Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопрос 1.Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства определителей
Определитель 2-го порядка матрицы А определяется по формуле:
Определитель 3-го порядка матрицы А определяется по формуле:
=
Свойства определителя
1. Определитель матрицы A равен определителю транспонированной матрицы
2. Если две строки(столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак.
3. Если две строки(столбца) матрицы пропорциональны или равны, то определитель равен нулю.
4. Если какую-либо строку(столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь определитель умножится на это число(т.е. общий множитель строки(столбца) можно выносить за знак определителя), например,
5. Если все элементы некоторой строки(столбца)равны нулю, то определитель равен нулю.
6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей, т.е.
7. Если к элементам некоторой строки(столбца) определителя прибавить соответствующие элементы какой-либо другой строки(столбца), умноженные на произвольное число, то определитель не изменится. Например,
8. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, т.е.
Вопрос 2.Матрицы и операции над ними. Обратная матрица. Ранг матрицы.
Вопрос 3.Системы линейных уравнений (постановка задачи). Исследование системы на совместность. Теорема Кронекера- Капелли
Теорема Кронекера- Капелли:
Вопрос 4. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородной системы.
Вопрос 5. Декартова прямоугольная система координат. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Орт- вектора. Направляющие косинусы.
|
Для задания декартовой прямоугольной системы координат нужно выбрать несколько взаимноперпендикулярных прямых, называемых осями. Точка пересечения осей O называется началом координат. На каждой оси нужно задать положительное направление и выбрать единицу масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P. Декартовыми прямоугольными координатами точки P на плоскости называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых - осей координат или, что то же, проекции радиус-вектора rточки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси. Когда говорят про двухмерную систему коодинат, горизонтальную ось называют осью абсцисс (осью Ox), вертикальную ось - осьюординат (осью Оy). Положительные направления выбирают на оси Ox - вправо, на оси Oy - вверх. Координаты x и y называются соответственно абсциссой и ординатой точки. Запись P(a,b) означает, что точка P на плоскости имеет абсциссу a и ординату b. Декартовыми прямоугольными координатами точки P в трехмерном пространстве называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на три взаимно перпендикулярные координатные оси. В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны левая и правая координатные системы. Рис. 3а: Левые координатные системы Рис. 3б: Правые координатные системы Как правило, пользуются правой координатной системой. Положительные направления выбирают: на оси Ox - на наблюдателя; на оси Oy - вправо; на оси Oz - вверх. Координаты x, y, z называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой. Координатными поверхностями, для которых одна из координат остается постоянной, здесь являются плоскости, параллельные координатным плоскостям, а координатными линиями, вдоль которых меняется только одна координата, - прямые, параллельные координатным осям. Координатные поверхности пересекаются по координатным линиям. Запись P(a,b,c) означает, что точка Q имеет абсциссу a, ординату b и аппликату c. |
Проекция вектора на ось – это вектор, началом и концом которого являются соответственно проекции начала и конца заданного вектора.
Проекцию вектора на ось L обозначают как .
Чтобы построить проекцию вектора на ось L, нужно из точек А и В опустить перпендикуляры на направленную прямую L – основания этих перпендикуляров дадут начало и конец искомой проекции .
Координатами вектора называются коэффициенты его разложения по базисным векторам.
Два вектора и евклидова пространства называются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю: .
Система векторов называется ортогональной, если все ее векторы попарно ортогональны, т.е. при . Система векторов называется ортонормированной, если все ее векторы попарно Ортогональны и длина (норма) каждого вектора системы равна единице, т.е.
Говорят, что вектор ортогонален (перпендикулярен) множеству , если он ортогонален каждому вектору из . Ортогональность векторов обозначается знаком перпендикуляра .
Свойства ортогональных векторов
1. Нулевой вектор ортогонален каждому вектору пространства.
2. Взаимно ортогональные ненулевые векторы линейно независимы.
В самом деле, пусть векторы попарно ортогональны. Составим из них линейную комбинацию и приравняем ее нулевому вектору:
Умножим обе части равенства скалярно на вектор
Следовательно, . Так как , то . Аналогично доказываем, что , т.е рассматриваемая линейная комбинация тривиальная. Значит, ортогональная система векторов линейно независима.
3. Если сумма взаимно ортогональных векторов равна нулевому вектору, то каждое из слагаемых равно нулевому вектору.
4. Если вектор ортогонален каждому вектору системы , то он также ортогонален и любой их линейной комбинации. Другими словами, если , то .
5. Если вектор ортогонален подмножеству евклидова пространства, то он ортогонален и линейной оболочке этого подмножества, т.e. .
