь, действие внешней нагрузки.
Под жесткостью понимают способность конструкции, а также ее частей и деталей (ее элементов) сопротивляться изменению своих первоначальных размеров и формы.
Расчеты на прочность и жесткость являются основными видами расчетов, изучаемых в курсе сопротивление материалов. Однако имеется ряд задач, в которых приходится уделять внимание вопросам устойчивости, под которой понимают способность конструкции и ее элементов сохранять определенную (заданную) начальную форму равновесия. Расчет на устойчивость должен обеспечить отсутствие качественного изменения характера деформации.
Усилия, действующие на детали механизма, делят на внешние нагрузки и внутренние силы упругости.
Внешние нагрузки делятся на объемные и поверхностные. К объемным относят силы гравитации, инерции и электромагнитные силы. Поверхностные нагрузки делятся на распределенные и сосредоточенные. Сосредоточенной называют нагрузку, приложенную условно в точке. Размерность ее – ньютон (Н). Распределенная нагрузка может быть приложена на поверхности или по линии и соответственно измеряется в единицах давления – паскаль (Па) и единицах погонной нагрузки – Н/м. Кроме этого внешние нагрузки делят на заданные силы и реакции опор.
Внутренние силы упругости представляют собой силы межмолекулярного взаимодействия, возникающего при воздействии на упругое тело внешних нагрузок.
При расчетах и проектировании вместо реальной конструкции рассматривают ее упрощенный прототип (так называемые брус, балка), реальное силовое воздействие на который заменяют так называемой расчетной схемой.
При исследовании деформированного состояния упругих тем принимают следующие основные гипотезы и принципы:
1 однородность материала – независимость его свойств от величины выделяемого из тела объема;
2 изотропность – свойства тела во всех его направлениях одинаковы;
3 сплошность – вещество непрерывно заполняет объем детали;
4 принцип независимости действия сил – деформации и усилия, возникающие в упругом теле, считаются независящими от порядка приложения внешних сил;
5 принцип Сен – Венана – особенности приложения внешних сил к упругому телу проявляются на расстояниях, не превышающих размеров поверхности, к которой приложены эти силы;
6 принцип начальных размеров – при составлении уравнений равновесия тело рассматривают как недеформируемое (т.е. абсолютно твердое).
Проектирование нового изделия техники начинают с выбора материала и определения размеров по критериям работоспособности, а заканчивают оценкой его надежности, в т.ч. прочностной.
Из условия обеспечения прочностной надежности материал, форма и размеры детали должны быть выбраны с таким расчетом, чтобы исключить возникновение недопустимых деформаций (искажение формы и размеров), поломки детали или разрушение (искажение) ее рабочих поверхностей.
Принято считать, что прочность детали обеспечена, если расчетные напряжения (нормальное приложение силы) и (касательное) в опасных сечениях ее не превышают допускаемых напряжений и . При этом условие прочности выражается зависимостью:
или . (1)
Допускаемым напряжением – называют такое безопасное напряжение, которое деталь может выдерживать в течении заданного срока эксплуатации. Величина его определяется как:
или , (2)
Где и - предельное напряжение соответственно нормальное и касательное, зависящие от характера напряженного состояния и природы материала;
- коэффициент запаса прочности.
Расчет напряжений в деталях ведут (осуществляют) в такой последовательности.
1 На основе кинематического (перемещение, скорость и ускорение) и силового анализа проектируемого механизма (узла, подузла) определяют: наиболее тяжелые условия работы детали, направления и места приложения наибольших сил и моментов, действующих на деталь; составляют расчетную схему детали; осуществляют прочностной расчет. При этом различают нагрузки номинальные и расчетные.
Номинальной нагрузкой называют условную, постоянную, устанавливаемую нормами эксплуатационную нагрузку.
Расчетной нагрузкой называют статическую постоянную во времени нагрузку, которая по своему воздействию на деталь эквивалентна нагрузке фактически действующей на деталь в ее опасном сечении при предельном состоянии.
2 Выявляют виды деформаций, которые деталь испытывает от действия приложенных к ней сил и моментов, определяют опорные реакции, крутящие и изгибающие моменты и их распределение по длине детали; устанавливают предполагаемые опасные сечения детали, т.е. места возникновения наибольших напряжений.
3 Выбирают материал и уточняют форму и размеры детали с учетом условий работы и технологии изготовления.
В зависимости от назначения расчеты бывают проверочными и проектировочными (проектным).
При проверочном расчете, когда форма и размеры детали заранее намечены (известны для уже находящегося в эксплуатации объекта, например детали), определяют напряжения в опасных сечениях детали по формулам:
При растяжении, сжатии и смятии:
, (3)
при срезе
,
при изгибе
,
при кручении
,
где Р – сила, деформирующая (воздействующая на) деталь;
и - соответственно изгибающий и крутящий моменты;
- площадь сечения детали;
и - соответственно моменты сопротивления площади сечения детали при расчете на изгиб и кручение.
При проектном расчете (при проектировании), когда размеры описанных сечений заранее не назначены (неизвестны) их определяют на основе выбранного и допускаемого напряжения и .
Формула для определения размеров опасных сечений деталей могут быть получены посредством преобразования зависимостей (3), если решить их относительно искомого размера сечения детали. Например, для деталей круглого сечения (типа вал):
; ; (4)
; ;
;
В курсе «Сопротивление материалов» рассматривают такие простые виды нагружения: растяжение (сжатие); изгиб, кручение (сдвиг). Кроме того существуют сложное напряженное состояние, напряженное состояние при переменных нагрузках.
Заключая общие (начальные) сведения, следует отметить, что все задачи учебной дисциплины «Сопротивление материалов» содержит три части: статическую, состоящую в определении системы внешних и внутренних усилий; геометрическую, заключающуюся в анализе схемы деформации элемента при заданных нагрузках с использованием условия совместной деформации; физическую, состоящую в объединении статической и геометрической частей, с использованием уравнений связи между усилиями и перемещениями, в частности, на основе закона Гука.
Если говорить об основных задачах «Сопротивления материалов», то их пять:
1 проверочный расчет на прочность, когда известны размеры детали, материал и его состав, а также схема (условия) нагружения;
2 проектировочный расчет, состоящий в том, чтобы из условий прочности определить минимальные надежные размеры детали;
3 установить наибольшее значение допускаемой нагрузки на существующую конструкцию;
4 установить долговечность (или срок службы) изделия;
5 установить механические характеристики (в т.ч. допускаемое напряжение) материала.
На одну из первых четырех задач невозможно решить без сравнения с результатами опытных исследований (пятая задача), поэтому теоретические и опытные задачи сопротивления материалов неразрывно связаны друг с другом и вероятность их достоверного решения без этой взаимосвязи не возможна (во всяком случае, на современном уровне развития теоретических основ сопромата).
2 Растяжение и сжатие стержней
2.1 Напряжения и перемещения. Закон Гука.
