Тема 1 Парная регрессия и корреляция Тема 2

Работа добавлена на сайт samzan.net:

ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ « ЭКОНОМЕТРИКА»

Руководство составлено на основании учебной программы данной дисциплины, составленной в соответствии с государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки студентов экономических специальностей.

Содержание

1. Перечень тем и подтем

Тема 1. Парная регрессия и корреляция

Тема 2. Множественная регрессия и корреляция

Тема 3. Системы эконометрических уравнений

Тема 4. Временные ряды

2. Литература

1.  Перечень тем

Тема 1. Парная регрессия и корреляция

1. Предварительно ознакомиться с теоретическим материалом:

Л1 [Гл. 2], Л2 [Гл. 1], Л3 [Гл. 1, 3, 5].

2. Примеры с решениями.

Пример 1. По территориям региона приводятся данные за календарный год (см. табл. 1).

Таблица 1

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., x	Среднедневная Заработная плата, руб., y
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

Требуется:

1.  Построить линейное уравнение парной регрессии y от x.
2.  Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3.  Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
4.  Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющем 107% от среднего уровня.
5.  Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
6.  На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Решение:

1.  Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 2.

;

.

Получим уравнение регрессии: .

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 100 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 89 руб.

1.  Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

;

Коэффициент детерминации при этом составит:

.

Это означает, что 51% вариации заработной платы () объясняется вариацией фактора x – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как  не превышает 8-10%.

1.  Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости  и степенях свободы  и  составляет . Так как , то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы  и  составит .

Определим случайные ошибки , , :

Таблица 2

	x	y
1	78	133	10374	6084	17689	149	-16	12,0
2	82	148	12136	6724	21904	152	-4	2,7
3	87	134	11658	7569	17956	157	-23	17,2
4	79	154	12166	6241	23716	150	4	2,6
5	89	162	14418	7921	26244	159	3	1,9
6	106	195	20670	11236	38025	174	21	10,8
7	67	139	9313	4489	19321	139	0	0,0
8	88	158	13904	7744	24964	158	0	0,0
9	73	152	11096	5329	23104	144	8	5,3
10	87	162	14094	7569	26244	157	5	3,1
11	76	159	12084	5776	25281	147	12	7,5
12	115	173	19895	13225	29929	183	-10	5,8
Итого	1027	1869	161808	89907	294377	1869	0	68,9
Среднее значение	85,6	155,8	13484,0	7492,3	24531,4	–	–	5,7
	12,84	16,05	–	–	–	–	–	–
	164,94	257,76	–	–	–	–	–	–

;

;

.

Тогда

;

;

.

Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:

; ; ,

поэтому параметры a, b и  не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

.

Доверительные интервалы

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью  параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

1.  Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:  руб., тогда прогнозное значение заработной платы составит:  руб.
   1.  Ошибка прогноза составит:

.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза:

руб.;

руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным () и находится в пределах от 131,66 руб. до 190,62 руб.

1.  Построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую (рис. 1):

Рис. 1.

Пример 2. По семи предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (y, млн. руб.) от объема капиталовложений (x, млн. руб.).

y	64	56	52	48	50	46	38
x	64	68	82	76	84	96	100

Требуется:

1. Для характеристики y от x построить следующие модели:

– линейную (для сравнения с нелинейными),

– степенную,

– показательную,

– гиперболическую.

2. Оценить каждую модель, определив:

– индекс корреляции,

– среднюю относительную ошибку,

– коэффициент детерминации,

– F-критерий Фишера.

3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

4. Рассчитать прогнозные значения результативного признака по лучшей модели, если объем капиталовложений составит 89,573 млн. руб.

5. Результаты расчетов отобразить на графике.

Решение:

1. Построение линейной модели парной регрессии

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:

;

Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений x и объемом выпуска продукции y обратная, достаточно сильная.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: .

Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1

,

.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

.

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции уменьшится в среднем на 550 тыс. руб. Это свидетельствует о неэффективности работы предприятий, и необходимо принять меры для выяснения причин и устранения этого недостатка.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

.

Вариация результата y (объема выпуска продукции) на 82,2 % объясняется вариацией фактора x (объемом капиталовложений).

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:

.

для  = 0,05; , .

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. .

Определим среднюю относительную ошибку:

.

В среднем расчетные значения  для линейной модели отличаются от фактических значений на 5,685%.