6. Если — ортогональная система векторов, то
Это утверждение является обобщением теоремы Пифагора.
Направляющие косинусы вектора a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.
Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.
Свойство: Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
Так в случае плоской задачи направляющие косинусы вектора
a = {ax;ay} находятся по формулам
Так в случае пространственной задачи направляющие косинусы вектора
a = {ax; ay;az} находятся по формулам
Вопрос 6.Скалярное произведение векторов и его свойства
Вопрос 7.Векторное произведение векторов и его свойства
Вопрос 8.Смешанное произведение векторов и его свойства.
Вопрос 9. Уравнение плоскости
Вопрос 10. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями.
Вопрос 11. Уравнения прямой в R3 (векторное, общее, параметрическое, каноническое)
Вопрос 12. Взаимное расположение прямых в пространстве
Вопрос 13. Угол между прямой и плоскостью. Пересечение между прямой и плоскостью.
Вопрос 14. Линии второго порядка на плоскости (окружность, парабола)
Вопрос 15. Линии второго порядка на плоскости (эллипс, гипербола)
Вопрос 16. Поверхности второго порядка в пространстве. Метод сечений.
Определение. Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых в какой-либо аффинной системе координат удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:
, (1)
где a11,а22,…а00 – действительные числа, причем не все коэффициенты при членах второй степени равны нулю.
В изучении поверхностей второго порядка мы не будем исследовать уравнение (1) поверхности, а рассмотрим основные типы поверхностей, используя их простейшие (канонические) уравнения.
При этом мы будем использовать метод сечений, сущность которого состоит в следующем.
Пусть поверхность S задана в прямоугольной системе координат уравнением F(x,y,z)=0. Поверхность S пересекаем плоскостями, параллельными координатным плоскостям (или самими координатными плоскостями), и находим линии пересечения поверхности с этими плоскостями. По виду этих линий и выносится суждение о форме поверхности S. Применение метода сечений основано на следующей теореме.
Пусть в прямоугольной системе координат заданы поверхность S уравнением (1) и плоскость , параллельная плоскости или совпадающая с ней, уравнением z = h. Если поверхность S пересекается с плоскостью по линии , то проекция линии на плоскость в системе координат имеет уравнение
Вопрос 17. Множества. Операции над множествами
Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.
Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.
Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).
Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.
Например, перечислением заданы следующие множества:
Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой и δ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.
Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.
Основные числовые множества
|
N |
{1,2,3,...,n} Множество всех натуральных чисел |
|
Z |
{0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных. |
|
Q |
Множество рациональных чисел. Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1. Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической. |
|
R |
Множество всех вещественных чисел. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся:
Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел. |
Операции над множествами
Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}
Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}
Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}
Свойства операций над множествами
Свойства перестановочности
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Сочетательное свойство
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Вопрос 18. Числовые множества. Окрестность
Числовые множества- множества, элементами которых являются числа. Примерами числовых множеств являются:
а) множество всех натуральных чисел ();
б) множество всех положительных рациональных чисел ();
в) множество всех рациональных чисел();
г) множество всех целых чисел ();
д) множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству ;
Вопрос 19. Предел последовательности. Теорема о единственности предела.
В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера
Теорема (о единственности предела). Если — предел последовательности и — предел последовательности , то .
Доказательство. Предположим, что . Возьмем . Найдется такой номер , что
также существует
Возьмем , которое больше и . Тогда
Вопрос 20.Ограниченность сходящейся последовательности. Теорема Вейерштрасса
Существует три определения сходящейся последовательности:
последовательность является бесконечно малой. При этом число называется пределом последовательности.
Обозначают предел последовательности: (читается «предел икс энтое при эн, стремящемся к бесконечности»), или при .Из определения следует, что всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся, а ее предел равен нулю. Не представляет труда графически изобразить сходящуюся последовательность аналогично тому как мы это делали для бесконечно малой последовательности, с той лишь разницей, что нужно говорить уже не об -окрестности нуля, а об -окрестности точки .
Теорема (Вейерштрасс). Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Доказательство. Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности . Докажем, что точная верхняя граница для последовательности и будет ее пределом.
Действительно, по определению точной верхней границы
Кроме того, какое бы ни взять число , найдется такой номер , что
Так как последовательность монотонна, то при будет , а значит, и и выполняются неравенства
откуда и следует, что .
Вопрос 21.Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства пределов функции
Число А называется пределом функции в точке x=х0 (или при), если для любой сходящейся к х0 последовательности (1) значении аргумента x, отличных от х0, соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу А. Обозначается .