Стержень (рисунок 2.1) под действием двух равных по величине и противоположно направленных по его продольной оси сил Р, претерпевает деформацию растяжения, которая проявляется в изменении длины и поперечных размеров стержня.
Рисунок 2.1 Растяжение стержня
Его первоначальная длина в увеличивается на величину , именуемую абсолютным удлинением, и становится равной , таким образом:
(2.1)
Абсолютное удлинение стержня при данном значении деформирующей силы возрастает с увеличением его первоначальной длины. В связи с этим деформация при растяжении более полно характеризуется относительной величиной , которую называют относительным удлинением :
(2.2)
При направлении внешних сил, противоположном указанному на рисунке 2.1, стержень испытывает деформацию сжатия. В этом случае называют абсолютным укорочением, т.к. при сжатии длина стержня уменьшается. Одновременно с продольной деформацией стержень претерпевает поперечную деформацию. При растяжении поперечные размеры уменьшаются, при сжатии увеличивается. Относительная поперечная деформация:
(2.3)
Отношение
(2.4)
называют коэффициентом Пуассона. Этот коэффициент определяют опытным путем. Для стали ; для меди ; для бронзы ; для чугуна ; для алюминия .
Напряжение в стержне. В соответствии с гипотезой плоских сечений считают, что для однородного стержня все поперечные сечения при деформации перемещаются параллельно и, следовательно, в них действуют только параллельные напряжения. Рассечем стержень плоскостью I-I (рисунок 2.1 а), перпендикулярной оси стержня. Из условия равновесия части стержня (рисунок 2.1 б), принимая во внимание, что равнодействующая внутренних сил упругости (где F – площадь поперечного сечения), имеем . Отсюда напряжение в поперечном сечении стержня при растяжении или сжатии:
(2.5)
Опытным путем установлено, что в пределах удлинений для пластичных материалов имеет место прямая пропорциональная зависимость между напряжениями и деформациями.
Эта зависимость носит название закон Гука:
(2.6)
Коэффициент пропорциональности Е называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода. Он имеет размерность напряжений – Н/см2 или Н/мм2 и характеризует способности материала сопротивляться упругой деформации при растяжении и сжатии. Е определяют опытным путем: для стали Е = (2,0 … 2,15)* 106 Н/см2; для алюминия – (0,7 … 0,8)* 106 Н/см2 ; для бронзы 1,15*106 Н/см2 .
Подставим в формулу (2.6) значения величин и , и формулы (2.2) и (2.5), получим:
, (2.7)
т.е. абсолютное удлинение (укорочение) стержня при растяжении (сжатии) прямо пропорционально растягивающей (сжимающей) силе, длине стержня и обратно пропорционально модулю упругости и площади поперечного сечения. Произведение называют жесткостью поперечного сечения при растяжении (сжатии).
Закон Гука справедлив при напряжениях, не выходящих за пределы пропорциональности, т.е. при линейности зависимости
2.2 Механические характеристики и свойства материалов
2.2.1 Теоретические предпосылки
Работоспособность конструкционных материалов при различных видах нагружения определяется величинами, которые называют механическими характеристиками. Механические характеристики устанавливают границу безопасной эксплуатации элементов конструкций при статическом и динамическом (циклическом и ударном) нагружении. К числу механических характеристик относят предельные напряжения, твердость, удельная вязкость.
Величины механических характеристик могут быть получены в лабораторных условиях доведением образцов до разрушения или чрезмерной деформации. Наиболее распространены испытания на растяжение и сжатие, т.к. они относительно просты и дают достоверные результаты.
Все конструкционные материалы можно условно разделить на хрупкие и пластичные. К весьма пластичным материалам относят малоуглеродистые стали, алюминий, медь и некоторые другие. Эти материалы обладают способностью деформироваться в широких пределах без разрушения. Примерами хрупких материалов могут служить чугун, высокоуглеродистые сорта стали, металлокерамические материалы, стекло. Хрупкие материалы разрушаются без заметной предварительной деформации. Промежуточное положение занимают металлопластики, к которым могут быть отнесены многие легированные стали, дюралюминий, бронза.
2.2.2 Испытания на растяжение. Диаграмма растяжений. Испытания на растяжение осуществляют статическим нагружением испытательных образцов на специальных машинах (стендах). Для этого применяют стандартный цилиндрический образец (рисунок 2.2 а). Длина центрального цилиндра превышает его диаметр приблизительно в 15 раз. На цилиндре рисками выделяют участок для измерения деформации, длина которого , где – диаметр стержня до растяжения. Иногда для испытаний применяют плоские или малые цилиндрические образцы, у которых .
Рисунок 2.2 Испытания на растяжение:
а – испытательный образец (ИО)
б – ИО при испытания на разрыв
в – диаграмма растяжения (ДР)
г – ДР для малоуглеродной стали.
При растяжении образца в период испытаний регистрируют нагрузку на образец и его удлинение . По этим данным строят диаграмму растяжения, представляющую собой кривую . Большинство современных испытательных машин имеют устройство для автоматического вычерчивания диаграммы растяжения.
Количественная оценка физических свойств материала может быть сделана при помощи диаграммы растяжения в системе координат (). Здесь напряжение, откладываемое по вертикальной оси , где – площадь поперечного сечения образца до испытания. Относительное удлинение образца, откладываемое по горизонтальной оси , где - длина расчетного участка образца до испытания. Так как величина и постоянны, диаграмма имеет тот же вид, что и и отличается от нее только масштабами.
Диаграмма характеризует свойства испытуемого материала и носит название условной диаграммы растяжения.
Диаграмма растяжения образца из малоуглеродной стали (рисунок 2.2 в) характеризуется следующими четырьмя отличительными участками.
Участок I соответствует упругим деформациям материала образца. На этом участке справедлив закон Гука и величина деформации прямо пропорциональна растягивающему усилию (прямая ОА).
Участок II начинается после точки А, когда диаграмма становится нелинейной (криволинейной). Однако до точки В деформации остаются упругими, т.е. при разгрузке образец восстанавливает свою первоначальную форму и размеры. При дальнейшем увеличении нагрузки за точкой В появляются неупругие деформации. В точке С начинается процесс деформации детали без увеличения внешней нагрузки. Этот процесс называется процессом текучести материала. В зоне текучести у стальных образцов существенно меняются электропроводность и магнитные свойства.
Поверхность полированного образца покрывается линиями, наклонными к его оси (линии Чернова).
Участок III (ДК) характерен увеличением нагрузки, при которой происходит дальнейшая деформация образца. Этот участок называется зоной укорочения. Заканчивается участок при достижении максимальной нагрузки, воспринимаемой образцом.
Участок III начинается в точке К и заканчивается разрушением образца в точке R. Этот участок носит название зоны разрушения образца. Деформация образца на этом участке характерна образованием шейки и удлинением образца за счет утончения шейки (рисунок 2.2 б).
