Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задача №1
Построить прямую, перпендикулярную к заданному отрезку AB и проходящую через один из его концов.
Дано: [AB]
Построить: (AE) [AB].
Построение:
Проводим окружность (B,[AB]), берем на ней произвольную точку С и описываем окружность (С,[AС]). Пусть D – точка пересечения этих окружностей. Если теперь провести третью окружность (А,[AD]) до пересечения ее с окружностью (С,[AС]) в точке Е, то получим (AE) [AB], т.е. (AE) – искомая прямая.
Доказательство:
Отрезок АС соединяет центры окружностей (А,[AD]) и (С,[AС]) , DE
– их общая хорда. Значит, (AC) [DE] и CAD = CAE ( треугольник ADE – равнобедренный).
Задача №2
Построить отрезок, в n раз меньший данного отрезка АВ.
Дано: [AB] и n N.
Построить: [AX], [AX] = [AB].
Построение:
Строим отрезок [AC] = n *[AB]. Проводим затем окружности (А,[AС]), (С,[AС]) и (С, а), которые пересекутся в точках D и E. Если теперь провести окружности (D, a) и (С,[DE]), то в пересечении их получим точку Х, для которой [AX] = [AB].
Доказательство:
Точка Х лежит на прямой АВ, так как [AC] [DE] и [CX] [DE] (фигура CEDX – параллелограмм). Из подобия равнобедренных треугольников ACD и ADX получим [AX] = [AB].
Задача №3
Разделить отрезок АВ на три равные части.
Дано: [AB].
Построить: [AX] [XY] [YB],
X [AB] и Y [AB].
Построение:
Строим на прямой АВ точки C и D так, чтобы [CA] = [AB] = [BD]. Проводим окружности (С,[СB]), (С,[СD]), (D,[AD]) и (D,[CD]), в пересечении которых получим точки Е, Е1,F и F1. В пересечении окружностей (E,[СE]) и (E1,[СE1]), (F,[DF]) и (F1,[DF1]) определим искомые точки X и Y, делящие отрезок АВ на три равные части.
Доказательство:
Из подобия равнобедренных треугольников CEX и CDE следует: [CX] : [CE] = [CE] : [DC]. Принимая во внимание, что [CE] = 2[AB] и [CD] = 3[AB], получим [CX] = [AB], следовательно, [AX] = [AB].
Задача №4
Построить центр начерченной окружности.
Дано: окружность .
Построить: Х – центр окружности.
Построение:
Берём на данной окружности точку А и произвольным радиусом d проводим окружность (А, d), в пересечении получим точки B и D. На окружности (А, d) определяем точку С, диаметрально противоположную точке В. Проводим, далее, окружности (С,[СD]) и (А,[СD]) и обозначаем через Е точку их пересечения. И, наконец, описываем окружность (Е,[СD]), которая пересечет окружность (А, d) в точке М. Отрезок ВМ равен радиусу данной окружности. Окружности (В,[ВМ]) и (А,[ВМ]) определят искомый центр начерченной окружности.
Доказательство:
Равнобедренные треугольники ACE и AEM конгруэнтны,
следовательно EAM = ACE.
Далее, BAE = ACE + AEC ( BAE – внешний угол треугольника
ACE), и, с другой стороны, BAE =
BAM + EAM. Отсюда BAM = AEC.
Таким образом, равнобедренные треугольники ABM и ACE подобны, следовательно, [BM] : [AB] = [AC] : [CE] или [BX] : [AB] = [AC] : [CD].
Из последнего соотношения следует, что равнобедренные
треугольники ABX и ACD подобны, значит,
BAX = ACD = BAD = DAX; последние два равенства следуют из
того, что BAD = ADC + ACD =
2ACD = 2BAX .
На основании BAD = DAX заключаем, что равнобедренные треугольники BX и ADX конгруэнтны, следовательно, [BX] = [AX] = [DX].
Точка X – искомый центр окружности.