Функция может иметь в точке х0 только один предел. Это следует из того, что последовательность имеет только один предел.
Число А называется пределом функции в точке х=х0, если для любого числа существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Вопрос 22. Бесконечно малые функции. Односторонние пределы
Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .
Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.
Доказательство.
Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x), где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε>0 найдетсяδ>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ, выполняется |f(x)|< ε.
Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ1>0, что при |x – a|<δ1 имеем |α(x)|< ε/2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ2>0, что при |x – a|<δ2 имеем | β(x)|< ε/2.
Возьмем δ=min{ δ1, δ2}.Тогда в окрестности точки a радиуса δбудет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/2 и | β(x)|< ε/2. Следовательно, в этой окрестности будет
|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,
т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.
Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.
Из доказанной теоремы вытекают:
Следствие 1. Если и , то .
Следствие 2. Если и c=const, то .
Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.
Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.
Число называется правым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 1). Правый предел обозначается
Число называется левым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 2). Левый предел обозначается
Если существуют и , причем , то существует и . Обратное утверждение также верно.
В случае, если , то предел не существует.
Вопрос 23. Непрерывность функции в точке. Свойства функций непрерывных в точке
Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот же факт можно записать иначе:
Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
Свойства непрерывных функций.
1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0.
2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х0.
3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.
Это свойство может быть записано следующим образом:
Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.
Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.
Вопрос 24. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке
Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).
При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.
Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M f(x) M.
Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х0, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [a, b] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х0, то образуется некоторая окрестность точки х0.
Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Т.е. существуют такие значения х1 и х2, что f(x1) = m, f(x2) = M, причем
m f(x) M
Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) = sinx).
Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.
Свойство 3: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.
Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х0, то существует некоторая окрестность точки х0, в которой функция сохраняет знак.
Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.
Т.е. если sign(f(a)) sign(f(b)), то х0: f(x0) = 0.
Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке [a, b], если для любого >0 существует >0 такое, что для любых точек х1[a,b] и x2[a,b] таких, что
х2 – х1<
верно неравенство f(x2) – f(x1) <
Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого существует свое , не зависящее от х, а при “обычной” непрерывности зависит от и х.
Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.
(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)
Вопрос 25. Точки разрыва функции, их классификация
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.
Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.
Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)
не является непрерывной в любой точке х0.
Вопрос 27. Правила нахождения производной. Производная сложной функции.
К основным правилам дифференцирования относят:
Докажем формулу . По определению производной имеем:
Произвольный множитель можно выносить за знак предельного перехода (это известно из свойств предела), поэтому
Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.
Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных .
Докажем правило дифференцирования произведения двух функций .
Запишем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Будем учитывать, что и (приращение функции стремиться к нулю при приращении аргумента, стремящемся к нулю).
Что и требовалось доказать.
Докажем правило дифференцирования частного двух функций (дроби) . Стоит оговориться, что g(x) не обращается в ноль ни при каких x из промежутка X.
По определению производной
Формула нахождения производной сложной функции.
Вопрос 28 Производная функции в точке,её геометрический и физический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости
Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.
где - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение касательной к кривой:
Уравнение нормали к кривой: .
Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.
Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.
Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке X, то она и непрерывна в этой точке. Обратное не гарантировано.
Доказательство. Пусть функция Дифференцируема в точке X. Это значит, что ее производная существует и конечна в точке X. То есть
Существует и конечен. По определению предела это значит, что
при .
То есть при малых имеем , откуда , причем это приближенное равенство тем точнее, чем меньше . Устремляя в нем , получаем, что и . А это, в силу (2.5) главы 3, и означает непрерывность функции в точке X. Первая часть теоремы доказана.
Обратно, если функция непрерывна в некоторой точке X, то это еще не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция , график которой изображен на рис. 4.7, непрерывна в любой точке X, ибо её график сплошной (без разрывов). И тем не менее в точках X1, X2 и X3, как было показано выше, она не дифференцируема.
Вопрос 29. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Формула Лейбница.
Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной . Эта функция называется производной функции , или первой производной от . (Иногда саму исходную функцию называют нулевой производной и обозначают тогда .) Функция , в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках интервала , которую мы обозначим и назовём второй производной функции . Если предположить, что вторая производная существует во всех точках , то она может также иметь производную , называемую третьей производной функции , и т. д. Вообще, -й производной функции называется производная от предыдущей, -й производной :
если эта производная существует. -я производная называется также производной -го порядка, а её номер называется порядком производной.
При первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами: или ; при прочих -- числом в скобках в верхнем индексе: или .
