Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
МАТЕМАТИКА
для студентов заочной формы обучения
СОДЕРЖАНИЕ:
стр.
математическая статистика 19
непрерывность и разрывы функций.
Справочный материал.
1.2. Виды неопределенности и способы их раскрытия
Примеры решения задач.
Найти пределы функций:
а) [делим на числитель и знаменатель]=
б)[разложим числитель и знаменатель на множители] = ;
в) [числитель и знаменатель умножим на сопряженные множители ]
;
1.2. Точки непрерывности и точки разрыва функции.
Справочный материал.
Необходимые понятия:
- левосторонний предел
- правосторонний предел
- функция непрерывна в точке х = а, если она в ней определена и
- функция разрывная в точке х = а, если хоть одно из условий не выполняется;
- функция имеет разрыв первого рода, если существуют оба односторонних предела, но (такой вид разрыва называется скачком), либо или не определена в х = а (такой вид разрыва называется устранимым);
- функция имеет разрыв второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен ∞.
Примеры решения задач.
Найти возможные точки разрыва функций, определить их характер и изобразить на схематическом чертеже поведение функций в окрестности точек разрыва:
а)
В интервалах (− ∞; 0), (0; 1) и (1; +∞) как элементарная функция в своей области определения.
Исследуем возможные точки разрыва :
в точке х1 = 0 имеет разрыв I рода (скачок);
в точке х2=1 непрерывна.
f(x)
-2
0
1
2
х
б)
не определена при х = 3, то есть имеет в этой точке разрыв.
в точке х = 3 имеет разрыв II рода.
х
1
0
3
f(x)
в) не существует при х = 1 и при
- точки разрыва функции, исследуем их.
в точке х1 = 1 разрыв I рода.
0
х
-3
-2
1
2
f(x)
в точке х2 = 2 разрыв II рода.
Вычисления производных.
Справочный материал.
Таблица производных элементарных функций:
Правила дифференцирования:
Примеры нахождения производных.
Найти производные у′(х) функций:
Задание 1. Найти производную функции
Так как производная суммы равна сумме производных, то
Воспользуемся формулами для производных показательной и обратной тригонометрической функций:
Ответ.
Задание 2.
Задание 3.
Применим последовательно правило дифференцирования алгебраической суммы функций и вынесение коэффициента за знак производной:
Задание 4.
Применим последовательно правило дифференцирования алгебраической суммы функций и вынесение коэффициента за знак производной:
Задание 5. .
Применим последовательно правило дифференцирования алгебраической суммы функций и вынесение коэффициента за знак производной:
.
Задание 6. .
Применим правило дифференцирования произведения функций:
Задание 7.
Используем правило производной произведения двух функций:
Задание 8.
Используем правило производной частного двух функций:
.
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Справочный материал:
- если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения ;
- для нахождения M и m достаточно найти критические точки х1, х2, … внутри отрезка [a;b] и выбрать M и m сравнением значений , ,… и , ;
- критические точки находятся из уравнения или из условий не существования и непрерывности в этих точках.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на не существует при х1 = 0 – это критическая точка так как при х = 0 непрерывна. ,
. Найдем значения:
.
Исследование функции на экстремум.
Справочный материал:
- из необходимых условий экстремума и не существует, но непрерывна, находятся критические точки х1, х2, …;
- с помощью знака производной устанавливается наличие и вид экстремума:
+
x3
x2
x1
−
+
+
в в , в нет экстремума.
Примеры.
ПРИМЕР 1: Исследовать функцию на экстремумы.
1. Область определения D.
2. Найдем критические точки первого рода:
критические точки.
0
А
1
−
+
0
Знак
точка А(1; 1) – точка минимума данной функции.
Пример 2. Исследовать функцию .
Решение.
1. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси.
2. Для того чтобы выяснить, является ли функция четной/нечетной, необходимо проверить, выполняются ли равенства
или
Функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Найдем точки пересечения графика функции с осью при :
Разложим многочлен на множители, получим
График функции пересекает ось в точках (2, 0) и (3, 0).
Найдем точки пересечения графика функции с осью . При .
График функции пересекает ось в точке (0, –12).
4. Производная функции: .
Решая уравнения , получим критические точки
Расположим критические точки на оси абсцисс в порядке возрастания и исследуем знак производной в окрестности каждой критической точки (рис. 1).
у’ + 2 - 8/3 + X
Рис. 1
На интервалах функция возрастает, так как На интервале функция убывает, так как .