2.2.3 В соответствии с диаграммой растяжения вводят следующие основные характеристики материала:
1 Отношение растягивающего усилия в точке А к первоначальной площади поперечного сечения стержня
, (2.8)
называемое пределом пропорциональности. До предела пропорциональности сохраняет силу закон Гука.
2 Отношение растягивающего усилия в точке В к первоначальной площади поперечного сечения
, (2.9)
называемое пределом упругости. Как и в случае растяжения, принимается временное сопротивление.
Предел упругости – это такое напряжение, при котором величина относительной остаточной деформации не превышает 0,005%, т.е. предел упругости соответствует такому наибольшему напряжению, до которого материал сохраняет свои упругие свойства. На практике между пределом упругости обычно различия не делают в следствии малой величины расхождения их значений.
3 Отношение растягивающего усилия в точке С к первоначальной площади поперечного сечения стержня
, (2.10)
называемое пределом текучести.
Предел текучести – такое напряжение, при котором происходит рост деформации без увеличения нагрузки.
4 Отношение наибольшей нагрузки к первоначальной площади поперечного сечения стержня
(2.11)
называемое пределом прочности или временным сопротивлением. Предел прочности при растяжении обозначают , при сжатии . Предел прочности соответствует максимальному напряжению, возникающему в образце до его разрушения.
Диаграмма растяжения хрупких материалов показана на рисунке 2.2 г, где отклонение от закона Гука начинается при малых значениях деформирующей силы. Эта диаграмма не имеет площадки текучести, образцы разрушаются при очень малой остаточной деформации без образования шейки. За характеристику прочности хрупких материалов.
2.3 Допускаемые напряжения и запасы прочности
Для обеспечения нормальной работоспособности детали необходимо, чтобы фактически возникшие напряжения растяжения (сжатия) не превышали некоторого безопасного или допускаемого напряжения, обозначаемого . Это напряжение при котором обеспечивается достаточная прочность и долговечность детали.
Определенные экспериментально (опытным путем) механические характеристики по разным причинам, в т.ч. из-за принимаемых допущений о физических сущностях происходящих в напряженном материале явлений, отличаются от фактически существующих. Для того, чтобы при этом деталь обладала необходимой надежностью и работала безотказно, необходимо создать требуемый запас прочности по отношению к экспериментально определенным значениям предельных напряжений, характеризуемый коэффициентом запаса прочности , учет которого
осуществляют так:
, (2.12)
где - предельное напряжение материала, за которое принимают одну из нормативных механических характеристик материала, в частности: для пластических материалов = ; для хрупких – =; для любых материалов при циклическом нагружении - =(где - предел выносливости, усталости).
Величина устанавливается на основе имеющегося опыта эксплуатации различных групп машин, механизмов, аппаратов и является справочным материалом.
При выполнении проверочных расчетов должно быть выполнено условие , где – фактически существующий (примерный в справочниках) закон прочности.
2.4 Расчеты стержней на прочность и жесткость
Для обеспечения нормальной работоспособности детали необходимо, чтобы фактически существующие напряжения растяжения (сжатия) не превышало допускаемого.
Напряжение в расчетном сечении растянутого (сжатого) стержня может быть определено из уравнения (2.5) [КА].
Для оценки прочности стержня необходимо сопоставить действующее напряжение с допускаемым согласно условию прочности:
(2.13)
С помощью условия (2.13) могут быть решены задачи следующих трех типов:
1 Расчет на прочность существующей конструкции с определенными размерами. При этом определяют напряжение в деталях конструкции и величину их сравнивают с допустимым напряжением. Такой расчет носит название проверочного.
2 Определение предельной (допускаемой) нагрузки для детали с определенными разрезами поперечного сечения и допускаемым напряжением . Здесь из соотношения (2.13) получим . Это вариант проверочного расчета.
3 Определение площади поперечного сечения стержня по заданной продольной силе и допускаемому напряжению:
(2.14)
Такие расчеты называют расчетами на прочность. Если при этом определяют вполне конкретные параметры сечения, т.е. основные размеры его, например, ширина, высота при прямоуголном сечении, диаметр – при цилиндрической форме сечения, то расчет называют проектировочным.
В некоторых случаях работоспособность конструкции определяют не величиной предельной нагрузки или предельного напряжения, а величиной предельной деформации . В этом случае из уравнения (2.7) находят фактическую деформацию и сопоставляют ее с предельной, т.е.
(2.15)
Неравенство (2.15) называют условием жесткости, а расчеты, проводимые по этому неравенству, называют расчетами на жесткость.
Как известно, системы (конструкции) подвергающиеся расчету, разделяют на статически определимые и статически неопределимые.
Для решения статически неопределимых задач, кроме уравнений статики абсолютно твердого тела, необходимо использовать уравнения упругих деформаций.
Общий метод решения статически неопределимых задач сводится к следующему.
1 Составляя уравнение статики и сопоставляя количество этих уравнений с числом неизвестных, устанавливают степень статической неопределимости системы.
2 Отбросив лишние связи, заменяют их лишними неизвестными, тем самым превращая рассматриваемую систему в статически определимую, именуемую основной системой.
3 Для определения лишних неизвестных составляют условие деформации системы, смысл которого заключается в том, что основная система под действием приложенной нагрузки и лишних неизвестных деформируется так же, как и заданная статически неопределимая система.
4 Условия деформации системы находят в виде уравнений деформации. При этом число уравнений деформации должно соответствовать числу лишних неизвестных.
5 После определения лишних неизвестных из уравнений статики определяют остальные неизвестные.
Ниже приведены два примера расчетов систем
2.5 Примеры расчетов систем на жесткость
Исходные данные и постановка задач
Пример 1 (статически определимая система) Стальной брус постоянного сечения F и длиной , защемленный обоими концами, подвержен действию силы P, приложенной на расстояние , от верхнего конца и от нижнего конца (рисунок 2.3). Необходимо определить усилия, действующие в частях бруса и .
Решение. Вертикальная сила Р растягивает верхнюю часть бруса и сжимают нижнюю в связи с чем реакции RА и RВ в зацеплениях из уравнений статики определены быть не могут, т.к. при двух неизвестных может быть составлено только одно уравнение или равновесие:
(2.16)
Рисунок 2.3
Второе уравнение получаем из рассмотрения деформации бруса. Так как концы бруса защемлены, длина его изменяться не может и, следовательно, суммарное абсолютное удлинение верхней и нижней частей бруса равно нулю, т.е. удлинение верхней части, растягиваемой силой , равно укороченной нижней части , сжимаемой силой . отсюда согласно (2.15):
, или
(2.17)
Решая уравнения (2.16) и (2.17) совместно, получим:
Пример 2 (статистически неопределимая система). Напряжения, вызванные изменением температуры. Рассмотрим два стержня, первый из которых (рисунок 2.4, а) закрепили одним концом и представляет статически неопределимую систему, а второй (рисунок 2.4, б) защемлен двумя концами, т.е. является системой статически определенной. Пусть стержни подвергнуты нагреву от температуры t0 до температуры t1. определить внутреннее напряжение во втором стержне.