Таблица 1

	y	x	yx	x2
1	64	64	4096	4096	13,43	180,36	-17,4	303,8	60,2	3,84	6,000
2	56	68	3808	4624	5,43	29,485	-13,4	180,36	58	-1,96	-3,500
3	52	82	4264	6724	1,43	2,0449	0,57	0,3249	50,3	1,74	3,346
4	48	76	3648	5776	-2,57	6,6049	-5,43	29,485	53,6	-5,56	-11,583
5	50	84	4200	7056	-0,57	0,3249	2,57	6,6049	49,2	0,84	1,680
6	46	96	4416	9216	-4,57	20,885	14,57	212,28	42,6	3,44	7,478
7	38	100	3800	10000	-12,6	158	18,57	344,84	40,4	-2,36	-6,211
Итого	354	570	28232	47492	0,01	397,71		1077,7		-0,02	39,798
Ср. знач.	50,57	81,43	4033,14	6784,57							5,685
	56,8	154
	7,54	12,41

2. Построение степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид:  

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

	Факт		Переменная
1	64,0	1,806	64	1,806
2	56,0	1,748	68	1,833
3	52,0	1,716	82	1,914
4	48,0	1,681	76	1,881
5	50,0	1,699	84	1,924
6	46,0	1,663	96	1,982
7	38,0	1,580	100	2,000
28	354	11,893	570	13,340
Средн. знач.	50,5714	1,699	81,429	1,906

Обозначим , , .

Тогда уравнение примет вид:

– линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 2.

Таблица 2

	y	Y	x	X	YX	X2
1	64	1,806	64	1,806	3,262	3,262	61,294	2,706	4,23	7,32
2	56	1,748	68	1,832	3,203	3,358	58,066	–2,066	3,69	4,27
3	52	1,716	82	1,913	3,284	3,662	49,133	2,867	5,51	8,22
4	48	1,681	76	1,880	3,162	3,537	52,580	–4,580	9,54	20,97
5	50	1,699	84	1,924	3,269	3,702	48,088	1,912	3,82	3,65
6	46	1,662	96	1,982	3,296	3,929	42,686	3,314	7,20	10,98
7	38	1,579	100	2,000	3,159	4,000	41,159	–3,159	8,31	9,98
Итого	354	11,893		13,339	22,637	25,452		0,51	42,32	65,40

,

.

Уравнение регрессии будет иметь вид :

.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

.

Определим индекс корреляции:

.

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Коэффициент детерминации: 

.

Вариация результата y (объема выпуска продукции) на 83,6 % объясняется вариацией фактора x (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

.

для  = 0,05; , .

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. .

Средняя относительная ошибка

.

В среднем расчетные значения  для степенной модели отличаются от фактических значений на 6,04%.

3. Построение показательной функции

Уравнение показательной кривой: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Обозначим , , .

Получим линейное уравнение регрессии:

.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.

,

.

Уравнение будет иметь вид: .

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенциирование данного уравнения:

.

Определим индекс корреляции

.

Таблица 3.

	y	Y	x	Yx	x2
1	64	1,8062	64	115,60	4096	0,1072	0,0115	-17,43	303,76	60,6	11,464	3,3859	5,290
2	56	1,7482	68	118,88	4624	0,0492	0,0024	-13,43	180,33	58	3,9632	-1,991	3,555
3	52	1,7160	82	140,71	6724	0,0170	0,0003	0,57	0,33	49,7	5,4221	2,3285	4,478
4	48	1,6812	76	127,77	5776	-0,017	0,0003	-5,43	29,47	53,1	25,804	-5,08	10,583
5	50	1,6990	84	142,71	7056	0,0000	0,0000	2,57	6,61	48,6	2,0031	1,4153	2,831
6	46	1,6628	96	159,62	9216	-0,036	0,0013	14,57	212,33	42,5	11,933	3,4544	7,509
7	38	1,5798	100	157,98	10000	-0,119	0,0142	18,57	344,90	40,7	7,3132	-2,704	7,117
Итого	354	11,8931	570	963,28	4749		0,0300		1077,7		67,903	0,8093	41,363
Средн. знач.	50,57	1,6990	81,4	137,61	6785								5,909

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации:

.

Вариация результата y (объема выпуска продукции) на 82,8% объясняется вариацией фактора x (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

.

для  = 0,05; , .

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. .

Средняя относительная ошибка:

.

В среднем расчетные значения  для показательной функции отличаются от фактических на 5.909%.

4. Построение гиперболической функции

Уравнение гиперболической функции: .

Произведем линеаризацию модели путем замены . В результате получим линейное уравнение

.

Рассчитаем его параметры по данным таблицы 4.

,

.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

.

Определим индекс корреляции

.

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации:

.

Вариация результата t (объема выпуска продукции) на 83,5% объясняется вариацией фактора x (объемом капиталовложений).

F-критерий Фишера:

.

