Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.Последовательности. Способы задания. Огр и неогр. Монот посл. Иссл на огр и монот.
Определение. Последовательностью (бесконечной) называется функция, область определения которой — множество натуральных чисел.
Обозначения. .
Способы задания последовательностей
I. Задается формула или правило вычисления -го члена последовательности по значению .
Пример.
II. Рекуррентный способ задания последовательности. В этом случае задается формула или правило, позволяющая вычислить каждый член последовательности, если известно определенное число предыдущих членов. Если каждый член, начиная с -го, выражен через предыдущих, то нужно, кроме того, задать первых членов последовательности.
Пример. Арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением вида Задан первый член арифметической прогрессии . Число называется разностью прогрессии.
Пример. Геометрическая прогрессия задается рекуррентным соотношением вида Задан первый член геометрической прогрессии . Число называется знаменателем прогрессии.
Пример. Последовательность Фибоначчи.
Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число , что для любого номера ,
Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число , что для любого номера ,
Последовательность называется ограниченной, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число , что для любого номера ,
Последовательность называется неограниченной, если существует такое число , что существует такой номер , что
Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого ,
Последовательность является возрастающей, так как для любого ,
Пусть имеется множество , на котором введено отношение порядка.
Последовательность элементов множества называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.
— неубывающая
Последовательность элементов множества называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.
— невозрастающая
Последовательность элементов множества называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.
— возрастающая
Последовательность элементов множества называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.
— убывающая
Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.[1]
Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.
2. Беск.мал.посл. Опр. Св-ва.
Последовательность называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .
Свойства бесконечно малых
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.
3. Сход посл. Опр. Необх.числ.сход.посл.
Свойство последовательности иметь предел называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится; в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится.
Пределом последовательности элементов метрического пространства или топологического пространстваназывают элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать» элементы заданной последовательности. Пределом последовательности элементов топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.
Обозначение (читается: предел последовательности икс-энное при эн, стремящемся к бесконечности, равен a):
Пусть дано топологическое пространство и последовательность Тогда, если существует элемент такой, что
,
где — открытое множество, содержащее , то он называется пределом последовательности . Если пространство является метрическим, то предел можно
определить с помощью метрики: если существует элемент такой, что
,
где — метрика, то называется пределом .
Если числовая последовательность сходится, то она ограничена.
4. Св-ва.сход.посл.
Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.
Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена, обратное неверно.
Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограниченна, то она сходится.
5.Сход.монот.посл.
Если монотонная последовательность ограничена, то она сходится.
Доказательство. Так как последовательность ограничена, то множество ее элементов имеет точные верхнюю и нижнюю грани. Пусть – неубывающая последовательность и – точная верхняя грань множества ее элементов. Это означает, что для любого числа можно указать такой элемент , что и . Эти два неравенства равносильны неравенству или . Так как – неубывающая последовательность, то при выполняется или . Это означает, что при выполняется или . Таким образом, . Аналогично доказывается случай, когда – невозрастающая последовательность.
Замечание 1. Условие ограниченности монотонной последовательности представляет собой необходимое и достаточное условие ее сходимости. Действительно, по теореме 8 сходящаяся монотонная последовательность ограничена.
Замечание 2. Сходящаяся последовательность может и не быть монотонной. Например, последовательность сходится к числу ноль, но не является монотонной.
Замечание 3. Если последовательность неубывающая сходящаяся и - ее предел, то для всех номеров n выполняется неравенство . Аналогично, если невозрастающая сходящаяся последовательность и – ее предел, то для всех номеров n справедливо .
6.Ариф.опер.над.сход.посл.
Арифметические операции со сходящимися последовательностями
Если ,то
а)
б)
в)
Доказательство:
Т.к. , то , где-бесконечно малые последовательности
а)=a+b+,где a+b при nбесконечности, -бесконечно малая последовательность
б)+, где все последовательности бесконечно малые,
кроме a*b,следовательно,предел равен a*b
в)Докажем,что- бесконечно малая последовательность=-бесконечно малая последовательность.
7.Беск.бол.посл. Связь с беск.мал. Св-ва б.б. посл.
функция , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .
Последовательность называется бесконечно большой, если .
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .
Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .
Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями:
Если функция - функция бесконечно малая (), то функция есть бесконечно большая функция и наоборот.
Доказательство:
Пусть - бесконечно малая функция при , т.е. . Тогда для любого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е. , т.е. , где . А из этого следует, что функция - бесконечно большая.
Свойства бесконечно больших последовательностей
Доказательство.
Примеры.