Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
17
Вычислительный эксперимент и подготовка научной публикации
Введение
Подготовка и оформление научной статьи требует от автора выполнения ряда последовательных действий:
В настоящее время на каждом этапе используется компьютер. Навыки решения исследовательских задач, работы с программным обеспечением, являются одними из основных умений, необходимых грамотному специалисту в современных условиях.
Целью данной работы является описание способов использования различного программного обеспечения при выполнении последовательных этапов написания научной статьи, курсовой или дипломной работы.
Целью данного курса является формирование навыков подготовки и оформления научной работы (статьи, дипломной работы) в области физики, поиск информации, ее классификация и рациональное размещение на компьютере.
Этапы работы:
В соответствии с изложенными этапами подготовки научной работы, в рамках данного курса каждый студент получает индивидуальное задание по изучению конкретного физического явления, выполняет и защищает следующие этапы работы:
На этом этапе студент должен освоить основы работы с операционной системой Windows и научиться скачивать информацию из сети Интернет.
Навыки работы с операционной системой:
Навыки поиска информации в сети:
Студент должен уметь: Создать свою папку в каталоге Мои документы/1 курс/, иметь навыки работы с браузером, ориентироваться на сайте physic.kemsu.ru, производить поиск информации с помощью поисковых машин, уметь сохранять открытые страницы c рисунками и без рисунков. По окончании этапа студент должен собрать нужную для написания пояснительной записки информацию в папке Мои документы/1 курс/Фамилия_студента и составить список литературы по теме задачи.
Преподаватель оценивает: навыки работы с ОС и браузером, объем и полноту подобранной информации (не менее 5 источников: книги, html-документы с рисунками), правильность оформления списка литературы.
Отчетные документы:
В Пояснительной записке в литературной форме должны быть изложены (в логическом порядке) физические законы и их следствия, описывающие данное явление со ссылками на литературу в тексте, формулы, необходимые для выполнения индивидуального задания (в том числе, система ОДУ, описывающая данное физическое явление и схема метода Эйлера для ее решения).
Пояснительная записка должна быть набрана в текстовом редакторе (в том числе и формулы). Текст должен быть разбит на абзацы, заголовки выделены (применить стили заголовков). В текст нужно вставить поясняющие рисунки. Рисунки, таблицы должны быть пронумерованы и подписаны, в тексте в квадратных скобках проставлены ссылки на список литературы. В работе должны быть титульный лист и оглавление, оформленные по образцу.
Студент должен уметь: Работать с текстовым редактором, записывать файл, считывать текст из файла, набирать формулы, организовывать набор текста различными шрифтами, выравнивать абзац по краю, вставлять в текст рисунки, работать со стилями, автоматически формировать оглавление.
Преподаватель оценивает: логичность, объем и правильность изложения, соответствие текста пояснительной записки поставленной задаче, стиль ее оформления.
Отчетные документы:
В соответствии с теорией, студент записывает систему дифференциальных уравнений (ОДУ), соответствующую его задаче, схему Эйлера для численного решения этой системы. Представляет решение задачи в редакторе электронных таблиц OO Calc для расчета искомых физических величин в зависимости от различных параметров. Результаты проведенных расчетов должны продемонстрировать ответы на вопросы поставленной задачи. Результаты расчетов с различными параметрами в виде таблиц выводятся в файл на флеш-накопителе или жестком диске.
Студент должен уметь: Записывать систему ОДУ, соответствующую его задаче, схему Эйлера для численного решения этой системы. На основе образца, представить решение задачи:
Преподаватель оценивает: Правильность составления ОДУ, схемы Эйлера, соответствие расчетной схемы записанным ОДУ, соответствие проведенных расчетов постановке задачи и пояснительной записке.
Отчетные документы:
Все графики должны быть оформлены в одном стиле:
Графики должны отражать зависимость изучаемых величин от различных факторов, согласно теории, изложенной в пояснительной записке.
Студент должен уметь: с помощью средств табличного процессора строить графики (в том числе несколько в одной системе координат), выбирать масштаб осей, оформлять графики и оси.