Таблица 4.

	y	x	X	yX	X2
1	64	64	0,0156	1,0000	0,0002441	13,43	180,33	61,5	2,489	6,1954	3,889
2	56	68	0,0147	0,8235	0,0002163	5,43	29,47	58,2	-2,228	4,9637	3,978
3	52	82	0,0122	0,6341	0,0001487	1,43	2,04	49,3	2,740	7,5089	5,270
4	48	76	0,0132	0,6316	0,0001731	-2,57	6,61	52,7	-4,699	22,078	9,789
5	50	84	0,0119	0,5952	0,0001417	-0,57	0.32653	48,2	1,777	3,1591	3,555
6	46	96	0,0104	0,4792	0,0001085	-4,57	20,90	42,9	3,093	9,5648	6,723
7	38	100	0,0100	0,3800	0,0001000	-12,57	158,04	41,4	-3,419	11,69	8,997
Итого	354		0,0880	4,5437	0,0011325		397,71	354,2	-0,246	65,159	42,202
Средн. знач.	50,57		0,0126	0,6491	0,0001618						6,029

для  = 0,05; , .

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. .

Средняя относительная ошибка

.

В среднем расчетные значения  для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 6,029%.

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.

Таблица 5.

Параметры  Модель	Коэффициент детерминации R2	F-критерий Фишера	Индекс корреляции yx (ryx)	Средняя относительная ошибка отн
1. Линейная	0,822	23,09	0,907	5,685
2. Степенная	0,828	24,06	0,910	6,054
3. Показательная	0,828	24,06	0,910	5,909
4. Гиперболическая	0,835	25,30	0,914	6,029

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но большее значение F-критерия Фишера и большее значение коэффициента детерминации R2 имеет гиперболическая модель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

Расчет прогнозного значения результативного показателя:

Прогнозное значение результативного признака (объема выпуска продукции) определим по уравнению гиперболической модели, подставив в него планируемую (заданную по условию) величину объема капиталовложений:

(млн. руб.).

Фактические, расчетные и прогнозные значения по лучшей модели отобразим на графике.

Рис 2. Прогноз по лучшей модели.

Тема 2. Множественная регрессия и корреляция

1. Предварительно ознакомиться с теоретическим материалом:

Л1 [Гл. 3], Л2 [Гл. 2], Л3 [Гл. 4].

2. Примеры с решениями.

Пример. По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов  ( от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих  ().

Номер предприятия	y			Номер предприятия	y
1	7,0	3,9	10,0	11	9,0	6,0	21,0
2	7,0	3,9	14,0	12	11,0	6,4	22,0
3	7,0	3,7	15,0	13	9,0	6,8	22,0
4	7,0	4,0	16,0	14	11,0	7,2	25,0
5	7,0	3,8	17,0	15	12,0	8,0	28,0
6	7,0	4,8	19,0	16	12,0	8,2	29,0
7	8,0	5,4	19,0	17	12,0	8,1	30,0
8	8,0	4,4	20,0	18	12,0	8,5	31,0
9	8,0	5,3	20,0	19	14,0	9,6	32,0
10	10,0	6,8	20,0	20	14,0	9,0	36,0

Требуется:

1.  Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
2.  Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
3.  Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
4.  С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .
5.  С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора  после  и фактора  после .
6.  Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Решение:

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

№	y
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	7,0	3,9	10,0	27,3	70,0	39,0	15,21	100,0	49,0
2	7,0	3,9	14,0	27,3	98,0	54,6	15,21	196,0	49,0
3	7,0	3,7	15,0	25,9	105,0	55,5	13,69	225,0	49,0
4	7,0	4,0	16,0	28,0	112,0	64,0	16,0	256,0	49,0
5	7,0	3,8	17,0	26,6	119,0	64,6	14,44	289,0	49,0
6	7,0	4,8	19,0	33,6	133,0	91,2	23,04	361,0	49,0
7	8,0	5,4	19,0	43,2	152,0	102,6	29,16	361,0	64,0
8	8,0	4,4	20,0	35,2	160,0	88,0	19,36	400,0	64,0
9	8,0	5,3	20,0	42,4	160,0	106,0	28,09	400,0	64,0
10	10,0	6,8	20,0	68,0	200,0	136,0	46,24	400,0	100,0
11	9,0	6,0	21,0	54,0	189,0	126,0	36,0	441,0	81,0
12	11,0	6,4	22,0	70,4	242,0	140,8	40,96	484,0	121,0
13	9,0	6,8	22,0	61,2	198,0	149,6	46,24	484,0	81,0
14	11,0	7,2	25,0	79,2	275,0	180,0	51,84	625,0	121,0
15	12,0	8,0	28,0	96,0	336,0	224,0	64,0	784,0	144,0
16	12,0	8,2	29,0	98,4	348,0	237,8	67,24	841,0	144,0
17	12,0	8,1	30,0	97,2	360,0	243,0	65,61	900,0	144,0
18	12,0	8,5	31,0	102,0	372,0	263,5	72,25	961,0	144,0
19	14,0	9,6	32,0	134,4	448,0	307,2	92,16	1024,0	196,0
20	14,0	9,0	36,0	126,0	504,0	324,0	81,0	1296,0	196,0
Сумма	192	123,8	446	1276,3	4581	2997,4	837,74	10828,0	1958,0
Ср. знач.	9,6	6,19	22,3	63,815	229,05	149,87	41,887	541,4	97,9

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

;

;

.

