Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
1. Понятие выборочного наблюдения
Выборочные методы – это методы математической статистики, при которых статистические свойства совокупности каких-либо объектов (генеральной совокупности) изучаются на основе исследования свойств лишь части этой совокупности – объектов, отобранных беспристрастно случайным образом.
Сущность выборочного наблюдения состоит в том, что обследованию подвергается часть совокупности, отобранная по особым правилам.
Повышение внимания к выборочному наблюдению в настоящее время связано с необходимостью более оперативного реагирования на происходящие изменения, позволяет принимать своевременные решения, что особенно важно в условиях рынка.
Выборочное наблюдение позволяет экономить время и средства, которые были бы затрачены на проведение сплошного наблюдения, предупреждает порчу и даже уничтожение объектов.
К важнейшим видам выборочных работ относятся:
- демографические обследования (например, выборочное обследование доходов и расходов домашних хозяйств);
- социологические обследования, опросы;
- проверка качества готовой продукции, особенно при разрушительных методах контроля;
- определение потерь рабочего времени путем проведения моментных наблюдений или фотографии рабочего дня и другие.
Среди изучаемых характеристик чаще всего фигурируют доля объектов с тем или иным признаком в совокупности или средняя величина признака.
Главной проблемой при проведении выборочного исследования является то, насколько уверенно можно по свойствам отобранных объектов судить о действительных свойствах генеральной совокупности. Поэтому всякое такое суждение неизбежно имеет вероятностный характер, и задача сводится к тому, чтобы степень вероятности правильного суждения была возможно большей.
При формировании выборочной совокупности необходимо соблюдать следующие правила:
- каждая единица генеральной совокупности должна иметь равную возможность попадания в выборку, т.е. должен действовать принцип случайного непредвзятого отбора;
- в выборочную совокупность должны попасть представители всех групп, имеющихся в генеральной совокупности;
- выборочная совокупность должна в основных чертах полно и адекватно воспроизводить закономерности, присущие всей генеральной совокупности. Это значит, что выборочная совокупность должна быть репрезентативной (представительной).
Совокупность, из которой производится отбор, называется генеральной совокупностью; отобранные данные представляют выборочную совокупность или выборку.
В теории выборочного метода используются следующие обозначения:
|
Генеральная совокупность |
Выборочная совокупность |
|
|
Средняя величина |
||
|
Относительная величина (доля) |
p |
W |
|
Численность |
N |
n |
Выборочная доля, или частость, w определяется из отношения единиц, обладающих изучаемым признаком m, к общей численности единиц выборочной совокупности n: w = m / n.
2. Виды, методы и способы отбора,
обеспечивающие репрезентативность выборки
Чтобы выборка полно и адекватно представляла свойства генеральной совокупности, она должна быть представительной или репрезентативной. Репрезентативность может быть обеспечена только при объективности отбора данных.
Различают два вида выборочного наблюдения: повторный и бесповторный отбор.
При повторном отборе вероятность попадания каждой отдельной единицы в выборку остается постоянной, т.к. после отбора отобранная единица возвращается в совокупность и снова может быть выбранной - это «схема возвратного шара».
При бесповторном отборе отобранная единица не возвращается обратно, вероятность попадания остающихся единиц в выборку все время меняется - это «схема безвозвратного шара».
Способы отбора единиц из генеральной совокупности:
- индивидуальный отбор – в выборку отбираются отдельные единицы;
- групповой отбор – в выборку попадают качественно однородные группы или серии изучаемых единиц;
- комбинированный отбор – это комбинация первых двух.
Возможны следующие методы отбора единиц для формирования выборочной совокупности:
- случайный (непреднамеренный) отбор – при этом выборочная совокупность образуется с помощью жеребьевки или таблицы случайных чисел. Условием репрезентативности случайной выборки является то, что каждая единица имеет равную возможность попадания в выборку;
- механический – при этом выборочная совокупность определяется из генеральной, разбитой на равные интервалы (группы). Размер интервала равен обратной величине доли выборки: при 5% выборке отбирается каждая 20-я единица (1:0,05). Для обеспечения репрезентативности все единицы генеральной совокупности должны располагаться в определенном порядке. При этом отбор начинается не с первой единицы совокупности, а с середины первого интервала;
- типический (расслоенный, стратифицированный) – предполагает предварительное расчленение генеральной совокупности на качественно однородные типические группы (не обязательно равные). Затем отбор в выборочную совокупность из генеральной производится из типических групп при помощи случайного или механического отбора. Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей. Она дает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора;
- серийная, или гнездовая, выборка – при этом из генеральной совокупности отбираются не отдельные единицы, а серии. Внутри каждой из попавшей в выборку серии обследуются все без исключения единицы.
3. Ошибка репрезентативности
При использовании выборочного метода возникает так называемая ошибка репрезентативности – это расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности. Она зависит от численности выборки, вариации признака, методов отбора единиц выборочной совокупности и т.д. Ошибка может быть рассчитана по формуле:
, , (6.1)
При
, (6.2)
, (6.3)
Ошибка репрезентативности является результатом того, что выборочная совокупность не полностью отражает закономерности, присущие всей генеральной совокупности. Методы математической статистики дают возможность измерить эту ошибку и указать границы ее колеблемости.
Можно построить ряд распределения выборок по величине ошибки репрезентативности для разных показателей. При бесконечно большом числе выборок получится кривая частот, называемая кривой выборочного распределения. Частота здесь – число выборок с той или иной ошибкой репрезентативности.
