У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

пособие по выполнению графических работ

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-10

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 6.4.2025

ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. Т.Г. ШЕВЧЕНКО

ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Отделение «Промышленные технологии»

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Методическое пособие по выполнению графических работ.

Для студентов очной формы обучения специальности «Механизация сельского хозяйства»

Рецензенты: Боунегру Т.В, старший преподаватель ПГУ,

Войкин В.Н., начальник КБ ОАО «Литмаш»

Рыбалова Т.Ф., Юсюз В.П.-методическое пособие по выполнению расчетно-графических работ по дисциплине «Начертательная геометрия» для студентов АТФ и ИТИ, обучающихся по направлению «Механизация сельского хозяйства» и «Технология машиностроения». Тирасполь, 2008г., 4,3 п.л, иллюстрации.

Данное методическое пособие разработано для студентов второго курса дневного факультета АТФ специальности «Механизация сельского хозяйства» и предназначено для практической проработки курса «Начертательная геометрия». Оно включает в себя 7 разделов, 6 из которых - это примеры выполнения расчетно-графических работ. Каждый из этих разделов состоит из подразделов, одним из которых является теоретический. Он поможет студентам самостоятельно разобраться при решении задач по темам, так как в нем указывается последовательность графических построений («алгоритмы решения задач»).

Методическое пособие содержит общие требования к выполнению расчетно-графических работ, а также требования к их оформлению, задания по вариантам и контрольные вопросы, необходимые для защиты работ.

Обозначения, терминология и символика, используемая в данных методических указаниях, соответствуют приводимым в лекционном курсе и в рекомендуемой литературе.

Методическое пособие дает возможность в наименьшие сроки выполнить работы, а также глубже подготовиться к сдаче экзамена и тем самым значительно повысить уровень геометрической и конструкторской подготовки будущего инженера.

Рекомендовано к изданию методической комиссией и методическим советом ПГУ им Т.Г. Шевченко, протокол № от

Рыбалова Т.Ф.

Юсюз В.П.

Содержание

	Введение	4
1	Общие требования и рекомендации к выполнению графических работ	5
2	Расчетно-графическая работа по теме «Комплексный чертеж плоскости».	7
3	Расчетно-графическая работа по теме «Взаимное пересечение плоскостей»	13
4	Расчетно-графическая работа по теме «Взаимная перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей»	20
5	Расчетно-графическая работа по теме «Сечение поверхности сферы плоскостями»	28
6	Расчетно-графическая работа по теме «Взаимное пересечение поверхностей»	33
7	Расчетно-графическая работа по теме «Аксонометрическая проекция»	49
	Список литературы	58
	Приложение А	59
	Приложение Б	60
	Приложение В	61
	Приложение Г	64
	Приложение Д	65
	Приложение Е	68
	Приложение Ж	70
	Приложение И	71
	Приложение К	72
	Приложение Л	73
	Приложение М

Введение

Изучение в технических вузах фундаментальных математических наук имеет первостепенное значение в формировании будущего инженера, так как они дают будущему специалисту необходимые знания для решения инженерных задач.

Начертательная геометрия, как прикладная математическая наука находит особо большое применение в конструкторской практике, где рассматривается большой комплекс технических задач с широким использованием математического аппарата. Начертательная геометрия является тем разделом геометрии, который изучает теоретические основы методов построений изображений (проекций) геометрических фигур на какой-либо поверхности и способы решения различных позиционных и метрических задач, относящихся к этим фигурам, при помощи их изображений.

Начертательная геометрия является грамматикой «языка техники» (чертежа), построенного по определенным геометрическим правилам. Чертеж – это своеобразный язык, с помощью которого, используя лишь точки, линии и ограниченное число геометрических знаков букв и цифр, человек имеет возможность изобразить на поверхности (в частности на плоскости) геометрические фигуры или их сочетания (машины, приборы, инженерные сооружения и т.д.) Причем этот графический язык является интернациональным, понятным любому технически грамотному человеку, независимо от того, на каком языке он говорит.

Начертательная геометрия служит наилучшим средством развития у человека его пространственного воображения, без которого немыслимо никакое творчество.

Задача этой науки – создание оптимальных геометрических форм объектов машиностроения, архитектуры и строительства, разработка геометрических основ их воспроизведения в процессе производства, оптимизация технологических процессов на основе их геометрических моделей, разработка теории графического отображения объектов и процессов при их проектировании в промышленности и строительстве.

Общие требования и рекомендации к выполнению графических работ

Каждый студент при изучении курса «Начертательная геометрия» должен выполнить расчетно-графические работы (работы), состоящие из нескольких типовых задач различных разделов курса. Работа выполняется по вариантам, варианты задания выдаются преподавателем. Целью каждого задания – закрепление знаний студентов по основным разделам курса и возможность приобрести определенные практические навыки в решении позиционных и метрических задач. Перечень работ смотри приложение А.

1.1 Прежде чем приступить к выполнения работы, необходимо ознакомиться с лекционным материалом и с краткими пояснениями решений геометрических задач и графических построений практикума.

1.2 Все работы выполняются на листах чертежной бумаги формата А3 (297*420).

1.3 Изображения графических элементов, указанных в условии задач, рекомендуется выполнять в масштабе 1:1.

1.4 Все построения должны быть выполнены чертежным инструментом, тип и толщины линий должны соответствовать ГОСТ 2.303. Смотри приложение Б. При этом толщину сплошной толстой основной линии, применяемой для изображения линии видимого контура, видимых линий пересечения, линий входящих в графическую часть определителя поверхности, рекомендуется выполнять для данных работ толщиной S= (0,8 – 1,0)мм. Линии невидимого контура и невидимые линии пересечения поверхности выполнять толщиной S/2. Линии проекционной связи, вспомогательные линии построения, осевые, линии симметрии – толщиной S/3. (В данных работах разрешается результат конечного построения выполнять цветными карандашами, элементы геометрических фигур покрывать бледными тонами или наносить штриховку).

1.5 Изображение всех точек, используемых для выполнения чертежей, а также промежуточные результаты построений должны быть выполнены в виде окружности, диаметр которых больше S.

1.6 Наименование точек следует выполнять заглавными буквами латинского алфавита (А;В;С…) или арабскими цифрами (1;2;3 …), линий -заглавными буквами греческого алфавита (А;В;Г;Δ…Ω), а проекции, указанных выше элементов – этими же знаками с соответствующим подстрочным индексом. Например: А → П1 =А1; А → П2 = А2; А → П3 = А3

Наименование и правописание букв латинского и греческого алфавитов смотри в приложении Б

Буквенные обозначения, цифры, буквы и другие надписи необходимо выполнять шрифтом №5 или №7 в соответствии с ГОСТ 2.304. Смотри приложение В

1.8 На чертежах необходимо сохранять те построения, которые дают возможность проверки правильности решения задачи и контроля графической точности построений.

1.9 В правом нижнем углу чертежа должна быть выполнена основная надпись по ГОСТ 2.104. В графе обозначение (в учебных целях) должна быть выполнена запись по типу: НГ.РГР№2.600521.08 , где НГ –дисциплина «Начертательная геометрия», РГР№2 – номер очередной работы, 600521 – номер зачетной книжки, 08 – номер варианта.

В графе наименование записываем наименование графической работы взятые из приложения А

1.10 Каждое задание рассматривается и принимается преподавателем по бальной системе.

1.11 Выполненные работы студент должен хранить у себя и в конце семестра зачтенные (положительно оцененные) расчетно-графические работы сброшюровываются в альбом размером 297*420, первым листом которого должен быть титульный лист. Как выполнять титульный лист смотри методическое пособие «Шрифты чертежные» (разработка кафедры ТМС). Образец титульного листа в приложении Г. Альбом предъявляется на зачете, а затем во время сдачи экзамена.

1.12 В случае невыполнения установленного количества графических работ студент не допускается к сдаче экзамена по «Начертательной геометрии».

Терминологию и обозначения используемую в данных методических указаниях смотри в приложении Д.

2 Расчетно-графическая работа по теме «Комплексный чертеж плоскости».

Целью данной работы является изучение способа ортогонального проецирования точек, отрезков прямых линий и плоских фигур. Построение плоскости общего положения, главных линий плоскости, следов плоскости. Определение натуральной величины отрезка и плоской фигуры.

2.1 Задание: для плоскости Σ, заданной треугольником АВС:

2.1.1 построить проекции следов плоскости Σ(АВС);

2.1.2 определить углы φ и ω наклона плоскости Σ(АВС) к плоскостям проекций Π1 и Π2;

2.1.3 поворотом вокруг горизонтали или фронтали определить натуральную величину треугольника АВС.

Координаты точек А, В и С выбираем из таблицы 2.1 по вариантам. Образец выполнения работы смотри в приложении Е.

