Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Система счисления – это совокупность приёмов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.
Непозиционной называется система счисления, в которой используется определённое число знаков для обозначения чисел, но значение каждого символа не зависит от того, как этот символ расположен по отношению к другим символам в том же числе, и всегда одно и то же. (палочки)
Позиционной называется система счисления, в которой используется определённое число знаков для обозначения чисел, но значение каждого символа зависит от того, как этот символ расположен по отношению к другим символам в том же числе.
Основанием системы счисления называется количество цифр и символов, применяющихся для изображения числа.
1. Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую
Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q:
1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.
2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.
3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.
Пример 1. Перевести десятичное число 17310 в восьмеричную систему счисления:
|
173 |
8 |
|
|
5 |
21 |
8 |
|
|
5 |
2 |
Получаем: 17310=2558
Пример 2. Перевести десятичное число 17310 в шестнадцатеричную систему счисления:
|
173 |
16 |
|
13 |
10 |
|
(D) |
(A) |
Получаем: 17310=AD16.
Пример 3. Перевести десятичное число 1110 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так:
|
11 |
2 |
|
|
|
1 |
5 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
0 |
1 |
Получаем: 1110=10112.
Пример 4. Иногда более удобно записать алгоритм перевода в форме таблицы. Переведем десятичное число 36310 в двоичное число.
|
Делимое |
363 |
181 |
90 |
45 |
22 |
11 |
5 |
2 |
1 |
|
Делитель |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
Остаток |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Получаем: 36310=1011010112
2. Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую
Можно сформулировать алгоритм перевода правильной дроби с основанием p в дробь с основанием q:
1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.
2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.
3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
Пример 5. Перевести число 0,6562510 в восьмеричную систему счисления.
|
0, |
65625 * 8 |
|
5 |
25000 * 8 |
|
2 |
00000 |
Получаем: 0,6562510=0,528
Пример 6. Перевести число 0,6562510 в шестнадцатеричную систему счисления.
|
0, |
65625 * 16 |
|
10 (А) |
50000 * 16 |
|
8 |
00000 |
Получаем: 0,6562510=0,А81
Пример 7. Перевести десятичную дробь 0,562510 в двоичную систему счисления.
|
0, |
5625 * 2 |
|
1 |
1250 * 2 |
|
0 |
2500 * 2 |
|
0 |
5000 * 2 |
|
1 |
0000 |
Получаем: 0,562510=0,10012
Пример 8. Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0.710.
|
0, |
7 *2 |
|
1 |
4 *2 |
|
0 |
8 *2 |
|
1 |
6 *2 |
|
1 |
2 |
. . .
Очевидно, что этот процесс может продолжаться бесконечно, давая все новые и новые знаки в изображении двоичного эквивалента числа 0,710. Так, за четыре шага мы получаем число 0,10112, а за семь шагов число 0,10110012, которое является более точным представлением числа 0,710 в двоичной системе счисления, и т.д. Такой бесконечный процесс обрывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа.
3. Перевод произвольных чисел
Перевод произвольных чисел, т.е. чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).
Пример 9. Перевести число 17,2510 в двоичную систему счисления.
|
Переводим целую часть: |
Переводим дробную часть: |
|
17 2 1 8 2 0 4 2 0 2 2 0 1 |
0, 25 ×2 0 50 ×2 1 00 |
Получаем: 17,2510=1001,012
Пример 10. Перевести число 124,2510 в восьмеричную систему.
|
Переводим целую часть: |
Переводим дробную часть: |
|
124 8 4 15 8 7 1 |
0, 25 ×8 2 00 |
Получаем: 124,2510=174,28
4. Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 2n и обратно
Перевод целых чисел. Если основание q-ичной системы счисления является степенью числа 2, то перевод чисел из q-ичной системы счисления в 2-ичную и обратно можно проводить по более простым правилам. Для того, чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2n, нужно:
1. Двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой.
2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n.
Пример 11. Число 1011000010001100102 переведем в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
|
101 |
100 |
001 |
000 |
110 |
010 |
|
5 |
4 |
1 |
0 |
6 |
2 |
Получаем восьмеричное представление исходного числа: 5410628.
Пример 12. Число 10000000001111100001112 переведем в шестнадцатеричную систему счисления.
Разбиваем число справа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:
|
0010 |
0000 |
0000 |
1111 |
1000 |
0111 |
|
4 |
0 |
0 |
F |
8 |
7 |
Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 400F8716.
Перевод дробных чисел. Для того, чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2n, нужно:
1. Двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой.
2. Если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n.
Пример 13. Число 0,101100012 переведем в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
|
000, |
101 |
100 |
010 |
|
0, |
5 |
4 |
2 |
Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0,5428.
Пример 14. Число 0,1000000000112 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:
|
0, |
1000 |
0000 |
0011 |
|
0, |
8 |
0 |
3 |
Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 0,80316
Перевод произвольных чисел. Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2n, нужно:
1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, а дробную — слева направо на группы по n цифр в каждой.
2. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов;
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n
Пример 15. Число 111100101,01112 переведем в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
|
111 |
100 |
101, |
011 |
100 |
|
7 |
4 |
5, |
3 |
4 |
Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,348.
Пример 16. Число 11101001000,110100102 переведем в шестнадцатеричную систему счисления.
Разбиваем целую и дробную части числа на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:
|
0111 |
0100 |
1000, |
1101 |
0010 |
|
7 |
4 |
8, |
D |
2 |
Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748,D216.
Перевод чисел из систем счисления с основанием q=2n в двоичную систему. Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q=2n, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в двоичной системе счисления.
Пример 17. Переведем шестнадцатеричное число 4АС3516 в двоичную систему счисления.
В соответствии с алгоритмом:
|
4 |
А |
С |
3 |
5 |
|
0100 |
1010 |
1100 |
0011 |
0101 |
Получаем: 10010101100001101012.
Задания для самостоятельного выполнения
1. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную:
а)513; в)600; д)602; ж)1000;
б)2304; г)5001; е)7000; з)8192.
2. Переведите десятичные дроби в двоичную систему счисления (ответ записать с шестью двоичными знаками):
а)0,4622; в)0,5198; д)0,5803; ж)0,6124;
б)0,7351; г)0,7982; е)0,8544; з)0,9321.
3. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную систему счисления:
а)40,5; б)31,75; в)124,25; г)125,125.
4. Переведите целые числа из десятичной в восьмеричную систему счисления:
а) 8700; б)8888; в)8900; г)9300.
5. Переведите целые числа из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления:
а)266; б)1023; в)1280; г)2041.
6. Переведите числа из десятичной системы счисления в восьмеричную:
а) 0,43; б) 37,41; в) 2936; г)481,625.
7. Переведите числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:
а) 0,17; б)43,78; в)25,25; г)18,5.
8. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же число должно быть записано в системах счисления с основанием 2, 8, 10 и 16.
|
Основание 2 |
Основание 8 |
Основание 10 |
Основание 16 |
|
101010 |
|
|
|
|
|
127 |
|
|
|
|
|
321 |
|
|
|
|
|
2А |
9. Переведите двоичные числа в восьмеричную систему счисления:
а)1010001001011; в)1011001101111; д)110001000100;
б)1010,00100101; г)1110,01010001; е)1000,1111001.
10. Переведите двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления:
а)1010001001011; в)1011001101111; д)110001000100;
б)1010,00100101; г)1110,01010001; е)100,1111001.
11. Переведите восьмеричные и шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления:
а)2668; в)12708; д)10,238;
б)26616; г)2а1916; е)10,2316.
12. Осуществите перевод чисел по схеме А10» А16 » А2 » А8:
|
а) 16547; б) 21589; |
в) 8512; г) 7756; |
д) 5043; е) 2323. |
13. Перевести числа из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную:
|
а) 12754; |
б) 1515; |
в) 7403. |
14. Перевести числа из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную:
|
а) 1АЕ2; |
б) 1С1С; |
в) 34Е. |
15. Сколько разрядов будет в числе, если записать его в восьмеричной системе счисления:
|
а) 101110102; б) 110011110001112; |
в) А18С16; г) 1375ВЕ16. |
16. Сколько разрядов будет в числе, если записать его в шестнадцатеричной системе счисления:
|
а) 101110102; б) 110011110001112; |
в) 777318; г) 1011548. |
17. Сравните числа:
|
а) 12516 и 1111000101012; б) 7578 и 11100101012; в) А2316 и 12328; |
г) 12,2516 и 111,1000101012; д) 63,57518 и 11100,101012; е) В,А16 и 11,38. |
Арифметические операции в системах счисления
Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения. Для P = 2, 8 и 16 таблицы представлены ниже.