Если рассмотреть выборочное распределение средней величины, то оно будет приближаться к нормальному по мере увеличения объема выборки, независимо от распределения генеральной совокупности. С увеличением численности выборки величина выборочной средней будет приближаться к генеральной средней.
Рассчитывают два вида ошибок:
Таблица 6.1
Расчет средней ошибки
|
Способ отбора |
Средняя (стандартная) ошибка () |
|
|
для средней |
для доли |
|
|
Повторный |
||
|
Бесповторный |
а) для повторного отбора:
, (6.4)
б) для бесповторного отбора (согласно исходным данным):
, (6.5)
где - выборочная дисперсия.
, (6.6)
где t – коэффициент доверия,
- предельная ошибка выборки.
Множитель t определяется в зависимости от того, с какой доверительной вероятностью Р(t) надо гарантировать результаты выборочного наблюдения. На практике пользуются готовыми таблицами значений (табл. 6.2.).
|
Коэффициент доверия t |
Вероятность Р(t) |
|
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0 |
0,000 0,383 0,683 0,866 0,954 0,997 |
, (6.7)
Формула предельной ошибки выборочной средней (доли) позволяет решить следующие группы задач:
1) определять предел возможной ошибки средней или доли, т.е. величину возможных отклонений показателей генеральной совокупности от показателей выборочной совокупности;
2) рассчитывать оптимальную численность выборки, обеспечивающую требуемую точность;
3) определять вероятность того, что в проведенной выборке ошибка будет иметь заданный предел.
Порядок расчета ошибок для доли
где m – численность единиц выборочной совокупности, обладающих данным признаком; n – численность выборочной совокупности.
а) при повторном отборе:
, (6.8)
, (6.9)
, (6.10)
, (6.11)
Расчет относительной ошибки выборки производится по формулам:
а) для средней:
, (6.12)
б) для доли:
, (6.13)
При отн. < 5%, выборка репрезентативна для оценки и расчета средних показателей по совокупности.
При отн. < 5%, выборка репрезентативна для оценки доли.
При отн. и отн. > 5% можно сделать вывод о нерепрезентативности выборки.
Конечная цель выборочного наблюдения заключается в распространении полученных данных на генеральную совокупность. При этом исходят из того, что все средние и относительные показатели, полученные по выборке, являются несмещенными и эффективными характеристиками генеральной совокупности.
В зависимости от цели исследования применяются различные способы получения характеристик генеральной совокупности по показателям выборки.
При способе прямого пересчета показатель по генеральной совокупности рассчитывается путем умножения средних размеров признака (доли), найденных в результате выборочного обследования с учетом их предельной ошибки, на численность единиц генеральной совокупности. Расчеты ведутся по формулам:
, (6.14)
, (6.15)
Способ поправочных коэффициентов применяется в случаях, когда целью выборочного наблюдения является уточнение данных сплошного учета. Рассчитывается поправочный коэффициент путем сопоставления данных контрольного выборочного наблюдения и показателей сплошного наблюдения. Далее величина объема генеральной совокупности корректируется на поправочный коэффициент.
Типическая (районированная) выборка
Особенность этого вида выборки заключается в том, что предварительно генеральная совокупность по признаку типизации разбивается на частные группы (типы, районы), а затем в пределах этих групп производится выборка.
Предельная ошибка средней при типическом повторном отборе определяется по формуле:
, (6.16)
а при типическом бесповторном отборе по формуле:
, (6.17)
где - средняя из внутригрупповых дисперсий () по каждой типичной группе.
При пропорциональном отборе из групп генеральной совокупности средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле:
, (6.18)
где ni – численности единиц совокупности по каждой группе.
Границы (пределы) средней по генеральной совокупности на основе данных типической выборки определяются по тому же неравенству, что и при собственно-случайной выборке. Только предварительно необходимо вычислить общую выборочную среднюю из частных выборочных средних . Для случая пропорционального отбора это определяется по формуле:
, (6.19)
При непропорциональном отборе средняя из внутригрупповых дисперсий исчисляется по формуле:
, (6.20)
где Ni – численности единиц групп по генеральной совокупности.
Общая выборочная средняя в этом случае определяется по формуле:
, (6.21)
Предельная ошибка доли признака при типическом повторном отборе определяется по формуле:
, (6.22)
а при типическом бесповторном отборе по формуле:
.
Средняя дисперсия доли признака из групповых дисперсий доли wi(1-wi) при типической пропорциональной выборке исчисляется:
, (6.23)
Средняя доля признака по выборке из показателей групповых долей рассчитывается по формуле:
, (6.24)
Средняя дисперсия доли при непропорциональном типическом отборе определяется по формуле:
, (6.25)
а средняя доля признака:
, (6.26)
Серийная выборка
Серийная ошибка выборки может применяться в двух вариантах: а) объём серий различный и б) все серии имеют одинаковое число единиц (равновеликие серии). Наиболее распространённой в практике статистических исследований является серийная выборка с равновеликими сериями. Генеральная совокупность делится на одинаковые по объёму группы-серии (R) и производится отбор не единиц совокупности, а серий (r). Группы (серии) для обследования отбирают в случайном порядке или путём механической выборки как повторным, так и бесповторным способом. Внутри каждой отобранной серии осуществляется сплошное наблюдение. Предельные ошибки выборки (∆) при серийном отборе исчисляются по формулам:
а) при повторном отборе
, (6.27)
б) при бесповторном отборе
, (6.28)
где R – число серий в генеральной совокупности; r – число отобранных серий; – межсерийная дисперсия, исчисляемая для случая равновеликих серий по формуле:
, (6.29)
где – среднее значение признака в каждой из отобранных серий;
– межсерийная средняя, исчисляемая для случая равновеликих серий по формуле:
, (6.30)
4. Определение оптимальной численности выборки
Для получения объективных данных при выборочном обследовании необходимо иметь достаточное число отобранных единиц. Это связано с тем, что размер ошибки выборки прежде всего зависит от численности выборочной совокупности n. Из формулы расчета средней ошибки выборки видно, что ее величина обратно пропорциональна .