Таблица 2.1 – координаты точек

В миллиметрах

№ варианта	А	В	С
	x	y	z	x	y	z	x	y	z
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	68	130	31	30	54	145	220	13	18
2	190	58	82	108	29	42	162	97	13
3	150	50	17	93	37	80	50	130	10
4	153	13	156	230	98	38	68	25	11
5	98	156	23	20	38	162	183	11	41
6	114	82	18	35	20	136	198	7	34
7	197	31	130	234	145	54	44	18	13
8	160	140	12	72	30	30	232	15	177
9	68	22	75	27	150	6	122	30	44
10	14	162	13	85	25	119	188	25	21
11	163	23	156	240	162	38	78	41	11
12	111	156	10	33	38	70	195	11	18
13	90	12	140	178	30	30	18	177	15
14	77	82	58	160	42	30	105	13	97
15	150	18	82	229	136	20	65	34	7
16	115	131	18	35	33	136	198	12	34
17	251	13	162	180	119	25	72	21	25
18	108	160	18	29	40	136	192	15	34
19	105	156	13	27	38	98	190	11	25
20	153	10	156	230	70	38	68	18	11
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
22	105	18	50	162	80	37	205	10	130
23	150	18	160	229	136	40	65	34	15
24	183	97	8	227	14	92	91	28	10
25	157	18	130	235	136	33	73	34	12
26	87	8	122	63	92	18	180	10	35
27	68	48	75	40	220	40	122	66	14
28	170	122	8	214	18	92	78	35	10
29	104	18	50	161	80	37	204	10	130
30	68	32	75	40	141	40	122	42	14

2.2 Теоретический раздел

2.2.1 Построение следов плоскости.

Для построения следов плоскости достаточно определить следы двух прямых линий (отрезков), принадлежащих этой плоскости. Рассмотрим построение следов прямой g на эпюре Монжа (смотри рисунок 2.1). Для решения этой задачи пользуемся следующим алгоритмом:

- чтобы найти горизонтальный след М прямой g сначала необходимо найти его фронтальную проекцию М2 как точку пересечения фронтальной проекции g2 прямой g с осью ;

- недостающая горизонтальная проекция М1 совпадает с горизонтальным следом прямой g, то есть М≡М1;

- для нахождения фронтального следа N прямой сначала находим его горизонтальную проекцию N1, как точку пересечения горизонтальной проекции прямой g с осью;

- недостающая фронтальная проекция N2 совпадает с фронтальным следом N, то есть N ≡ N2

Рисунок 2.1

2.2.2 Определение угла наклона плоскости к плоскостям П1 и П2.

Прямые линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций П1 и П2 перпендикулярны соответственно горизонталям или фронталям этой плоскости. Рассмотрим случай определения угла наклона плоскости Σ, заданной прямой а и точкой С к горизонтальной плоскости проекций. Прямой угол, составленный линией наибольшего ската плоскости с ее горизонталью проецируется на горизонтальную плоскость проекций П1 без искажений. Для решения данной задачи (смотри рисунок 2.2):

- проведем через точку С горизонталь h (h1, h2) ;

- из любой точки, принадлежащей прямой а, восстанавливаем перпендикуляр к горизонтали h. Получаем А1К1 и А2К2 проекции перпендикуляра (А1К1 ┴ h);

- натуральную величину отрезка АК и угол его наклона к плоскости П1 находим по методу треугольника (смотри рисунок 2.2).

Рисунок 2.2

Как найти угол наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций смотри на рисунке 2.3

Рисунок 2.3

2.2.3 Определение натуральной величины треугольника методом вращения.

При решении метрических задач связанных с определением истинных размеров изображенных на эпюре (комплексном чертеже) фигур, могут встретиться значительные трудности, если заданные проекции не подвергнуть специальным преобразованиям. Для этой цели обычно применяют один из двух способов: вращения или замены плоскостей проекций. Для решения задачи по определению натуральной величины треугольника воспользуемся способом вращения его вокруг одной оси. Если задаться целью: одним поворотом расположить треугольник параллельно плоскости П1, то за ось вращения следует принимать такую в плоскости треугольника, которая еще до вращения была бы параллельна горизонтальной плоскости проекций, то есть одну из ее горизонталей (смотри рисунок 2.4).

Рисунок 2.4

Построения выполняются в следующей последовательности:

- через точку С проведем горизонталь h (h2‌‌‌‌║ х1,2‌‌)‌;

- из точек А1 и В1 восстанавливаем перпендикуляры к h1;

- строим проекции радиуса вращения одной из них (например А), это будут проекции А1О1 и А2О2;

- по двум проекциям определяем истинную величину радиуса вращения RА. В настоящем примере радиус определен методом вращения (его также можно определить методом треугольника);

- отрезок RА откладываем от точки О вдоль той прямой, по которой перемещается горизонтальная проекция вершины А;

- через полученную точку и неподвижную D1 проводим прямую до пересечения с прямой, по которой перемещается горизонтальная проекция вершины В и на их пересечении отмечаем точку ;

- соединяя найденные точки и друг с другом и с неподвижной вершиной С1, получаем горизонтальную проекцию треугольника. Эта проекция определяет натуральную величину треугольника АВС;

- фронтальная проекция треугольника окажется преобразованной в прямую линию, совпадающую с С2D2.

2.3 Указания к выполнению задания:

- по координатам точек А, В и С, взятым с таблицы 2.1 по вариантам, изображаем комплексный чертеж плоскости Σ(АВС), при этом выбираем ось х, начало координат и масштаб так, чтобы изображение заняло большую часть поля чертежа (смотри приложение Е);

- для построения следов плоскости Σ(АВС) находим горизонтальные и фронтальные следы двух прямых (отрезков) плоскости Σ. В нашем примере выбираем отрезки СВ и СА. Как определить следы прямых смотри теоретический раздел 2.2.1;

- найдя горизонтальные и фронтальные следы двух прямых , соединяем одноименные прямой и получаем следы плоскости;

- определяем углы наклона плоскости Σ(АВС) к плоскостям П1 и П2 (смотри раздел 2.2.2). В нашем примере горизонталь и фронталь проведены через точку А.

2.4 Контрольные вопросы.

2.4.1 Что мы называем следом плоскости и как его определить на комплексном чертеже.

2.4.2 Как определить углы наклона плоскости к плоскостям проекций.

2.4.3 Определение натуральной величины треугольника методом вращения.

3 Расчетно-графическая работа по теме «Взаимное пересечение плоскостей»

Цель работы: приобрести навыки в решении позиционных задач на точку, прямую и плоскость. Научиться строить точки пересечения прямой общего положения с плоскостью и определять видимость геометрических элементов способом конкурирующих точек.

3.1 Задание: найти линию пересечения призмы плоскостью. (Призма задана координатами точек К, L, M, N и плоскость сигма задана координатами точек А, В, С). Координаты точек выбираем из таблицы 3.1.

Таблица 3.1 – Координаты точек

В миллиметрах

№ вар	A	B	C	K	L	M	N
	x	y	z	x	y	z	x	y	z	x	y	z	x	y	z	x	y	z	x	y	z
1	240	6	150	0	80	120	200	175	0	190	150	0	255	25	0	145	50	0	115	25	165
2	0	100	118	110	30	165	240	80	34	180	110	0	225	25	0	138	23	0	86	90	160
3	0	124	180	225	35	0	250	208	130	250	128	0	182	8	0	134	58	0	116	145	150
4	60	164	184	40	54	78	238	80	73	165	95	0	230	34	0	116	19	0	114	98	184
5	205	95	142	0	22	35	226	0	0	196	70	100	216	6		135	18	30	112	68	116
6	240	50	42	180	0	16	0	54	126	180	56	70	168	0	15	90	24	50	86	72	135
7	240	0	86	200	160	95	78	0	48	236	10	80	156	10	0	200	70	43	5	52	126
8	240	50	35	0	115	160	140	150	190	233	69	73	199	33	15	171	8	8	61	114	123
9	230	150	110	104	154	150	82	0	40	228	61	42	228	61	10	153	0	25	164	104	155
10	5	115	30	212	138	176	248	54	148	76	9	6	40	52	0	5	94	47	212	86	125
11	35	45	160	204	170	0	253	96	98	133	0	115	94	22	38	34	55	105	206	128	78
12	2500	45	65	138	130	0	0	90	116	239	70	70	194	109	59	165	134	0	33	44	154
13	115	160	180	0	46	144	245	108	54	246	70	35	210	20	98	173	130	162	36	20	98
14	255	105	120	0	62	64	40	180	128	35	4	32	8	100	55	76	0	0	180	150	154
15	0	0	30	234	102	130	234	206	36	50	135	88	0	15	152	16	52	15	182	15	152
16	240	60	80	137	0	162	0	140	132	0	80	80	64	165	0	64	165	80	240	85	80
17	0	30	45	258	116	122	0	116	128	6	0	12	6	58	70	96	0	12	168	140	150
18	250	160	125	0	0	15	128	0	175	19	154	50	0	60	8	62	10	140	190	60	8
19	0	0	15	250	80	70	110	138	138	0	138	115	110	138	138	48	138	12	250	0	138
20	0	90	90	260	104	105	95	0	0	22	0	0	0	54	60	110	0	0	150	145	140
21	245	75	55	0	64	120	0	138	22	238	160	100	198	160	0	128	160	85	68	0	63
22	0	120	45	242	67	115	0	16	154	108	168	8	0	168	8	56	168	102	134	0	76
23	0	90	110	258	152	110	178	52	0	110	0	0	0	0	0	0	0	80	150	175	83
24	0	0	130	168	25	185	258	124	90	258	160	70	198	160	0	146	160	0	50	0	114
25	230	0	80	230	128	158	28	50	0	175	175	165	115	175	165	230	90	165	0	83	0
26	240	140	80	0	52	107	68	146	0	114	170	102	56	170	5	0	170	102	184	0	70
27	165	145	180	0	60	75	244	15	0	200	0	12	125	0	50	35	0	12	125	154	185
28	205	95	140	0	20	35	225	0	0	195	70	10	215	6	40	35	20	80	110	70	115

3.2 Теоретический раздел

3.2.1 Пересечение прямой линии с плоскостью

При решении данной задачи необходимо четко различать следующие этапы ее выполнения (алгоритм):

- проведение анализа прямой и плоскости, участвующих в пересечении, выяснить какое положение они занимают в пространстве и если общее, то выполнить построение вспомогательной плоскости дельта (), которую проводят через прямую а (а  ). В качестве вспомогательной плоскости рекомендуется брать одну из проецирующих (   1    2);

- построение линии пересечения вспомогательной плоскости дельта с заданной плоскостью сигма (n = );

- определение точки К как точки пересечения данной прямой а и построенной прямой n (аn = К)

- определение видимости прямой на плоскостях проекций.

