Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Определение 1.11. Если f(z) дифференцируема не только в точке z, но и в некоторой ее окрестности, то она называется аналитической в этой точке.
Определение 1.12. Функция аналитическая во всех точках некоторой области, называется аналитической в области.
Определение 1.13. Точка комплексной плоскости, в которой f(z) – аналитическая, называется правильной точкой, а в которой не является аналитической, называется особой точкой.
Например, функция f(z) = zRez дифференцируема только в одной точке z=0. Поэтому в этой точке функция не является аналитической. Все точки области определения этой функции являются особыми точками. А функция f(z) = z2 аналитическая во всех точках области определения.
Определение 1.14. Функция (x,y) называется гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласа:
Теорема (необходимое условие). Если f(z) = u(x,y) + iv(x,y) – аналитическая функция, то u(x,y); v(x,y) – гармонические функции.
Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно т. е. если u;
v – произвольные гармонические функции, то функция f(z)=u+iv не обязательно аналитическая функция.
Теорема (достаточное условие). Если в области G функции u(x,y); v(x,y) – гармонические и удовлетворяют условию Коши–Римана, то они определяют аналитическую функцию f(z) = u+iv в области G.
Замечание. Из этой теоремы следует, что, зная только одну функцию u или v и используя условие Коши–Римана, можно определить аналитическую функцию: f(z) = u + iv.
Поставим задачу 1: по заданной действительной части u(x,y) гармонической функции восстановить аналитическую функцию f(z).
Воспользуемся условием Коши–Римана для определения функции v(x,y):
Обозначим Тогда
Так как u(x,y) – гармоническая функция, то
Это условие следует из формулы Грина и свидетельствует о том, что выражение есть полный дифференциал некоторой функцииv(x,y): и в силу независимости интеграла от пути интегрирования, определить эту функцию можно по формуле
(1.48)
где любая точка в области непрерывности функции u(x,y).
Тогда искомая функция определена
Поставим задачу 2: восстановить аналитическую функцию по известной ее мнимой части v(x,y) – гармоническая функция.
По аналогии с задачей 1 неизвестную функцию u(x,y) будем определять по формуле Тогда искомая функция имеет вид