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
|
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
|
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
|
4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
5 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
6 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
7 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
8 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
|
9 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
A |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
B |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
|
C |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
1B |
|
D |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
1B |
1C |
|
E |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
1B |
1C |
1D |
|
F |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
1B |
1C |
1D |
1E |
|
´ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
|
2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
A |
C |
E |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
1A |
1C |
1E |
|
3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
C |
F |
12 |
15 |
18 |
1B |
1E |
21 |
24 |
27 |
2A |
2D |
|
4 |
0 |
4 |
8 |
C |
10 |
14 |
18 |
1C |
20 |
24 |
28 |
2C |
30 |
34 |
38 |
3C |
|
5 |
0 |
5 |
A |
F |
14 |
19 |
1E |
23 |
28 |
2D |
32 |
37 |
3C |
41 |
46 |
4B |
|
6 |
0 |
6 |
C |
12 |
18 |
1E |
24 |
2A |
30 |
36 |
3C |
42 |
48 |
4E |
54 |
5A |
|
7 |
0 |
7 |
E |
15 |
1C |
23 |
2A |
31 |
38 |
3F |
46 |
4D |
54 |
5B |
62 |
69 |
|
8 |
0 |
8 |
10 |
18 |
20 |
28 |
30 |
38 |
40 |
48 |
50 |
58 |
60 |
68 |
70 |
78 |
|
9 |
0 |
9 |
12 |
1B |
24 |
2D |
36 |
3F |
48 |
51 |
5A |
63 |
6C |
75 |
7E |
87 |
|
A |
0 |
A |
14 |
1E |
28 |
32 |
3C |
46 |
50 |
5A |
64 |
6E |
78 |
82 |
8C |
96 |
|
B |
0 |
B |
16 |
21 |
2C |
37 |
42 |
4D |
58 |
63 |
6E |
79 |
84 |
8F |
9A |
A5 |
|
C |
0 |
C |
18 |
24 |
30 |
3C |
48 |
54 |
60 |
6C |
78 |
84 |
90 |
9C |
A8 |
B4 |
|
D |
0 |
D |
1A |
27 |
34 |
41 |
4E |
5B |
68 |
75 |
82 |
8F |
9C |
A9 |
B6 |
C3 |
|
E |
0 |
E |
1C |
2A |
38 |
46 |
54 |
62 |
70 |
7E |
8C |
9A |
A8 |
B6 |
C4 |
D2 |
|
F |
0 |
F |
1E |
2D |
3C |
4B |
5A |
69 |
78 |
87 |
96 |
A5 |
B4 |
C3 |
D2 |
E1 |
3. Сложить числа:
а) 10000000100(2) + 111000010(2) = 10111000110(2).
б) 223,2(8) + 427,54(8) = 652,74(8).
в) 3B3,6(16) + 38B,4(16) = 73E,A(16).
10000000100 223,2 3B3,6
+ 111000010 + 427,54 +38B,4
------------ ------- -----
10111000110 652,74 73E,A
Выполним проверку результатов расчетов переводом в десятичную систему счисления. Для этого переведем каждое слагаемое и сумму в десятичную систему счисления, выполним сложение слагаемых в десятичной системе счисления. Результат должен совпасть с суммой.
а) 10000000100(2)=1×210+1× 22 = 1024+4=1028(10)
111000010(2)=1×28+ 1×27+ 1×26+ 1×21 = 256+128+64+2 = 450(10)
10111000110(2)=1×210+ 1×28+ 1×27+ 1×26+ 1×22+ 1×21 = 1024+256+128+64+4+2 = 1478(10)
1028(10)+450(10) = 1478(10)
Результаты совпадают, следовательно, вычисления в двоичной системе счисления выполнены верно!
б) 223,2(8)=2×82+ 2×81+ 3×80+ 2×8-1 = 128+16+3+0,25 = 147,25(10)
427,54(8)= 4×82+ 2×81+ 7×80+ 5×8-1+ 4×8-2 = 256+16+7+0,625+0,0625 = 279,6875(10)
652,74(8)= 6×82+ 5×81+ 2×80+ 7×8-1+ 4×8-2 = 384+40+2+0,875+0,0625 = 426,9375(10)
147,25(10)+279,6875(10) = 426,9375(10)
Результаты совпадают, следовательно, вычисления в восьмеричной системе счисления выполнены верно!
в) 3B3,6(16)= 3×162+ 11×161+ 3×160+ 6×16-1 = 768+176+3+0,375 = 947,375(10)
38B,4(16)= 3×162+ 8×161+ 11×160+ 4×16-1 = 768+128+11+0,25 = 907,25(10)
73E,A(16)= 7×82+ 3×81+ 14×80+ 10×8-1 = 1792+48+14+0,625 = 1854,625(10)
947,375(10)+907,25(10) = 1854,625(10)
Результаты совпадают, следовательно, вычисления в шестнадцатеричной системе счисления выполнены верно!
4. Выполнить вычитание:
а) 1100000011,011(2) - 101010111,1(2) = 110101011,111(2).
б) 1510,2(8) - 1230,54(8) = 257,44(8).
в) 27D,D8(16) - 191,2(16) = EC,B8(16).
1100000011,011 1510,2 27D,D8
- 101010111,1 -1230,54 -191,2
-------------- ------- ------
110101011,111 257,44 EC,B8
5. Выполнить умножение:
а) 100111(2) ´ 1000111(2) = 101011010001(2).
б) 1170,64(8) ´ 46,3(8) = 57334,134(8).
в) 61,A(16) ´ 40,D(16) = 18B7,52(16).
100111 1170,64 61,A
*1000111 * 46,3 *40,D
------------- -------------- ----------
100111 355 234 4F 52
+ 100111 + 7324 70 + 1868
100111 47432 0 ----------
100111 ------------- 18B7,52
------------- 57334,134
101011010001
6. Выполнить деление:
а) 100110010011000(2) : 101011(2)=111001000(2);
б) 46230(8) : 53(8)=710(8);
в) 4C98(16) : 2B(16)=1C8(16).
Контрольные вопросы и задания