1.  Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров a, , :

либо воспользоваться готовыми формулами:

; ; .

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

;

;

.

Находим

;

;

.

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

.

Коэффициенты  и  стандартизованного уравнения регрессии  находятся по формулам:

;

.

Т.е. стандартизованное уравнение будет выглядеть следующим образом:

.

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

.

Вычисляем:

; .

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,61% или 0,20% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат y фактора , чем фактора .

1.  Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

; ; .

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы  и  явно коллинеарны, т.к. . При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

;

.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

,

где

– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

– определитель матрицы межфакторной корреляции.

.

Коэффициент множественной корреляции

.

Аналогичный результат получим при использовании других формул:

;

;

.

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

1.  Нескорректированный коэффициент множественной детерминации  оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 94,7% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов, и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более ) детерминированность результата y в модели факторами  и .

1.  Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи  дает F-критерий Фишера:

.

В нашем случае фактическое значение F-критерия Фишера:

.

Получили, что  (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение F-критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

1.  С помощью частных F-критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора  после  и фактора  после  при помощи формул:

;

.

Найдем  и .

;

.

Имеем

;

.

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора  после того, как в модель включен фактор  статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака  оказывается незначительным, несущественным; фактор  включать в уравнение после фактора  не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения  после , то результат расчета частного F-критерия для  будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного F-критерия для дополнительно включенного фактора  не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора  является существенным. Фактор  должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

1.  Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами  и  с  содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

, .

Тема 3. Системы эконометрических уравнений

1. Предварительно ознакомиться с теоретическим материалом:

Л1 [Гл. 4], Л2 [Гл. 3], Л3 [Гл. 9].

2. Примеры с решениями.

Пример 1. Изучается модель вида:

Данная система из трех уравнений содержит три зависимые, эндогенные (, , ) и четыре независимые, экзогенные (, , , ) переменные.

В структурной форме (СФМ) для нахождения параметров модели и  (называемых также структурными коэффициентами модели), простой МНК неприменим.

Обычно для определения структурных коэффициентов модели СФМ преобразуется в приведенную форму модели (ПФМ).

Параметры приведенной формой модели  могут быть оценены по методу наименьших квадратов. По этим параметрам затем можно рассчитать структурные коэффициенты модели  и . Для существования однозначного соответствия между параметрами структурной и приведенной формами необходимо выполнение условия идентификации. 

Структурные формы модели могут быть

– идентифицируемые;

– неидентифицируемые;

– сверхиндетифицируемые.

Для того чтобы СФМ была идентифицируема, необходимо чтобы каждое уравнение системы было идентифицируемо. В этом случае число параметров СФМ равно числу параметров приведенной формы.

Если хотя бы одно уравнение СФМ неидентифицируемо, то вся модель считается неидентифицируемой. В этом случае число коэффициентов приведенной формы модели меньше, чем число коэффициентов СФМ.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае можно получить два и более значений одного структурного коэффициента на основе коэффициентов приведенной формы модели. В сверхидентифицируемой модели хотя бы одно уравнение сверхидентифицируемо, а остальные уравнения идентифицируемы.

Если обозначить число эндогенных переменных в i-том уравнении СФМ через Н, а число предопределенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

если D+1 < H – уравнение неидентифицируемо;

если D+1 = H – уравнение идентифицируемо;

если D+1 > H – уравнение сверхидентифицируемо.

Счетное правило является необходимым, но не достаточным условием идентификации. Кроме этого правила для идентифицируемости уравнения должно выполняться дополнительное условие.

Отметим в системе эндогенные и экзогенные переменные, отсутствующие в рассматриваемом уравнении, но присутствующие в системе. Из коэффициентов при этих переменных в других уравнениях составим матрицу. При этом, если переменная стоит в левой части уравнения, то коэффициент надо брать с обратным знаком. Если определитель полученной матрицы не равен нулю, а ранг не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие индетификации для данного уравнения выполнено.

Проверим каждое уравнение системы на выполнение неоходимого и достаточного условия идентификации.