Решение. Длина первого стержня изменится на длину , где - коэффициент линейного расширения, равный для стали 1/град., , - перепад температур; - первоначальная длина стержня.
Рисунок 2.4
В этом стержне не возникает внутренних сил напряжений, т.к. отсутствует препятствие для перемещения его свободного конца (при температурном расширении).
Во втором случае в стержне возникает внутреннее сжимающее усилие, т.к. зацепка по концам препятствует удлинению стержня при нагреве.
Таким образом в статически определенных системах (рисунок 2.4,а) при изменении температуры (нагреве) возникают деформации без появления внутренних усилий, а в статически неопределимых системах (рисунок 2.4,б) изменение температуры сопровождается появлением внутренних усилий, следовательно, напряжений.
Определим напряжение в стержне, защемленным двумя концами и подверженном нагреву от температуры t0, при которой произведено защемление, до температуры t1 (рисунок 2.4,б).
При нагревании стержня он будет удлиняться и оказывать давление на опорные поверхности 1 и 2. это приведет к возникновению усилий R1 и R2, сжимающих стержень. Из условия равновесия этих сил следует: R1= R2= R.
Величина сжимающей силы остается неизвестной. Определим сжимающее усилие из условия деформации. При этом рассуждаем так:
Если бы один конец был свободен, стержень удлинился бы при нагревании на величину:
Однако, наличие двух неподвижных … исключает перемещение концевых сечений, поэтому ,т.е.
Отсюда: ,
а напряжение, возникающее в стержне будет:
Величина температурных напряжений в некоторых случаях может оказаться весьма значительной. Для уменьшения температурных напряжений в конструкциях (например, мостовых) предусматривают специальные температурные зазоры, не допускающие излишних напряжений.
3 Изгиб прямолинейного бруса
3.1 Общие понятия
Значительное количество деталей и металлоконструкций (несущих и опорных) подвергаются в процессе работы воздействию нагрузки к продольной оси, или внешних пар сил, действующих в плоскости, проходящей через урезанную ось (рисунок 3.1).
Рисунок 3.1 изгиб прямолинейного бруса: а – силой (изгиб поперечный); б – моментом (чистый изгиб).
При этом в поперечных сечениях таких элементов возникают изгибающие моменты т.е. внутренние моменты, действующие в плоскости площади поперечного сечения. Такой вид нагружения называют изгибом. Стержни, работающие в основном на изгиб, принято называть балками.
Балки подверженные изгибу, имеют опоры следующих типов: шарнирные и защемленные (рисунок 3.2).
Рисунок 3.2 Типы опор балок: а – шарнирная опора; б – жесткая заделка (защемление).
Для того, чтобы балка могла воспринимать нагрузку в одной плоскости и оставаться при этом в целом неподвижной по отношению к основанию, … меньшее число связей, наложенных на балку со стороны опор, должно быть равно 3.
Возможны следующие варианты крепления балки: а – замещение балки одним концом (консольное крепление), б – крепление одного конца при помощи шарнирно-неподвижной опоры, а другого – шарнирно-подвижной опоры (рисунок 3.3)
Рисунок 3.3 Варианты крепления балки
Опорные реакции определяют при помощи уравнений статики.
3.2 Расчеты на прочность и жесткость
При изгибе балки под действием внешних моментов в ее поперечных сечениях возникают внутренние изгибающие моменты Ми . то же самое имеет место при изгибе балки поперечной силой, но здесь наряду с Ми возникает дополнительно поперечная сила Q.
Рассмотрим методику определения Ми и Q на примере балки, изображенной на рисунке 3.4.
Рисунок 3.4 Схема нагружения балки поперечными силами и изгибающими моментами.
Пусть балка, лежащая на опорах А и В нагружена вертикальными силами P1; P2 распределенной нагрузкой интенсивности q и моментами М1 и М2 , действующими в вертикальной плоскости симметрично балки. Опорные реакции RА и RВ определяют из уравнений равновесия.
Рассмотрим поперечное сечение балки mn, определяемое абсциссой х. Указанное сечение делит внешние силы и моменты, приложенные к балке, на две взаимоуравновешивающиеся системы, из которых одна действует слева, другая – справа от данного сечения.
Каждую из этих систем можно привести к центру тяжести С рассматриваемого сечения.
Поперечная сила Q в любом поперечном сечении балки численно определяется как алгебраическая сумма сил, расположенных по одну сторону от сечения. Для сечения mn (рисунок 3.4) в соответствии с установленным правилом знаков («+» - по часовой стрелке, «-» - против) имеем:
, (3.1)
или
Главный момент внешних, действующих на балку на одну сторону от сечения mn, называют – изгибающим моментом в данном сечении. Этот момент (обозначим его Ми ) будем рассматривать как алгебраическую величину, имеющую положительное значение, если он действует так, что ось балки изгибается выпуклостью вниз (рисунок 3.5, в) и отрицательное в противоположном случае (рисунок 3.5, г).
Рисунок 3.5 Действие поперечной силы и изгибающего момента М.
Изгибающий момент Ми в любом сечении балки численно определяется как алгебраическая сумма моментов, действующих на балку внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно центра тяжести этого сечения.
При этом для левой части балки моменты сил считаются положительными, если они направлены по отношению к центру тяжести сечения по левой стороне, и отрицательными, если против часовой стрелки, для правой части – наоборот.
Таким образом, для сечения mn (рисунок 3.4) имеем:
или (3.2)
Поперечная сила Q и изгибающий момент Ми в общем случае зависит от положения сечения, т.е. от абсциссы х. найдем зависимость между Q и Ми, а также Q и q. Для этого определим поперечную силу Q и изгибающий момент Ми в сечении , смещенном относительно сечения mn на бесконечно малое расстояние (рисунок 3.4):
(3.3)
(3.4)
Определим изменения dM изгибающего момента и dQ – поперечной силы при переходе от сечения mn к сечению . Вычитая соответственно (3.2) из (3.4) и (3.1)из (3.3), имеем:
; , откуда, учитывая выражение (3.1), получаем:
или , (3.5)
т.е. поперечная сила в данном сечении равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения (теорема Муравского Д.И.). Аналогично получим:
, (3.6)
т.е. вторая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна интенсивности распределенной нагрузки.
Полученные зависимости используют при построении эпюр (характера изменения) изгибающих моментов и поперечных сил (графики зависимости Ми и Q от координаты х сечения – есть эпюра ). Эпюры дают наглядное представление изменения Ми и Q по длине балки и позволяют устанавливать место нахождения опасных сечений.
Рассмотрим методику построения этих эпюр для простейших случаев нагружения.