На рисунке 3.1 дано аксонометрическое изображение прямой а, пересекающейся с плоскостью сигма, заданной треугольником АВС ((АВС)). Точка пересечения К найдена с помощью вспомогательной (горизонтально-проецирующей) плоскости дельта (1), которая с заданной плоскостью сигма пересекается по прямой (n =   ). Искомая точка К пересечения прямой а с плоскостью треугольника определена как точка пересечения прямых а и n (К = а  n).

Рисунок 3.1

Как решается эта задача на эпюре Монжа (комплексном чертеже), смотри на рисунке 3.2

Рисунок 3.2

На рисунке 3.3 рассмотрен еще один пример решения подобной задачи: определить точку пересечения прямой а с плоскостью сигма, заданной двумя параллельными прямыми в и с (а  (в с) =К).

Рисунок 3.3

Порядок (алгоритм) решения данной задачи выглядит следующим образом:

- через прямую а проведем вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость дельта (2);

- вспомогательная плоскость дельта пересекает заданную плоскость сигма по прямой 12;

- находим проекции этой прямой сначала 12 22 (1222  а12 ), потом11 и 21 (точка 1 принадлежит прямой в а точка 2 прямой с, следовательно их проекции принадлежат одноименным проекциям этих прямых );

- находим точку К пересечения прямой 12 с прямой а ; 1121 а1=К1, К1  К2 (а 12) = К.

При выполнении эпюрных построений необходимо проявлять особое внимание к последней стадии решения, когда определяются проекции искомой точки.

Следует иметь в виду, что если в качестве вспомогательной секущей плоскости взята горизонтально – проецирующая плоскость, то первой из двух будет определена фронтальная проекция искомой точки (смотри рисунок 3.2). Применяя же фронтально-проецирующую плоскость, сначала находят горизонтальную проекцию К1, а затем К2 (смотри рисунок 3.3).

3.2.2 Определение видимости геометрических элементов способом конкурирующих точек.

Видимость для каждой плоскости проекций устанавливаем самостоятельно (рисунок 3.3). Начнем с фронтальной плоскости проекций. Рассмотрим фронтальную проекцию 12 точки 1. В ней как бы пересекаются прямые а и в, но они попали в одну точку на фронтальную плоскость проекций лишь потому, что в пространстве точки, принадлежащие прямым а и в находятся на одном перпендикуляре к плоскости 2. Если пройтись лучом сверху вниз, то мы увидим, что ближе к нам расположена прямая а, а прямая в за ней, следовательно, на 2 видим сначала а2, а потом в2. Видимость для горизонтальной плоскости проекций устанавливаем с помощью точки 3, принадлежащей прямой а и с (). Пройдемся лучом снизу вверх и увидим, что точка 3, принадлежащая прямой с, ниже, чем точка 3 принадлежащая прямой а, следовательно, прямая а на данном участке выше и мы ее видим.

3.2.3 Пересечение двух плоскостей произвольного положения.

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, общие для обеих плоскостей, либо одну точку и направление линии пересечения двух плоскостей.

Для того чтобы определить эти точки нужно найти точки пересечения любых двух прямых одной плоскости с другой плоскостью, или точки пересечения прямой на каждой плоскости с другой плоскостью.

При решении этой задачи (вторая позиционная задача) пользуются алгоритмом, который составлен на основании общей схемы решения второй позиционной задачи. Общий вид алгоритма следующий:

- проводится вспомогательная поверхность, пересекающая заданные поверхности;

- определяется линия пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных поверхностей (m и n);

- отмечают точки пересечения построенных линий, которые и являются искомыми, так как они принадлежат одновременно заданным поверхностям.

Если пересекающиеся плоскости (или одна из плоскостей) заданы многоугольниками (смотри рисунок 3.4), то построение линии их пересечения значительно упрощается, если вспомогательные проецирующие плоскости провести не произвольно, а через какие- либо две из сторон многоугольников. В нашем примере вспомогательные плоскости дельта перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций и проведены через стороны ЕD и EK, то есть решаем две задачи на пересечение прямой и плоскости (алгоритм решения этой задачи рассмотрен выше). Находим линию 12 пересечения плоскости дельта () с плоскостью треугольника АВС ((АВС) = 12). Точка М есть точка пересечения линии 12 со стороной DE (М = 12  ЕD), а точка N результат пересечения прямой ЕК с линией 34. Прямая МN является линией пересечения двух треугольников. Видимость определяем с помощью конкурирующих точек (смотри 3.2.2).

Рисунок 3.4

3.2.4 Пересечение плоскости с многогранником

Построение сечения многогранника требует многократного решения задачи о пересечении прямой с плоскостью. Точки, в которых ребра многогранника пересекаются с заданной плоскостью, будут вершинами исходного сечения. Тот же результат можно получить, сведя задачу к построению прямых пересечения плоскости с гранями тела (как пересечение двух плоскостей). Рассмотрим задачу, когда необходимо определить линию пересечения трехгранной призмы плоскостью сигма, заданной двумя пересекающимися прямыми (рисунок 3.5).

Рисунок 3.5

Каждая из вершин построенного треугольника (МNL), определена как точка пересечения соответствующего ребра, с заданной плоскостью сигма.

N = АА1  

Для нахождения точки N проводим вспомогательную, горизонтально-проецирующую плоскость дельта, проходящую через ребро АА1. Она пересекает плоскость  по прямой 12. Построив 1222 определяем точку N2 и с помощью линии проекционной связи находим вторую проекцию точки N-N1. Аналогичные построения выполняем для нахождения точек M и L.

L = ВВ1

M = СС1

3.3 Указания к выполнению задания (образец выполнения работы смотри в приложении Ж).

На листе формата А3, расположение книжное, по координатам точек А В и С строим комплексный чертеж плоскости сигма.

По координатам точек К,М,N и L выполняем комплексный чертеж призмы . Все построения выполняются в тонких линиях. Определяем видимость ребер призмы и сторон треугольника.

Если призму пересечь плоскостью, то в сечении получится многогранник, число вершин которого зависит от того, сколько ребер пересекает секущая плоскость. В нашем задании секущая плоскость пересекает три ребра, следовательно, в сечении получится треугольник, каждая вершина которого находится как точка пересечения ребра с плоскостью (АВС).

Р = КК1  

R = ММ1 

S = NL  

Рассмотрим нахождение точки Р: через ребро КК1 проведем вспомогательную горизонтально-проецирующую секущую плоскость дельта. Эта плоскость пересекает плоскость сигма по прямой 12, горизонтальная проекция которой совпадает с горизонтальной проекцией ребра и вспомогательной плоскости дельта (1121  К1К'12 ). С помощью проекции линии связи находим 12 и 22. Искомая точка Р находится на пересечении прямой АВ и 12 (Р=АВ 12). Точки R и S находим аналогично. По точкам Р, R, S строим треугольник , который получается при пересечении призмы плоскостью сигма, но так как плоскость сигма ограничена треугольником АВС, то и линии пересечения будут ограничены сторонами треугольника. Отмечаем эти точки D и Е , G и F и определяем видимость (приложение Ж).

Следует обратить внимание на то, что данный способ решения не является единственным. Данную задачу можно решить методом замены плоскостей проекций.

3.5 Контрольные вопросы:

3.5.1 Алгоритм решения задачи на пересечение прямой и плоскости;

3.5.2 Алгоритм решения задачи на пересечение двух плоскостей;

3.5.3 Алгоритм решения задачи на пересечение многогранных поверхностей плоскостями.

4 Расчетно-графическая работа по теме «Взаимная перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей»

Цель работы: закрепить знания и навыки в построении проекций точек, прямых и плоскостей в соответствии с координатным способом их задания, приобрести навыки в решении позиционных задач на прямую и плоскость, научиться строить прямые и плоскости, параллельные и перпендикулярные заданным плоскостям, а также приобрести умение определять натуральную величину отрезка прямой по его комплексному чертежу.

4.1 Содержание работы:

4.1.1 Определить расстояние от точки D до плоскости сигма заданной треугольником АВС.

4.1.2 Построить плоскость тэта, параллельную плоскости сигма и находящуюся на половине расстояния от точки D до плоскости сигма.

4.1.3 Через вершину В плоскости сигма провести плоскость дельта перпендикулярно отрезку АС и построить линию пересечения двух плоскостей (сигма и дельта).