В первом уравнении три эндогенных переменных: , ,  (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные и  (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных и (см. таблицу 1). В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты при экзогенных переменных и  взяты из уравнений 2 и 3 системы. Во втором уравнении эти переменные присутствуют и коэффициенты при них равны и , соответственно. В третьем уравнении эти переменные отсутствуют, т.е. коэффициенты при них равны нулю. Так как вторая строка матрицы состоит из нулей, определитель матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено, и первое уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Таблица 1

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных и .

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
2
3	0	0

Во втором уравнении две эндогенные переменные:  и  (H=2). В нем отсутствует экзогенная переменная  (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных  и , которые отсутствуют во втором уравнении (см. таблицу 2).

Таблица 2

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных  и .

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
1
3	–1

Определитель представленной в таблице 2 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении три эндогенные переменные: , ,  (H=3). В нем отсутствует экзогенные переменные и  (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных и , которые отсутствуют в третьем уравнении (см. таблицу 3). Согласно таблице определитель матрицы равен нулю (первая строка состоит из нулей). Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Таблица 3

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных и .

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
1	0	0
2

При оценивании коэффициентов структурной модели используется ряд методов. Рассмотрим косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), который применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели.

Пример 2. Рассмотрим КМНК на примере следующей идентифицируемой модели, содержащей две эндогенные и две экзогенные переменные:

Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в таблице 4.

Таблица 4.

Фактические данные для построения модели

n	у1	у2	х1	х2
1	33,0	37,1	3	11
2	45,9	49,3	7	16
3	42,2	41,6	7	9
4	51,4	45,9	10	9
5	49,0	37,4	10	1
6	49,3	52,3	8	16
Сумма	270,8	263,6	45	62
Средн. знач.	45,133	43,930	7,500	10,333

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели.

где u1 и u2 – случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов  можно применить МНК.

Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней  и  ( и  – средние значения). Преобразованные таким образом данные таблицы 4 сведены в таблицу 5. Здесь же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения коэффициентов .

Для нахождения коэффициентов  первого приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Таблица 5

Преобразованные данные для построения приведенной формы модели

n	Y1	Y2	X1	X2	Y1X1	X12	X1X2	Y1X2	Y2X1	Y2X2	X22
1	-12,133	-6,784	-4,500	0,667	54,599	20,250	-3,002	-8,093	30,528	-4,525	0,445
2	0,767	5,329	-0,500	5,667	-0,383	0,250	-2,834	4,347	-2,664	30,198	32,115
3	-2,933	-2,308	-0,500	-1,333	1,467	0,250	0,667	3,910	1,154	3,077	1,777
4	6,267	1,969	2,500	-1,333	15,668	6,250	-3,333	-8,354	4,922	-2,625	1,777
5	3,867	-6,541	2,500	-9,333	9,667	6,250	-23,333	-36,091	-16,353	61,048	87,105
6	4,167	8,337	0,500	5,667	2,084	0,250	2,834	23,614	4,168	47,244	32,115
Сумма	0,002	0,001	0,000	0,002	83,102	33,500	-29,001	-20,667	21,755	134,417	155,334

Подставляя рассчитанные в таблице 5 значения сумм, получим

Решение этих уравнений дает значения 11 = 2,822 и 12 = 0,394. Первое уравнение приведенной формы модели примет вид

.

Для нахождения коэффициентов 2k второго приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Подставляя рассчитанные в таблице 5 значения сумм, получим

Решение этих уравнений дает значения 21 = 1,668 и 22 = 1,177. Второе уравнение приведенной формы модели примет вид

.

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем  из второго уравнения приведенной формы модели

.

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

.

Таким образом, b12 = 0,335; a11 = 2,264.

Найдем  из первого уравнения приведенной формы модели

.

Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

.

Таким образом, b21 = 0,591; a22 = 0,944.

Свободные члены структурной формы находим из уравнений

,

.

Окончательный вид структурной модели

Пример 3. Изучается модель вида:

Требуется:

1. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:

2. Исходя из приведенной формы модели уравнений

найти структурные коэффициенты модели.

Решение.

1. Модель имеет три эндогенные (у1, у2, у3) и три экзогенные (х1, х2, х3) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.

Первое уравнение.

Н: эндогенных переменных – 2 (у1, у3), отсутствующих экзогенных – 1 (x2).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют у2 и x2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	y2	X2
Второе	–1	a22
Третье	b32	0

DetA = l0  b32a22  0.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Н: эндогенных переменных – 3 (y1, y2, y3), отсутствующих экзогенных – 2 (x1, x3).

Выполняется необходимое равенство: 3=2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствуют x1 и x3. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	x1	x3
Первое	a11	a13
Третье	a31	a33

DetA = a11a33   a31a13  0.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение.

Н: эндогенных переменных – 2 (y2, y3), отсутствующих экзогенных – 1 (x2).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в третьем уравнении отсутствуют y1 и x2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	y1	x2
Первое	–1	0
Второе	b21	a22

DetA = la22  b210  0.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

2. Вычислим структурные коэффициенты модели:

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим х2 (так как его нет в первом уравнении структурной формы):

.

Данное выражение содержит переменные y3, x1 и x3, которые нужны для первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение x2 в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ):

  

 – первое уравнение СФМ:

2) во втором уравнении СФМ нет переменных x1 и x3. Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа:

Первый этап: выразим x1 в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения:

.

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует x3, которого нет в СФМ.

Выразим x3 из третьего уравнения ПФМ:

.

Подставим его в выражение x1:

;

.

Второй этап: аналогично, чтобы выразить x3 через искомые y1, y3, и x2, заменим в выражении x3 значение x1 на полученное из первого уравнения ПФМ:

Следовательно,

.

Подставим полученные x1 и x3 во второе уравнение ПФМ:

 – второе уравнение СФМ.

3) из второго уравнения ПФМ выразим x2, так как его нет в третьем уравнении СФМ:

.

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ:

– третье уравнение СФМ.

Таким образом, СФМ примет вид

Тема 4. Временные ряды

1. Предварительно ознакомиться с теоретическим материалом:

Л1 [Гл. 5], Л2 [Гл. 4], Л3 [Гл. 6].

2. Примеры с решениями.

Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ

Приведены данные о количестве продукции, проданной компанией в течение последних 13 кварталов.

Дата	Объем продаж, тыс. шт.	Дата	Объем продаж, тыс. шт.
1	2	1	2
Январь-март 2003	239	Октябрь-декабрь	384
Апрель-июнь	201	Январь-март 2005	401
Июль-сентябрь	182	Апрель-июнь	360
Октябрь-декабрь	297	Июль-сентябрь	335
Январь-март 2004	324	Октябрь-декабрь	462
Апрель-июнь	278	Январь-март 2006	481
Июль-сентябрь	257

Требуется:

1.  Построить аддитивную модель временного ряда.
2.  Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Решение.

1. Проанализируем данные и попробуем обнаружить тенденцию. Если устойчивая тенденция действительно существует, то построенную модель можно будет использовать для прогнозирования объема продаж в следующих кварталах.

Для этого построим график временного ряда (см. рис.).

Из графика следует, что возможен возрастающий тренд, содержащий сезонные колебания. Так объемы продаж в зимний период (1 и 4) значительно выше, чем в летний (2 и 3). Сезонная компонента практически не изменилась за последние три года. Тренд показывает, что в среднем объем продаж возрос с 240 тыс. шт. в 2003 г. до 480 тыс. шт. в 2006 г., однако увеличение сезонных колебаний не наблюдалось. Этот факт свидетельствует в пользу модели с аддитивной компонентой

.              (1)

2. Расчет сезонной компоненты.

Для исключения влияния сезонной компоненты используют метод скользящей средней, суть которого заключается в нахождении среднего арифметического значения параметра за m моментов времени

.

Для рассмотренных данных об объемах продаж проведем следующие расчеты.

1.  Производя скольжение по значениям квартальных продаж из колонки 2, вычислим сумму продаж за каждые четыре квартала и внесем ее в колонку 3 табл. 1.
2.  Вычислим скользящую среднюю за каждые 4 квартала (колонка 4).
3.  Поскольку усредненные данные, внесенные в колонку 3, относятся не к конкретному кварталу, а к моменту времени между двумя кварталами (например, между апрелем-июнем и июлем-сентябрем 2003 г.), то необходимо получить центрированную скользящую среднюю для каждой пары значений из колонки 4. Полученные значения относятся к конкретным кварталам, начиная с июля-сентября 2003 года, их вносят в колонку 5. Таким образом, величины из колонки 5 являются десезонализированными средними значениями за квартал.
4.  Сезонную компоненту, содержащую остаток, рассчитывают по формуле  и вносят в колонку 6.
5.  Используя данные за все годы, вычисляют среднее значение для каждого квартала, что позволит уменьшить значения ошибок (табл. 2).
6.  Средние оценки сезонной компоненты корректируются, путем увеличения или уменьшения некоторых из них на одно и то же число, таким образом, чтобы их общая сумма была равна 0. Корректирующий фактор рассчитывают следующим образом: сумма оценок сезонных компонент делится на 4.

Аналогичная процедура применима при определении сезонной вариации за любой промежуток времени. Например, если в качестве сезонов рассматриваются не кварталы, а дни недели, то устранения влияния сезонной компоненты рассчитывают скользящую среднюю, но уже не по четырем, а по семи точкам. Эта скользящая средняя представляет собой значение тренда в середине недели, т.е. в четверг. Поэтому в этом случае необходимость в центрировании отпадает.

3. Десезонализация данных при расчете тренда.

Десезонализация исходных данных заключается в вычитании скорректированных сезонных компонент (последняя строка табл. 2) из фактических значений данных за каждый квартал, т.е.  (табл. 3).

Нанесем значения новых оценок тренда из колонки 4 на график исходных данных, что еще раз подтвердит существование явного линейного тренда.

Определим уравнение линии тренда методом наименьших квадратов

.           (2)

Таблица 1

Дата	Объем продаж, тыс. шт.	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
Январь-март 2003	239		–
Апрель-июнь	201		–
		919	229,75
Июль-сентябрь	182			240,375	–58,375
		1004	251
Октябрь-декабрь	297			260,625	+36,375
		1081	270,25
Январь-март 2004	324			279,625	+44,375
		1156	289
Апрель-июнь	278			299,875	–21,875
		1243	310,75
Июль-сентябрь	257			320,375	–63,375
		1320	330
Октябрь-декабрь	384			340,25	+43,75
		1402	350,5
Январь-март 2005	401			360,25	+40,75
		1480	370
Апрель-июнь	360			379,75	–19,75
		1558	389,5
Июль-сентябрь	335			399,5	–64,5
		1638	409,5
Октябрь-декабрь	462		–
Январь-март 2006	481		–

Таблица 2

	Год	Номер квартала
		1	2	3	4
	2003 2004 2005	– +44,375 +40,75	– –21,875 –19,75	–58,375 –63,375 –64,5	+36,375 +43,75 –
Итого		+85,125	–41,625	–186,25	+80,125
Средняя оценка сезонной компоненты		+42,563	–20,813	–62,083	+40,063	Сумма –0,27
Скорректированная сезонная компонента		+42,631	–20,746	–62,016	+40,131	Сумма 0,0

Таблица 3

Номер квартала	Объем продаж Y, тыс. шт.	Сезонная компонента S	Десезонализированный объем продаж, тыс. шт.
1	2	3	4
1	239	+42,631	196,369
2	201	-20,746	221,746
3	182	-62,016	244,016
4	297	+40,131	256,869
1	324	+42,631	281,369
2	278	-20,746	298,746
3	257	-62,016	319,016
4	384	+40,131	343,869
1	401	+42,631	358,369
2	360	-20,746	380,746
3	335	-62,016	397,016
4	462	+40,131	421,869
1	481	+42,631	438,369

4. Расчет ошибок

Из (1) следует, что величина ошибки равна

.

Значение T найдем из уравнения (2), а S из табл. 2. Результаты расчета представлены в табл. 4.

Таблица 4

Номер квартала	Объем продаж Y, тыс. шт.	Сезонная компонента S	Тренд, T тыс. шт.	Ошибка S, тыс. шт.
1	2	3	4	5
1	239	+42,631	200,028	-3,659 (1,5%)
2	201	-20,746	220,003	+1,743 (0,9%)
3	182	-62,016	239,978	4,038 (2,2%)
4	297	+40,131	259,953	-3,084 (1,0%)
5	324	+42,631	279,928	+1,441 (0,4%)
6	278	-20,746	299,903	-1,157 (0,4%)
7	257	-62,016	319,878	-0,862 (0,3%)
8	384	+40,131	339,853	+4,016 (1,0%)
9	401	+42,631	359,828	-1,459 (0,4%)
10	360	-20,746	379,803	+0,943 (0,3%)
11	335	-62,016	399,778	-2,762 (0,8%)
12	462	+40,131	419,753	+2,116 (0,5%)
13	481	+42,631	439,728	-1,359 (0,3%)

Столбец 5 можно использовать при расчете среднего абсолютного отклонения MAD (mean absolute deviation) и средней квадратической ошибки MSE (mean square error):

и .

где  и  – это фактическое и прогнозное значение в момент времени t.

В нашем случае ошибки достаточно малы и составляют от 0,2% до 2,2%. Тенденция, выявленная по фактическим данным, достаточно устойчива и позволяет получить хорошие краткосрочные прогнозы.

5. Прогнозирование по аддитивной модели.

Прогнозные значения рассчитываются по формуле

(тыс. шт. за квартал),

где x – номер квартала, на который дается прогноз, T – значение тренда, рассчитанное по (2), S(x) – сезонная компонента, составляющая в январе-марте 42,6, в апреле-июне – 20,7, в июле-сентябре – 62,0, в октябре-декабре – 40,1. Например, прогноз на апрель-июнь 2006 г. (x = 14) имеет вид

,

тыс. шт.

Можно предположить, что ошибка прогноза будет приблизительно 0,3-2,2% в соответствии с рассчитанными ошибками модели, но чем более отдаленным является период упреждения, тем меньшей оказывается обоснованность прогноза.

Пример 2. МОДЕЛЬ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ

В некоторых временных рядах значение сезонной компоненты не является константой, а представляет собой определенную долю трендового значения, т.е. значение сезонной компоненты увеличивается с возрастанием значений тренда. Например, рассмотрим график следующих данных об объемах продаж.

Дата	Объем продаж, тыс. шт.	Дата	Объем продаж, тыс. шт.
1	2	1	2
Январь-март 2004	63	Июль-сентябрь	88
Апрель-июнь	74	Октябрь-декабрь	130
Июль-сентябрь	79	Январь-март 2006	69
Октябрь-декабрь	120	Апрель-июнь	82
Январь-март 2005	67	Июль-сентябрь	90
Апрель-июнь	79

Объем продаж этого продукта так же, как и в предыдущем примере, подвержен сезонным колебаниям, и значения его в зимний период выше, чем в летний. Однако размах вариации фактических значений относительно линии тренда постоянно возрастает. Такую ситуацию можно представить с помощью модели с мультипликативной компонентой

.

1. Расчет сезонной компоненты.

Отличие расчета сезонной компоненты для мультипликативной модели от аддитивной модели заключается лишь в том, что в колонку 6 вписываются коэффициенты сезонности (аналог оценок сезонной компоненты в аддитивной модели)

.

Сезонные коэффициенты представляют собой доли тренда, поэтому принимают, что их сумма должна равняться количеству сезонов в году, т.е. 4, а не нулю, как в аддитивной модели. Если бы в качестве сезонов рассматривались дни недели, то эта сумма равнялась бы 7. Если сумма вычисленных коэффициентов  не равна 4, то их корректируют, путем умножения соответствующей доли на .

Таблица 1

Номер квартала	Объем продаж, тыс. шт.	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрирован-ная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
Январь-март 2004	63
Апрель-июнь	74
Июль-сентябрь	79	84	84,5		0,935
Октябрь-декабрь	120	85	85,625		1,401
Январь-март 2005	67	86,25	87,375		0,767
Апрель-июнь	79	88,5	89,75		0,880
Июль-сентябрь	88	91	91,25		0,964
Октябрь-декабрь	130	91,5	91,875		1,415
Январь-март 2006	69	92,25	92,5		0,746
Апрель-июнь	82	92,75
Июль-сентябрь	90

Таблица 2

	Номер квартала
	1	2	3	4
			0,935	1,401
	0,767	0,880	0,964	1,415
	0,746
Средняя оценка сезонной компоненты	0,756	0,880	0,950	1,408	Сумма 3,994
Скорректированная сезонная компонента	0,757	0,881	0,952	1,410	Сумма 4,000

2. Десезонализация данных при расчете тренда.

Десезонализация данных производится по формуле

.

Таблица 3

Номер квартала	Объем продаж A, тыс. шт.	Сезонная компонента S	Десезонализированный объем продаж A/S=TS, тыс. шт.
1	2	3	4
1	63	0,757	83,2
2	74	0,881	84,0
3	79	0,952	83,0
4	120	1,410	85,1
5	67	0,757	88,5
6	79	0,881	89,7
7	88	0,952	92,4
8	130	1,410	92,2
9	69	0,757	91,1
10	82	0,881	93,1
11	90	0,952	94,5

Уравнение линии тренда .

3. Расчет ошибок.

Ошибки прогнозируемых объемов продаж можно рассчитывать по формуле .

Таблица 4

Номер квартала	Объем продаж A, тыс. шт.	Сезонная компонента S	Десезонализи-рованный объем продаж A/S=TS, тыс. шт.	Тренд T, тыс. шт.	Ошибка E
1	2	3		4	5
1	63	0,757	83,2	82,8	0,76
2	74	0,881	84,0	84	0,88
3	79	0,952	83,0	85,2	0,95
4	120	1,410	85,1	86,4	1,41
5	67	0,757	88,5	87,6	0,76
6	79	0,881	89,7	88,8	0,88
7	88	0,952	92,4	90	0,95
8	130	1,410	92,2	91,2	1,41
9	69	0,757	91,1	92,4	0,76
10	82	0,881	93,1	93,6	0,88
11	90	0,952	94,5	94,8	0,95

4. Прогнозирование по мультипликативной модели.

MAD  1, MSE  1,6. Ошибки малы, что позволяет получить хорошие краткосрочные прогнозы.

Прогнозные значения определяются по формуле

.

Например, прогнозы объемов продаж в 12 и 13 кварталах:

,

2. Литература

1.  Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 576 с.
2.  Практикум по эконометрике: Учебн. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.
3.  Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.