темах счисления причем использующих позиционный принцип образования числа при котором значение каждой циф

Работа добавлена на сайт samzan.net:

8) Системы счисления

Для удобства последующего преобразования дискретный сигнал подвергается кодированию (о кодировании см. в разделе Кодирование сигнала). Большинство кодов основано на системах счисления, причем использующих позиционный принцип образования числа, при котором значение каждой цифры зависит от ее положения в числе.

Примером позиционной формы записи чисел является та, которой мы пользуемся (так называемая арабская форма чисел). Так, в числах 123 и 321 значения цифры 3, например, определяются ее положением в числе: в первом случае она обозначает три единицы (т.е. просто три), а во втором – три сотни (т.е. триста).

Тогда полное число получается по формуле:

где l – количество разрядов числа, уменьшенное на 1,

i – порядок разряда,

m – основание системы счисления,

ai – множитель, принимающий любые целочисленные значения от 0 до m-1, и соответствующий цифре i-го порядка числа.

Например, для десятичного (m = 10) числа 345 его полное значение рассчитывается по формуле:

3*102 + 4*101 + 5*100 = 345.

Римские числа являются примером полупозиционной системы образования числа: так, в числах IX и XI знак I обозначает в обоих случаях единицу (признак непозиционной системы), но, будучи расположенным слева от знака X (обозначающего десять), вычитается из десяти, а при расположении справа – прибавляется к десяти. В первом случае полное значение числа равно 9, во втором – 11.

В современной информатике используются в основном три системы счисления (все – позиционные): двоичная, шестнадцатеричная и десятичная.

Двоичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является  вычислительная техника. Такое положение дел сложилось исторически, поскольку двоичный сигнал проще представлять на аппаратном уровне. В этой системе счисления для представления числа применяются два знака – 0 и 1.

Шестнадцатеричная система счисления  используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является хорошо подготовленный пользователь – специалист в области информатики. В такой форме представляется содержимое любого файла, затребованное через интегрированные оболочки операционной системы, например, средствами Norton Commander в случае MS DOS. Используемые знаки для представления числа – десятичные цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита – A, B, C, D, E, F.

Десятичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является так называемый конечный пользователь – неспециалист в области информатики (очевидно, что и любой человек может выступать в роли такого потребителя). Используемые знаки для представления числа – цифры от 0 до 9.

Соответствие между первыми несколькими натуральными числами всех трех систем счисления представлено в таблице перевода:

Десятичная система	Двоичная система	Шестнадцатеричная система
0	0	0
1	1	1
2	10	2
3	11	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F
16	10000	10

Для различения систем счисления, в которых представлены числа, в обозначение двоичных и шестнадцатеричных чисел вводят дополнительные реквизиты:

•  для двоичных чисел – нижний индекс справа от числа в виде цифры 2 или букв В либо b (binary – двоичный), либо знак B или b справа от числа. Например, 1010002 = 101000b = 101000B = 101000B = 101000b;
•  для шестнадцатеричных чисел - нижний индекс справа от числа в виде числа 16 или букв H либо h (hexadecimal – шестнадцатеричный), либо знак  H или h справа от числа. Например, 3AB16 = 3ABH = 3ABh = 3ABH = 3ABh.

Для перевода чисел из одной системы счисления в другую существуют определенные правила. Они различаются в зависимости от формата числа – целое или правильная дробь. Для вещественных чисел используется комбинация правил перевода для целого числа и правильной дроби.

9) Правила перевода целых чисел

Результатом перевода целого числа всегда является целое число.

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную и шестнадцатеричную:

а) исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (на 2 - при переводе в двоичную систему счисления или на 16 - при переводе в шестнадцатеричную); получается частное и остаток;

б) если полученное частное меньше основания системы счисления, в которую выполняется перевод, процесс деления прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);

в)  все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей перевода в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;

г) формируется результирующее число: его старший разряд – полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа – первый остаток от деления, а старший – последнее частное.