3.3 Примеры расчетов
Случай 1 Консольная балка нагружена сосредоточенной силой Р на конце консоли (рисунок 3.6 а).
В месте зацепления А балки возникает реактивный момент MR и опорная реакция RA.
Рисунок 3.6 Схема и эпюра нагружения консольной балки под действием концевой сосредоточенной силы.
Составим уравнение равновесия сил, действующих на балку:
;
.
Отсюда:
;
Определим изгибающий момент в сечении и эпюры расположенном на расстоянии Х от опоры А. силы, действующие слева от рассматриваемого сечения, создают момент:
После подстановки значений реактивного момента и опорной реакции приходим к следующему уравнению:
При х = 0 и х = получаем изгибающий момент соответственно у эпюры А и на конце балки:
;
Построим эпюру изгибающих моментов. Для этого выбираем нулевую линию, параллельную оси балки.
Откладывая в некотором масштабе Мм от этой линий вниз (МХ<0) под соответствующими сечениями балки найденные значения МХ получаем искомую эпюру (рисунок 3.6, б). Так как зависимость МХ от координаты сечения в данном случае является линейной, то эпюра изгибающих моментов представляет собой наклонную прямую. Абсолютная величина изгибающего момента достигает наибольшего значения у закрепленного конца балки.
Рассмотренную задачу можно решить проще, если за начало отсчета координаты сечения принять точку преломления силы Р и определять главный момент сил, находящихся справа от сечения. Обозначив новую координату через Х1, имеем , а на концах балки получаем:
;
Для определения поперечных сил обратимся к теореме Журавского:
,
Т.е. поперечная сила постоянна по всей длине балки. Эпюра поперечных сил в данном случае представляет собой прямую, параллельную нулевой линии и отстоящую от нее на расстоянии З (рисунок 3.6,в) в масштабе MQ.
Случай 2 Консольная балка нагружена по всей длине равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью q (рисунок 3.7,а).
Рисунок 3.7 Схема и эпюра нагружения консольной балки с равномерно распределенной нагрузкой.
Реактивный момент в этом случае , опорная реакция . Заменив равномерно распределенную нагрузку, действующие на правую часть балки, сосредоточенной силой, равной qx, действующей на расстоянии от выбранного сечения, имеем:
Определим значение изгибающих моментов для характерных точек:
Х = 0; М0 = 0; ; ; х =; .
Как видно из уравнения для МХ, эпюра изгибающих моментов в данном случае представляет собой параболу второй степени, обращенную вогнутостью вниз, имеющую вершину в начале координат (рисунок 3.7,б). Эту параболу можно построить по точкам.
Абсолютная величина изгибающего момента имеет наибольшее значение у защемленного конца балки. На основании теоремы Журавского: ; следовательно = 0; .
Из уравнения для следует, что эпюра поперечных сил представляет собой наклонную прямую (рисунок 3.7, в).
Случай 3 Балка на двух опорах нагружена сосредоточенной силой З (рисунок 3.8, а).
Рисунок 3.8 Схема и эпюра нагружения двух опорной балки сосредоточенной силой.
Уравнение равновесия балки:
; .
Отсюда: , .
Рассмотрим два сечения, определяемых координатами Х1 и Х2. первое сечение расположено между опорой А и точкой приложения силы З, второе – между опорой В и точкой приложения силы Р.
Изгибающий момент в сечении I–I, если рассматривать левую часть балки, будет:
Изгибающий момент в сечении II–II будет:
,
Т.е. изгибающий момент на двух участках балки определяется двумя линейными уравнениями и, следовательно, эпюра изгибающих моментов состоит из двух отрезков наклонной прямой (рисунок 3.8,б).
Величина изгибающих моментов в характерных точках:
; ;
; ;
; .
Если сила Р приложено в середине пролета, т.е. а=в=/2, то , а максимальный изгибающий момент в этом случае: .
Так как изгибающий момент характеризует двумя линейными функциями, то из теоремы Журавского следует, что на каждом из двух участков между опорами и точкой приложения сосредоточенной силы З поперечная сила остается постоянной.
Действительно, для участка АС:
;
для участка СВ:
.
Таким образом, эпюра поперечных сил представляет собой два прямолинейных отрезка, параллельных нулевой линии (рисунок 3.8, в). В точке приложения нагрузки Р поперечная сила при этом меняет скачкообразно знак.
Случай 4 Балка на двух опорах нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивность q (рисунок 3.9, а).
Рисунок 3.9 Схема и эпюра нагружения двух опорной балки равномерно распределенной нагрузкой.
Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки равна q и приложена в середине пролета балки, поэтому: .
Изгибающий момент в сечении I–I на расстоянии Х от левой опоры: .
Изгибающий момент в характерных точках:
; ; .
Следовательно, эпюра изгибающих моментов представляет собой параболу второй степени (рисунок 3.9, б).
Величину поперченной силы в сечении I–I определяют как сумму внешних сил, действующих слева от сечения:
,
т.е. поперечная сила изменяется по линейному закону. Определим ее величину в характерных точках:
; ; .
Таким образом, эпюра поперечных сил представляет собой наклонную прямую, пересекающую нулевую линию в середине пролета балки (рисунок 3.9, в).
Случай 5 Балка на двух опорах нагружена в сечении С сосредоточенным моментом М (рисунок 3.10, а).
Рисунок 3.10 Балки на двух опорах нагружена в сечении С сосредоточенным моментом М.
В данном случае имеем: .
Изгибающие моменты для сечений I–I и II–II, отстоящих соответственно на расстоянии Х1 и Х2 от опор А и В, равны: ; , т.е. на участках АС и СВ изгибающий момент выражается линейными функциями координаты сечения.
В характерных точках имеем: , .
Для сечения С получаем два результатов (рисунок 3.10, б): , ,
Т.е. в сечении С изгибающий момент изменяется скачкообразно.
Эпюра изгибающих моментов представлена двумя прямолинейными отрезками, образующими с нулевой линей одинаковый угол (рисунок 3.10, б).
Поперечная сила по всей длине балки одинакова:
Эпюра поперечных сил – прямая, параллельная нулевой линии (рисунок 3.10,в).
Случай 6 Балка на двух опорах с равными по длине консолями, нагруженными на концах равными сосредоточенными силами Р (рисунок 3.11,а).
Рисунок 3.11 Балка на двух опорах с равными по длине консолями, нагруженными на концах равными сосредоточенными силами.
Причем: .
Так как при сосредоточенных силах (нагрузках) изгибающий момент на различных участках балки выражается в виде линейных функций от координаты сечения, то эпюра изгибающих моментов представлена отрезком прямой и для ее построения достаточно определить изгибающие моменты в характерных сечениях балки:
; ; ; .
При этом эпюра изгибающих моментов будет такой, как это показано на рисунке 3.11, б, т.е. в данном случае это равнобедренная трапеция.
