Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
УРОК 8
Тема уроку: Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій.
Мета уроку: Вивчення теорем про похідні суми, добутку і частки функцій, формування умінь учнів у знаходженні по хідних.
І. Перевірка домашнього завдання.
1. Усне розв'язування вправ.
1) Знайдіть похідні функцій а) у = х10; б) у = ; в) у = ; г) у = х2 · х.
Відповідь: а) 10х9; б) – 9х -10; в) – 4х -5; г) 3х2.
2) Знайдіть похідні функцій:
а) у = sin х в точці х = ; б) у = cos х в точці х = ;
в) у = tg х в точці х = ; г) у = ctg х в точці х = .
Відповіді: а) 0; б) -; в) 4; г) -1.
2. Відповісти на запитання, що виникли у учнів під час виконан ня домашніх вправ.
II. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну суми функції.
!
Теорема: Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхня сума
диференційована в цій точці і (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x). або коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі по хідних.
Доведення
Розглянемо функцію у = f(x) + g(x). Зафіксуємо хо і надамо аргументу приросту х. Тоді
у = у(хо + Δх) - у(хо) = f(хо + Δх) + g(хо + Δх) – f(хо) – g(хо) = f(хо + Δх) - f(хо) + + g(хо + Δх) – g(хо) = Δf + Δg,
Отже, (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x).
Наслідки
а) Похідна різниці дорівнює різниці похідних. Нехай у(х) = f(x) – g(x), тоді f(x) = y(x) + g(x) і
f'(x) = у'(х) + g'(x), звідси у'(х) = f'(x) – g'(x).
б) Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій, тобто
(f1(x) + f2(x) +... + fn(x))' = f'1(x) + f'2(x) +... + f'n(x) .
Приклад. Знайдіть похідні функцій
а) f(x) = х3 – х2 + х – 4; б) f(x) = cos x + sin х + 5; в) f(x) = х6 + tg x – ctg х.
а) f’(x) = (х3 – х2 + х – 4)' = (х3)' – (х2)' + (х)' – 4' = 3х2 – 2х +1 + 0 = 3х2 – 2х +1;
6) f'(x) = (cos х + sin х + 5) = (cos х)' + (sin х)' + 5' = – sin х + cos х + 0 = cosх – sinх. в) f'(x) = (х6 + tg х – ctg х)' = (х6)' + (tg х)' – (ctg х)' = 6х5 +– =
= 6х5 + + = 6х5 += 6х5 += 6х5 +.
Відповідь: а) f’(x) = 3х2 – 2х +1; 6) f'(x) = cos x – sin x; в) f'(x)= 6х5 +.
Виконання вправ______________________________
1. Знайдіть похідні функцій:
а) у = x3 + х – х4; б) у = sin х – cos x; в) у = – х3 + tg х; г) у = ctg х – . Відповідь: а) у’= 3х2 + 1 – 4х3; б) у' = cos x + sin x;
2. Знайдіть значення похідної функції f(x) в точці хо:
а) f(x) = sin x + х2, хо = 0; б) f(x) = cos x – 1, хо = ; в) f(x) = х2 + х – 7, хо = – 1.
Відповідь: а) 1; б) –; в) –1.
3. При яких значеннях х значення похідної функції f(x) дорів нює 0:
a) f(x) = х3 – х; б) f(x) = х2 + х; в) f(x) = х – cos х?
Відповідь: а) x = ±; б) х = –; в) х = –+ 2πn, n Ζ.
III. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну добутку.
!
Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхній добуток також — диференційована функція в цій точці і
(f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x),
або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції.
Доведення
Розглянемо функцію у = f(x) · g(x). Зафіксуємо хо і надамо аргументу приросту Δx, тоді
1) Δy = f(xо + Δx) · g(xо + Δx) – f(xо) · g(xо).