Формула Лейбница-формула, выражающая производную n-го порядка (см. Дифференциальное исчисление) от произведения двух функций через производные сомножителей:
Вопрос 30. Правило Лопиталя
Вопрос 31. Дифференциал функции, его свойства, геометрический смысл. Инвариантность дифференциала нового порядка
Дифференциалом функции в называется главная, линейная относительно , часть приращения функции.
.
Покажем, что и эквивалентные бесконечно малые при :
( - бесконечно малая).
Геометрический смысл дифференциала:
Проведем к графику функции в точку касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки . На рисунке, . Из прямоугольного треугольника имеем: , т.е. . Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому или . Это означает, что дифференциал функции в равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получает приращение .
Приближенные вычисления:
Инвариантность формы записи первого дифференциала.
Пусть y=f((x))- дифференцируема в т. х0, тогда
y'x(х0)=f'(U0)'x(x0).
Значит
df(х0)=y'x(x0)dx=f'(U0)'x(х0)dx=f'd=f'(U0)d.
Форма записи дифференциала первого порядка в зависимых и независимых переменных имеет один и тот же вид, т. е. форма является инвариантом.
Вопрос 32. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши
Теорема Ролля
Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a) = f(b). Тогда внутри сегмента [a, b] найдется точка ξ такая, что f'(ξ) = 0.
Теорема Лагранжа
Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то такое, что f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a).
Теорема Коши
Если каждая из функций f и g непрерывна на [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную на ]a, b[ и если, кроме того, производнаяg'(x) ≠ 0 на ]a, b[, то такое, что справедлива формула
Если дополнительно потребовать, чтобы g(a) ≠ g(b), то условие g'(x) ≠ 0 можно заменить менее жестким:
Вопрос 33. Промежутки монотонности функции. Необходимые и достаточные условия монотонности.
Функция называется возрастающей на множестве , если для любых значений аргумента из выполняется условие .
Теорема 1. Если функция имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке промежутка , то возрастает (убывает) на этом промежутке.
Теорема 2. Если функция непрерывна на промежутке и возрастает (убывает) на промежутке , то она возрастает (убывает) и на промежутке .
Промежутки, на которых функция возрастает (убывает) называются промежутками монотонности функции .
Замечание. Функция возрастающая (убывающая) на всей области определения называетсявозрастающей (убывающей) функцией.
Замечание. Функция, возрастающая (убывающая) на каждом из нескольких промежутках не обязательно убывает на их объединении.
Теорема (достаточное условие)
Если функция f(x) дифференцируема на (a,b) и f/(x)≥0 (f/(x)≤0) на (a,b), то f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b).
Доказательство
Рассмотрим случай когда f/(x)≥0 . Рассмотрим две точки x1,x2∈(a,b) и применим формулу Лагранжа. На [x1,x2] функция f(x) удовлетворяет всем условиям этой теоремы. Следует, чтоx1<x2:
f(x2)−f(x1)=f/(c)(x2−x1), где c∈(x1,x2) и правая часть больше нуля, значит f(x2)−f(x1)≥0 или f(x2)≥f(x1) при x2>x1, функция не убывает.
Теорема доказана.
Замечание
Если требовать, что f/(x)>0 (f/(x)<0) , тогда функция строго возрастает (убывает).
Вопрос 34. Промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции.
Вопрос 35. Экстремумы функции. Теорема Ферма.
Теорема Ферма: Для любого вещественного числа 1<n≠2 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в вещественных, ненулевых числах x, y, z, если оно не может быть преобразовано упрощением в уравнение, не отвечающее данным условиям.
Вопрос 36. Асимптоты графика функции.
Вопрос 37. Пространство R^n. Множества R^n. Функции нескольких переменных
Вопрос 38. Предел и непрерывность ФНП
Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x, y, z, …,t), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u. Если переменная является функцией от двух переменных х и у, то функциональную зависимость обозначают z = f (x, y). Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у.
Предел функции нескольких переменных.
Определение: Окрестностью точки М0(х0, у0) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию .
Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие
также верно и условие .
Записывают:
Непрерывность функции нескольких переменных.
Определение: Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, у0), если
(1)
причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом.
Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:
Вопрос 39. Частные производные первого порядка ФНП. Геометрический смысл частных производных функций двух переменных
Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке A(x0,y0) называется предел отношения частного приращения по x функции в точке A к приращению ∆x при стремлении ∆x к нулю.
Частные производные функции z(x,y) находятся по следующим формулам: Вторые частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:
Ели одному из аргументов функции z = f(x,y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: – это частное приращение функции z по аргументу x; – это частное приращение функции z по аргументу у.
Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
– это частная производная функции z по аргументу x;
– это частная производная функции z по аргументу у.
Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.