Пример 1. Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления:

Таким образом, 19 = 100112.

Пример 2.  Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления:

Таким образом, 19 = 1316.        

Пример 3. Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления:

       

Здесь остаток 11 преобразован в шестнадцатеричную цифру В (см. таблицу) и после этого данная цифра вошла в число. Таким образом, 123 = 7В16.

Перевод из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную.

В этом случае рассчитывается полное значение числа по известной формуле.

Пример 4. Выполнить перевод числа 1316 в десятичную систему счисления. Имеем:

1316 =  1*161 + 3*160 = 16 + 3 = 19.

Таким образом, 1316 = 19.

Пример 5. Выполнить перевод числа 100112 в десятичную систему счисления. Имеем:

100112 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16+0+0+2+1 = 19.

Таким образом, 100112 = 19.

Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:

а) исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;

б) каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей.

Пример 6. Выполнить перевод числа 100112 в шестнадцатеричную систему счисления.

Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. Имеем:

В соответствии с таблицей 00112 = 112 = 316 и 00012 = 12 = 116.

Тогда 100112 = 1316.

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

а) каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;

б) незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

Пример 7. Выполнить перевод числа 1316 в двоичную систему счисления.

По таблице имеем:

•  116 = 12 и после дополнения незначащими нулями двоичного числа 12 = 00012;
•  316 = 112 и после дополнения незначащими нулями двоичного числа 112 = 00112.

Тогда 1316 = 000100112. После удаления незначащих нулей имеем 1316 = 100112.

10) Логика в информатике

Логика в информатике как учебной дисциплине была введена в самых первых учебниках информатики Каймина в 1985 году и в учебник информатики Каймина для средних школ в 1987-89гг. Парадокс в том, что первых школьных учебниках информатики Ершова, Кушниренко и многих действующих учебниках информатики для школ и вузов логика отсутствует.

В 2004 году в России были введены Единые экзамены ЕГЭ по информатике, в содержании которых изучение и знание основ логики стало обязательным. Логика в информатике используется в поиске информации в Интернет, в базах данных, в базах знаний, в алгоритмах, алгоритмизации и во всех языках программирования.

Наибольшее значение логика приобретает в анализе алгоритмов и программпри решении задач на ЭВМ, когда от результатов решения задач зависят оценки на экзаменах или победа на олимпиадах по информатике или программированию.

Отсутствие ошибок в алгоритмах и программах на ЭВМ - ключевой критерий для победы на региональных, российских и международных олимпиадах и чемпионатах по информатике и программированию. Не случайно наши российские школьники и студенты систематически из года в год побеждают на этих компьютерных соревнованиях.

Логика в программировании

Серьёзнейшей проблемой для информатики и компьютерных наук является наличие ошибок в алгоритмах и программах, публикуемых в учебниках и учебных пособиях, а также неумение преподавателями и учителями информатики выявлять и исправлять ошибки в алгоритмах и программах, составляемых учащимися.

Тестирование программ может выявить наличие ошибок в программах, но не может гарантировать их отсутствие. Гарантии отсутствия ошибок в алгоритмах и программах могут дать только доказательства их правильности. Алгоритм не содержит ошибок, если он дает правильные решения для всех допустимых данных.

Единственный путь для преодоления этих проблем является изучение систематическим методам составления алгоритмов и программ с одновременным анализом их правильности в рамках доказательного программирования с самого начала обучения основам алгоритмизации и программирования.

Сложность для преподавателей информатики и профессиональных программистов заключается в том, что они должны уметь писать не только алгоритмы и программы без ошибок, но и при этом писать доказательства правильности своих алгоритмов и программ. Что сейчас не умеют делать ни математики, ни программисты, ни преподаватели информатики.