Поперечные силы могут быть получены при помощи теоремы Журавского. При этом на консолях поперечные силы будут:
;
Так как изгибающий момент между опорами А и В сохраняет постоянное значение, то поперечная сила здесь , а эпюра будет такой, как она представлена на рисунке 3.11, в (случай чистого изгиба).
Случай 7 Балка на двух опорах, нагруженная двумя сосредоточенными силами, направленными в противоположные стороны (рисунок 3.12,а).
Рисунок 3.12
Опорные реакции:
; .
В зависимости от величины сил и , а также размеров а и в направление опорных реакций может отличаться от указанного на рисунке 3.12, а.
Изгибающие моменты в характерных сечениях балки, при указанном направлении опорных реакций:
; ; ; .
Принимая во внимание линейную зависимость изгибающего момента от абсциссы сечения, строим эпюру изгибающих моментов. В выбранном масштабе Мм откладываем ординаты, соответствующие полученным в характерных сечениях значением изгибающего момента, и концы их соединяем отрезками прямой (рисунок 3.12, б).
Проектируя на вертикальную ось опорные реакции и заданные силы, получим поперечную силу для различных участков балки:
;
;
.
Эпюра поперечных сил состоит из отрезков прямой, параллельной горизонтальной оси (рисунок 3.12, в).
Случай 8 Балка на двух опорах с консолью, нагруженной в концевом сечении с сосредоточенным моментом М (рисунок 3.13, а)
Рисунок 3.13
Опорные реакции М в данном случае равны по модулю, но направлены в противоположные стороны:
Изгибающий момент в характерных сечениях с учетом правил знаков:
; ; .
Следовательно, на всем протяжении консоли изгибающий момент сохраняет постоянное значение, равное М. эпюра изгибающих моментов показана на рисунке 3.13,б. на протяжении пролета АВ поперечная сила: (рисунок 3.13,в). На консоли: , здесь имеет место чистый изгиб.
3.4 Общая методика решения задач изгиба
Общая методика решения задач изгиба прямолинейного бруса сводится к следующему:
1 Составляют уравнения равновесия сил, действующих на балку
2 Определяют изгибающие моменты в характерных точках (сечениях).
3 Строят эпюру изгибающих моментов.
4 Определяют значения поперечных сил в характерных точках и строят эпюру поперечных сил.
5 Определение напряжения при изгибе:
где: - момент сопротивления сечения – чистое от деления момента инерции сечения относительно нейтральной оси на расстоянии от этой оси до наиболее удлиненной точки сечения:
6 Выполнение уравнения прочности:
7 Определение перемещений (прогиб и угол поворота балки) изгибаемой балки.
3.5 Определение перемещений изгибаемой балки
Ниже приведены два примера решения последней задачи.
Пример №1 Определить прогиб и угол поворота на свободном конце консоли (в точке 0) балки, изображенной на рисунке 3.6 (случай 2).
Решение Изгибающий момент в сечении на расстоянии х от правого конца:
Подставляя выражение изгибающего момента в дифференциальное уравнение упругой линии, получим:
Интегрируя, имеем:
(3.7)
(3.8)
Для определения постоянных С и Д используем граничные условия:
при , отсюда ;
при , отсюда
Таким образом уравнения (3.7) и (3.8) принимает вид:
(3.9)
(3.10)
Из этих уравнений (3.9) и (3.10) находим угол поворота и прогиб на свободном конце балки:
;
.
Знак «–» в правой части последнего равенства указывает на то, что направление прогиба противоположно положительному направлению оси у.
Пример 2 Для балки, изображенной на рисунке 3.8 (случай 3) определить прогиб в точке приложения силы Р.
Решение Разбиваем балку не два участка и составляем дифференциальное уравнение упругой линии для каждого из них в отдельности, поскольку выражение изгибающего момента на этих участках различны. Сначала определяем опорные реакции:
; .
Далее для первого участка имеем:
.
Поэтому дифференцированное уравнение упругой линии балки на этом участке принимает вид:
Интегрируя получаем:
(3.11)
(3.12)
Для второго участка имеем:
;
;
(3.13)
(3.14)
Определим четыре постоянные интегрирования С1; С2; Д1; Д2 .
Из условия непрерывности и гладкости упругой линии в точках соприкасаний рассматриваемых участков балки следует, что при соблюдаются условия: 1) откуда на основании (3.11) и (3.12) имеем ; 2) откуда на основании уравнений (3.13) и (3.14) получим .
Из условий опирания концов балки найдем значения постоянных интегрирования. При прогиб . Пользуясь уравнением (3.12) получаем .
При прогиб из уравнения (2.13) находим:
Теперь определим неполную величину из уравнений (3.12) и (3.14), подставим в них найденные значения постоянных. Воспользуемся уравнением (3.12) учитывая, что при , окончательно получим:
.
4 Кручение стержня круглого сечения
4.1 Общие сведения
Цилиндрический брус, закрепленный одним концом и нагруженный парой сил с моментом М1, действующим в плоскости поперечного сечения, подвергается деформации, называемой кручением. При этом крутящий момент МК в любом сечении цилиндра, являющийся моментом внутренних сил упругости, численно равен моменту внешней пары сил, действующей на любую сторону от сечения, т.е.
(4.1)
Рассмотрение случая, когда на цилиндр действует несколько крутящих моментов разного направления (например, это ведущий вал редуктора с разновесной ступенью), показывает, что крутящий момент в любом сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих слева или справа от рассматриваемого сечения в плоскостях, перпендикулярных к оси вала т.е. .
4.2 Расчеты на прочность и жесткость
Рисунок 4.1 К установлению прочности и жесткости при кручении.
Рассмотрим элемент, выделенный сечениями I и II из цилиндра, конец которого закреплен неподвижно по указанной плоскости, а другой нагружен парой сил с моментом М (рисунок 4.1, а). В результате действия внешнего момента М возникает деформация кручения, при которой образующая цилиндра aвcd займет положение (рисунок 4.1, а).
Если сечение I–I, находящиеся на расстоянии х от нижнего конца цилиндра, повернулось на угол , то сечение II–II, находящиеся на расстоянии от нижнего сечения, повернется на угол (рисунок 4.1, б). Проведем из точки в прямую «вс» параллельно . Тогда угол . Элемент до поворота сечения II относительно сечения I имел вертикальные боковые стороны, следовательно, абсолютный сдвиг элемента: .
Относительный сдвиг:
.
Обозначим , тогда , где – угол закручивания, отнесенный к единице длины цилиндра, называемой относительным углом закручивания.
Для цилиндров постоянного сечения, подвергаемых действию крутящего момента, . Так как в соответствии с принятыми допущениями радиусы при кручении остаются прямыми, то можно сказать, что для всякого элемента, лежащего внутри цилиндра на радиусе , относительный сдвиг:
(4.2)
По закону Гука напряжение в сечении цилиндра:
(4.3)
при ;
Из соотношения (4.3) следует, что напряжение внутри цилиндра изменяется по линейному закону пропорционально расстоянию от оси вращения. Минимальное напряжение, равное нулю, имеет место в центре поперечного сечения, а максимальное – на поверхности цилиндра (рисунок 4.1, в).