5. При переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, в этой точке функция имеет минимум. В точке функция имеет максимум. Значения функции в точках экстремума:
.
6. Вторая производная функции: . Решая уравнение , находим критическую точку второго рода:
.
Расположим полученную критическую точку на числовой оси и исследуем знак производной в окрестности этой точки (рис. 2).
y” - 7/3 + X
Рис. 2
На интервале график функции выпуклый, так как . На интервале график функции вогнутый, так как .
7. При переходе через критическую точку второго рода вторая производная функции меняет знак. Следовательно, на основании достаточного условия существования точки перегиба точка является точкой перегиба графика функции.
.
8. Найдем асимптоты графика функции.
.
Горизонтальных асимптот нет.
Так как функция определена и непрерывна на всей числовой оси, вертикальных асимптот нет:
.
Наклонных асимптот функция не имеет.
9. Построим график функции (рис. 3).
Рис. 3
Пример 3. Исследовать функцию и построить ее график
.
Решение.
тогда
2. Функция не является ни четной ни нечетной.
3. Функция пересекает оси координат в точке .
4. Первая производная функции:
.
Решая уравнение находим критические точки
, x3= -1/
Расположим их на числовой оси и исследуем знак производной в окрестности каждой из этих точек (рис. 4).
y’ + - 2 - -1 - 0 + X
Рис. 4
;
;
;
.
С учетом того что в точке функция не определена, получим: на интервалах функция возрастает, на интервалах убывает.
5. При переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в этой точке функция имеет максимум. При переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, в этой точке минимум.
Найдем значения функции в точках экстремума:
.
6. Критические точки второго рода: находим вторую производную функции:
.
Вторая производная не обращается в нуль, а при функция не определена. Следовательно, критическая точка второго рода.
Исследуем знак второй производной:
y” - -1 + X
Рис. 5
На интервале график функции выпуклый, на интервале вогнутый.
7. Так как функция критических точек второго рода не имеет, точки перегиба графика функции отсутствуют.
8. Найдем асимптоты графика функции.
а) горизонтальных асимптот нет: .
б) вертикальная асимптота – точка разрыва области определения х=-1?
считаем односторонние пределы
.
Следовательно, прямая - вертикальная асимптота.
в) наклонные асимптоты
;
.
Следовательно, прямая является наклонной асимптотой графика функции.
8. Построим график функции (рис. 3.16).
3.1. Неопределенный интеграл.
Справочный материал.
Основные свойства интегрирования:
1. ;
2. ;
3.
4. .
Таблица неопределенных интегралов:
Приемы интегрирования:
;
.
Примеры нахождения неопределенных интегралов.
Пример 1: Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Решение: Удобнее переписать его на бумагу.
(1) Применяем правило . Не забываем записать значок дифференциала под каждым интегралом. Почему под каждым? – это полноценный множитель, если расписывать решение совсем детально, то первый шаг следует записать так:
(2) Согласно правилу выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом – это константа, её также выносим.
Кроме того, на данном шаге готовим корни и степени для интегрирования. Точно так же, как и при дифференцировании, корни надо представить в виде . Корни и степени, которые располагаются в знаменателе – перенести вверх.
Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
Пример 2: Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Решение:
(1) Используем старую - добрую формулу квадрата суммы , избавляясь от степени.
(2) Вносим в скобку, избавляясь от произведения.
(3) Используем свойства линейности интеграла (оба правила сразу).
(4) Превращаем интегралы по табличной формуле .
(5) Упрощаем ответ. Здесь следует обратить внимание на обыкновенную неправильную дробь – она несократима и в ответ входит именно в таком виде. Не нужно делить на калькуляторе ! Не нужно представлять ее в виде !
Проверка:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
Пример 3: Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?
Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, а значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель:
Пример 4:
Разложим подынтегральную функцию на простые дроби
Сравним числители при:
Тогда
3.2. Определенный интеграл.
Справочный материал:
Рассмотрим примеры:
Пример 1: Вычислить определенный интеграл
Решение:
(1) Выносим константу за знак интеграла.
(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу целесообразно отделить от и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?
(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница . Сначала подставляем в верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.
Пример 2: Вычислить определенный интеграл
Решение:
(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.
(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.
(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:
СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряю на третьем слагаемом: – первое место в хит-параде ошибок по невнимательности, очень часто машинально пишут (особенно, когда подстановка верхнего и нижнего предела проводится устно и не расписывается так подробно). Еще раз внимательно изучите вышерассмотренный пример.
Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например, чаще подобные интегралы вычисляют так:
Совет: перед тем, как использовать формулу Ньютона-Лейбница, полезно провести проверку: а сама-то первообразная найдена правильно?
Так, применительно к рассматриваемому примеру: перед тем, как в первообразную функцию подставлять верхний и нижний пределы, желательно на черновике проверить, а правильно ли вообще найден неопределенный интеграл? Дифференцируем:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден верно. Теперь можно и формулу Ньютона-Лейбница применить.
Такая проверка будет не лишней при вычислении любого определенного интеграла.
Пример 3:
Пример 4:
3.3. Приложение определенного интеграла.
Справочный материал:
.
Примеры.
Найдем точки пересечения линий.
0
у
х
1
2
2
1
и математическая статистика
Случайной величиной называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных исходов , которая каждому элементарному исходу ставит в соответствие число .
Условимся в дальнейшем, как правило, случайные величины обозначать греческими буквами: , , …, а принимаемые ими значения – строчными латинскими (с индексами или без): , и т.д.
Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.
Случайная величина называется дискретной, если значения, которые может принимать данная случайная величина, образуют дискретное (конечное или бесконечное) множество чисел , , …, , …
Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину, значения которой, заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси .
Например, число студентов на лекции – дискретная случайная величина, продолжительность лекции – непрерывная.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения, который представляется в виде таблицы:
|
… |
||||
|
… |
где в первой строке перечислены все возможные значения случайной величины, а во второй – соответствующие им вероятности , удовлетворяющие соотношению .
Закон распределения может быть задан графически в виде многоугольника распределения вероятностей, т.е. в виде ломаной, соединяющей точки с координатами для .
Математическим ожиданием или средним значением дискретнойслучайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности:
. (1)
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.
. (2)
Для вычисления дисперсии на практике бывает удобнее использовать другую формулу, которую можно получить из формулы (8) с помощью простых преобразований:
. (3)
Средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:
.
Сначала вспомним «обычные» школьные числа. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой (в литературе, рукописях заглавную букву «эр» пишут жирной либо утолщённой). Все действительные числа сидят на знакомой числовой прямой:
Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой обязательно соответствует некоторое действительное число.
Комплексным числом называется число вида , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью ()комплексного числа , число называется мнимой частью () комплексного числа .
– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: или переставить мнимую единицу: – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:
Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:
Как упоминалось выше, буквой принято обозначать множество действительных чисел. Множество комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой . Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.
Комплексная плоскость состоит из двух осей:
– действительная ось
– мнимая ось
Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, ,
, ,
, , ,
Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось обозначает в точности множество действительных чисел , то есть на оси сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел .
Числа , , – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.
Числа , , – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .
В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому что они сливаются с осями.
С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел.
Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.
Сложение комплексных чисел
Пример 1
Сложить два комплексных числа ,
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.
Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: – от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Вычитание комплексных чисел
Пример 2
Найти разности комплексных чисел и , если ,
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .
Рассчитаем вторую разность:
Здесь действительная часть тоже составная:
Умножение комплексных чисел
ВАЖНО!
Пример 3
Найти произведение комплексных чисел ,
Очевидно, что произведение следует записать так:
Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.
Надеюсь, всем было понятно, что
Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .
В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее.
Деление комплексных чисел
Пример 4
Даны комплексные числа , . Найти частное .
Составим частное:
Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.
Вспоминаем бородатую формулу и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть
Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :
Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, что и не путаемся в знаках!!!).
Распишу подробно:
Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:
,
где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.
Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что :
Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.
Модуль комплексного числа стандартно обозначают: или
По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: .
Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .
Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или
Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
.
Пример 5
Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .
Выполним чертёж:
1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: .
Проверка:
2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: .
Проверка: (используя таблицу значений тригонометрических функций):
3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: .
Проверка:
4) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: (270 градусов), и, соответственно: .
Проверка:
Примечание: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что и – это один и тот же угол.
Таким образом, запись принимает вид:
Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:
6.1.Элементы теории множеств
Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики и служит для описания совокупности предметов или объектов. Эти объекты, или элементы множества, считаются отличимыми друг от друга и от объектов, не входящих в данное множество.
Элементы множества могут находиться в некоторых отношениях как между собой, так и с элементами других множеств. Отношение считается заданным, если для любого элемента (или множества) X и элемента (или множества) Y указано, связаны они этим отношением или нет.