В результате "профессиональные" программисты пишут программы с большим числом ошибок, которые они не могут ни выявить, ни исправить. Массированное тестирование программ на ЭВМ приносит программистам несомненную пользу, однако не дает гарантий полного избавления от ошибок.

Практика применения и доказательных методов программирования показала, что эта технология вполне доступна студентам математических факультетов, которым вполне по силам написание доказательств правильности алгоритмов, после проверки и тестирования программ на ЭВМ.

Наибольший эффект в освоении технологий доказательного программирования наблюдается на экзаманех по информатике в математических и экономических вузах, где студенты справляются и с решением задач на ЭВМ и написанием доказательств правильности алгоритмов и программ.

Интуитивные методы анализа правильности алгоритмов и программ характерны для олимпиад по информатике и программированию, где победителями и призёрами становятся те студенты, которые освоили технику тестирования программ на ЭВМ и составления алгоритмов и программ без ошибок.

10)

Понятие,суждение,умозаключение - основные формы мышления. 
Наиболее простейшей в структурном отношении формой мысли выступает понятие. По определению, понятие является формой мысли, отражающей общие существенные и отличительные признаки предмета мысли. Признаком будет являться любое свойство предмета внешнее или внутренне, очевидное или непосредственно не наблюдаемое, общее или отличительное. Понятие может отражать явление, процесс, предмет (материальный или воображаемый). Главное для данной формы мысли – отражать общее и в тоже время существенное, отличительное в предмете. Общими признаками выступают те, которые присущи нескольким предметам, явлениям, процессам. Существенным является признак, который отражает внутреннее, коренное свойство предмета. Уничтожение или изменение этого признака влечет за собой качественное изменение самого предмета, а значит и его уничтожение. Но следует иметь в виду, что существенность того или иного признака определяется интересами человека, сложившейся ситуацией. Существенным признаком воды для жаждущего человека и для химика будут два различных свойства. Для первого – способность утолить жажду, для второго – структура молекул воды. Так как понятие по своей природе является «идеальным», то не имеет вещественно-материального выражения. Материальным носителем понятия выступает слово или сочетание слов. Например, «стол», «группа студентов», «твердое тело». Предметом изучения логики являются формы и законы правильного мышления. Мышление есть функция человеческого мозга, которая неразрывно связана с языком. Функции языка: хранить информацию, быть средством выражения эмоций, быть средством познания. Речь может быть устной или письменной, звуковой или незвуковой, речью внешней или внутренней, речью, выраженной с помощью естественного или искусственного языка. Слово лишь выражает понятие, оно – материальное образование, удобное для передачи, хранения и обработки. Слово, обозначая предмет, заменяет его. А понятие, выражаясь в слове, отражает этот предмет в самых важных, существенных, общих признаках. Мысль не возможно передать на расстояние. Человек передает на расстояние сигналы о возникающих в голове мыслях с помощью речи (слова), которые воспринимаются другими людьми, превращаются в соответствующие исходным, но теперь уже их мысли. На данном этапе можно определить, что понятие, слово и предмет, совершенно разные по своей сути вещи. Например, один человек сообщает другому о том, что он приобрел письменный стол, допустим, не добавляя каких-либо других его характеристик. В целях упрощения, выделяем из контекста лишь одно понятие «письменный стол». Для первого человека оно связано с конкретным предметом, обладающим рядом свойств, из которых выделено существенное - он предназначен для письма. При помощи речи мысль о «письменном столе» передается другому человеку и уже превращается в его мысль. В голове последнего на основании понятия идеального «письменного стола» (обобщенного, абстрактного) возникает образ этого «письменного стола» как предмета. По-моему мнению, несмотря даже на то, что это понятие можно было передать и при помощи не двух, а более сочетаний слов, характеризующих предмет, то в конечном итоге образ «письменного стола», воспроизведенного в голове другого человека все- таки не полностью соответствовал конкретному описанному предмету в точности. Поэтому предмет, слово и понятие взаимосвязаны, но не тождественны. Признаки предмета и признаки понятия не совпадают между собой. Признаки любого материального предмета – это внешнее или внутренние свойства, признаки понятия – обобщенность, абстрактность, идеальность. Образование понятия включает в себя множество логических приемов: 1. Анализ - это мысленное разложение предметов на его признаки. 2. Синтез - мысленное соединение признаков предмета в одно целое. 3. Сравнение - мысленное сопоставление одного предмета с другим, выявление признаков сходства и различия в том или ином отношении. 4. Абстрагирование - мысленное сопоставление одного предмета с другими, выявление признаков сходства и различия. 