Таким образом, величина ошибки выборки обратно пропорциональна численности выборки и прямо - степени вариации признака в генеральной совокупности.
Однако, процесс увеличения численности выборки сопровождается ростом затрат на проведение выборочного обследования. Два эти процесса необходимо оптимизировать.
При расчете оптимальной численности выборки исходят из формулы предельной ошибки выборки. Основные формулы приведены в таблице 6.3.
Таблица 6.3
|
Способы отбора |
Виды выборки |
|||
|
Для средней |
Для доли |
|||
|
повторная выборка |
бесповторная выборка |
повторная выборка |
бесповторная выборка |
|
|
Собственно-случайный и механический |
||||
|
Типический |
||||
|
Серийный |
- |
- |
Определение вероятности того, что в выборке ошибка будет иметь заданный предел.
Расчет ведется по формуле:
, (6.31)
, (6.32)
Величина предельной ошибки может быть определена как разность между максимально допустимой генеральной долей и выборочной долей.
Сравнительные оценки выборочных характеристик
В практике выборочных исследований возникает необходимость сопоставления и оценки на существенность расхождения выборочных характеристик, рассчитанных по двум совокупностям. Проблема оценки различий двух идентичных показателей (средних или долей) заключается в том, чтобы количественно объяснить, являются ли эти расхождения зависящими от случайности выборки или они связаны с вариацией самих уровней исследуемых совокупностей.
Количественная оценка случайности или неслучайности для расхождения средних в случае выборок определяется по критерию:
, (6.33)
где – среднее значение признака по первой выборке; – среднее значение признака по второй выборке.
, (6.34)
- средняя ошибка разности этих средних.
Если надёжность критерия определяется с вероятностью P = 0,954, то расхождения () считаются несущественными при < 2. При расчёте критерия с вероятностью P = 0,997 расхождения () считаются несущественными, если < 3.
Аналогичным путём исчисляется критерий оценки расхождений для случая больших выборок при сопоставлении долей. Средняя ошибка разности долей в этом случае определяется по формуле:
, (6.35)
а критерий – в результате деления абсолютной разности долей на среднюю ошибку этой разности, т.е.
, (6.36)
Для случая малых выборок (когда число наблюдений не превышает 30) критерий рассчитывается по формуле:
, (6.37)
где , (6.38)
Оценка существенности расхождений выборочных средних осуществляется на основе t-критерий Стьюдента. В этом случае устанавливается число степеней свободы и уровень доверительной значимости . По этим характеристикам на основе распределения Стьюдента находится табличное значение t-критерия, которое сравнивается с расчётным . Если окажется, что ., то расхождения между выборочными средними признаются существенными, и наоборот.
Тема. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО - ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
1. Ряды динамики
С течением времени явления общественной жизни постоянно меняются. Подвергаются изменениям их объем, уровень, структура. Для исследования этих изменений строятся ряды динамики.
Рядами динамики называются ряды расположенных в хронологическом порядке показателей, характеризующих развитие изучаемого явления во времени.
Ряды динамики включают два основных элемента: показатели времени - t, соответствующие им уровни развития изучаемого явления - Y. Уровни рядов динамики выражают количественную оценку развития изучаемого явления во времени.
Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные моменты времени. Особенности моментных рядов динамики:
Интервальные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений за отдельные интервалы времени.
Особенности интервальных рядов динамики:
В зависимости от исследуемых показателей ряды динамики делятся на следующие виды:
Задачи, решаемые с помощью рядов динамики:
2. Аналитические показатели динамики
В результате сопоставления уровней динамических рядов вычисляются аналитические производные показатели. Эти показатели могут быть вычислены цепным и базисным способом. При цепном методе каждый последующий уровень сопоставляется с предыдущим, а при базисном - с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения.
а) базисный (Yб)– исчисляется как разность между сравниваемым уровнем ряда Yi и уровнем, принятым за постоянную базу сравнения Yо:
, (7.1)
, (7.2)
где - значение показателя в i-ом периоде;
- значение показателя в предшествующем i-1 периоде;
- значение показателя в базисном периоде.
а) базисный (Тб) – исчисляется как отношение сравниваемого уровня ряда Yi и уровня, принятого за постоянную базу сравнения Yо:
, (7.3)
б) цепной (Тц) – исчисляется как отношение сравниваемого уровня ряда Yi и уровня, ему предшествующего Yi-1:
, (7.4)
3. Темп прироста (Т)– это отношение абсолютного прироста к сравниваемому уровню. Он характеризует абсолютный прирост в относительных величинах:
а) базисный (Тб) – исчисляется как отношение абсолютного базисного прироста Yбi и уровня, принятого за постоянную базу сравнения Yо:
, (7.5)
; ; .
б) цепной (Тц) – исчисляется как отношение цепного прироста Yцi и уровня, ему предшествующего Yi-1:
, (7.6)
; ; .