Данные для выполнения задания берем по вариантам из таблицы 4.1

Таблица 4.1 - Координаты точек

В миллиметрах

№ Вар.	F	B	C	D
	x	y	z	x	y	z	x	y	z	x	y	z
1	65	10	20	10	20	0	0	60	60	35	70	5
2	70	0	60	45	50	10	0	20	10	20	50	55
3	70	60	45	40	0	55	0	45	10	65	15	0
4	65	20	0	40	5	55	0	55	5	70	65	55
5	60	60	10	45	15	55	0	5	25	10	45	55
6	60	65	20	45	20	50	5	10	10	70	20	10
7	65	15	0	40	0	50	0	40	20	55	60	50
8	60	65	30	45	10	60	5	10	20	75	15	10
9	75	25	0	30	5	50	10	60	20	60	55	55
10	80	20	10	45	0	70	0	45	40	10	0	15
11	65	20	55	20	5	5	0	50	25	60	55	10
12	65	5	25	35	55	65	0	25	0	65	55	0
13	80	0	40	0	20	70	30	45	0	70	55	65
14	75	10	25	50	45	50	0	25	10	65	55	0
15	65	20	10	10	0	20	0	65	60	35	5	75
16	70	60	0	45	10	50	0	10	20	20	55	50
17	65	45	60	40	55	0	0	10	45	65	0	15
18	70	0	20	40	55	5	0	5	50	70	55	65
19	70	10	60	45	55	15	0	25	5	10	55	45
20	65	20	65	45	50	20	5	10	10	70	10	20
21	60	0	5	46	55	0	0	20	40	55	50	60
22	60	30	65	45	60	10	5	20	10	75	10	15
23	75	25	0	30	50	0	10	20	60	60	55	55
24	80	10	20	45	70	0	0	40	45	10	15	0
25	65	55	20	25	5	5	0	25	50	60	10	55
26	75	25	5	35	65	55	0	0	25	65	0	55
27	80	40	0	0	70	20	30	0	45	70	65	55

4.2 Теоретический раздел работы

4.2.1 Определение расстояния от точки до плоскости.

Так как расстояние от точки до плоскости есть ни что иное, как перпендикуляр, проведенный из этой точки к плоскости, то наша задача сводится к проведению этого перпендикуляра. Прямая линия перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любым двум взаимно пересекающимся прямым этой плоскости. Если в качестве этих прямых взять две любые взаимно пересекающиеся горизонталь и фронталь, то мы можем сказать, что если прямая перпендикулярна плоскости, то ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – перпендикулярна фронтальной проекции фронтали той же плоскости (l ∑(h; f) → l1h1  l2f2). При этом справедлива и обратная теорема, то есть, если проекция прямой перпендикулярна одноименным проекциям главных линий плоскости, то такая прямая перпендикулярна плоскости (смотри рисунок 4.1)

Рисунок 4.1

Рассмотрим применение этих теорем при решении практических задач.

Задача 4.1. Определить расстояние от точки D до плоскости тэта, заданной треугольником АВС.

Ход решения задачи (смотри рисунок 4.2):

- как бы не была задана плоскость, проводим в ней любую фронталь (f1; f2) и горизонталь(h1; h2);

- из точки D1 восстанавливаем перпендикуляр к h1, а из точки D2 – перпендикуляр к f2 и получаем направление перпендикуляра l (l1 l2);

- находим точку К = l∩Θ (как найти эту точку, смотри задачи на пересечение прямой и плоскости);

- D1К1 и D2 К2 проекции перпендикуляра. Его натуральную величину находим любым известным способом. В данной задаче его натуральная величина найдена методом треугольник

Рисунок 4.2

Часто приходится решать задачу обратную – строить плоскость , которая проходит через заданную точку А перпендикулярно данной прямой (рисунок 4.3). Как правило, эту плоскость задают главными линиями плоскости (горизонталью и фронталью), так как известно направление этих главных линий плоскости. Через точку А проводим горизонталь (ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции прямой и через эту же точку А проводим фронталь плоскости (ее фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции прямой).

Рисунок 4.3

4.2.2 Параллельность плоскостей

Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости, параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Через точку пространства можно провести пучок прямых линий параллельных данной плоскости.

На комплексном чертеже (эпюре Монжа) (смотри рисунок 4.4) плоскость сигма задана двумя параллельными прямыми и через точку пространства К проведена плоскость, параллельная заданной, при этом прямая g параллельна с, а прямая е параллельна прямым а и в

Рисунок 4.4

У параллельных плоскостей их главные линии (следы) соответственно параллельны. На рисунке 4.5 плоскость сигма задана следами и дана точка К, через которую нужно провести плоскость, параллельную плоскости сигма. Для этого через точку К проведем одну из главных линий плоскости (например горизонталь). Через след горизонтали будет проходить новая плоскость сигма.

Рисунок 4.5

4.3 Указания к выполнению задания

Задание должно быть выполнено на листе формата А3, расположение альбомное и образец его выполнения смотри приложение И. Лист условно делится на две части, и в левой части выполняется задание 4.1.1 и 4.1.2, в правой части – задание 4.1.3. По координатам точек А, В, С и D выполняем комплексный чертеж плоскости сигма, заданной треугольником АВС и точки D.

4.3.1 Порядок выполнения задания 4.1.1:

-в плоскости сигма проводим фронталь и горизонталь (для удобства данного чертежа фронталь и горизонталь проводим через вершину С, через вершину D проведем прямую l, перпендикулярную плоскости сигма, для этого проводим l2 f2 и l1 h1;

- находим точку пересечения построенной прямой l с заданной плоскостью сигма (алгоритм решения данной задачи смотри в разделе 3.2.1 данного методического указания) l∩∑=К К1D1 и К2D2 – проекции перпендикуляра КD или расстояние от точки а до плоскости сигма;

-для нахождения натуральной величины отрезка DК можно воспользоваться любым известным способом. В нашем примере использован метод прямоугольного треугольника. Для этого из конца (любого) отрезка К1D1 восстановим перпендикуляр, на котором отложим Y = Y к - Y D и тогда К1 = ‌‌ ‌‌‌‌׀ DК׀

4.3.2 Через середину отрезка DК необходимо провести плоскость сигма, параллельную плоскости сигма. Для этого отрезок DК делим на две части, получаем точку L (находим L1 и L2) и через точку L проводим плоскость тэта, которую задаем двумя пересекающимися прямыми m и n Θ(n∩m), при этом m׀׀АС, а n ׀׀АВ.

4.3.3 На поле чертежа справа выполняем комплексный чертеж плоскости сигма, заданной треугольником АВС и через вершину В проводим плоскость дельта, перпендикулярную стороне АС (плоскость дельта задаем горизонталью и фронталью). При этом строим f2А2С2, а h1А1С1. Чтобы найти линию пересечения этих двух плоскостей, нам достаточно найти точку пересечения плоскости дельта прямой АС, так как одна точка пересечения (В) у нас уже есть. Для этого через отрезок АС проводим фронтально-проецирующую плоскость Ф и найдем прямую 12, по которой плоскость дельта пересекается плоскостью фи (12=Δ∩Ф). точка К находится на пересечении прямых АС и 12 (К= АС∩12). Проводим линию пересечения двух плоскостей и определяем видимость.(В примере точка К найдена другим способом).

4.4 Контрольные вопросы

4.4.1 Назовите алгоритм решения задачи на построение перпендикуляра из точки к плоскости.

4.4.2 Назовите алгоритм решения задачи на построение плоскости, перпендикулярной к данной прямой;.

4.4.3 Назовите алгоритм решения задачи на построение плоскости, параллельной заданной.

5 Расчетно-графическая работа № 5 «Сечение поверхности сферы плоскостями»

Цель работы: изучить способы и приобрести умение в построении линий пересечения поверхности сферы плоскостями частного положения.

5.1 Содержание работы: выполнить линии пересечения поверхности сферы плоскостями частного положения (фронтально-проецирующими). Данные для выполнения задания берем по вариантам из таблицы 5.1, образец выполнения задания смотри приложение К.

Таблица 5.1 Задания по вариантам

В миллиметрах

№ вар.	А	В	С	D
	Χ	Ζ	Χ	Ζ	Χ	Ζ	Χ	Ζ
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	85	75	47	110	20	110	85	50
2	85	70	50	100	25	40	85	40
3	27	45	90	45	100	60	60	90
4	70	35	100	70	35	95	45	35
5	10	30	80	80	60	85	35	30
6	90	65	60	95	25	40	90	40
7	35	25	100	50	65	85	35	85
8	105	40	65	90	25	40	90	40
9	90	40	90	70	35	90	35	40
10	85	105	35	65	35	45	85	45
11	80	75	50	75	30	35	80	35
12	85	40	85	105	35	85	25	65
13	90	40	45	90	30	90	30	40
14	40	35	100	70	35	85	40	85
15	70	30	105	80	85	80	40	30
16	35	40	100	40	90	90	60	90
17	35	25	85	70	85	85	35	85
1	2	3	4	5	6	7	8	9
18	75	25	100	85	50	85	30	70
19	85	20	85	80	60	80	35	50
20	25	80	65	30	85	30	85	80
21	100	75	60	90	30	45	110	45
22	105	90	40	90	40	65	75	30
23	85	86	50	86	20	40	45	25
24	40	25	90	65	90	85	40	25
25	85	50	65	95	25	75	25	50

Для всех вариантов центр сферы О (50; 60; 60), и радиус сферы равен 40мм.

5.2 Теоретический раздел

При построении линии пересечения одна из проекций линии пересечения задана (это фронтальная, так как известны координаты X и Z). В условии нашего задания секущие плоскости являются фронтально- проецирующими, поэтому решение задачи значительно упрощается. В случае, если секущая плоскость общего положения, следует воспользоваться одним из способов преобразования ее в плоскость частного положения (проецирующую). Естественно, что преобразованиям надо подвергнуть и заданную сферическую поверхность.