Преподаватель оценивает: Навыки работы с табличным процессором: считывать данные из файла, строить диаграммы (графики). Соответствие построенных графиков теории, изложенной в пояснительной записке, оформление графиков.
Отчетные документы:
На данном этапе студент должен завершить написание научной работы, включив в нее описание результатов, их обсуждение и выводы. При разработке и отборе материала, нужно ориентироваться на текст задачи, поставленные там вопросы. Изложение материала в работе должно быть последовательным, из него должны логически следовать выводы. Также необходимо сравнить результаты моделирования с изложенной в начале работы теорией, ответить на все вопросы, поставленные в задании, написать введение и заключение.
Студент должен оформить работу по следующему плану:
Преподаватель оценивает: Правильность оформления работы, логику и полноту содержания.
Отчетные документы:
На данном этапе студент должен освоить работу с программой создания презентаций: Создание простых слайдов, работу с разметкой слайда, создание фона слайда, форматирование текста, создание автофигур, размещение изображений на слайде, настройку анимации объектов слайда, редактирование презентации в целом (работу с различными режимами программы). Затем, используя полученные навыки, студент готовит презентацию доклада по индивидуальной задаче (см. образец).
Преподаватель оценивает: Оформления презентации, ее соответствие содержанию работы.
Отчетные документы:
На данном этапе студент должен освоить работу с базами данных: создание новой базы и таблиц с помощью мастера, создание первичного ключа, поиск информации в базе, формирование запроса на поиск конкретной информации. Студент должен найти в общей базе данных информацию по литературе к его задаче.
Преподаватель оценивает: Навыки работы с базой данных, соответствие найденной информации заданию.
Прочитайте внимательно условие. Прежде чем приступить к выполнению задания, необходимо найти ответы на вопросы по следующему плану:
Обычно на сайте (странице), посвященном какой-либо теме, существуют подборки ссылок по данной теме. Однако есть специализированные страницы, на которых выставляются ссылки по различным темам. Ссылки по физике можно найти на страницах:
Напишите литературный обзор по предложенному выше плану с учетом требований к оформлению большого документа.
Постановка задачи
Обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) называются уравнения вида F(x, y, y’, y”, … y(n)) = 0
Где - производная n-того порядка. Порядком ОДУ называется номер старшей производной, входящей в это уравнение.
Общим решением этих уравнений является семейство функций
у = y(x, C1, C2,…).
Константы C1, C2, … определяются из дополнительных условий, налагаемых на функцию y(x) и ее производные. Число дополнительных условий равно порядку ОДУ. Вычисляя из дополнительных данных значения С1, С2, С3, , Сn из общего решения получим частное решение.
Если все дополнительные условия заданы в одной точке х, то они называются начальными, а совокупность ОДУ с начальными условиями – задачей Коши.
у(x0) = у0
у’(x0) = z1
y(n-1)(x0) = zn-1
Если дополнительные условия заданы в разных точках х, то они называются граничными, а совокупность ОДУ с граничными условиями – краевой задачей. Например, дополнительные условия могут представлять собой значения искомой функции в разных точках:
y(x0) = y0
y(x1) = y 1
y(xn-1) = yn-1,
Дополнительные условия могут содержать и значения производных в некоторых точках.
Для численного решения ОДУ разработано много так называемых разностных схем. В них ОДУ заменяется алгебраическими уравнениями для функции y(x, C1, C2, …) в некоторых точках хi. Обычно, для применения этих схем необходимо ОДУ разрешить относительно старшей производной. Для ОДУ первого порядка F(x, y, y’) = 0, перейдем к виду y’ = F(x, y).
Например,
переписывается в виде
Для ОДУ второго порядка F(x, y, y’, y”) = 0 – к виду y” = F(x, y, y’).
Например:
с начальными условиями y(0) = 1; y’(0) = 3 переписывается в виде
y” = – y’ – y + 2x
и с помощью замены переменной z = y’ представляется в виде системы двух ОДУ первого порядка:
Для численного решения область непрерывного изменения аргумента х заменяют дискретным множеством точек, то есть вводят сетку. Независимая переменная берется в определенных точках (узлах) х0, х1, х2, …, хm, находящихся на расстоянии h друг от друга. Искомая функция ищется только в этих узлах, получают значения у0, у1, у2, …, уm. Она называется сеточной функцией.