Элементарная касательная сила, перпендикулярная радиусу сечения, проведенному в центр тяжести элементарной площади dF, действующая на эту площадку с учетом соотношения (4.3), будет:
.
Элементарный момент, создаваемый силой относительно центра сечения:
.
Сумма таких элементарных моментов, взятая по всей площади поперечного сечения цилиндра, равна крутящему моменту , который действует в рассматриваемом сечении цилиндра и в данном конкретном случае равен внешнему моменту М:
.
Так как и , то .
Но – полярный момент инерции сечения. Поэтому:
(4.4)
Из соотношения (4.4) получим величину угла закручивания, отнесенного к единице длина цилиндра:
(4.5)
Полный угол закручивания в радианах:
(4.6)
или в градусах:
(4.7)
Произведение модуля упругости второго рода на полярный момент инерции называют жесткостью при кручении. Эта величина характеризует способность тела из данного материала с поперечным сечением длинного размера и форма сопротивляется деформации кручения. Таким образом, полный угол закручивания цилиндра прямо пропорционален крутящему моменту и длина цилиндра и обратно пропорционален жесткости при кручении.
Найдем зависимость напряжения от крутящего момента. В соответствии с (4.3) вместо подставляем его значение из (4.5):
Отсюда (рисунок 4.1, в) наибольшее напряжение при кручении:
(4.8)
или (4.9)
где – отношение полярного момента инерции к расстоянию от оси вращения до наиболее удаленной точки сечения; это отношение называют полярным моментом сопротивления.
Условие прочности при кручении будет выполнятся в том случае, если максимальное значение напряжения, возникающего при кручении, не превышает величины допускаемого напряжения, т.е. уравнение прочности при кручении имеет вид:
(4.10)
Допускаемое напряжение при кручении для стали обычно принимают:
где – допускаемое напряжение при растяжении.
Приведем соотношение для определения полярного момента сопротивления:
для круга диаметром d с учетом выражения (4.4):
;
для кольца, с учетом соотношения (4.5):
,
где Д – наружный и внутренний диаметр кольца.
При полярный момент сопротивления кольца:
Ранее приведено уравнение прочности при проверочном расчете. Далее установим уравнение прочности при проектировочном расчете, когда необходимо определить параметры (в частности, диаметр вала) цилиндра при кручении.
Определить диаметр цилиндра , подвергнутого деформации кручения, можно исходя из двух посылок. В тех случаях, когда определяющей является прочность цилиндра, расчет ведут по соотношению (4.10). для сплошного цилиндра:
; (4.11)
Когда определяющей является предельная деформация (угол закручивания), расчет ведут на жесткость. Из уравнения (4.7) имеем:
(4.12)
где – доп. угол закручивания на единицу длины, который в зависимости от назначения вала принимают в пределах 0,25 …1,0 град/м; – полярный момент инерции сплошного цилиндра.
Тогда диаметр вала сплошного сечения, на основании уравнения жесткости:
(4.13)
Пользуясь уравнениями (4.10) и (4.12), можно решить и другую задачу: определить безопасную величину крутящего момента бруса, при котором обеспечивается необходимая прочность или жесткость.
Резюме по двум видам напряженного состояния – изгибу и кручению: основной параметр, влияющий на величину напряжения – момент, определяют с одной целью – выяснить выполняется ли условие прочности и допустимы ли линейные и угловые параметры деформации.
5 Сложное сопротивление
В отличие от простых видов деформации – растяжение (сжатие), срез (сдвиг), изгиб, кручение, на практике обычны случаи, когда в поперечных сечениях бруса возникают сразу несколько напряженных состояний (за счет различных факторов и схем силового воздействия). Такие случаи принято называть сложным сопротивлением. Расчеты на прочность и жесткость при сложном сопротивлении основываются обычно на принципе независимости действия сил. Необходимо отметить, что иногда указанные ранее виды расчетов можно упростить, если пренебречь (в пределах требуемой степени точности) второстепенными деформациями и привести, таким образом, сложную деформацию к более простой.
Одной из важнейших задач инженерного расчета является оценка прочности детали (и конструкции в целом) по известному напряженному состоянию в опасной точке поперечного сечения.
Для простых задач деформации это решается сравнительно просто: по известным формулам определяют максимальные напряжения, которые затем сравнивают с опасными (предельными) для данного материала напряжениями, устанавливаемые экспериментально. При этом прочность детали считается обеспеченной, если максимальные напряжения не превышают предельных значений.
Указанный подход к оценке прочности является вполне обоснованным при однородном напряженном состоянии (растяжение, сжатие, изгиб и кручение) т.к. здесь зависимости, характеризующие напряжение, вполне определенны (и даже линейны).
Для сложного напряженного состояния подобный метод оценки прочности непригоден, т.к. опасное состояние может наступить при различных предельных значениях главных напряжений ,, (по осям x, y, z) в зависимости от соотношения между ними. Поэтому все существующие теоретические методы расчета основаны на гипотезах о преимущественном влиянии того или иного фактора на процессе перехода материала в предельное состояние. Суть применения этих гипотез для оценки прочности материала заключается в замене фактического напряженного состояния равноопасным (эквивалентным) ему линейным напряженным состоянием. При этом предлагают замену главных напряжений , и эквивалентным напряжением, которое надо создать в растянутом образце, чтобы получить напряженное состояние, равноопасное заданному.
Прочность оценивают при помощи сравнения эквивалентных напряжений с предельными при растяжении (сжатии) или непосредственно с допускаемыми напряжениями.
6 Продольный изгиб (устойчивость сжатых стержней)
Форма равновесия в деформированном состоянии считается устойчивой, если система при любом малом отклонении от начального состояния равновесия возвращается к нему после снятия внешний нагрузки. В противном случае указанная форма равновесия является неустойчивой.
Переход системы из устойчивого состояния в неустойчивое называют потерей устойчивости, а границу этого перехода – критическим состоянием системы.
Если сжимающую нагрузку воспринимает короткий брус большого сечения (большой жесткости), рисунок 6.1, а, то на прочность и жесткость его рассчитывают по формулам для осевого сжатия (смотри пункт 2). В случае восприятия сжимающей нагрузки длинным стержнем (рисунок 6.1, б) последний может искривиться (рисунок 6.1, в), что не позволяет использовать здесь зависимости раздела 2.
