Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ ВПО Омский государственный технический университет
Кафедра «Экономика и организация труда»
Контрольная раБОтА
по дисциплине «Методы и модели в экономике»
Вариант 28
Выполнил:
студент гр. ЗУТ-217
Чупраков Д. А.
Проверила:
__________ Е. Н. Казанцева
«___» ___________ 2009 г.
Омск 2009
СОДЕРЖАНИЕ
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача №1
. Составить математическую модель задачи.
Сельскохозяйственное предприятие обязалось поставить в два магазина 25 и 35 т картофеля соответственно. Предприятие располагает тремя складами с запасами картофеля 15, 20 и 30 т соответственно. Расходы на поставку 1 т картофеля с каждого из складов в оба магазина даны в таблице.
|
Магазины Склады |
№1 |
№2 |
|
№1 |
руб. |
руб. |
|
№2 |
руб. |
руб. |
|
№3 |
руб. |
руб. |
Составить наиболее дешёвый план перевозок картофеля по каждому из технологических способов, чтобы получить максимум прибыли?
Решение
Введем переменные , представляющие собой количество товара, поставляемого из каждого i-го склада в каждый j-ый магазин.
Поскольку суммарные запасы = 65 (т) и суммарные потребности = 60 (т) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт потребления . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).
Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы
|
Пункты производства, i |
Пункты потребления, j |
Объем производства |
||
|
1 |
2 |
3 |
||
|
1 |
20 |
45 |
||
|
2 |
30 |
|||
|
3 |
30 |
|||
|
Объем потребления (спрос) |
25 |
5 |
Зададим целевую функцию и ограничения, т.е. построим математическую модель транспортной задачи.
Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).
Таблица 2 –Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла
|
Пункты производства, i |
Пункты потребления, j |
Объем производства |
||
|
1 |
||||
|
1 |
20 |
- |
- |
/0 |
|
2 |
30 |
20 |
- |
20/10/0 |
|
3 |
40 - |
35 |
0 5 |
30/5/0 |
|
Объем потребления |
25/10/0 |
/25/0 |
/0 |
Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид:
(т) или = (15; 0; 0; 10; 10; 0; 0;25;5).
Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (руб.).
Итерация 1.
Шаг 1.1. Вычисление потенциалов
|
- |
- |
u1=0 |
||
|
30 |
20 |
- |
u2=-10 |
|
|
40 - |
35 |
0 5 |
u3=-25 |
|
|
v1=20 |
v2=10 |
v3=-25 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=20, v2=10, u2=-10, v3= - 25, u3= - 25, т.е. (0; - 10; -25; 20; 10; -25).
Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
-35 |
-25 |
u1=0 |
||
|
|
0 |
-15 |
u2=-10 |
|
|
∆1= |
-10 |
-5 |
u3=-25 |
|
|
v1=20 |
v2=10 |
v3=-25 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К31.
-30
10
+20
10
|
∆1= |
+40
-
|
-35 |
Θ == 10. Составим новый план перевозки.
Итерация 2.
Шаг 2.1. Вычисление потенциалов
|
- |
- |
u1=0 |
||
|
30 - |
20 |
- |
u2=-5 |
|
|
40 10 |
35 15 |
0 5 |
u3=-20 |
|
|
v1=20 |
v2=15 |
v3=-20 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -20; 20; 15; -20).
Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
-35 |
-20 |
u1=0 |
||
|
|
-5 |
-15 |
u2=-5 |
|
|
∆1= |
u3=-20 |
|||
|
v1=20 |
v2=15 |
v3=-20 |
Так как все оценки ≤0, следовательно, план - оптимальный.
Х оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (руб.).
Ответ: Х оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), L(X) = 1625 руб.
Задача №2
2. Решить графически задачу: найти экстремумы функции , если , .
Решить симплекс-методом
РЕШЕНИЕ
а) Решим задачу графически при
z = 3x1 –x2 → max
, .
Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.1).
x2
16
5
Рис.1. Графическое решение задачи при z = 3x1 –x2 → max
Строим вектор из точки (0;0) в точку (3; -2). Точка Е (7;0) –это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е –это точка максимума целевой функции. Тогда максимальное значение функции равно:
.
б) Решим задачу графически при
z = 3x1 –x2 → min
, .
Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.2).
x2
16
5
Рис.2. Графическое решение задачи при z = 3x1 –x2 → min
Строим вектор из точки (0;0) в точку (-3; 2). Точка Е (0;1) –это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е –это точка минимума целевой функции. Тогда минимальное значение функции равно:
.
Ответ: а) Функция z = 3x1 –x2 → max и равна 21 в точке (7;0).
б) Функция z = 3x1 –x2 → min и равна - 2 в точке (0;1).
Задача №3
Решить методом потенциалов транспортную задачу, где –цена перевозки единицы груза из пункта в пункт .
Решение
Поскольку суммарные запасы = 35 (ед. груза) и суммарные потребности = 48 (ед. груза) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт производства . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).
Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы
|
Пункты производства, i |
Пункты потребления, j |
Объем производства |
|
1 |
2 |
3 |
|||
|
1 |
6 |
8 |
|||
|
2 |
5 |
||||
|
3 |
8 |
||||
|
4 |
|||||
|
Объем потребления (спрос) |
5 |
15 |
Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).
Таблица 2 –Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла
|
Пункты производства, i |
Пункты потребления, j |
Объем производства |
|
1 |
4 |
||||
|
1 |
6 |
- |
- |
10/5/0 |
|
|
2 |
5 - |
6 |
- |
10/7/0 |
|
|
3 |
- |
2 - |
/7/0 |
||
|
4 |
- |
0 - |
- |
/0 |
|
|
Объем потребления |
5/0 |
/3/0 |
/8/0 |
/13/0 |
Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид:
(ед. груза) или = (5; 5; 0; 0; 0; 3; 7;0;0;0;8;7;0;0;0;13).
Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (ден. ед.).
Итерация 1.
Шаг 1.1. Вычисление потенциалов
|
- |
- |
u1=0 |
|||
|
5 - |
6 |
- |
u2=2 |
||
|
- |
2 - |
u3=8 |
|||
|
- |
0 - |
- |
u4=16 |
||
|
v1=6 |
v2=8 |
v3=11 |
v4=16 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=6, v2=8, u2=2,v3=11, v4=16, u3=8, u4=16, т.е. (0; 2; 8; 16; 6; 8; 11; 16).
Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
u1=0 |
|||||
|
|
-1 |
u2=2 |
|||
|
∆1= |
-6 |
-2 |
u3=8 |
||
|
-10 |
-8 |
-5 |
u4=16 |
||
|
v1=6 |
v2=8 |
v3=11 |
v4=16 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К14.
- 8
5
|
- |
+2
-
+6
3
- 9
7
|
- |
|
|
∆1= |
2 - |
+3
8
|
- 8 |
|||
|
0 - |
- |
Θ == 5. Составим новый план перевозки.
Итерация 2.
Шаг 2.1. Вычисление потенциалов
|
- |
- |
5 |
u1=0 |
||
|
5 - |
6 |
- |
u2=-12 |
||
|
- |
2 - |
13 |
8 2 |
u3=-6 |
|
|
- |
0 - |
- |
u4=2 |
||
|
v1=6 |
v2=-6 |
v3=-3 |
v4=2 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=6, v2=-6, u2=-12,v3=-3, v4=2, u3=-6, u4=2, т.е. (0; -12; -6; 2; 6; -6; -3; 2).
Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
-14 |
-7 |
u1=0 |
|||
|
|
13 |
u2=-12 |
|||
|
∆1= |
-2 |
u3=-6 |
|||
|
-8 |
-5 |
u4=2 |
|||
|
v1=6 |
v2=-6 |
v3=-3 |
v4=2 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К21.
-6
5
|
- |
- |
+2
5
|
∆1= |
+5
-
|
6 |
-9
2
|
- |
||
|
- |
2 - |
+3
13
|
-8 2 |
Θ === 2. Возьмем и составим новый план перевозки.
Итерация 3.
Шаг 3.1. Вычисление потенциалов
|
- |
- |
7 |
u1=0 |
||
|
5 |
- |
u2=1 |
|||
|
- |
2 - |
15 |
8 - |
u3=7 |
|
|
- |
0 - |
- |
u4=2 |
||
|
v1=6 |
v2=7 |
v3=10 |
v4=2 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; 7; 2; 6; 7; 10; 2).
Шаг 3.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
-1 |
u1=0 |
||||
|
|
0 |
-7 |
u2=1 |
||
|
∆1= |
-5 |
-2 |
-13 |
u3=7 |
|
|
u4=2 |
|||||
|
v1=6 |
v2=7 |
v3=10 |
v4=2 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 3.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К43.
-6
3
|
- |
- |
+2
7
+5
2
-9
0
|
- |
||||
|
∆1= |
- |
2 - |
15 |
8 - |
|
- |
0 - |
+0
-
|
-0 |
Θ == 0. Составим новый план перевозки.
Итерация 4.
Шаг 4.1. Вычисление потенциалов
|
- |
- |
7 |
u1=0 |
||
|
5 |
- |
- |
u2=1 |
||
|
- |
2 - |
15 |
8 - |
u3=-1 |
|
|
- |
0 - |
0 |
0 |
u4=2 |
|
|
v1=6 |
v2=7 |
v3=2 |
v4=2 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; -1; 2; 6; 7; 2; 2).
Шаг 4.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
-1 |
-2 |
u1=0 |
|||
|
|
0 |
-8 |
-7 |
u2=1 |
|
|
∆1= |
-5 |
u3=-1 |
|||
|
u4=2 |
|||||
|
v1=6 |
v2=7 |
v3=2 |
v4=2 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 4.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К32.
-6
3
|
- |
- |
+2
7
+5
2
-6
8
|
-9 - |
- |
|
|
∆1= |
- |
+2
-
-3
15
|
8 - |
||
|
- |
0 - |
+0
0
|
-0 |
Θ == 3. Составим новый план перевозки.
Итерация 5.
Шаг 5.1. Вычисление потенциалов
|
- |
- |
- |
10 |
u1=0 |
|
|
5 |
- |
- |
u2=-5 |
||
|
- |
2 3 |
3 12 |
8 - |
u3=-1 |
|
|
- |
0 - |
3 |
0 0 |
u4=2 |
|
|
v1=0 |
v2=1 |
v3=2 |
v4=2 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2).
Шаг 5.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
-6 |
-7 |
-2 |
u1=0 |
||
|
|
0 |
-2 |
-1 |
u2=-5 |
|
|
∆1= |
-3 |
-5 |
u3=-1 |
||
|
-2 |
-1 |
u4=2 |
|||
|
v1=0 |
v2=1 |
v3=2 |
v4=2 |
Так как все оценки ≤0, следовательно, план - оптимальный.
Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (ден. единиц).
Ответ: Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), L(X) = 117 ден. ед.