Отношение принадлежности . Тот факт, что объект a является элементом множества A, словесно выражается так: элемент a принадлежит множеству A. Обозначение: aA. Отрицание этого факта выражается другим отношением: элемент a не принадлежит множеству A. Обозначение: aA.
Например: «точка C принадлежит отрезку AB» записывается так: C [AB].
Отношение включения. Говорят, что множество B включено во множество A, если каждый элемент B принадлежит A. Обозначение: BA.
Определение 1.
Подмножеством множества A называется всякое множество B, удовлетворяющее условию BA.
Например: отрезок AB, лежащий на прямой a, включен в прямую a и является таким образом его подмножеством. [AB]a.
Определение 2.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Обозначение: .
Пустое множество считается подмножеством любого множества.
Множество можно задать, перечислив все его элементы. Так, если a, b, c, d – обозначения различных объектов, то множество A этих объектов записывают какA = {a; b; c; d}.
Указанный способ применим только для конечных множеств, да и то при условии, что число элементов невелико. Другой способ задания множеств состоит в следующем: формулируют характеристическое свойство элементов множества, т.е. свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они. Множество, для элементов которого указано характеристическое свойство, в фигурных скобках сначала пишется обозначение элемента, затем проводится вертикальная черта, после которой пишется характеристическое свойство элементов. Например, множество M натуральных чисел, меньших 6, запишется так:
Определение 3.
Два множества A и B равны, если одновременно справедливы AB и BA или если множества A и B состоят из одних и тех же элементов. Обозначение: A = B.
Определение 4.
Пересечением множеств A и B называется множество, в которое входят те и только те элементы, которые одновременно принадлежат множествам A и B (общие элементы множеств A и B). Обозначение: AB, где символ – знак пересечения двух множеств. Два множества пересекаются, если AB ≠ , и не пересекаются, если AB = .
Например: если две прямые a и b не пересекаются, то можно записать ab = , если же они пересекаются, то по определению их пересечением является общая точка A (ab = A).
Определение 5.
Объединением двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Обозначение:AB, где символ – знак объединения множеств.
Например: объединением луча a с дополняющим его лучом a' является прямая.
Определение 6.
Разностью двух множеств A и B называется такое множество, в которое входят все те элементы, которые принадлежат A и не принадлежат B. Обозначение: A \ B. Если B – подмножество A, то A \ B называют дополнением к B и обозначают B'.
Например: разностью прямой a и ее луча с началом O является множество точек дополняющего луча a' без начальной точки O.
Введенные операции обладают рядом свойств.
Свойство 1.
Пересечение и объединение множеств коммутативно (перестановочно): AB = BA; AB = BA.
Свойство 2.
Пересечение и объединение множеств ассоциативно: для любых множеств A, B и C имеем
|
(AB) C = A (BC); (AB) C = A (BC). |
Свойство 3.
Если AB, то AB = A, AB = B.
Свойство 4.
Для любых множеств A, B и C справедливы равенства:
а) A (BC) = (AB) (AC),
б) A (BC) = (AB) (AC).
Определение 7.
Геометрической фигурой называется всякое множество точек плоскости.
Таким образом, как сама точка, так и конечное и бесконечное множество точек являются геометрическими фигурами.
Из определения 7 непосредственно следует, что объединение и пересечение геометрических фигур есть геометрическая фигура.
Если фигура F1 явлется собственным подмножеством фигуры F2, то говорят также, что F1 –часть фигуры F2. Например, отрезок AB – часть прямой.
Чтобы наглядно отображать множества и отношения между ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях. Такие изображения множеств называют диаграммами Эйлера–Венна. Диаграммы Эйлера–Венна делают наглядными различные утверждения, касающиеся множеств. На них универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – кругами. Диаграммы, представленные на рис. 1 a) – d), иллюстрируют понятия, введенные выше.
|
Рисунок 1 |
Диаграммами Эйлера–Венна удобно пользоваться для наглядного изображения между различными понятиями. На рисунке 1 a) и b) представлены отношения B A и АВ – соответственно.
На рисунке 1 f) представлена диаграммама Эйлера–Венна для иллюстрации утверждения: если АВ и ВС то АС.
Рисунок 1 g) можно рассматривать как иллюстрацию опроверждения утверждения: если АВ и СА= то СВ=.