Оскільки f(xо+ Δx) = f(xо) + Δf, g(xо + Δx) = g(xо) + Δg, то
Δy = (f(xо)+ Δf) · (g(xо) + Δg) – f(xо) · g(xо) = f(xо) · g(xо) + f(xо) · Δg + Δf ·g(xо) + + Δf · Δg – f(xо) · g(xо) = f(xо) · Δg + Δf ·g(xо) + Δf · Δg.
= f'(xо) · g(xо) + f(xо) · g'(xо) + f'(xо) · g'(xо) · 0 =f'(xо)·g(xо)+f(xо)·g(xо).
Отже, (f(x)· g(x))' = f'(x). g(x) + f(x). g'(x).
Наслідки
а) Постійний множник можна винести за знак похідної: (cf(x))' = cf'(x).
Дійсно, (cf(x))' = c'·f(x) + с·f'(x) = 0 · f(x) + с f'(x) = с f'(x).
б) Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:
(f(x) · g(x) · h(x))' = f'(x) · g(x) · h(x) + f(x) · g'(x) · h(x) + f(x) · g(x) · h'(x).
Приклад. Знайдіть похідні функцій:
а) у = х · sin x; б) у = 5x5 + 6х2 + 2х – 7tg x; в) у = (x – 1)(х + 2) · cos x.
Розв'язання
а) у' = (x sin x)' = x' sin x + x (sin x)' = 1 · sin x + x cos x = sin x + x cos x;
б) у' = (5x5 + 6х2 + 2х - 7 tg x)' = (5x5)' + (6х2)' + (2х)' – (7 tg x)' =
=5·(x5)' +6·(x2)' +2· x' -7·(tg x)' =5·5х4+6·2·x+2·1–7·=25x4+12x+2– ;
в) у' = ((x–1)(х+2)cosx)' = (x–1)'(x+2)cosx+(x–1)(x+2)'cosx+(x–1)(x+2)·(cosx)' = =1·(x+2)cosx+(x–1)·1·cosx+(x–1)(x+2)·(–sinx)=
=(x+2)cosx+(x–1)cosx-(x–1)(x+2)sinx=(2x+1)cosx-(x-1)(x+2)sinx.
Виконання вправ.
1. Знайдіть похідну функцій:
а) у = 3х2 - 5х + 6; б) у = -2х3 + 3cos x; в) y=5x2++3ctgx; г) y=3x·x2+9.
Відповідь: а) 6х - 5; б) -6х2 - 3sinx; в) 10х - -; г) 9х2 –
2. Знайдіть похідні функцій:
а) у =sinx; б) у = x2cos x; в) у = ; г) у = x2 sin х.
Відповідь: а) у' = + cos x; б) у' = 2х cos x – x2 sin x;
в) у' = ; г) у' =2xsinx++х2cosx.
3. Знайдіть похідні функцій:
а) (x - 2)2 · x3; б) (x2 - х)(х3 + x).
Відповідь: а) 2(х - 2)х3 + 3(х - 2)2х2; б) (2х - 1)(х3 + x) + (x2 - х)(3х2 + 1).
IV. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну частки функцій.
!
Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці x і g(x)0, то функція у = диференційована в цій точці і .
Доведення
Формулу похідної частки можна вивести, скориставшись означенням похідної. Проте це зробити можна простіше.
Нехай у(х) = , тоді f(x) = у(х) · g(x). Знайдемо похідну функції f(x), скориставшись теоремою про похідну добутку, f'(x) = у'(х) · g(.x) + у(х) · g'(x). Виразимо з цією формули у'(х):
і підставимо замість у(х) значення , тоді будемо мати: 
Отже, 
Приклад. Знайдіть похідні функцій 
Розв'язання
Виконання вправ
1. Знайдіть похідні функцій:
Відповідь: 
2. Знайдіть похідні функцій: 
Відповідь: 
V. Підведення підсумків уроку.
При підведенні підсумків уроку доцільно скористатися табли цею 5.
Таблиця 5
VI. Домашнє завдання.
Розділ VII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 23-27. Вправа № 10 (1-5, 7-8).
PAGE 4
Роганін Алгебра 11 клас, урок 8