Затем производные приближенно записывают через х0, х1, х2, …, хm, у0, у1, у2, …, уm и подставляют в исходное уравнение. В результате получаются уравнения для определения значений функции, в общем случае нелинейные. Такие методы счёта называются разностными схемами. При этом дифференциальные уравнения сводятся к алгебраическим, которые называются разностными уравнениями.
Схема называется устойчивой, если при малом изменении начальных (граничных) условий решение так же меняется мало.
Схема называется корректной, если решение существует и единственно при любых начальных (граничных) условия.
Схема явная, если для нахождения уi требуется знать значения функции в предыдущих точках. В противном случае, схема является неявной.
Некоторые численные методы решения ОДУ.
Метод Эйлера.
Запишем для искомой функции ряд Тейлора, сохраняя в разложении первую производную:
у(хi+h) = у(хi) + у’(хi) * h+… далее ряд обрываем.
Обозначим: хi+1 = хi + h, тогда
у(хi+h) = у(хi+1) = уi+1
у(хi) = уi
По условию
у’(хi) = f(хi, уi)
Тогда:
уi+1 = уi + h * f(хi, уi) (4)
хi+1 = хi + h, i = 0,1, 2, 3, …
Причем, у0 = у(х0) известно из начального условия.
Получается рекуррентная формула для нахождения сеточной функции по методу Эйлера или разностная схема метода Эйлера.
Геометрическая интерпретация метода Эйлера очень проста. На рисунках красная линия представляет собой функцию – частное решение ОДУ. Приближенное решение в точке хi+1 находится с помощью касательной, построенной в точке хi, тангенс угла наклона которой равен производной – правой части ОДУ. Приближенное решение уi+1 находится из треугольника, показанного на левом рисунке, при этом возникает ошибка. Рисунок справа демонстрирует, почему метод Эйлера называют «методом ломаных» и нарастание ошибки в процессе применения этой схемы. Ошибка пропорциональна шагу h2 и уменьшается при уменьшении шага.
4. Моделирование физических явлений с помощью программы Calc.
Физические явления, рассматриваемые в данном курсе, обычно описываются одним или несколькими обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ).
Необходимо проанализировав условие задачи, записать систему ОДУ и дополнительные условия в соответствии с порядком уравнения и разрешить уравнения относительно старшей производной.
Рассмотрим движение тела, брошенного с начальной горизонтальной скоростью V0. Если не учитывать сопротивления воздуха, на такое тело действует только сила тяжести Fт=mg (см. рисунок). Уравнение движения тела получается из рассмотрения второго закона Ньютона:
или (1)
Выберем систему координат, начало отсчета которой, связано с землей, ось у направлена вверх. Тогда из (1) в проекциях на оси координат имеем:
и . (2)
Начальные условия: при t = 0:
Для понижения порядка ОДУ вводим новые переменные и переходим к системе ОДУ первого порядка:
(3)
Для решения задачи с использованием электронных таблиц воспользуемся определением производной через приращение функции:
Выразим искомые величины через бесконечно малое приращение времени dt.
Запишем схему Эйлера, которая позволяет решать систему ОДУ численно,:
(4)
Где - шаг по времени. Значение индекса i определяет предыдущее значение функции, а i+1 последующее. Так как проекция ускорения на ось х равна нулю и скорость Vx не меняется, третье уравнение в системе (4) можно опустить. Учитывая начальные условия, получим
(5)
Таким образом, подставляя в схему Эйлера (4) начальные условия (5), можно получить значение координат и скоростей в момент времени t, а с их помощью – значения переменных в следующий момент времени и т.д.
Для учета сопротивления воздуха, во второй закон Ньютона (1) нужно включить еще одну силу
(6).
Тогда,
(7).
Этот случай описывается следующей системой ОДУ первого порядка:
(8)
Эта же система уравнений будет описывать и случай вертикального движения тела (только Vx = V0=0 и два первых уравнения в системе (8) можно не рассматривать), и случай движения тела с начальной скоростью, направленной под углом к горизонту.