Суждение представляет собой форму мысли, устанавливающую логическую связь между двумя и более понятиями. Между понятиями, как вышеперечисленно, устанавливаются отношения тождества, подчинения, частичного совпадения, которые могут выражаться логической связкой «есть». Отношения противоречия, противоположности и соподчинения могут выражаться логической связкой «не есть». Эти отношения, выраженные в форме грамматических предложений, будут суждениями разного вида. Представители номиналистической логики рассматривают логику как науку о языке. “Логика, - говорит английский номиналист Р. Уэтли, - имеет дело только с языком. Язык вообще, для какой бы цели он не служил, составляет предмет грамматики, язык же, насколько он служит средством для умозаключения, составляет предмет логики». Исходя из такого понимания предмета логики, номиналисты отождествляют суждение с предложением. Для них суждение – это сочетание слов или имен. “Предложение, - говорит номиналист Гоббс, - есть словесное выражение, состоящее из двух, связанных между собой связкой имен…». Таким образом, согласно номиналистам, то о чем мы, что–либо утверждаем (или отрицаем) в суждении, есть определенная связь этих слов. Такое истолкование природы суждения неправильно. Конечно, всякое суждение выражается в предложении. Однако предложение есть только языковая оболочка суждения, а не само суждение. Любое суждение можно выразить в предложении, но не всякое предложение может выражать суждение. Так не выражают суждений вопросительные, побудительные предложения, поскольку они не отражают ни истины, ни лжи, не устанавливают логических отношений. Хотя они и являются формами мысли. Суждения, реально отражающие предмет и его свойства, будут являться истинными, а неадекватно отражающие – ложными. 

Умозаключение— это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. Он представляет собой переход от некоторых высказываний, фиксирующих наличие некоторых ситуаций в действительности, к новому высказыванию и соответственно к знанию о наличии ситуации, которую описывает это высказывание. Например, в механике известно, что у всякого тела, плотность которого одинакова во всех его частях, геометрический центр и центр тяжести совпадают. Известно также (в результате астрономических наблюдений), что у Земли эти центры не совпадают. Отсюда естественно заключить, что плотность Земли не является одинаковой во всех ее частях. Едва ли нужно специально говорить о значении этой операции в познавательной и практической деятельности. Посредством умозаключений мы получаем приращение знаний, не обращаясь к исследованию предметов и явлений самой действительности, имеем возможность открывать такие связи и отношения действительности, которые невозможно усмотреть непосредственно. Переход от некоторых высказываний (посылок умозаключения) к высказыванию (заключению) в умозаключении может совершаться на основе интуитивного усмотрения какой-то связи - такие умозаключения называют содержательными; или путем логического выведения одного высказывания из других - это умозаключения формально-логического характера. В первом случае оно представляет собой, по существу, психический акт. Во втором случае его можно рассматривать как определенную логическую операцию. Последняя и является предметом изучения логики.

11) 

Алгебра в широком смысле этого слова  наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными математическими объектами (алгебра переменных и функций, алгебра векторов, алгебра множеств и т.д.). Объектами алгебры логики являются высказывания. 
Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний.  Ее интересует только один факт — истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.

Простые высказывания  в алгебре логики обозначаются  заглавными  латинскими буквами:

А = {Аристотель – основоположник логики} 
В = {На яблонях растут бананы}. 
Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0. Таким образом, А = 1, В = 0.

Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре высказываний заменяются на логические операции. 
Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью диаграмм Эйлера-Венна. 

Логическое умножение (конъюнкция)

Объединение двух высказываний в одно при помощи союза «И» называется операцией логического умножения(конъюнкцией). Полученное таким образом высказывание называется логическимпроизведением. 
Опр.: Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения, истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания

Логическое умножение

Объединение двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ», называется операцией логического сложения (дизъюнкцией).
Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

Логическое отрицание (инверсия)

Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.
Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.

Импликация (логическое следование)

в естественном языке соответствует обороту  если ..., то ...; обозначение ––> . 
Импликация – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Эквиваленция  (РАВНОЗНАЧНОСТЬ):

в естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда; в том и только в том случае; 
обозначения Û , ~ . 
Эквиваленция – это логическая операция,  ставящая  в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. 
Определим истинность составного высказывания: 
(не А & не В) & (C Ú D), 
состоящего из простых высказываний: 
А = {Принтер – устройство вывода информации}, 
В = {Процессор – устройство хранения информации}, 
С = {Монитор – устройство вывода информации}, 
D = {Клавиатура – устройство обработки информации}. 
Сначала на основании знания устройства компьютера устанавливаем истинность простых высказываний:   
А = 1, В = 0, С = 1, D = 0. 
Определим теперь истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических операций: 
( не 1& не 0 ) &(1 Ú 0) = (0&1) & (1 Ú 0) = 0 
Составное высказывание ложно. 
Определим какие из высказываний А, В, С должны быть истинны и какие ложны, чтобы было ложно логическое выражение  
((A Ú В)& В) ––>   С. 
 Импликация ложна на единственном наборе логических значений (1, 0).  
Значит, ((A Ú В) & В) = 1, С = 0. 
Конъюнкция истинна на единственном наборе логических значений (1, 1).  
Значит, (A Ú В) = 1 и В = 1. 
Дизъюнкции истинна при наборах логических значений  (0,  1) и (1, 1). 
Следовательно, существуют два набора логических значений, удовлетворяющих условию задачи: 
(А = 0, В = 1, С = 0) и (А = 1, В = 1, С = 0). 

12) Логические операции

Логические операции, логические связки, логические операторы, функции, преобразующие высказывания или пропозициональные формы (т. е. выражения логики предикатов, содержащие переменные и обращающиеся в высказывания при замене последних какими-либо конкретными их значениями) в высказывания или пропозициональные формы. Л. о. можно разделить на две основные группы: кванторы и пропозициональные (сентенциональные) связки. Кванторы играют для формализованных языков математической логики ту же роль, которую играют для естественного языка т. н. "количественные" ("кванторные") слова: "все", "любой", "некоторый", "существует", "единственный", "не более (менее) чем", количественные числительные и т. п. Характерной особенностью кванторов является — в случае нефиктивного их применения — понижение числа свободных переменных в преобразуемом выражении: применение квантора к выражению, содержащему n свободных переменных, приводит, вообще говоря, к выражению, содержащему n — 1 свободную переменную, в частности, пропозициональную форму с одной свободной переменной применение квантора (по этой переменной) преобразует в высказывание.