5.2.1 Сечение сферы плоскостью

Сечение сферы плоскостью рассмотрим на примере решения задачи. Пусть дана сфера и фронтально- проецирующая плоскость дельта (смотри рисунок 5.1). окружность, по которой плоскость дельта пересекает сферу проецируется на П1 в виде эллипса. Две вершины этого эллипса точки 1 и 2 являются высшей и низшей точками (главные точки линии пересечения сферы поверхностью) сечения. Для их нахождения пользуются тем, что они являются очевидными, то есть находятся на пересечении секущей плоскости с главным меридианом сферы. Находим 12 и 22 и по линии связи и по принадлежности очерковой образующей определяем горизонтальные проекции точек 1 и 2 (11;21). Точки 3 и 4 тоже являются главными точками линии пересечения – это точки смены видимости на горизонтальной плоскости проекций и принадлежат экватору сферы, точки 5 и 6 определяют большую ось эллипса (1252 = 5222; 5161 = 122 ).

Рисунок 5.1

Пример решения задачи, когда сфера пересекается плоскостью общего положения, смотри на рисунке 5.2

Рисунок 5.2

В нашем примере h(h1,h2) – горизонталь, f(f 1,f2) – фронталь

Рассматриваемый случай можно свести к предыдущему, проделав замену плоскостей проекций (П2 на П4). В новой системе П1П4 заданная плоскость стала проецирующей и горизонтальную проекцию сечения можно построить аналогично тому, как это было сделано на рисунке 5.1. Высшая и низшая точки сечения обозначены соответственно через 1и 2 (11;14) и (21;24). Цифрами 3(31;34) и 4(41;44) обозначены точки, расположенные на контуре горизонтальной проекции сферы и отделяющие видимую часть горизонтальной проекции от невидимой (точки видимости). Заметим, что эти точки (3 и 4) можно определить и непосредственно в системе П2/П1 при помощи плоскости Δ, проходящей через центр сферы  П1 . Построение фронтальной проекции сечения можно выполнить независимо от уже построенной проекции сечения на плоскости П1. Для этого следует перейти от системы П2/П1 к системе П5/ П2 (П5 П2) и дальнейшие построения ничем не отличаются от предыдущих. Заметим, что через 5 и 6 обозначены точки соответственно наиболее и наименее удаленные от плоскости П2. Точки 7 и 8 расположены на меридиане сферы и определяют границы видимости фронтальной линии сечения. Если найденных точек недостаточно для построения проекций сечения (при больших размерах чертежа), то промежуточные точки могут быть определены при помощи вспомогательных секущих плоскостей (параллелей сферы).

Рассмотрим еще один пример рассечения сферы плоскостями .

Сфера рассекается плоскостями по окружностям, которые проецируются в натуральную величину на плоскости, параллельные секущим плоскостям, и в отрезки прямых – на плоскости, перпендикулярные секущим плоскостям. На рисунке 1 показан пример – усеченная полусфера

Σ║П1, Г и Θ║П3). Отсеченная (отброшенная) часть полусферы показана

сплошной тонкой линией.

Рисунок 5.3

5.3 Указания к выполнению РГР5

На листе формата А3, расположение альбомное, выполняем в тонких линиях трехпроекционный комплексный чертеж сферы, выбрав точку О(50;60;60) сферы по координатам и радиусу сферы 40мм. На фронтальной плоскости проекций по координатам точек А;В ;С и D (табличку с координатами точек желательно разместить на свободном поле чертежа внизу слева), взятым согласно варианту из таблицы 5.1, выполняем фронтальную линию сечения сферы фронтально-проецирующими плоскостями. В нашем образце в приложении К это линия 1DА5А' D'1. Фронтальная проекция линии пересечения у нас уже есть, а как найти остальные проекции смотри раздел 5.2.1 данного пособия.

5.4 Контрольные вопросы

5.4.1 Какая фигура получается в сечении при пересечении сферы плоскостью уровня?

5.4.2 Какая фигура получается в сечении при пересечении сферы проецирующей плоскостью?

5.4.3 Перечислите графические операции при построении плоских сечений любой поверхности.

5.4.4 Какие точки линии пересечения поверхности вращения плоскостью называются главными (опорными).

6 Расчетно-графическая работа № 6 «Взаимное пересечение поверхностей»

Целью данного занятия является изучение способов построения линии пересечения поверхностей.

6.1 Задание: в расчетно-графической работе №6 необходимо выполнить две задачи на построение линии пересечения поверхностей. Задачу №6.1 смотри в таблице 6.1, задачу №6.2 таблице 6.2, а варианты задания в таблице 6.3.

Таблица 6.1 - Задача 6.1

Таблица 6.2 - Задача 6.2

Таблица 6.3 - Варианты задания

№

вар.

Задача № 6.1

Задача №6.2

№

вар

Задача № 6.1

Задача №6.2

Таблица 6.1

Таблица 6.2

Таблица 6.1

Таблица 6.2

Рисунок1

Н
α

125

90°

Рисунок1

Н
α

120

135°

Рисунок3

90°

Рисунок3

Н
α

100

90°

Рисунок2

Н
α

45°

Рисунок2

Н
α

60°

Рисунок3

60°

Рисунок3

Н
α

120

120°

Рисунок1

Рисунок4

Н
α

45°

Рисунок4

Н
α

60°

Рисунок2

Рисунок5

Н
α

110

90°

Рисунок5

α1

α2

45°

Рисунок5

Н
α

90°

Рисунок3

45°

Рисунок6

Рисунок4

Рисунок7

45°

Рисунок7

90°

Рисунок7

60°

Рисунок5

α1

α2

90°

0°

Рисунок8

165

Рисунок8

120

Рисунок6

-10

Рисунок7

90°

Рисунок9

Рисунок8

130

Рисунок7

45°

Рисунок6

Рисунок8

Рисунок6

Рисунок8

Рисунок5

Н
α

110

120°

Рисунок7

60°

Рисунок5

Н
α

90°

Рисунок9

Рисунок8

Рисунок6

Рисунок4

Н
α

30°

Рисунок1

Рисунок4

Н
α

90°

Рисунок9

Рисунок3

Н
α

150

110°

Рисунок2

Рисунок3

Н
α

100

135°

Рисунок5

α1

α2

60°

30°

Рисунок2

Н
α

60°

Рисунок3

Рисунок2

Н
α

90°

Рисунок4

Рисунок1

Н
α

120

75°

Рисунок4

6.2 Теоретический раздел

Линия пересечения поверхностей представляет собой совокупность

точек обеих поверхностей. В общем случае для нахождения линии пересечения поверхностей используется следующий алгоритм построения линии пересечения поверхностей:

- Провести анализ вида поверхностей и их взаимного расположения. Анализ взаимного расположения поверхностей позволяет сделать вывод о количестве замкнутых контуров в линии пересечения. В случае проницания, когда одна из поверхностей полностью пересекается второй, линия пересечения состоит из двух контуров. Если пересечение частичное (случай врезки), линия пересечения представляет собой один пространственный контур. При касании поверхностей два контура линии пересечения имеют общую точку.

- Провести анализ вида линии пересечения поверхностей. Необходимо проанализировать и возможный вид линии пересечения (ее контура): пространственный или плоский, гладкий или с изломами, симметричный или несимметричный. Линия пересечения многогранников в общем случае представляет собой пространственную замкнутую ломаную, в частных случаях – пространственные либо плоские многоугольные контура.

Линия пересечения поверхностей второго порядка в общем случае –пространственная гладкая кривая четвертого порядка. Если такие поверхности имеют общую плоскость симметрии, то и линия пересечения будет симметричной кривой. Линия пересечения поверхности вращения либо поверхности второго порядка с многогранником в общей случае – пространственная кривая с точками излома в точках пересечения ребер с поверхностью второго порядка.

- Найти точки линии пересечения, определяемые непосредственным образом. Линия пересечения двух поверхностей в общем случае имеет характерные (опорные) точки, с которых и следует начинать построение линии пересечения. Опорными точками являются:

-точки, принадлежащие ребрам многоугольника, участвующим в пересечении;

- точки, в которых линия пересечения пересекает линию видимого контура поверхности относительно той или иной плоскости проекций (проекции этих точек принадлежат очерковой линии соответствующей проекции поверхности и называются очерковыми, они делят соответствующую им проекцию линии пересечения на видимую и невидимую, их еще называют точками смены видимости), но не каждая из очерковых является точкой смены видимости;

- экстремальные точки, то есть точки наиболее и наименее удаленные от той или иной плоскости проекций (по отношению к горизонтальной плоскости проекций это высшая и низшая точки).

- Выбрать вспомогательные плоскости – посредники для построения промежуточных точек. Основным способом построения линии пересечения поверхностей является способ вспомогательных поверхностей. Сущность его заключается в том, что каждая из искомых точек рассматривается как результат пересечения двух линий, одна из которых результат пересечения вспомогательной поверхности с одной из заданных, другая – той же вспомогательной поверхности с другой заданной.

Выбор вида и положения вспомогательной секущей плоскости определяется в основном следующими соображениями: необходимостью определения положения ряда опорных точек, так как опорные точки располагаются на вполне определенных линиях, то вспомогательные поверхности выбрать так, чтобы они пересекли заданные именно по этим линиям (следует определить внимание, что при решении конкретных задач каждая из опорных точек требует составления своего особого алгоритма построения, в то время как промежуточные точки могут быть построены на основании одного и того же алгоритма); любая из проведенных вспомогательных секущих плоскостей должна пересекать каждую из заданных по линиям, проекции которых должны быть графически простыми (прямая, окружность); все вспомогательные поверхности должны проводиться в пределах зоны возможного расположения (зона наложения) линии пересечения.