Задача: Тело брошено горизонтально со скоростью 2 м/с с высоты H = 50 м. Построить траекторию движения тела (зависимость Y от Х). На каком расстоянии от точки бросания тело упадет на землю?
Рассмотренная ниже последовательность действий показывает, как можно использовать редактор электронных таблиц для расчета значений функций в соответствии с уравнениями схемы Эйлера (4), и построить траекторию движения тела.
Последовательность действий:
При заполнении таблицы значений необходимо обратить внимание на значение координаты Y, которая не может быть < 0 (мы принимаем поверхность земли за нулевой уровень).
Для построения траектории движения тела необходимо выделить диапазон ячеек B2:С34. На панели задач выбрать пиктограмму диаграмма. В открывшемся окне мастера диаграмм, выбрать тип диаграммы <Диаграмма XY> и вид <линии и точки>. Нажимая последовательно кнопку <Далее>, подписываем название диаграммы и осей. Нажав кнопку готово, получаем траекторию движения тела, как показано на рис.
Из полученной зависимости мы делаем вывод, что тело упадет на землю на расстоянии приблизительно 6,5 м от точки бросания (координата Y =0).
Движение тела массой m1 в поле тяготения массивного тела М происходит под действием гравитационной силы:
(9)
Где - радиус-вектор между взаимодействующими телами (направлен к m1), -гравитационная постоянная. Будем считать, что M >> m1. Тело массой М в таком случае является неподвижным центром тяготения. Тогда уравнение движения тела массой m1:
(10)
Совместим начало системы координат (0, 0) с центром масс массивного тела М. Тогда уравнение (10) в проекциях будет иметь вид:
(11)
где x, y – координаты тела массой m1, .
После замены переменных из (11) получается система ОДУ первого порядка:
(12)
Для численного интегрирования этой системы записываем схему Эйлера:
(13)
Удобно решать эту систему со следующими начальными условиями:
х(0) = х0; y(0) = y0 = 0; Vх(0) = Vх,0 = 0; Vy(0) = Vy,0 = V;
При этом тело массой m1 будет двигаться против часовой стрелки вокруг массивного тела М по эллипсу, оси которого будут параллельны осям координат.
Планеты Солнечной системы, движения которых моделируются в задачах, движутся с периодами, измеряющимися годами, по орбитам, оси которых измеряются миллионами километров. Таким образом, моделирование «в реальном времени» представляется неразумным. Разумные времена и размеры орбит получаются, если взять γ = 1, М = 1200, х(0) = 30, V~5.
Если в задаче рассматривается движение вокруг тяготеющего центра М двух невзаимодействующих планет с массами m1 и m2, уравнение движения, подобное (10), записывается для каждого тела:
(14)
Если учитывать взаимодействие планет с массами m1 и m2 не только с Солнцем, но и друг с другом, необходимо учесть гравитационные силы взаимодействия между ними (см. рисунок). На первую планету со стороны второй действует сила:
(15)
Вектор имеет координаты и длину
(16)
Проекции силы на оси координат
(17)
На вторую планету со стороны первой действует сила . По третьему закону Ньютона:
(18)
(19)
Результат моделирования движения планет показан на рис.
3. Пример 3: Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях.
В электрическом поле на частицу заряда e массой m действует электрическая сила . Где Е – напряженность электрического поля. В магнитном поле на частицу, движущуюся со скоростью v действует сила Лоренца , где В – индукция магнитного поля. Таким образом, уравнение движения частицы в электрических и магнитных полях в векторной форме имеет вид:
В случае скрещенных однородных стационарных полей, если вектор Е направлен по оси y, а вектор магнитной индукции В – по оси z, после замены переменных
(х,у – координаты заряженной частицы), получается система уравнений:
Удобно решать эту систему ОДУ с начальными условиями
Разностная схема для метода Эйлера:
Движение заряженной частицы в неоднородном поле продемонстрируем на примере рассеяния. Рассмотрим частицу с зарядом e1, массой m, которая налетает на заряженный центр с зарядом e2, массы M >> m (см. рис.). На рисунке v0 – начальная скорость частицы, p – прицельное расстояние, θ – угол рассеяния.
Сила взаимодействия между частицей и центром находится по закону Кулона
,
где r – расстояние между центром и частицей. Если центр находится в точке с координатами (x0, y0), а (x,y) – координаты частицы, то проекции кулоновской силы
, , где .
Удобно связать начало координат с рассеивающим центром, тогда x0=0,y0=0 и систему уравнений, описывающую движение заряженной частицы в данном случае можно записать в виде
и решать с начальными условиями x = - L, y = p, vx = v, vy = 0.
Математический маятник (шарик на невесомой нити), выведенный из равновесия, может колебаться под действием возвращающей силы, величина которой, можно считать, пропорциональна отклонению от положения равновесия:
(20)
Здесь х – угол отклонения маятника от положения устойчивого равновесия, L – длина маятника, g – ускорение свободного падения.
Таким образом, колебания математического маятника без учета силы трения и при отсутствии вынуждающей силы описываются уравнением:
(21)
Здесь ω0 – собственная частота колебаний. Для решения уравнения второго порядка
(22)
Обозначим скорость маятника p=dx/dt и сведем ОДУ второго порядка к системе:
(23),
которую можно решать с разными начальными условиями.
Для учета сопротивления воздуха в правую часть уравнения (20) добавляют слагаемое , при наличии периодической вынуждающей силы – слагаемое , где ω – частота вынуждающей силы.
Программа численного решения системы ОДУ (23) аналогична программе расчета характеристик движения тела в поле тяжести.
Запишем схему Эйлера, которая позволяет решать систему ОДУ численно:
(4)
Построить зависимости его координаты и скорости от времени у(х) и v(х) при начальной скорости, направленной вверх, вниз и при свободном падении при различных значениях Н. Сопротивление воздуха не учитывать. Чем отличаются графики? Как по графику определить начальную скорость, координату?
Указание: Направить ось координат вверх. Н=0 соответствует поверхности земли.
Указание: Уравнение движения
Построить зависимость координаты мяча от времени при движении c учетом сопротивления воздуха, пропорционального скорости. Определить максимальную высоту подъема. Как высота подъема зависит от коэффициента сопротивления воздуха (постройте график)? Как время падения зависит от коэффициента сопротивления воздуха (постройте график)?
Какова зависимость горизонтальной скорости тела от времени без учета и с учетом сопротивления воздуха?
Указание: На шарик действуют силы тяжести, сопротивления жидкости, сила Архимеда.
Уравнение движения
Указание: «Запустите» планеты так, чтобы большая ось была расположена на экране горизонтально. Определите точки афелия и перигелия. Рассчитайте длину большой оси и координаты точки, симметричной положению Солнца (первый фокус эллипса) относительно центра большой оси (это – второй фокус эллипса). Проанализируйте сумму расстояний от точки, в которой находится планета, до фокусов.
.
Указание: «Запустите» планеты так, чтобы большая ось была расположена на экране горизонтально.
Указание: Движение ракеты описывается уравнением Мещерского , где F –сумма внешних сил, которые тормозят движение ракеты. Кроме того, за время dt масса ракеты убывает на μ. Зависимостью ускорения свободного падения от расстояния на таких высотах можно пренебречь.
Трение не учитывать. Чем отличаются кривые х(t) для разных начальных условий? Как зависит частота колебаний от длины маятника? Построить фазовый портрет колебаний v(x) и траекторию движения маятника. Как меняются эти кривые в зависимости от длины маятника и начальных условий движения?
Включить сопротивление в задаче. При движении груза со скоростью v сила сопротивления равна hV. При t = 0 грузу, находящемуся в положении равновесия, сообщена скорость V0. Исследовать движение груза в случаях: h2<4 km, h2>4 km.
Указание: угол рассеяния удобно вычислять по формуле tg(θ) = vy/vx на достаточно большом расстоянии от центра рассеяния.
Постройте траекторию налетающей частицы при различных значениях прицельного расстояния. Какую форму имеет «мертвая зона» за рассеивающим центром, в которую не попадает частица при любой скорости и прицельном расстоянии?