Между показателями темпа роста и прироста существует взаимосвязь: темп прироста всегда на единицу меньше темпа роста, выраженного в коэффициентах и на 100% меньше темпа роста, выраженного в %:
, (7.7)
, (7.8)
, (7.9)
4. Ускорение:
а) абсолютное (абс) - разность между абсолютным изменением за данный период и абсолютным приростом за предыдущий период равной длительности. Измеряется показатель только в цепном варианте:
, (7.10)
Отрицательное значение показателя говорит о замедлении роста. Ускорение, равное нулю, характеризует прямолинейную тенденцию. Постоянное ускорение характеризует параболическую тенденцию;
б) относительное (отн)- это отношение двух цепных темпов прироста - последующего к предыдущему:
, (7.11)
5. Темп наращивания (Тн) – это отношение цепных абсолютных приростов к уровню, принятому за постоянную базу сравнения:
, (7.12)
6. Абсолютное значение одного процента прироста (К1%) – это отношение абсолютного прироста к темпу прироста, выраженное в процентах. Иначе его можно получить делением значения предыдущего уровня ряда на 100:
, (7.13)
Абсолютное значение одного процента прироста показывает, насколько весом каждый % прироста, какое содержание за ним скрывается.
Основные аналитические показатели динамики представлены в табл. 7.1.
Таблица 7.1
Аналитические показатели динамики
|
Наименование показателя |
Вид показателя |
|
|
базисный |
Цепной |
|
|
1. Абсолютный прирост |
||
|
2. Темп роста |
||
|
3. Темп прироста |
||
|
4. Ускорение: а) абсолютное б) относительное |
а) абс = Yцi - Yцi-1 б) отн= Tцi / Tцi-1 |
|
|
5. Темп наращивания |
Тнi = Yцi / Y0 |
|
|
6. Абсолютное значение 1% прироста |
Между базисными и цепными показателями динамики существует следующая взаимосвязь:
(7.14)
(7.15)
*
*
÷
÷
3. Средние показатели динамики
Для получения обобщающей характеристики динамики изучаемых явлений рассчитываются средние показатели динамики.
1. Средний уровень ряда характеризует типичную величину абсолютных уровней. Он рассчитывается:
А. В интервальном ряду - по средней арифметической простой:
(7.16)
где - значение показателя в i-ом интервале времени;
n – количество интервалов.
Б. В моментном динамическом ряду с равными промежутками времени между датами - по средней хронологической:
, (7.17)
где n - количество моментов времени, на которые зафиксированы значения показателя (yn).
В. В моментном ряду с неравными промежутками времени между датами - по средней арифметической взвешенной:
(7.18)
где ti –величина промежутка времени между двумя датами;
- среднее значение признака на каждом i-м промежутке, рассчитывается по формуле средней арифметической простой:
, (7.19)
где Yi , Yi+1 - значения признака соответственно в начале и в конце интервала.
2. Средний абсолютный прирост – это обобщающий показатель скорости абсолютного изменения уровней динамического ряда:
, (7.20)
3. Средний темп роста – это обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики:
, (7.21)
где - это произведение цепных темпов роста.
4. Средний темп прироста – определяется на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста. При наличии данных о средних темпах роста, выраженных в виде коэффициента, необходимо вычесть единицу, а для выраженных в процентах отнять 100 для получения средних темпов прироста:
, (7.22)
4. Изучение основной тенденции развития
Особый интерес в исследовании закономерностей динамических процессов представляет выявление общей тенденции развития (тренда). При изучении основной тенденции ряда динамики решаются две взаимосвязанные задачи:
1) выявление основной тенденции развития и описание его качественных особенностей;
2) измерение выявленного тренда, т.е. получение обобщающей количественной оценки основной тенденции развития.
Эти задачи решаются с помощью различных методов анализа рядов динамики. К ним относятся:
1. Метод укрупнения интервалов – применяется для выявления тренда в рядах динамики колеблющихся уровней, затушевывающих основную тенденцию развития. При этом первоначальный ряд динамики преобразуется в ряд с более продолжительными периодами (месячные периоды в квартальные, квартальные в годовые и т.д.).
2. Метод скользящей средней.
С его помощью от исходных данных переходят к теоретическим уровням, в которых случайные колебания погашаются, а основная тенденция развития выражается в виде плавной линии.
Скользящая средняя - это подвижная динамическая средняя, образованная из определенного числа уровней ряда при последовательном передвижении на один уровень. Применение способа укрупнения интервалов, расчет скользящих средних позволяет установить закономерность изменения ряда динамики.
3. Приведение рядов динамики к одному основанию.
Метод применяется при сравнительном анализе тенденций развития взаимосвязанных явлений. Проведение такого анализа значительно облегчается, если рассматриваемые динамические ряды приведены к одному основанию, то есть выражают уровни сравниваемых рядов в процентах по отношению к начальному, среднему или иному характерному уровню динамического ряда.
В связи с тем, что база сравнения (основание) оказывает существенное влияние на величины относительных показателей динамики, в процессе статистического анализа ему следует уделять необходимое внимание. Обычно выбору основания предшествует периодизация динамики, то есть расчленение динамических рядов на однокачественные периоды или этапы развития явлений.
4. Метод аналитического выравнивания
С его помощью решается задача измерения тренда.
Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что основная тенденция развития Yt рассчитывается как функция времени:
, (7.23)
Определение расчетных (теоретических) уровней Yt производится на основе адекватной математической функции, наилучшим образом отображающей основную тенденцию ряда динамики. Подбор функции осуществляется методом наименьших квадратов, суть которого состоит в том, что эмпирические уровни динамического ряда Yi заменяются плавной линией выравненных уровней Yti таким образом, чтобы сумма этих отклонений была равна 0, а сумма квадратов отклонений была минимальной:
, (7.24)
Аналитическое выравнивание по прямой линии производится в том случае, если наблюдается равномерный абсолютный прирост. Уравнение прямой имеет вид:
, (7.25)
где Yt - расчетные уровни динамического ряда;
t - порядковый номер времени;
- свободный параметр уравнения;
, если t=0;
- параметр динамики, показывающий, как в среднем изменится Y, если t увеличится на единицу.
Для определения параметров a0 и a1 необходимо решить систему нормальных уравнений:
, (7.26)
Если значения t подобрать так, чтобы их сумма равнялась 0, то решение системы можно упростить. Параметры уравнения при этом можно рассчитать следующим образом:
, , (7.27, 7.28)
Если явление изменяется в геометрической прогрессии, то выравнивание производится по показательной кривой:
, (7.29)
Если наблюдается равномерное ускорение, то выравнивание производится по параболе второго порядка:
, (7.30)
Часто для уравнения тренда подходят одновременно несколько функций. Отбор оптимальной производится по величине стандартизированной ошибки аппроксимации, которая вычисляется по формуле:
, (7.31)
5. Изучение периодических (сезонных) колебаний
Сезонными колебаниями называют внутригодичные, постоянно повторяющиеся изменения изучаемых явлений.
При анализе рядов внутригодовой динамики получают количественные характеристики, отображающие специфику развития изучаемых явлений по месяцам годового цикла.
Для измерения сезонных колебаний обычно исчисляются индексы сезонности Is. Они рассчитываются как отношение исходных (эмпирических) уровней ряда динамики Yij к расчетным (теоретическим) уровням Ytij:
(7.32)
В качестве Ytij могут выступать значения рассмотренных выше уравнений тренда, иногда используются фактические максимальное или минимальное значение (Y max, Y min) в течение сезонного цикла.
На сезонные колебания могут оказывать влияние не только факторы сезонности, но и различные случайные отклонения. Для их устранения необходимо произвести усреднение индивидуальных индексов одноименных внутригодовых периодов анализируемого ряда динамики. Для каждого периода годового цикла определяются обобщенные показатели в виде средних индексов сезонности:
(7.33)
В зависимости от характера тренда формула (7.33) может рассчитываться различными способами:
а) способом переменной средней – для рядов внутригодовой динамики с ярко выраженной основной тенденцией развития:
, (7.34)
где - это количество сезонных циклов (как правило, лет),
- количество (номера) внутрисезонных периодов (например, месяцев, кварталов);
Yij - фактические уровни по каждому внутрисезонному периоду для всех сезонов. Суммирование производится по каждому периоду отдельно;
Ytij - теоретические уровни, представляющие "среднюю ось кривой", рассчитанные по методу наименьших квадратов для всех сезонных циклов - переменная база сравнения;
б) способом постоянной средней – для рядов внутригодовой динамики, в которых повышающийся (понижающийся) тренд незначителен.
При этом можно использовать формулу:
(7.35)
где - средняя по каждому внутрисезонному периоду j (месяцу, кварталу) для всех n сезонов.
Средняя по внутрисезонному периоду j рассчитывается по формуле:
(7.36)
- общая средняя по всем сезонам (n) и всем внутрисезонным периодам (m):
(7.37)
где .
в) методом скользящей средней:
, (7.38)
где Yij – исходные уровни ряда;
– сглаженные уровни ряда;
n – число одновременных периодов.
При изучении сезонности следует обратить внимание на то, что прежде чем рассчитывать индексы сезонности, из динамического ряда необходимо исключить основную тенденцию развития и случайные колебания.
Исследование сезонности осуществляется в несколько этапов.
1 этап. Определение основной тенденции развития по квартальным данным методом четырехэлементной скользящей средней с целью исключения ее из динамического ряда.
2 этап. Расчет сезонных колебаний.
3 этап. Расчет средних сезонных колебаний (сезонной волны) с целью исключения сезонных колебаний из динамического ряда.
К числу прочих средних и относительных показателей сезонности можно отнести:
- размах сезонных колебаний - это разность наибольшего и наименьшего
значения показателя в течение сезонного цикла:
, (7.39)
- коэффициент сезонных колебаний - это отношение наибольшего и наименьшего значения показателя в течение сезонного цикла:
, (7.40)
- среднее линейное отклонение:
(7.41)
- среднее квадратическое отклонение:
, (7.42)
, (7.43)
- дисперсию:
(7.44)
, (7.45)
- коэффициент вариации:
, (7.46)
6. Сопоставимость рядов динамики
Ряды динамики формируются в результате сводки и обработки материалов периодического наблюдения. Каждый ряд динамики охватывает отдельные обособленные периоды, в которых могут происходить изменения, приводящие к несопоставимости отчетных данных с данными других периодов. Несопоставимость вызывается различными причинами:
1) разновеликость показаний времени (разные периоды времени, наличие високосного года);
2) неоднородность состава изучаемых совокупностей во времени (объединение предприятий, выделение из состава предприятий самостоятельных единиц и т.д.);
3) изменения в методике первичного учета и обобщения исходной информации;
4) различия применяемых в отдельные периоды времени единиц измерения;
5) изменение уровня цен и другие.