Рисунок 6.1 Действие сжимающего усилия на стержень
Искривление стержня наступает в следствии того, что его ось практически всегда имеет небольшую начальную кривизну, а точка приложения силы несколько смещена от центра тяжести поперечного сечения стержня. При силе большей некоторой критической стержень будет работать уже не на чистое осевое сжатие, а сжатие и изгиб, что приводит к значительным прогибам и напряжениям. Стержень при этом либо разрушается, либо получит недопустимо большие деформации. Все это происходит при так называемых критических значениях воздействующей силы, которую рассматривают как опасную (предельно допустимую).
Под критической силой понимают такую силу, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы равновесия. При этом условие прочности можно записать так:
(6.1)
где – допускаемая нагрузка;
– критическая сила;
– коэффициент запаса устойчивости.
Задача по определению величины критической силы сжатого стержня впервые была правильно решена Эйлером (середина 18 века):
(6.2)
где – любое целое число (1,2,3,4 и т.д.);
– длина стержня.
Для практических расчетов используют зависимость:
(6.3)
называемую формулой Эйлера или для различных схем закрепления стержня:
(6.4)
где – приведенная длина стержня, а – коэффициент приведения длины (=2,0…0,5).
Под действием загрузки в поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения:
,
где – минимальный радиус инерции определяемый из , или ,
где – безразмерная величина, называемая гибкостью стержня и характеризующая его способность сопротивляться искривлению в зависимости от размеров и способа закрепления концов (шарнирно, жестко, консольно).
Условие устойчивости при этом будет:
, (6.5)
где – предел пропорциональности (табличные данные).
На практике используют более простую зависимость:
, (6.6)
где – коэффициент предельного изгиба;
– площадь поперечного сечения полная (брутто).
7 Местные напряжения
Местные напряжения учитывают возможность концентрации напряжений в определенных сечениях бруса. Это учитывают при помощи коэффициента концентрации напряжений.
8 Переменные напряжения
Переменные (пульсирующие) напряжения вызывают усталостные разрушения. Расчет при этом осуществляют с учетом предела выносливости.
9 Основные теории прочности (вместо заключения)
Гипотезу о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора часто называют теорией прочности.
Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности).
Условия прочности записывают как:
, (9.1)
где – величина наибольшего (по абсолютному значению) главного напряжения для исследуемого напряженного состояния;
– дополнительное напряжение, принимаемого для одноосного растяжения или сжатия.
Данная теория подтверждается для весьма хрупких материалов (например, калия, натрия и т.д.).
Теория наибольших линейных деформаций (вторая теория прочности).
Условие прочности записывают так:
, (9.2)
где – максимальная величина линейной деформации, а – допускаемая ее величина.
С учетом закона Гука:
и то, что , окончательно получим:
, (9.3)
т.е. влияние на прочность оказывают все три главные напряжения в виде их комбинаций – приведенного напряжения (эквивалентного).
Подтверждается эта теория только для хрупких материалов, например, легированного чугуна, высокопрочных сталей после ….. и т.д.
Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности).
Условие прочности записывают в виде:
(9.4)
но , а ,
тогда
(9.5)
или
(9.6)
Данная теория хорошо подтверждается для пластичных материалов.
Энергетическая теория формоизменения (четвертая теория прочности)
Условие прочности:
,
где – удельная потенциальная энергия формоизменения.
Для частного случая плоского напряженного состояния условие прочности имеет вид:
(9.7)
Указанная теория пригодна для пластичных материалов (даже более, чем третья теория прочности).
Теория прочности Море (пятая теория прочности).
Условия прочности:
, (9.8)
где
Теория пригодна для расчетов хрупких материалов.
Практически используют для расчетов третью и четвертую пластических материалов, а теорию Море – для хрупких материалов.
Приведенные в выше изложенном курсе лекций примеры расчетов и испытаний (п.п. 2.2, 2.3, 3.2, 6) могут служить методической основой для проведения практических занятий и выполнения лабораторных робот, т.е. предлагаемый материал носит универсальный характер.
Приведенные в теоретическом курсе примеры расчетов (на растяжение – сжатие, изгиб, в т.ч. продольный) сводятся к определению действующих моментов, нагрузок и деформаций балок и стержней, которые служат для определения допускаемых геометрических (размерных) параметров (диаметр стержня круглой формы, площади и размеров поперечного сечения балки, прогиба стержня или балки и т.п.), т.е. параметров, необходимых для решения уравнения прочности (устойчивости) как основы основ и сути дисциплины «Сопротивление материалов», как было отмечено еще во введении.
Что касается теоретической основы «Сопротивления материалов», то она включает не такой уж обширный перечень фундаментальных зависимостей , а именно: Закон Гука, принцип Сен – Венана, формулы Журавского и Эйлера – вот, пожалуй, и все. Таким образом ничего пугающего в освоении учебной дисциплины «Сопротивление материалов» нет, если ее (вольно или невольно) не усложнять, в т.ч. задачами второстепенной значимости. Кстати, выигрышными в этом отношении являются учебные дисциплины с ограниченным объемом, в которых нет места для «лирических подробностей» в виде специальных разделов (сложное нагружение, напряженное состояние при ударных нагрузках, расчет оболочек и т.д.).
10 Распределение материала в соответствии с кредитно – модульной (болонской) системой
Тематика модулей :
Модуль 1 Общие понятия, определение и принципы теории прочности.
Модуль 2 Растяжение и сжатие стержней.
Модуль 3 Изгиб прямолинейного бруса.
Модуль 4 Кручение цилиндрического стержня.
Вопросы и задачи модулей:
Модуль 1.
Вопросы:
1 Суть дисциплины «Сопротивление материалов».
2 Понятие «деформация».
3 Понятие «прочность».
4 Понятие «внешняя нагрузка».
5 Понятие «внутренние силы».
6 Основные гипотезы и принципы при исследовании деформации (перечень).
7 Понятие «однородность материала».
8 Понятие «изотропность материала».
9 Понятие «сплошность».
10 Принципы независимости действия сил.
11 Принцип Сен – Венана.
12 Принцип начальных размеров.
13 Понятие «прочность надежность».
14 Условие прочности.
15 Зависимость для определения условия прочности.
16 Общая методика расчета прочности детали.
17 Условие прочности при сжатии (растяжении) при проверочном расчете.
18 Условие прочности при срезе для проверочного расчета
19 Условие прочности при изгибе для проверочного расчета.
20 Условие прочности при кручении для проверочного расчета.
21 Условие прочности при растяжении для проектировочного расчета.
22Условие прочности при изгибе для проектировочного расчета.
23 Условие прочности при кручении для проектировочного расчета.
24 Основные виды нагружения.
25 Три составные учебной дисциплины «Сопротивление материала».
26 Основные задачи «Сопротивления материалов».
27 Условие прочности для теории наибольших линейных деформаций.
28 Уравнение прочности для теории наибольших касательных напряжений.
29 Условие прочности для энергетической теории.
30 Условие прочности для теории Мора.
Задачи: Определение размерных параметров стержней круглого сечения и балок прямоугольного сечения (30 числовых вариантов).
PAGE 1