7.1. Операции с матрицами
Справочный материал:
- транспонирование это операция, меняющая ролями строки и столбцы (для А размером (m*n) транспонированная матрица Ат размером (n*m));
- умножение на число { };
- сложение {};
- умножение , при этом ;
Некоторые свойства операций:
;
;
(в общем случае);
Примеры. Выполнить действия:
а)
;
б) умножение не возможно так, как число столбцов первого множителя не равно числу строк второго множителя;
в)
с11 = 3*1 + (-1)*(-2) + 2*4 = 13,
с12 = 3*3 + (-1)*0 + 2*(-5) = -1,
с21 = 4*1 + 2*(-2) + 0*4 = 0,
с22 = 4*3 + 2*0 + 0*(-5) = 12,
с31 = (-5)*1 + 6*(-2) + 1*4 = -13,
с32 = (-5)*3 + 6*0 + 1*(-5) = -20.
7.2. Определители.
Справочный материал.
Свойства определителей:
- определитель не меняется при транспонировании матрицы;
- определитель меняет значение при перестановке двух строк (столбцов);
- определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю;
- определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю;
- при умножении строки (столбца) на число, определитель умножается на это число;
- при умножении какой-нибудь строки (столбца) на число и прибавлении этой строки (столбца) к другой строке (столбцу) определитель не меняется;
- определитель треугольного вида равен произведению его элементов на главной диагонали, то есть .
Вычисление определителей:
1-го порядка:;
2-го порядка:;
3-го порядка:
;
Способ Саррюса (использования формулы определителя третьего порядка):
.
− − − + + +
Примеры. Вычислить определители:
1. ;
2. а) ; б) ;
3. ;
7.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Справочный материал:
- системой линейных алгебраических уравнений называется система вида:
или в матричном виде: ;
- система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае система не совместна;
- методы решения систем уравнений с квадратной матрицей:
а) правило Крамера. Если главный определитель квадратной системы , то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
, где
- вспомогательные определители, получаемые из главного определителя заменой j – го столбца столбцом свободных членов.
Если и все , то система имеет бесконечно много решений и если , а хотя бы один из то система не совместна;
б) матричный способ решения основан на преобразованиях:
если определитель матрицы А не равен 0, то из - формула решения;
Примеры.
Тогда
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ
РАЗДЕЛ 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ
1.1. Найти пределы функций:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2.1. Исследуйте данную функцию на основе теории пределов и дифференциального исчисления и постройте ее график схематически:
а) б)
РАЗДЕЛ 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3.1. Найти неопределенные интегралы
а) ; б) ;
3.2. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями
а) y =10–β + (20–α–β)x – x2 и y = (10–α)x + 10–β.
б) .
раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика
4.1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
|
xi |
α-10 |
0 |
10-β |
20 |
|
pi |
0,1 |
0,4 |
p3 |
0,2 |
а) Найти р3;
б) построить многоугольник распределения;
в) вычислить числовые характеристики.
5.1. Вычислите:
а) (α + βi)(α – βi); б) ((α+1)i – 3)/(β + 6i); в) 2(i – β) – 3((α+1)i + β).
5.2. Представьте в тригонометрической форме число: –(α+β).
раздел 6. Основы дискретной математики
6.1. Приведите пример множеств, отношения между которыми можно изобразить данными кругами Эйлера, найдите для данных множеств множество D=ABC:
A
m
C
B
раздел 7. Основы линейной алгебры
7.1. Привести примеры матриц:
А – второго порядка; В – третьего порядка; D – матрица размером 3х2.
7.2. Выполнить действия
а)
б)
7.3. Решить систему уравнений применяя формулы Крамера.
ПРИМЕЧАНИЯ:
ФОРМИРОВАНИЕ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ К ЗАДАНИЯМ
Каждая контрольная работа состоит из заданий одного или нескольких разделов данного сборника.
Условия заданий, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех студентов, но числовые данные индивидуальны и зависят от параметров α и β.
Для получения своих личных данных надо подставить α и β в задания и посчитать соответствующие им выражения.
α – предпоследняя, а β – последняя цифра индивидуального шифра студента.
Например, если номер индивидуального шифра студента 206, то α=0, β=6.
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОФОРМЛЕНИЮ
ПРАКТИЧЕСКИХ (КОНТРОЛЬНЫХ) РАБОТ
|
«Одобрено» на заседании ЦМК общеобразовательных и естественно-научных дисциплин Протокол № ___ от «__» __________ 20__ Председатель____________М.В. Чижевская |
«Утверждаю» Зам. Директора по УМР __________ Г.А. Абрамова |
Преподаватель ______________________ /Л.Л. Кудринская/