Поэтому для анализа ряда динамики необходимо привести все составляющие его элементы к сопоставимому виду путем смыкания рядов, пересчета показателей с помощью индексов инфляции, по новым методикам и т.д. Смыкание рядов динамики производится путем сопоставления соответствующих уровней двух рядов динамики (в прежних и новых границах). Для устранения влияния изменения цен, показатели пересчитывают в неизменные (базисные) цены. В результате получаются ряды динамики в сопоставимых ценах.
7. Интерполяция и экстраполяция динамических рядов
Рассчитываемые при анализе динамики аналитические и средние показатели, параметры уравнения тренда используются при интерполяции и экстраполяции динамических рядов.
Интерполяцией называется нахождение недостающих промежуточных уровней внутри ряда динамики.
Недостающие уровни ряда динамики вычисляются, исходя из предположения о существовании той или иной закономерности в данном ряду динамики. При сохранении постоянных абсолютных приростов недостающий уровень динамического ряда Yi определяется по формуле:
, (7.47)
где Y1 - начальный уровень;
- средний абсолютный прирост;
(i - 1) - длина параметра времени между i-м и 1-м уровнями ряда;
Yi - искомый уровень ряда.
Если предполагаются постоянными темпы роста, то недостающий уровень вычисляется по формуле:
, (7.48)
где - средний темп роста;
i – порядковый номер искомого уровня ряда.
Экстраполяция – это распространение выявленных в анализе рядов динамики закономерностей развития изучаемого явления на будущее. Иначе говоря, экстраполяция - это определение уровней за пределами данного динамического ряда, т.е. в будущем или в прошлом. На идее экстраполяции основано прогнозирование.
Если предположить, что абсолютные приросты останутся постоянными, экстраполируемый уровень динамического ряда можно вычислить по формуле:
, (7.49)
При сохранении постоянными темпов роста экстраполируемый уровень вычисляется по формуле:
, (7.50)
где l – период экстрополирования.
При прогнозировании тренда изучаемого явления на основе аналитического выравнивания для экстраполяции применяется адекватная трендовая модель.
Тема. ИНДЕКСНЫЙ МЕТОД В СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
1. Сущность, значение и классификация индексов
Индексом в статистике называется относительный показатель, получаемый как отношение показателей одинаковой размерности при их сопоставлении.
Индекс (от лат. Index – показатель, указатель) – это относительный показатель, характеризующий среднее изменение во времени, в пространстве, по сравнению с планом или с нормативом общественного явления, элементы которого не поддаются непосредственному суммированию.
В теории индексного метода используются следующие понятия и обозначения:
- индексный набор - перечень элементов, включаемых в расчет индекса;
- индексируемая величина - значение признака, изменение которого мы изучаем. При построении индексов индексируемая величина всегда является переменной. Каждая индексируемая величина имеет свое обозначение:
p - цена единицы продукции,
z - себестоимость одного изделия,
q - физический объем продукции,
pq - объем продукции в стоимостном выражении,
zq - затраты на производство продукции,
T - затраты времени (численность работающих),
w - выработка продукции,
t - трудоемкость продукции.
Уровни базисного периода обозначаются подстрочным символом 0, отчетного - 1;
- веса-соизмерители - показатели, являющиеся условно-постоянной величиной при построении индексов.
Задачи, решаемые с помощью индексного метода:
|
Признаки классификации |
Виды индексов |
|
1. По характеру индексируемых явлений |
индексы: а) цен, б) производительности труда, в) физического объема продукции, г) себестоимости единицы продукции и т.д. |
|
2. В зависимости от охвата индексируемых явлений |
индексы: а) индивидуальные, б) общие, в) групповые индексы |
|
3. По форме и методам вычисления |
а) агрегатные индексы, б) средние арифметические и гармонические индексы, тождественные агрегатному, в) индексы средних величин (переменного, постоянного состава и структурных сдвигов) |
|
4. В зависимости от выбора весов |
а) индексы с постоянными весами, б) индексы с переменными весами |
|
5. В зависимости от базы сравнения |
а) базисные индексы, б) цепные, в) территориальные, г) плановые |
2. Индивидуальные и общие индексы
Выделяют следующие группы индексов:
1. Индивидуальные (частные) индексы характеризуют изменение отдельных единиц статистической совокупности.
Например, индивидуальные индексы:
2. Общие индексы – выражают сводные (обобщающие) результаты совместного изменения всех единиц, образующих изучаемую совокупность. Могут рассчитываться в агрегатной и средней формах.
Сущность агрегатного индекса состоит в том, что несоизмеримые элементы индексного набора приводятся к соизмеримому виду путем их взвешивания (умножения) на соизмерители-веса и дальнейшего суммирования по всем элементам индексного набора. Соизмерители необходимы для перехода от натуральных измерителей разнородных единиц статистической совокупности к однородным показателям. Соизмерители остаются постоянными на одном уровне (текущего или базисного периода). Таким образом, на величине агрегатного индекса сказывается влияние только фактора, который определяет изменение индексируемой величины.
Например, агрегатные индексы:
- цен:
(индекс Пааше), (8.6)
( индекс Ласпейреса), (8.7)
(индекс Лоу), где (8.8)
- физического объема продукции:
(8.9, 8.10)
- себестоимости:
(8.11, 8.12)
, (8.13)
При сравнении числителя и знаменателя формул (8.13, 8.6, 8.9) в разности определяется абсолютное изменение стоимостного объема продукции, как в целом, так и за счет изучаемых факторов:
, (8.14)
, (8.15)
, (8.16)
При этом соблюдается следующее равенство:
, (8.17)
Аналогично рассчитывается абсолютное изменение показателей за счет изменения различных факторов на основании других агрегатных индексов.
