Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вращательное движение – это движение твердого тела, имеющего как минимум две неподвижные точки (рисунок 1.3). Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Положение тела определено, если задан угол φ между плоскостями П0 и П , одна из которых неподвижна, а другая жестко связана с телом.
φ=φ(t) – уравнение вращательного движения твердого тела.
Рис. 1.3
За положительное направление отсчета принимается вращение против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу положительному направлению оси z. Траекториями точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.
Для характеристики изменения угла поворота с течением времени вводится величина, называемая угловой скоростью ω:
В технике угловая скорость – это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту. За одну минуту тело повернется на угол 2π⋅ n, где n – число оборотов в минуту (об/мин). Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим
Вектор угловой скорости – это вектор, направленный по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки, с модулем, равным модулю алгебраической угловой скорости
где k – единичный вектор оси вращения.
Угловое ускорение – мера изменения угловой скорости:
Вектор углового ускорения – производная вектора угловой скорости по времени (рис. 1.4)
Рис. 1.4
Если ε >0 и ω >0 (рисунок 1.4), то угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону. Направление векторов ω и ε совпадают, оба они направлены в положительную сторону оси вращения Oz.
При ε <0 и ω <0 – тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. Направление векторов ω и ε совпадают, оба они направлены в отрицательную сторону оси вращения Oz .
Если ε <0 и ω >0, то имеем замедленное вращение в положительную сторону. Векторыω и ε направлены в противоположные стороны.
Если ε >0 при ω <0, то имеем замедленное вращение в отрицательную сторону. Векторыω и ε направлены в противоположные стороны.
Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным. Уравнение равномерного вращения
φ=φ0+ωt
Если угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным.
Уравнение равнопеременного вращения
и уравнение, выражающее угловую скорость в любой момент времени
ω=ω0+εt
представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.
Скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела
Так как траектории точек вращающегося тела – окружности, при определении скорости и ускорения удобно воспользоваться естественным способом задания движения (рисунок 1.5). Дуговая координата, определяющая положение точки на траектории, связана с углом поворота равенством:
s = φR . Отсюда:
Рис. 1.5
Скорость ν = νττ еще называют линейной или окружной скоростью. Она направлена по касательной к траектории движения точки.
Ускорение (рисунок 1.6) определяется как сумма касательного и нормального ускорений:
модуль ускорения
Рис. 1.6
Угол α, образованный вектором ускорения точки с радиусом окружности OM, для всех точек тела в любой момент времени одинаков,
Касательное и нормальное ускорения при вращательном движении твердого тела также называют соответственно вращательным и центростремительным:
Векторные выражения скорости и ускорения точек вращающегося тела
Модуль скорости точки вращающегося тела ν = ωR = ωr sinβ (рисунок 1.7) равен модулю векторного произведения ω⊗r.
Рис. 1.7
Следовательно:
ν = ω×r (формула Эйлера).
Определим ускорение точки, продифференцировав формулу Эйлера:
Первое слагаемое является касательным ускорением aτ= ε ⊗ r,
а второе – нормальным an = ω ⊗ (ω ⊗ r) = ω ⊗ ν.