Вспомогательные секущие плоскости-посредники часто выбирают проецирующими или вращающими вокруг прямой (собственной или несобственной). Из проецирующих плоскостей чаще используют плоскости уровня. При определении линии пересечения двух поверхностей вращения, при их особом взаимном положении, не всегда рационально применять вспомогательные секущие плоскости, а использовать способ вспомогательных секущих сфер (концентрических и эксцентрических). Концентрические сферы-посредники применяются для определения линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями. Каждая из этих поверхностей имеет семейство окружностей, являющихся линиями сечения их концентрическими сферами.

- Объединить полученные точки в линию пересечения. Объединение найденных точек в линию пересечения легче всего производится путем обхода.

- Определить видимость линии пересечения и видимость поверхностей на плоскостях проекций.

Для наглядности чертежа на плоскостях проекций определяют видимость линии пересечения и самих поверхностей. При этом видимой точкой пересечения является точка, принадлежащая видимым частям обеих поверхностей.

6.2.1 Построение линий пересечения поверхности с помощью вспомогательных секущих плоскостей

При решении задач на построение линий пересечения поверхностей вспомогательные секущие плоскости обычно выбирают в виде плоскостей уровня (плоскостей, параллельных плоскостям проекций). Линии двух поверхностей имеют характерные (опорные, главные) точки, с которых и следует начинать построение линий пересечения. Они позволяют видеть, в каких границах можно изменять положение вспомогательных секущих плоскостей для определения произвольных точек.

Способ определения линии пересечения поверхности с помощью плоскостей, - ось которого – собственная прямая.

Этот способ применяется для построения линий пересечения:

а) двух конических поверхностей;

б) конической и цилиндрической поверхности;

в) конической поверхности с поверхностью пирамиды или призмы;

г) двух цилиндрических поверхностей;

д) цилиндрической поверхности с поверхностью пирамиды или призмы.

Рассмотрим несколько следующих задач.

1. Построить линии пересечения цилиндра и конуса, оси которых

пересекаются (рисунок 6.1).

Обе данные поверхности рассечены вспомогательными плоскостями I2, II2, III2 и т.д., которые параллельны плоскости П1. На горизонтальной проекции конуса получится ряд концентрических окружностей, обозначенных теми же номерами, а на проекции цилиндра – ряд образующих.

В пересечении образующих с соответствующими окружностями определяются горизонтальные проекции точек искомого сечения а, в, с и прочие, по которым затем находят их фронтальные проекции.

Найденные проекции точек соединяют плавными кривыми. Невидимые части

линии пересечения проведены штрихами на обеих проекциях.

Границей между видимой и невидимой частями линий пересечения являются крайние образующие цилиндра.

Рисунок 6.1

Такие наиболее характерные точки линий пересечения кривых поверхностей следует строить в первую очередь, т.е. начинать работу с определения точек, в которых крайние (очерковые) образующие каждой поверхности, ограничивающие контур видимости на П1, П2, пересекают другую поверхность. После этого находят проекции нескольких промежуточных точек.

Если кривая поверхность пересекается с многогранником, то контур линии пересечения состоит из нескольких кривых частей, пересекающихся между собой на ребрах многогранника, следовательно, в этих точках криволинейный контур имеет резкие изломы. Эти характерные точки следует определять в первую очередь. На рисунке 6.2 таковыми являются точки (11, 12), (21, 22), (31, 32), (41, 42), в которых ребра призмы пронизывают поверхность конуса.

В обоих рассмотренных примерах легко выбрать вспомогательные секущие плоскости так, чтобы в пересечении их с каждой из данных поверхностей получились простые линии – окружности или прямые. Особенность этих примеров состояла в том, что одна из данных поверхностей была проецирующей (т.е. ее образующие или ребра были перпендикулярны к одной из плоскостей проекций).

Рисунок 6.2

В таких случаях одна из проекций искомой линии уже имеется на эпюре: она совпадает с соответствующей проекцией той из данных поверхностей, которая является проецирующей (например, с профильной цилиндра на рисунке 6.1 или с фронтальной рисунке 6.2).

Вся задача, в сущности, сводится к нахождению по одной известной заранее проекции линии пересечения других ее проекций.

Затем найдены еще две характерные точки (51, 52) и (61, 62), в которых крайняя образующая конуса пересекает грани призмы. После этого можно найти проекции нескольких промежуточных точек, в которых другие образующие конуса пересекают грани призмы (71, 72; 81, 82; 91, 92; 101, 102).

Пример. Построить линию пересечения двух поверхностей - конической

поверхности Δ и сферы Т (рисунок 6.3).

Заданные поверхности имеют общую (фронтальную) плоскость симметрии,

определяемую осью конуса i и осью сферы i ′ .

Построение линии пересечения начнем с определения опорных точек. Сначала отмечаем очевидные общие 1 и 7 точки поверхностей в пересечении их главных меридианов δ ∩ τ, так как поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии Ф (Ф1). Фронтальные проекции точек 12(72) = δ2 ∩ τ2

Горизонтальные проекции точек 11= 1211∩τ1 , 71= 7271∩τ1. Эти опорные точки являются наивысшей 1 и наинизшей 7 точками линии пересечения, а также точками видимости на плоскости П2.

Брать вспомогательные фронтальные плоскости параллельные П для построения следующих точек неудобно, так как они будут пересекать конус по гиперболам. Графически простые линии (окружности параллелей) на данных поверхностях получаются от пересечения их горизонтальными плоскостями уровня Г. Первую такую вспомогательную плоскость Г (Г2) берем на уровне экватора сферы h (h2). Эта плоскость пересекает конус по параллели n . В пересечении n и h, параллелей конуса и сферы, находятся точки видимости линии пересечения на плоскости П1 h1∩n1 = 41(4′1); 4142 ∩h2 (или n2)= 42(4′2).

Промежуточные точки 6 и 6′ линии пересечения построены с помощью плоскости Г′ (Г′2), пересекающей поверхности по параллелям h′ и m.

h′1 ∩m1 = 61(6′1); 6162 ∩ h′2 = 62(6′2).

Аналогично построены точки 2(2') и 3(3') с помощью вспомогательных плоскостей Г'' (Г2'')и Г"' (Г2'").

Видимость заданных поверхностей и точек линии пересечения на плоскости

проекций П2 определяет фронтальная плоскость Ф (Ф1). Плоскость Ф делит поверхности конуса и сферы на две симметричные части. Те части заданных поверхностей, которые расположены перед плоскостью Ф на плоскости П2 видимы, а значит видимы и точки 2' 3', 4', 5', 6' им принадлежащие. Точки 2, 3, 4, 5, 6 - невидимы на П2. Так как линия пересечения - кривая, симметричная относительно плоскости Ф, то на плоскости П2 видимая ее часть и невидимая совпадают. Изображаем на чертеже видимую часть линии пересечения сплошной основной линией. Границы видимости - точки 1 и 7. Видимость заданных поверхностей и линии пересечения на плоскости проекций П1,

определяет плоскость Г (Г2) и поверхность сферы: та часть сферы, которая расположена над плоскостью Г на П1, будет видима, значит и точки 1, 2', 2, 3, 3' на П1 видимы, как ей принадлежащие. Точки 5, 5', 6, 6', - невидимы на П1. Границы видимости - точки 4 и 4'.

Соединяем одноименные проекции построенных точек с учетом их видимости плавными кривыми и получаем проекции искомой линии пересечения.

Рисунок 6.3

6.2.2 Построение линий пересечения поверхностей

с помощью вспомогательных сферических поверхностей

Построение линий пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер можно двумя способами:

- способом концентрических сфер;

- способом эксцентрических сфер.

Рассмотрим первый способ построения линии пересечения. Этот способ применяется для построения линий пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются. Для упрощения графического решения необходимо, чтобы плоскость, определяемая осями поверхности вращения, была параллельной какой-либо плоскости проекции.

Пример. Построить линию пересечения поверхности конуса Δ и цилиндрической поверхности Т с пересекающимися во фронтальной плоскости Ф (Ф1) осями вращения i i′ (рисунок 6.4). Заданные поверхности Δ и Т имеют общую фронтальную плоскость симметрии Ф (Ф1). Следовательно, главные меридианы этих поверхностей пересекаются и дают в своем пересечении точки видимости линии пересечения на плоскости П2 или самую высокую 1 и самую низкую 7 точки.

Рисунок 6.4

В данном примере выполнены условия, позволяющие применение вспомогательных секущих сфер для построения точек линии пересечения. Оси поверхностей вращения пересекаются в точке 0 (01; 02), которая является центром вспомогательных секущих сфер. Радиус сфер изменяется в пределах Rmin< R <Rmax. Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра 0 до наиболее удаленной точки 1 (Rmax = 0212).

Радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности и пересекающей другую поверхность по окружности. В данном примере сфера радиуса R касается поверхности конуса по окружности h (h2, h1) и пересекает поверхность цилиндра по окружности n (n1, n2).

Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении окружностей h и n отмечаем точки 4 и 4', принадлежащие линии пересечения поверхностей:

42(4′2) = h2∩n2 ; 41(4′1)=42 41∩h1.

Промежуточная сфера радиуса R пересекает поверхности Δ и Т по окружностям h′1 и m , в пересечении которых определяются точки 3 и 3'. 32(3′2) = h′2∩m2; 31(3′1)=32 31∩h1. Аналогично определены точки 6 (6') и 2 (2′).

Определим видимость точек линии пересечения на плоскости проекций П2.

Плоскостью видимости является плоскость Ф. Она делит кривую на две симметричные части, которые на П2 совпадают. Видимая часть линии пересечения 1, 2′, 3′, 4′, 5′, 6′, 7- закрывает невидимую 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. На плоскости П2 изображаем видимую часть кривой сплошной основной линией. Границы видимости - точки 1 и 7.