Между агрегатными индексами существует та же взаимосвязь, что и между показателями. Например: . Отсюда:
(8.18)
3. Если совокупность элементов предварительно разбить на группы или части, а затем по каждой из этих частей произвести необходимые вычисления, то получаемые индексы называют групповыми.
3. Средний арифметический и средний гармонический индексы, тождественные агрегатному
Общие индексы могут быть представлены другим способом – путем вычисления средней величины из индивидуальных индексов. Значения общих индексов, рассчитанных по агрегатному способу, и путем вычисления средней величины из индивидуальных индексов, будут одинаковыми.
Проведем преобразование агрегатного индекса физического объема продукции в тождественную ему форму средних индексов. Для этого из формулы выразим и подставим в числитель Iq:
, (8.19)
Так, общий индекс физического объема продукции может быть рассчитан как средняя арифметическая из индивидуальных индексов физического объема продукции, взвешенных по стоимости продукции базисного периода. Этот индекс получил название среднего арифметического индекса, тождественного агрегатному.
Cредняя гармоническая форма общего индекса физического объема продукции выглядит следующим образом: из индивидуального индекса физического объема выразим подставим в знаменатель агрегатного индекса физического объема продукции:
, (8.20)
Таким образом, общий индекс физического объема продукции может быть рассчитан как средняя гармоническая из индивидуальных индексов физического объема продукции, взвешенных по стоимости продукции отчетного периода. Этот индекс получил название среднего гармонического индекса, тождественного агрегатному.
4. Индексный метод анализа динамики среднего уровня
Индексы позволяют проанализировать изменения средних величин. Индексы динамики среднего уровня рассчитываются по различным качественным показателям. Например, для средней цены можно рассчитать:
, (8.21)
где и – удельный вес продукции i-го предприятия в общем объёме произведённой продукции по группе предприятий соответственно в отчётном и базисном периодах.
Этот индекс отражает изменение как среднего признака (в нашем случае - цены), так и структуры совокупности (производства продукции). На его основе могут быть построены два других:
- отражающий изменение средней цены в результате изменения индивидуальных цен на предприятиях при условии постоянства структуры совокупности (т.е. значения показателя, принимаемого в качестве весов, остаются неизменными на уровне отчетного периода) - индекс постоянного состава:
, (8.22)
- а также индекс структурных сдвигов, отражающий изменение средней цены в результате изменения структуры продукции, при условии постоянства цен на продукцию:
, (8.23)
На основе данных индексов можно рассчитать абсолютное изменение средней цены изделия как в целом:
, (8.24)
так и за счет изменения факторов:
- в результате изменения индивидуальных цен на предприятиях при условии постоянства структуры совокупности:
, (8.25)
- в результате изменения структуры совокупности:
, (8.26)
Общее изменение средней цены равно:
, (8.27)
Индексы средних величин взаимосвязаны: .
Основные виды индексов представлены в таблице 8.2.
Таблица 8.2
Сводная таблица индексов
|
Виды индексов |
Цен |
Физического объема |
Себестоимости |
Производительности труда |
|
|
выработки |
трудоёмкости |
||||
|
Индивидуальные |
|||||
|
Агрегатные |
(Ласпейреса) (Пааше) (Лоу) |
||||
|
Средние а) арифметические б) гармонические |
|||||
|
Переменного состава Постоянного состава Структурных сдвигов |
При изучении динамики хозяйственной деятельности приходится производить индексные сопоставления более, чем за два периода. При этом индексные величины могут определяться как на постоянной, так и на переменной базах сравнения.
При исчислении базисных индексов получают характеристики изменения изучаемых явлений во всех последующих периодах по сравнению с начальным. Цепные индексы характеризуют последовательное изменение изучаемого явления из периода в период.
Базисные и цепные индексы аналогичны относительным величинам динамики.
Например, индивидуальные цепные индексы цены:
, (8.28)
Базисные индивидуальные индексы цен:
, (8.29)
Между индивидуальными цепными и базисными индексами имеется взаимосвязь: произведение последовательных цепных индивидуальных индексов равно базисному индексу за тот же период:
, (8.30)
Подобная операция также возможна для общих цепных индексов с постоянными весами, для индексов с переменными весами она неправомерна.
Системы агрегатных индексов могут быть с постоянными и переменными весами.
Цепные агрегатные индексы цен с переменными весами:
, (8.31)
Базисные агрегатные индексы цен c переменными весами:
, (8.32)
Для индексов цен построение их с постоянными весами малоинтересно. С практической точки зрения гораздо больший интерес представляют индексы цен с переменными весами, хотя между ними нет взаимосвязи между цепными и базисными индексами.
Цепные агрегатные индексы физического объема продукции с постоянными весами:
, (8.33)
Базисные агрегатные индексы физического объема с постоянными весами:
, (8.34)
С практической точки зрения интерес представляют индексы физического объема с постоянными весами.
Агрегатный индекс можно использовать для оценки влияния двух факторов, которые формируют этот показатель. Однако индексный метод позволяет определить влияние не только двух, но и большего числа факторов. При этом статистический показатель, изменение которого является результатом изменения других, связанных с ним показателей, называются результативным, а показатели, от которых зависит результативный, называются факторными показателями, или просто факторами.
Индексный метод факторного анализа применяется в тех случаях, когда между экономическими результативным и факторным показателями существует функциональная связь, в частности, когда результативный показатель можно представить как произведение двух и более факторов, определяющих его величину.