Пропозициональные связки (в отличие от кванторов, введение которых знаменует переход к логике предикатов) употребляются уже в самой элементарной части логики — в логике высказываний. В формализованных логических и логико-математических языках они выполняют функции, вполне аналогичные функциям союзов и союзных слов, употребляемых для образования сложных предложений в естественных языках. Так, отрицание ù истолковывается как частица "не", конъюнкция & истолковывается как союз "и", дизъюнкция   — как (неразделительное) "или", импликация É — как оборот "если..., то...", эквиваленция ~ — как оборот "тогда и только тогда, когда" и т. п. При этом, однако, соответствие между Л. о. и средствами естественного языка отнюдь не взаимно однозначно. Во-первых, потому, что высказывания, по определению, могут принимать лишь два "истинностных значения": "истину" ("и") и "ложь" ("л"), так что пропозициональные Л. о. можно рассматривать как различные функции, отображающие некоторую область из двух элементов в себя; поэтому число различных n-местных (т. е. от n аргументов) Л. о. определяется из чисто комбинаторных соображений — оно равно 2n. Во-вторых, в формализованных языках математической логики игнорируются любые смысловые (и тем более стилистические) оттенки значений союзов, кроме тех, что непосредственно определяют истинностное значение получающегося сложного предложения. В свою очередь, в качестве Л. о. рассматриваются подчас и такие связки, содержательные аналоги которых в обычном языке, как правило, не имеют специальных наименований; таков, например, "штрих Шеффера" ½ в нижеследующей таблице, где приведён полный перечень всех   двуместных пропозициональных Л. о. (в первых двух столбцах помещены истинностные значения некоторых "исходных" высказываний р и q, в остальных — значения высказываний, образуемых из них посредством указанных сверху Л. о.).

Тождественная истина

Тождественная ложь

P

Отррицание p

q

Отрицание q

Конъюнкция

Антиконъюнкция (штрих Шеффера)

Дизъюнкция

Антидизъюнкция

Эквиваленция

Антиэквиваленция

Импликация

Антиимпликация

Обратная импликация

Обратная антиимпликация

p

q

и

л

p

ù p

q

ù q

p&q

P÷q

pÚq

p q

p~q

p q

pÉq

p q

pÌq

pËq

и

и

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

л

и

л

и

и

л

л

и

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

л

л

и

л

л

и

л

и

л

и

л

и

и

л

и

л

и

л

Поскольку в таблице сведены все мыслимые двуместные Л. о., соответствующие всевозможным "четырехбуквенным словам" из "и" и "л", записанным по вертикали в её столбцах, то естественно, что среди этих 17 Л. о. есть и "вырожденные" случаи: первые две "связки" вообще не зависят ни от каких "аргументов" — это константы "и" и "л" (понятно, что таких "нульместных" связок имеется ровно  ), далее идут   "одноместных связок" (каждая из которых зависит лишь от одного из аргументов р или q) и только затем уже 16—2—4 = 10 собственно двуместных Л. о. Можно далее рассматривать  трёхместных Л. о. и т. д.; оказывается, однако, что уже небольшой части приведённых Л. о. достаточно для того, чтобы посредством их суперпозиций (т. е. последовательного применения) выразить любые n-местные Л. о. для любого натурального n. Такими функционально полными наборами связок являются, например, ù и &, ù и  , ù и É и даже одна-единственная связка ½. Поскольку логика высказываний может быть изоморфно (см. Изоморфизм) интерпретирована в терминах логики классов, для каждой Л. о. имеется аналогичная теоретико-множественная операция; совокупность таких операций над множествами (классами) образует т. н. алгебру множеств. См. Алгебра логики.

13) 

Логические операции и таблицы истинности

1) Логическое умножение или конъюнкция:

Конъюнкция - это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложеное выражение ложно.
Обозначение: F = A & B.

Таблица истинности для конъюнкции

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

2) Логическое сложение или дизъюнкция:

Дизъюнкция - это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выраженныя ложны.
Обозначение: F = A + B.

Таблица истинности для дизъюнкции

A	B	F
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

3) Логическое отрицание или инверсия:

Инверсия - это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

Таблица истинности для инверсии

A	неА
1	0
0	1

4) Логическое следование или импликация:

Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. Тоесть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием.

Таблица истинности для импликации

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

5) Логическая равнозначность или эквивалентность:

Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

Таблица истинности для эквивалентности

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

1.Инверсия;
2.Конъюнкция;
3.Дизъюнкция;
4.Импликация;
5. Эквивалентность.

Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.