Видимость на плоскости проекций П1 определяет поверхность цилиндра. Плоскость Σ (Σ2) делит поверхность цилиндра на две части. Та часть поверхности цилиндра, которая расположена над плоскостью Σ, на плоскости П1 видима, а значит и точки 4, 3, 2, 1, 2′, 3′,4′ видимы, как ей принадлежащие. Границы видимости точки 5 и 5'. Точки 51, 61, 71, 6'1,5'1 соединяем линией невидимого контура. Соединяя одноименные проекции построенных точек с учетом их видимости, получаем проекции линии пересечения поверхностей.

Способ эксцентрических секущих сфер

Способ эксцентрических секущих сфер применяется, когда одна из осей -

проецирующая прямая, вторая линия уровня.

Пример. Построить линию пересечения поверхности конуса вращения Ф и

поверхности тора Ф', имеющих общую фронтальную плоскость симметрии. Оси i и i′ не пересекаются (рисунок 6.5). Опорные точки линии пересечения (высшая 1, низшая 6) определяются пересечением главных меридианов на плоскости П2. Для определения случайных точек, принадлежащих линии пересечения тора с конусом, можно применить вспомогательные секущие сферы, центры которых будут расположены на оси конуса. Сферы необходимо подбирать так, чтобы они пересекали тор по окружностям.

Для определения центра и радиуса вспомогательной секущей сферы проведем произвольную плоскость Σ (Σ2), проходящую через ось тора (т.e. Σ ┴П2). Плоскость Σ пересечет тор по окружности радиуса L2,C2 с центром в точке С2. Через центр С2 проведем прямую перпендикулярную Σ и пересекающую ось конуса в точке О2, т.е. линия С2О2 (касательная к осевой окружности тора). Точка О2 есть центр вспомогательной секущей сферы, а прямая O2L2 - радиус этой сферы R. Определим линии пересечения вспомогательной секущей сферы с конусом и тором. С конусом сфера пересекается по окружности, диаметр которой А2В2. С тором сфера пересекается по окружности, диаметр которой L2N2 .

А2В2 ∩L2N2 = 22. Точка 22 одна из точек искомой линии пересечения. Аналогично построены точки 52, 32, 42, 62.

Для построения горизонтальных проекций точек линии пересечения используем параллели тора, как показано на рисунке 6.5, для точек 51 и 61. Так как точки 1 и 6 принадлежат меридианам поверхностей, на П1 они проецируются на горизонтальную ось тора и конуса, которые совпадают.

Полученные точки соединяем с учетом видимости плавной кривой линией. На плоскости П1 видимость линии пересечения определяет плоскость Г (Г2). Часть линии 21, 11, 2'1, - видима. Часть линии 31, 41, 51, 61, 5'1, 4'1, 3'1, - невидима. На плоскости П2 видимость определяет плоскость Т (Т1). Относительно этой плоскости линия пересечения - симметричная линия. Видимая часть линии 62, 5'2, 4'2, 3'2, 22, 1'2, совпадает с невидимой ее частью 62, 52, 42, 32, 22, 12. На чертеже изображаем видимую часть линии пересечения сплошной основной линией

Рисунок 6.5

6.3 Указания к выполнению работы

Лист формата А3 (расположение альбомное) условно разделяем на две части. В левой части листа выполняем задачу 6.1, а в правой 6.2. Способ нахождения линии пересечения выбираем в зависимости от того, какие тела пересекаются. В нашем примере задача 6.1 выполнена способом концентрических сфер, смотри пример на рисунке 6.4 в разделе 6.2.2. Задача 6.2 выполнена способом эксцентрических сфер. Пример решения такой задачи приведен на рисунке 6.5 в том же разделе пособия.

6.4 Контрольные вопросы

6.4.1 Назвать общий алгоритм пересечения поверхностей.

6.4.2 Назовите способы определения линии пересечения поверхностей.
6.4.3 Охарактеризуйте характерные точки линии пересечения.

6.4.4 Какая линия получается при пересечении многогранных поверхностей.

6.4.5 В каком случае пересечения поверхностей применяется метод концентрических сфер.

7 Расчетно-графическая работа №7«Аксонометрические проекции»

Цель работы научиться выполнять аксонометрические проекции по комплексному чертежу.

7.1 Задание: выполнить аксонометрическую проекцию тела с выемкой или группы пересекающихся тел. Данные для работы взять с РГР5 или РГР 6.

7.2 Теоретический раздел.

Аксонометрические проекции применяются в качестве вспомогательных проекций к комплексному чертежу, когда требуется поясняющее наглядное изображение формы детали или предмета.

Сущность метода аксонометрии заключается в следующем: объект относят к прямоугольной декартовой системе координат и проецируют его вместе с осями координат пучком параллельных лучей на некоторую плоскость проекций, называемую аксонометрической. (Смотри рисунок 7.1) Полученное на ней изображение называют аксонометрическим (или просто аксонометрия), а проекции координат осей – аксонометрическими осями координат. Слово «аксонометрия» - греческое, состоит из двух слов axon – ось, metreo – измеряю, что в переводе означает «измерение по осям».

Рисунок 7.1

В зависимости от направления проецирующих лучей и искажения линейных размеров вдоль осей аксонометрические проекции делятся на прямоугольные и косоугольные. Прямоугольные аксонометрические проекции дают более наглядное изображение и поэтому чаще применяются в машиностроении. На рисунке 7.2 дано наименование видов аксонометрических проекций, расположение осей и показатели искажения линейных размеров по осям в соответствии с ГОСТ 2.317.

Прямоугольные проекции

изометрическая диметрическая

Косоугольные проекции

фронтальная изометрическая горизонтальная изометрическая

фронтальная диметрическая

Рисунок 7.2

Показателем искажения называется отношение длин звеньев на аксонометрической проекции к соответствующей натуральной величине звена и они в соответствии с осями обозначаются U;V;W, если U=V=W , то этот вид аксонометрии называется изометрия; если U=2V=W или 2U=V=W, то это - диметрия и если U≠V ≠W≠U, то это - триметрия.

Следует обратить внимание на то, что в техническом черчении для упрощения построений искажение по осям не учитывается, а размеры по осям в изометрии выполняются в натуральную величину, а в диметрии с соотношением 1:0,5:1, то есть само изображение в изометрии увеличивается в 1,22 раза, а диметрии в 1,06 раз, однако наглядность при этом никак не изменяется.

7.2.1 Аксонометрическая проекция точки и прямой

Известно, что все поверхности предметов состоят из линий, а линии из точек, поэтому рассмотрим построение аксонометрической проекции точки на рисунке 7.3. Точка А задана своими координатами X,Y и Z.

Рисунок 7.3

Аксонометрическая проекция отрезка может быть легко построена по двум точкам (концам этого отрезка).

7.2.2 Аксонометрические проекции плоских фигур и геометрических тел

На примере, изображенном на рисунке 7.4 рассмотрим построение плоской фигуры на трех плоскостях проекций. Для упрощения построений считаем, что фигура расположена в плоскостях П1, П2, и П3 .

Рисунок 7.4

На примере, изображенном на рисунке 7.5, рассмотрим построение прямоугольной изометрической проекции призмы на трех плоскостях проекций. Если основанием призмы является правильный многоугольник, например шестиугольник, то построение вершин основания по координатам можно упростить, проведя одну из осей через центр основания. Построив изометрию основания призмы, из вершин его основания проводим прямые, параллельные соответствующим осям ;; (в зависимости от того, как расположена призма) и на этих прямых от вершин откладываем высоту призмы, тем самым получая изометрию шести точек вершин другого основания. Дальнейшее построение сводится к тому, что отделяем видимые линии от невидимых и наводим полученное изображение.

Рисунок 7.5

На рисунке 7.6 показано выполнение изометрии правильной шестигранной пирамиды, заданной высоты. Рисуем изометрические оси, причем начало их помещаем в центр шестигранника и выполняем изометрию нижнего основания. Дальше от центра откладываем вверх высоту пирамиды и отмечаем точку, соединяем ее с вершинами нижнего основания. Сплошной толстой линией обводим видимый контур, линии невидимого контура изображаем штриховой.

Рисунок 7.6

В такой же последовательности выполняются аксонометрические проекции цилиндров и конусов (смотри рисунок 7.7). При этом приходится рисовать эллипсы, в виде которых обычно проецируются окружности.

Рисунок 7.7–Изометрия цилиндра и конуса с точкой А на поверхности.

7.2.3 Прямоугольная изометрическая проекция окружности

Если построить изометрическую проекцию куба (сторона равна D), в грани которого вписаны окружности диаметра D, то квадратные грани куба будут изображаться в виде ромбов, а окружности в виде эллипсов (смотри рисунок 7.8). Следует запомнить, что малая ось каждого эллипса всегда должна быть перпендикулярна большой оси. Большие оси всех трех эллипсов направлены по большим диагоналям ромбов. При построении изометрической проекции окружности без сокращений по осям U=V=W=1 длина большой оси эллипса берется 1,22 D, а малой 0,71 D.

Рисунок 7.8

Примечание: вместо эллипсов, рекомендуется применять овалы, очерченные дугами окружностей (рисунок 7.9).

7.2.4 Изометрия шара (рисунок 7.10)

Изометрия шара выполняется следующим образом: из намеченного центра проводим окружность , диаметр которой равен 1,22 D (D диаметр шара) – это будет изображение шара в изометрии. Если необходимо построить половину, четверть или три четверти шара, то необходимо сначала вычертить один, два или три овала и тогда овалы и точки K;M;L определяют границы трех четвертей шара. На что следует обратить внимание при штриховке, что линии штриховки сечений наносят параллельно одной их диагоналей проекций квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которого параллельны аксонометрическим осям.