При построении многофакторных экономико-статистических моделей большое значение имеет последовательность записи факторов, поэтому необходимо соблюдать следующие основные требования:
- факторы-сомножители должны быть расположены так, чтобы умножение каждого сомножителя на предыдущий или на произведение предыдущих давало экономически осмысленную величину; это позволяет преобразовывать (свертывать) сложную многофакторную модель в более простую, содержащую меньшее число факторов;
- первым фактором-сомножителем в модели может быть либо интенсивный (качественный), либо экстенсивный (количественный, объемный) фактор.
Например, изменение средней месячной выработки одного работника зависит от изменения всех перечисленных факторов:
, (8.35)
где W - среднемесячная выработка одного рабочего;
а - среднечасовая выработка одного рабочего;
b – среднее число отработанных за смену часов, ч;
с - среднее число дней, отработанных за месяц, дн.
Индекс среднемесячной выработки, отражающий влияние всех трех факторов, имеет вид:
, (8.36)
Количественную оценку влияния каждого исследуемого фактора на динамику производительности труда можно определить с помощью системы последовательно-цепных аналитических индексов. При этом нужно последовательно менять величину каждого фактора, оставляя другие постоянными. Влияние исследуемых факторов на динамику производительности труда можно распределить следующим образом, причем необходимо соблюдение следующих правил:
1. Если система взаимосвязи факторов начинается с интенсивного (качественного) показателя а, то еще не рассмотренные факторы принимаются на уровне отчетного периода, а уже рассмотренные остаются на уровне базисного периода.
При этом изменение выработки происходит под влиянием следующих факторов:
, (8.37)
, (8.38)
3) влияние изменения среднего числа дней, отработанных за месяц:
, (8.39)
2. Если система взаимосвязи факторов начинается с экстенсивного (количественного) показателя а, то еще не рассмотренные факторы принимаются на уровне базисного периода, а уже рассмотренные остаются на уровне отчетного периода.
Произведение частных индексов дает общий индекс производительности труда:
, (8.40)
Разность между числителем и знаменателем данного индекса показывает абсолютный прирост уровня производительности труда:
, (8.41)
Сумма абсолютных размеров влияния всех факторов, формирующих явление, равна общей величине изменения результативного показателя:
, (8.42)
Чтобы рассчитать абсолютные изменения, происходящие за счет факторов, нужно из числителя каждого факторного индекса вычесть его знаменатель:
а) фактор а – интенсивный (качественный) показатель:
, (8.43)
, (8.44)
, (8.45)
б) фактор а – экстенсивный (количественный) показатель:
, (8.46)
, (8.47)
, (8.48)
В рассмотренном примере анализируются три фактора, влияющие на результативный показатель. По этой методике сложный результативный показатель можно разложить на любое число влияющих на него факторов-сомножителей.
Принципы построения двухфакторных моделей
Результативные показатели можно представить в виде произведения
двух факторных, один из которых является качественным, другой – количественным:
(8.49)
где К - качественный показатель,
V – количественный (объемный) показатель.
Изменение значения результативного показателя в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом равно:
, (8.50)
Это изменение может происходить под влиянием двух факторных признаков, в том числе:
- за счет изменения качественного признака:
, (8.51)
- за счет изменения количественного (объемного) признака:
, (8.52)
Таким образом, общее изменение результативного показателя равно сумме изменений за счет факторных признаков – количественного и качественного:
, (8.53)
7. Индексы пространственно-территориального сопоставления
Часто встатистической практике возникает потребность в сопоставлении уровней экономического явления в пространстве: по странам, регионам, областям, т.е. в исчислении территориальных индексов. При решении данной задачи приходится решать вопрос, какие веса использовать при исчислении территориальных индексов. Например, если стоит задача сравнить цены двух регионов (А и Б), то можно построить два индекса:
(8.54)
, (8.55)
где - индекс, в котором в качестве базы сравнения применяются данные по региону А;
- индекс, используемый в качестве базы сравнения данных по региону В;
- это фактический объем товарооборота в регионе А;
- это фактический объем товарооборота в регионе В;
- условная величина товарооборота региона А, которая могла быть при продаже изучаемого ассортимента товаров по ценам, сложившимся в регионе В;
- условная величина товарооборота региона В, которая могла быть при продаже изучаемого ассортимента товаров по ценам, сложившимся в регионе А.
Эти формулы могут дать совершенно различное представление о соотношении уровней явления. Например, при расчете по первой формуле значение признака будет ниже в регионе А, а по второй формуле - в регионе В.
Разность между числителем формулы отображает сумму экономического эффекта от различия цен в данных городах.
, (8.56)
. (8.57)
В теории и практике статистики предлагаются различные методы построения территориальных индексов, в том числе метод стандартных весов. Этот метод заключается в том, что значения индексируемой величины взвешиваются не по весам какого-то одного региона, а по весам области, экономического района, республики, в которых находятся сравниваемые регионы. В качестве весов можно использовать количество продукции, проданной в регионах А и В, т.е.:
. (8.59)
В сводных (общих) территориальных индексах физического объема в качестве весов-соизмерителей могут выступать средние цены ():
(8.60)
В приведенной формуле средние цены по изучаемым регионам определяются методом средней взвешенной ().
Применительно к анализируемым данным средние цены определяются по каждому товару.
Индексы изменения стоимости товарооборота региона А по сравнению с регионом Б:
. (8.61)