Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
IV. Неперервність функцій
4.1. Означення неперервності функцій
Нехай функція визначена в точці і деякому околі, що містить точку . Знайдемо значення функції в точці , яке позначимо Далі, надамо значенню приріст , тобто знайдемо нове значення , де приріст може бути як додатним (тоді лежить правіше ), так і від’ємним (тоді знаходиться лівіше ). Тепер обчислимо нове значення функції і знайдемо різницю між і яку позначимо через , тобто (див. рис. 28), .
Рис. 28.
Означення 1. Функція називається неперервною в точці , якщо вона визначена в точці , а також в деякому околі цієї точки, і якщо н.м. приросту аргумента відповідає н.м. приріст функції , тобто
, (1)
або рівносильне цьому
(2)
Перетворимо рівність (2)
Оскільки , то , і крім того,
(стала!), то далі маємо
(3)
Отже, якщо функція неперервна в точці , то границя функції дорівнює значенню цієї функції в точці . Якщо ж врахувати, що , то рівність (3) запишеться
(4)
Рівність (4) означає, що для неперервної функції можна переходити до границі під знаком функції.
Довести, що функції є неперервними в довільній точці .
.
Звідки знаходимо
Із неперервна функція для
Аналогічно можна довести, що неперервними є функції натуральне).
Подібно попередньому для знаходимо ,
при .
Для маємо ,
див. формулу 8 таблиці
еквівалентних із 3.12
, при .
Для
Див. формулу 7 із 3.12. таблиці .
еквівалентних н.м.
Отже, неперервна функція для . Враховуючи (4), можна сказати, що
це і було використано в 3.12 при доведенні формули (1).
Подібним чином можна довести неперервність решти основних елементарних функцій в довільній точці , де ці функціїї визначені.
Означення 2. Якщо функція неперервна в кожній точці деякого інтервалу , де , то кажуть, що функція неперервна на цьому інтервалі.
Якщо функція визначена в точці і при цьому , то говорять, що неперервна справа в точці . Якщо , то говорять, що неперервна зліва в точці .
Якщо функція неперервна на інтервалі і неперервна на кінцях цього інтервала, відповідно справа і зліва, то говорять, що функція неперервна на всьому відрізку .
Наведемо без доведення наступну теорему.
Теорема. Всяка елементарна функція неперервна в кожній точці, в якій вона визначена.
4.2. Розривні функції. Види розривів
Якщо в якійсь точці для функції не виконується хоча б одна із умов неперервності , тобто якщо в точці функція невизначена, або неіснує границя , або при довільному прямуванні , хоча вирази і існують, то при функція розривна. Точка називається точкою розриву функції.
Розрізняють такі три види розривів:
Якщо функція в деякому околі точки визначена і її односторонні границі збігаються, тобто
=,
а в самій точці функція невизначена , то в цій точці має усувний розрив. Цей розрив можна усунути, приписавши функції значення, що збігається з односторонніми границями і взявши
=.
Наприклад, функція неперервна на всьому інтервалі від – до +, крім точки . В точці функція розривна.
Розглянемо нову функцію , таку, що якщо
, а при покладемо
Побудована таким чином функція
є неперервною для (див. рис. 29), тобто розрив усунули.
Рис. 29.
Якщо односторонні границі функції скінченні при і , то функція в точці має розрив І-го роду або скінченний розрив.
Наприклад, функція при дорівнює при а при функція невизначена, тоді
отже має розрив І-го роду (див. рис. 30).
Рис. 30.
Стрибком функції називається величина
У точках неперервності стрибок , для розривів І-го роду він скінченний. Для розглянутого на рис. 30 графіка стрибок .
Якщо хоча б одна з односторонніх границь функції в точці є нескінченною або не існує, тоді функція в точці має розрив ІІ-го роду або нескінченний розрив.
Наприклад, в точці невизначена, , а , тобто односторонні границі нескінченні, тому тут розрив ІІ-го роду (див. рис.31).
Так само точка є точкою розриву ІІ-го роду для розглянутої раніше функції , бо не існує.
Для кожної з даних функцій знайти точки розриву і дослідити їх характер.
1. . 2. . 3. . 4. .
5. . 6. . 7. .
8.
Відповіді. 1. - точка розриву ІІ роду. 2. - точка розриву ІI роду. 3. - точки розриву ІІ роду. 4. -- точка розриву ІІ роду. 5. - усувний розрив. 6. - усувний розрив. 7. Розрив першого роду при . 8. Неперервна скрізь.
4.3. Деякі властивості неперервних функцій
Теорема 1. Якщо і неперервні в точці функції, то їх сума +, різниця –, добуток і частка також є неперервними функціями в точці , причому у випадку частки припускається, що знаменник не перетворюється в нуль при .
Справедливість цієї теореми безпосередньо випливає із відповідної теореми про границю алгебраїчної суми, добутку і частки.
Сформулюємо без доведення наступні теореми.
Теорема 2. Неперервна на відрізку функція досягає на цьому відрізку по крайній мірі один раз свого найбільшого і свого найменшого m значень. (див. рис.32).
Рис. 32.
На рис. 32
Звернемо увагу, що, наприклад, функція , графік якої на рис. 29 в 4.2, на відрізку досягає свого найменшого значення в точках і . Найбільшим значенням цієї функції є , але його вона не досягає в жодній точці. Зате функція
яку ми довизначили, досягає найбільшого значення 1 в точці .
Теорема 3 (про нулі неперервної функції). Якщо функція неперервна на відрізку і на кінцях відрізка набуває значень з протилежними знаками, тобто то існує принаймні одне число між точками і , таке що (існує корінь рівняння ) (Рис. 33).
Рис. 33.
Геометрично це означає, що дві точки і , які лежать по різні сторони осі , можна з’єднати неперервною лінією тільки перетнувши вісь хоча б один раз.
Теорема 4 (про проміжні значення функції). Нехай функція неперервна на відрізку , числа і її відповідно найменше і найбільше значення на цьому відрізку, а число таке, що , тоді існує хоча б одне число між точками і таке, що . (див. рис. 34).
Рис. 34.
Число називають проміжним значенням між і (). З рисунка видно, що .
Якщо функція розривна, див., напр., рис. 35, то вона може не досягти значення в жодній точці, тобто пряма не перетинає графіка за умови, .
Рис. 35.
PAGE 82