Рисунок 7.9

Рисунок 1.10

7.3 Указания к выполнению задания

На листе формата А3, расположение альбомное, выполняем рамку чертежа и отмечаем место для основной надписи. Для выполнения аксонометрической проекции берем комплексный чертеж из РГР5 или из РГР6 (по выбору студента). Намечаем начало координат аксонометрических осей и приступаем к выполнению аксонометрической проекции. Если выбираем комплексный чертеж пересекающихся тел, то сначала в тонких линиях изображают оба тела, а затем по координатам точек, взятых с комплексного чертежа, выполняем линию пересечения поверхностей. Следует заметить, что прежде чем навести линию пересечения поверхностей, необходимо представить себе эту линию в пространстве. В зависимости от вида пересекающихся поверхностей и способа их пересечения характер и число линий пересечении может быть различным. На рисунке 7.11 приведено несколько случаев пересечения поверхностей.

Рисунок 7.11

На образце, выполненном в приложении М данного пособия, выполнена аксонометрическая проекция (изометрия) двух пересекающихся тел (тора и конуса).

7.4 Контрольные вопросы.

7.4.1 Назовите виды аксонометрических проекций.

7.4.2 Как располагаются оси в прямоугольной изометрии.

7.4.3 Каковы показатели искажения для прямоугольной диметрии.

7.4.5 Как построить аксонометрическую проекцию точки, прямой.

7.4.6 Как построить аксонометрическую проекцию призы.

7.4.7 Как построить аксонометрическую проекцию пирамиды.

7.4.8 Как построить аксонометрическую проекцию шара.

Литература

1 Бубенников А.В, Начертательная геометрия. Учебник для ВТУзов, М, Высшая школа, 1985г.

2 Гордон В.О., Иванов Ю.Б., СолнцеваТ. Е. Сборник задач по курсу «Начертательная геометрия». Высшая школа, 2000г

3 Левицкий В.С.Машиностроительное черчение и автоматизация выполнения чертежей. Учебник для ВТУзов, М, Высшая школа, 2001

4 Лупашко Г.П., Бурменко Ф.Ю. Начертательная геометрия. Конспект лекций. Тирасполь. ПГУ, 2005г.

5 ЕСКД – сборник стандартов 2.100 и 2.300 по состоянию на 01.02.97г.

Приложение А

(справочное)

Самостоятельная работа (выполнение расчетно-графических работ) для студентов специальности 311300 «Механизация сельского хозяйства»

Номер работы	Название работы
РГР1	Титульный лист
РГР2	Комплексный чертеж плоскости
РГР3	Взаимное пересечение плоскостей
РГР4	Взаимная параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей
РГР5	Пересечение поверхности (геометрических тел) плоскостями
РГР6	Взаимное пересечение поверхностей
РГР7	Аксонометрические проекции

Приложение Б

(Рекомендуемое)

Типы линий и их начертание

Приложение В

(справочное)

Наименование и написание букв греческого и латинского алфавитов

Греческий алфавит	Латинский алфавит
буква	наименование	буква	наименование
Αα	альфа	Aa	а
Ββ	бета	Bb	бе
Γγ	гамма	Cc	се
Δδ	дельта	Dd	де
Εε	эпсилон	Ee	е
Ζζ	дзета	Ff	эф
Ηη	эта	Gg	ге
Θθ	тэта	Hh	аш
Іι	йота	Ii	и
Κκ	каппа	Jj	йот
Λλ	ламбда	Kk	ка
Μμ	мю	Ll	эль
Νν	ню	Mm	эм
Ξξ	кси	Nn	эн
Οο	омикрон	Oo	о
Ππ	пи	Pp	пэ
Ρρ	ро	Rr	эр
Σσ	сигма	Ss	эс
Ττ	тау	Tt	тэ
Υυ	ипсилон	Uu	у
Φφ	фи	Vv	ве
Χχ	хи	Ww	дубль ве
Ψψ	пси	Xx	икс
Ωω	омега	Yy	игрек
		Zz	зет

Начертание букв цифр и знаков

Приднестровский государственный

Университет им. Т.Г. Шевченко

Аграрно-технологический факультет

Графические работы

По начертательной геометрии

Студента группы 202А Плукчи С.Г.

Принял преподаватель Рыбалова Т.Ф.

2007-2008учебный год

Приложение Г

(справочное)

Образец выполнения титульного листа

Приложение Д

(справочное)

Принятые обозначения и терминология

Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита: А, В, С …

Вспомогательные точки обозначают арабскими цифрами: 1, 2, 3…

Линии (прямые и кривые) - строчные буквы латинского алфавита: a, b, c ...

Прямые, имеющие специальные обозначения: горизонталь - h, фронталь - f.

Углы в пространстве - строчные буквы греческого алфавита: α, β, γ…

Плоскости и поверхности в пространстве - прописные буквы греческого

алфавита: Δ, Σ, Ψ…

Плоскости проекций:

- горизонтальная плоскость проекций - П1,

- фронтальная плоскость проекций - П2,

- профильная плоскость проекций - П3.

Дополнительные плоскости проекций: П4, П5, П6 …

Проекции точек, прямых и плоскостей: на П1 - А1,а1,Ψ1…, на П2 - А2, а2, Ψ2.

Следы прямой: горизонтальный след - h, фронтальный след -f

Способ задания геометрической фигуры:

m(АВ) - прямая m задана ее точками А и В,

Ω(c∩d) - плоскость Ω задана пересекающимися прямыми c и d ,

Σ(Σ1, Σ2) - плоскость Σ задана своими проекциями,

│ΑΒ│ - длина отрезка АВ.

Аксонометрическая плоскость проекций обозначается как П′ - буква П

греческого алфавита с добавлением значка «штрих».

Аксонометрические оси: х ′, y′, z′ .

Ортогональное (прямоугольное) проецирование – проецирование

параллельными лучами из бесконечности под прямым углом к плоскости проекций.

Ось проекций – линия пересечения плоскостей проекций. Ось х12 разделяет плоскости П1 и П2 , ось y13 разделяет плоскости П1 и П3 , ось z23 разделяет плоскости П2 и П3. Часто ось проекций на чертеже не проводится, но ее расположение всегда известно. Так, ось х12 всегда горизонтальна.

Линия проекционной связи (линия связи) – линия, перпендикулярная к оси проекций. На линии связи расположена пара проекций точки.

Геометрическая фигура – любое множество точек. К фигурам относится точка (множество, состоящее из одного элемента), прямая либо кривая линия, плоскость, поверхность, тело.

Конкурирующие точки – точки, проекционно совпадающие на одной из плоскостей проекций. Горизонтально конкурирующие точки имеют совпадающие проекции на горизонтальной плоскости проекций; фронтально конкурирующие точки имеют совпадающие проекции на фронтальной плоскости проекций.

Опорные точки – крайние точки (верхняя, нижняя, левая, правая, дальняя, ближняя) и точки перехода видимости.

Прямая общего положения – прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций.

Прямая уровня – прямая, параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь (горизонтальная прямая уровня) параллельна плоскости П1.

Фронталь плоскости параллельна плоскости П2.

Профильная прямая – параллельна плоскости П3.

Проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная одной из плоскостей проекций. Например, фронтально проецирующая прямая перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. На эту плоскость прямая проецируется в виде точки.

Следы прямой – точки пересечения прямой с плоскостями проекций.

Плоскость общего положения – плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций.

Проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций. На комплексном чертеже имеет вырожденную в прямую проекцию на той плоскости проекций, которой она перпендикулярна. Так, горизонтально проецирующая плоскость ┴П1 имеет проекцию на П1 в виде прямой.

Плоскость уровня – плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций. Такие плоскости являются дважды проецирующими, так как на двух плоскостях проекций имеют вид прямой, расположенной под прямым углом к линиям связи.

Многогранник – замкнутая гранная поверхность, имеющая не менее четырех граней (пирамида, призма, тетраэдр и т. д.).

Поверхность вращения образуется вращением образующей l вокруг оси вращения i.

Поверхности 2–го порядка – поверхности, заданные алгебраическим уравнением 2–й степени (эллипсоиды, параболоиды, параболическая цилиндрическая поверхность и т. д.).

Очерк поверхности – проекция контура поверхности на плоскость проекций.

Аксонометрическая проекция – параллельная проекция предмета, дополненная изображением координатных осей с натуральными масштабными отрезками, отложенными на этих осях.

Приложение Е

(Рекомендуемое)

Образец выполнения РГР2

Приложение Ж

(Рекомендуемое)

Образец выполнения РГР3

Приложение И

(Рекомендуемое)

Образец выполнения РГР4

Приложение К

(Рекомендуемое)

Образец выполнения РГР5

Приложение Л

(Рекомендуемое)

Образец выполнения РГР6

Приложение М

(Рекомендуемое)

Образец выполнения РГР7

1. Теория Государства и права1
2. Деятельность Бурятского Сберегательного Банка России
3. химические показатели сметаны
4. Тема 1. Поняття менеджменту та його зміст.
5. технічного забезпечення польотів Кафедра менеджменту економіки та права А.html
6. Моя профессия
7. Виды наказаний, связанных с ограничением свободы в российском законодательстве
8. Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе федерального компонента государственного
9. Управление ~ целенаправленная деятельность руководящего состава и органов управления гражданской оборон
10. Строительных дисциплин 4 декабря 2013 Председатель Р

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе