Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекція № 16
Тема: Перехідні процеси в нерозгалужених колах другогого порядку.
1.Вільні напруги і струми в колі r,L,C.
2.Підключення кола r,L,C до джерела постійної напруги.
3.Підключення кола r,L,C до джерела синусоідальної напруги.
Література: Л1 с. 260-269, Л3 с. 198-208
Введення. Загальна методика рішення задачі.
Перехідні процеси в ланцюгах другого порядку описуються лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами, що має в загальному випадку вид
a2 d2x(t) /dt2 + a1 dx(t) /dt + a0 x(t) = b2 d2f(t) / dt2 + b1 df(t) / dt + b0 f(t). (16.1)
Примушену складового рішення цього рівняння шукають у виді, подібному його правої частини, а вільну складову у виді
xCB(t)= A1 e p1 t + A2 e p2 t , (16.2)
де р1 і p2 - корені характеристичного рівняння ланцюга ;
a2 p2 + a1 p + a0 = 0;
A1 і A2 - постійні інтегрування, обумовлені початковими умовами в ланцюзі.
Методику аналізу перехідних процесів у нерозгалужених ланцюгах другого порядку, розглянемо на прикладі ланцюга, що складає з послідовно включених елементів r, L і С.
1. Вільні напруги і струми в ланцюзі rLC
Вільні напруги і струми в ланцюзі, що складається з послідовно включених елементів r, L і С, можуть виникнути, наприклад, при підключенні конденсатора С, попередньо зарядженого до величини джерела ЕРС E, до ланцюга з послідовним з'єднанням елементів r і L (мал. 16.1).
У відповідності з другим законом Кирхгофа для ланцюга, що вийшов при цьому, можна записати
ur + u +u = 0.
З огляду на те, що ur = ri, и = L di /dt, i = С d u /dt, одержимо
(16.3)
Розділивши це рівняння на LC, будемо мати
d2u /dt2 + r /L * du /dt +1/LC * u =0 (16.4)
Корисно ввести позначення:
При цьому рівняння (16.4) здобуває вид
d2u /dt2 +2δ du /dt +ωпро2 u =0 (16.5)
Характеристичне рівняння, що відповідає вираженню (16.5),
p2 + 2δ p + ωο2 = 0
дає корені рівняння
а рішення рівняння (16.5) має вигляд
u = A1 exp(p1t) + A2 exp(p2 t) (16.6)
Для визначення постійні інтегрування скористаємося початковими умовами:
u (0)=Е и і(0)= 0.
Підставивши першу початкову умову u (0)=Е в вираження (16.6), при t=0 одержимо
E = A1 + A2 (16.7)
Для того щоб використовувати другу початкову умову, запишемо вираження для струму в ланцюзі з урахуванням формули (16.6)
Підставивши сюди i(0) = 0, при t=0 одержимо
p1 A1 +р2 А2 = 0. (16.8)
Вирішивши систему рівнянь, що складається з виражень (16.7) і (16,8), будемо мати:
A1 = р2 E /(р2 - р1) і A2 = - р1E /(р2 - р1).
Підставивши це у формулу (16.6), одержимо
u = E(p2 – p1)-1 [p2 exp(p1t) – p1 exp(p2t)] (16.9)
Тік у ланцюзі
Тому що добуток коренів р1 і р2 характеристичного рівняння дорівнює його вільному члену, тобто р1 р2=1/LC, те
(16.10)
При цьому напруга на індуктивності
(16.11)
Характер зміни вільного струму i, напруг на ємності иC і на індуктивності u залежить від виду коренів p1 і р2, що визначаються параметрами ланцюга і можуть бути:
1) речовинними і різними, якщо δ>ωο або r /2L >1/LС, відкіля r >2ρ, де ρ = LС;
2) комплексно-сполученими, якщо δ< ωο або r <2ρ;
3) речовинними і рівними, якщо δ= ωο або r=2ρ. Розглянемо ці можливі три випадки.
1. r >2ρ. У цьому випадку, як видно з виражень (16.9) - (16.11), вільні напруги і струм є сумами двох експонент (мал. 16.2). Струм (ток) не змінює знака, тобто є аперіодичним. Тому і розглянутий ланцюг у цьому випадку називають аперіодичним.
2. r <2ρ. Для одержання закону зміни струму в цьому випадку у вираженні для коренів характеристичного рівняння p1,2 введемо позначення ωСВ = ωο2-δ2. При цьому одержимо -
p1,2 = - δ jωСВ . (16.12)
Підставивши це у формулу (16.10), будемо мати
(16.13)
Позначивши Io = E / ωСВ L, одержимо
i = - Io exp(-δ t) sin ωСВ t. (16.14)
З отриманого вираження, а також із графіка, що приведений на мал. 16.3, видно, що вільний струм у ланцюзі в розглянутому випадку змінюється за законом загасаючих коливань. Тому і контур rLC у розглянутому випадку називають коливальним контуром. Швидкість загасання коливань визначається експонентним множником e -δ t , де коефіцієнт δ є коефіцієнтом загасання.
Частота коливань вільного струму в контурі ωСВ, називається також власною частотою контуру, яка залежить від параметрів контуру:
(16.15)
де ωпро = 1 / LС—резонансна частота;
d = 1/Q == r/L /C = r/ρ загасання.
Рис. 16.2 мал. 16.3
Загасання d контурів, які застосовуються на практиці, звичайно невелике. Тому в більшості випадків можна вважати, що ωСВ = ωпро, тобто частота вільних коливань контуру дорівнює його резонансній частоті.
Відношення двох наступний друг за другом максимальних значень струму одного знака (див. мал. 16.3) називають декрементом коливання:
(16.16)
де TСВ = 2π /ωСВ -період вільних коливань.
Величину, рівну натуральному логарифмові від декремента коливання, називають логарифмічним декрементом коливання:
υ = ln Δ = δ TCB . (16.17)
Для одержання закону зміни иC у розглянутому випадку підставимо формулу (16.12) у вираження (16.9). При цьому одержимо
Представивши ωСВ ± jδ у вигляді
де ωo = 1/ LC; = arctg (δ /ωСВ), одержимо
або
(16.18)
Аналогічним способом, скориставшись формулою (16.11), можна одержати вираження закону зміни напруги на індуктивності
(16.19)
3. r = 2ρ. Закони зміни вільних напруги і струму в розглянутому випадку можна знайти, перейшовши до межі коливального розряду ємності, коли ωСВ 0. Скориставшись вираженням для струму (16.14) і з огляду на те, що при ωСВ 0 sin ωСВ t ωСВ t, одержимо
(16.20)
Напруга на індуктивності
(16.21)
Напругу на ємності можна знайти з основного рівняння ланцюга ur+uс+ +uL=0:
uс=- ur – uL = - ri - uL .
Підставивши сюди вираження (16.20) і (16.21) і врахувавши, що δ = r /2L, одержимо
(16.22)
Графіки иC , i і u у розглянутому випадку будуть мати такий же вид, як і в першому випадку (див. мал. 16.2). Ток не змінює знака, тому процес у ланцюзі є аперіодичним. Розглянутий процес у ланцюзі називають критичним, тому що він є граничним між аперіодичним і коливальним процесами. Тривалість перехідних процесів у цьому режимі буде найменшою. Опір r = 2ρ називають критичним опором.
2. Підключення ланцюга rLC до джерела постійної напруги
При підключенні ланцюга rLC до джерела постійної напруги (мал.16.4) диференціальне рівняння для напруги на ємності буде відрізнятися від рівняння (16.5) тим, що в правій частині цього рівняння в розглянутому випадку буде не нуль, а ωο2Ε:
d2u /dt2 +2δ du /dt +ωпро2u = ωпро 2E. (16.22)
Рис.16.4
Тому що в розглянутому випадку примушена складової напруги на ємності u ПР = Е , а вільна складова, як і в попередньому випадку, визначається вираженням (16.6), те загальне рішення рівняння (16.22) буде мати вигляд
(16.23)
Підставивши сюди початкове значення напруги на ємності u (0) = 0, при t=0 одержимо
А1 +А2 = Е. (16.24)
Узявши похідну від вираження (16.23) і використовувавши другу початкову умову i(0)=0, при t=0 одержимо друге рівняння для визначення постійні інтегрування
p1 А1 +p2 А2 = 0. (16.25)
Рис. 16.5 Рис. 16.6
Із системи рівнянь (16.24) і (16.25) знайдемо:
Підставивши це у формулу (16.23), одержимо
(16.25)
При цьому струм у ланцюгу і напругу на індуктивності будуть змінюватися за законами:
(16.26)
(16.27)
Характер перехідного процесу в розглянутому ланцюзі, так само як і в
попередньому випадку, буде залежати від виду коренів характеристичного рівняння і може бути аперіодичним (мал. 16.5) або коливальним (мал. 16.6). В останньому випадку напруга на ємності може досягати величини, рівної майже подвоєному значенню напруги джерела, що підключається до ланцюга.
3. Підключення ланцюга rLC
до джерела синусоїдальної напруги
Якщо до ланцюга rLC (див. мал. 16.4) замість джерела постійної напруги Е підключити джерело синусоїдальної напруги е=Еmsin(ωt+ψ), то диференціальне рівняння ланцюга (16.22) буде мати вигляд
(16.28)
Примушена складового рішення цього рівняння дорівнює напрузі на ємності в сталому режимі:
Обмеживши розглядом випадку коливального характеру перехідних процесів, для вільної складової відповідно до вираженням (16.18) можно записати
де A і — постійні інтегрування.
При цьому загальне рішення рівняння (16.28) буде мати вигляд
(16.29)
Ток у ланцюзі
Для високодобротного контуру, настроєного на частоту джерела, яке підключається до контуру напруги, можна вважати, що ω=ωСВ ωпро і δ<ωо.
При цьому, зневажаючи першою складовою у квадратних дужках у вираженні для струму, одержимо
i ωCUCm cos (ωt +ψC ) + ωCAe - δt cos (ωt + ). (16.30)
Вважаючи, що початкові умови в ланцюзі є нульовими, з виражень (16.29) і (16.30) одержимо два рівняння для визначення постійні інтегрування:
u (0)=UCm sinψC - A sin = 0;
i (0) = ωCUCm cosψC - A sin = 0,
з яких випливає, що A= -UCm і ψC = .
Підставивши це у формули (13.68) і (13.69), при ω = ωСВ одержимо:
u (t)=UCm(1- e-δt) sin(ω t+ ψC), (16.31)
i(t)=ICm(1- e-δt) cos(ω t+ ψC), (16.32)
де Im = ωCUCm .
Графік напруги на ємності для розглянутого випадку, коли ω = ωСВ, що отримало назву ізохронізму, показаний на Рис. 16.7.
Мал. 16.7 Мал. 16.8
Амплітуда напруги на ємності наростає за законом 1-і-δt, асимптотично наближаючи до значення, рівного амплітуді цієї напруги в сталому режимі. Аналогічним образом змінюється й амплітуда струму в ланцюзі. Тривалість перехідного процесу визначається коефіцієнтом загасання δ. Чим більше δ, тим швидше закінчується перехідний процес. Тому що
δ = r /L = rωпро / 2 L ωпро = rωпро /2ρ = ωпро /2Q ,
тобто чим більше -добротність контуру Q, тим менше δ, а отже, тим більше тривалість перехідного процесу в коливальному контурі, а з пропорційної залежності між шириною смуги пропущення коливального контуру і його добротністю випливає, що тривалість перехідного процесу в контурі пропорційна ширині його смуги пропущення.
У випадку, якщо частота ω джерела напруги не точно збігається з частотою вільних коливань у контурі ωСВ , напруга на ємності і струм у ланцюзі будуть являти собою суми двох коливань з різними частотами, амплітуда одного з яких зменшується за експонентним законом. При цьому виникають биття, частота яких дорівнює різниці частот ω і ωСВ (мал. 16.8).
Висновки.
1.Аналіз перехідних процесів в в електричних ланцюгах другого роду дає підстави стверджувати, що перехідні процеси є загасаючими.
2.За умови низької добротності коливальної системи загасаючий перехідний процес є аперіодичним.
3. Наявність малого загасання, коли електричний ланцюг другого порядку є високодобротний, перехідний процес представляє загасаючі коливання на його резонансній частоті.