14)

 3. Законы логики и правила преобразования логических выражений

1.  Закон двойного отрицания (двойное отрицание исключает отрицание):

А = .

1.  Переместительный (коммутативный) закон:
   •  для логического сложения: А Ú B = B Ú A;
   •  для логического умножения: A & B = B & A.

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

1.  Сочетательный (ассоциативный) закон:
   •  для логического сложения: (А Ú B) Ú C = A Ú (B Ú C);
   •  для логического умножения: (A & B) & C = A & (B & C).

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

1.  Распределительный (дистрибутивный) закон:
   •  для логического сложения: (А Ú B) & C = (A & C) Ú (B & C);
   •  для логического умножения: (A & B) Ú C = (A Ú C) & (B Ú C).

Закон определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

1.  Закон общей инверсии (законы де Моргана):
   •  для логического сложения: =  &;
   •  для логического умножения: =   Ú 
2.  Закон идемпотентности (от латинских слов idem — тот же самый и potens — сильный; дословно — равносильный):
   •  для логического сложения: А Ú A = A;
   •  для логического умножения: A & A = A .

Закон означает отсутствие показателей степени.

1.  Законы исключения констант:
   •  для логического сложения: А Ú 1 = 1, А Ú 0 = A;
   •  для логического умножения: A & 1 = A, A & 0 = 0.
2.  Закон противоречия:
   •  A &  = 0.

Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

1.  Закон исключения третьего:
   •  A Ú  = 1.

Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.

1.  Закон поглощения:
   •  для логического сложения: А Ú (A & B) = A;
   •  для логического умножения: A & (A Ú B) = A.

Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), другие - основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Нарушения законов логики приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.

Упрощение формул.

Пример 1. Упростить формулу (А Ú В) & (А Ú С).

Решение:

1.  Раскроем скобки: (А Ú В) & (А Ú С) = A & A Ú A & C Ú B & A Ú B & C;
2.  По закону идемпотентности A & A =A, следовательно, 
   A & A Ú A & C Ú B & A Ú B & C = A Ú A & C Ú B & A Ú B & C;
3.  В высказываниях А и А & C вынесем за скобки А и используя свойство А + 1= 1, получим 
   A Ú A & C Ú B & A Ú B & C = A & (1 Ú C) Ú B & A Ú B & C = A Ú B & A Ú B & C;
4.  Аналогично предыдущему пункту вынесем за скобки высказывание А. 
   A Ú B & A Ú B & C = A & (1 Ú B) Ú B & C = A Ú B & C.

Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных высказываний - все отрицания будут применяться только к простым высказываниям.

Пример 2. Упростить выражения  так, чтобы в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний.

Решение: 
 

1. тематичний план курсу програму з курсу ldquo;Історія Україниrdquo; яка укладена з урахуванням програми курсу l
2. 1213 ~ 120114 13 дней-12 ночей Стоимость наземного обслуживания- 31
3. тема кримінального прана
4. От чего мы болеем
5. Тема 8. Общение в профессиональной деятельности юриста коммуникативная подструктура.html
6. 30 37 Cssndr 20d BM 5 835
7.  Теоретические аспекты развития познавательных процессов у детей дошкольного возраста Понятие о по
8. Екологічне середовище
9. Курсовая работа- Когнитивная и коммуникативная функции психики
10. The history of railways История железных дорог
11. ть ВЭД определяется как отношение экспорта и импорта к ВВП
12. Лекция 13 Патофизиология опухолевого роста Опухоль это патологическое разрастание клеток характер
13. очаговые заболевания
14. Розрахунок ліфта
15. Профессиональная этика, права и обязанности аудиторов
16. тематические упражнения по тренировке развития движений рук наряду со стимулирующим влиянием на развитие ре
17. методические рекомендации по организации исследовательской работы с учащимися
18. У Меня так много детей а Я им не нужен
19. Реферат - Сталин как оратор
20. більше про це в Розділі 20

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе