Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Саратовский институт
Кафедра высшей математики и информационных технологий
Балаш О.С., Высочанская Е.Ю., Попова А.А., Коробченко Е.В.
МАТЕМАТИКА
Учебное пособие
Саратов
Издательство
Саратовского института РГТЭУ
2011
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Саратовский институт
Кафедра высшей математики и информационных технологий
Утверждено УМС института
Протокол № ______________
« ___ » _____________ 2011г.
Председатель Л.И. Бариленко
Балаш О.С., Высочанская Е.Ю., Попова А.А., Коробченко Е.В.
МАТЕМАТИКА
Учебное пособие
|
Согласовано: |
Рекомендовано кафедрой |
|
Учебно-методический отдел |
Протокол № ___________ |
|
«___»__________2011 г. |
от «___»__________2011г. |
|
___________ В.П. Гневанов |
Зав. кафедрой _______ В.Ф. Кабанов |
Саратов
Издательство
Саратовского института РГТЭУ
2011
УДК 51
ББК 22.1
Б 20
Рецензент:
Землянухин А.И., доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой математики и теории навигационных приборов
Саратовского государственного технического университета.
Щербаков В.А., доктор технических наук, профессор
Саратовского института РГТЭУ
Балаш О.С., Высочанская Е.Ю.,
Попова А.А., Коробченко Е.В.
Б20 Математика: учебное пособие /О.С. Балаш, Е.Ю. Высочанская, А.А. Попова, Е.В. Коробченко – Саратов: Изд-во Сарат. ин-та РГТЭУ, 2011. – 76 с.
Учебное пособие подготовлено по учебной дисциплине «Математика». Содержит базовые вопросы аналитической геометрии на плоскости, вычисление пределов функции, а также основные понятия и методы дифференциального и интегрального исчисления, решения дифференицальных уравнений. Приведены задачи для самостоятельного решения, приведены пояснения по решению наиболее трудных задач.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 080200.62 Менеджмент, 100100.62 Сервис, 100700.62 Торговое дело, 100800.62 Товароведение.
УДК 51
ББК 22.1
Согласовано:
Зав. библиотекой_________Е.А. Лазарева
© Саратовский институт РГТЭУ, 2011
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 5
1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 6
1.1 Расстояние между двумя точками 7
1.2. Середина отрезка 7
1.3. Уравнение прямой на плоскости 8
1.3.1.Общее уравнение прямой на плоскости 8
1.3.2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом 8
1.3.3.Уравнение прямой в отрезках 10
1.3.4.Уравнение прямой, проходящей через данную 11
точку в данном направлении 11
1.3.5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки 12
1.4. Угол между прямыми 12
1.5. Пересечение двух прямых 13
1.6. Расстояние от точки до прямой 13
1.7. Задания для самостоятельной работы 16
2. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 17
2.1. Основные теоремы о пределах 18
2.2. Замечательные пределы 20
2.3. Непрерывность функции 22
2.4. Задания для самостоятельной работы 23
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 24
3.1. Понятие производной 24
3.2.Правила дифференцирования 24
3.3. Основные формулы дифференцирования 25
3.4. Применение дифференциального исчисления для исследования функции 30
3.4.1. Монотонность функции 30
3.4.2. Экстремум функции 31
3.4.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба 33
3.4.4. Асимптоты кривых 34
3.4.5. Исследование функции и построение графиков 36
3.5. Задания для самостоятельной работы 41
4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 43
4.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл 43
4.2. Основные свойства неопределенного интеграла. 43
4.3. Таблица простейших неопределенных интегралов 44
4.4. Основные методы интегрирования 45
4.4.1. Непосредственное интегрирование 45
4.4.2. Метод подстановки (метод замены переменной) 46
4.4.3. Метод интегрирования по частям 47
4.4.4. Интегрирование рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов 50
4.5. Определенный интеграл 54
4.6. Геометрическое приложение определенных интегралов 56
4.7. Задания для самостоятельной работы 57
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 59
5.1. Дифференциальные уравнения первого порядка 59
5.1.1.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 60
5.1.2.Однородные дифференциальные уравнения 61
5.1.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 62
5.2. Дифференциальные уравнения второго порядка 64
5.3. Задания для самостоятельной работы 71
Список литературы 74
Учебное пособие содержит необходимый материал по пяти разделам курса вышей математики. Актуальность данного пособия проявляется в свете перехода на двухуровневую систему высшего образования, а, следовательно, в необходимости инновационных подходов к изложению фундаментального материала. Это была одна из основных целей, поставленных перед авторами.
Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке.
В пособии приводятся упражнения для самостоятельной работы, а также список литературы, в которой можно найти материал по всем вопросам разделов: аналитическая геометрия, пределы функции, дифференциальное и интегральное исчисление, а также дифференциальные уравнения.
При подготовке данного пособия авторы использовали, в частности, свои ранее опубликованные работы, которые прошли практическую проверку при преподавании математики и ее приложений в экономике.
Изучение дисциплины “Математика” направлено на то, чтобы студент обладал следующими общекультурными и профессиональными компетенциями:
ОК-1 - владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения;
ОК-2 - умением логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь, способностью свободно владеть литературной и деловой письменной и устной речью на русском языке, навыками публичной и научной речи; создавать и редактировать тексты профессионального назначения, анализировать логику рассуждений и высказываний;
ПК-1 - способностью применять основные законы социальных, гуманитарных, экономических и естественных наук в профессиональной деятельности, а также методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования; владением математическим аппаратом при решении профессиональных проблем.
Раздел математики, занимающийся изучением свойств геометрических фигур алгебраическими методами, называется аналитической геометрией.
Прямоугольная (или декартова) система координат Оху на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми Ох и Oy, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный отрезок. Эти прямые называются осями координат, Ох – осью абсцисс, Оy – осью ординат.
Точка пересечения осей координат является началом координат.
Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу, называется координатной плоскостью и обозначается Оху.
Пусть точка М – произвольная точка плоскости. На оси Ох и Оу опустим перпендикуляры МА и МВ из этой точки (рис.1).
Рис.1. Декартова система координат
Прямоугольными координатами х и у точки М являются величины ОА и ОВ: х = ОА; y = OB. Координаты х и у точки М называются соответственно абсциссой и ординатой и обозначаются М(x; у).
Оси координат разбивают плоскость на четыре части, которые называют координатными углами, и нумеруют I, II, III, IV (рис.1).
Если известны координаты двух точек на плоскости (x1,y1) и (x2,y2), то расстояние между двумя точками на плоскости определяется по формуле:
. (1.1)
Пример 1.1. Найти расстояние между двумя точками
А(2,5) и В(6,8).
Решение:
Воспользуемся формулой (1.1):
.
Каждая координата середины отрезка равна сумме одноименных координат его концов:
(1.2)
Пример 1.2. Найти середину М отрезка АВ, где А(2,5); В(6,8).
Решение:
Согласно (1.2) имеем:
.
Точка С имеет координаты С(4;6,5).
Уравнение F(x,y)=0 называется уравнением линии (прямой или кривой), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на этой линии и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии. Сама линия в системе координат хОу, уравнение которой рассматривается, является графиком этого уравнения.
Для того, чтобы выяснить, лежит ли некоторая точка на линии, достаточно установить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению данной линии.
Всякое уравнение первой степени с двумя неизвестными представляет собой общее уравнение прямой на плоскости:
Ах + By + C = 0, (1.3)
причем А, В, С – постоянные коэффициенты, одновременно не равные нулю.
Частные случаи общего уравнения прямой:
Прямая может быть задана в виде уравнения с угловым коэффициентом:
y = kx + b, (1.4)
где k = tg – угловой коэффициент прямой – тангенс угла наклона прямой, которая образует угол с положительным направлением оси Ох.
Рис.2. Прямая линия на плоскости
Если известны две точки (х1; у1) и (х2; у2), через которые проходит прямая, то угловой коэффициент прямой можно найти по формуле:
(1.5)
Пусть две прямые заданы уравнениями:
y1(х) = k1x + b1 и y2(х) = k2x + b2.
Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны между собой: k1 = k2
Если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратные по величине и противоположны по знаку, т.е. .
Пример 1.3. Определить, являются ли прямые 2х + 5у + 1 =0 и 6x + 15y +10 =0 параллельными между собой.
Решение:
Приведем уравнения к виду: y = kx + b, т.е. к уравнению с угловым коэффициентом. Получим:
Т.к. угловые коэффициенты данных прямых равны, т.е. , то прямые параллельны.
Пример 1.4. Определить, являются ли прямые 2х + 5y –7 = 0 и
15х – 6y + 4 = 0 перпендикулярными.
Решение:
Приведем уравнение к виду (1.4): и то есть k1= – 2/5 и k2= 5/2.
Так как выполняется условие: то есть , то прямые перпендикулярны.
Часто применяют уравнение прямой в отрезках (рис. 3):
, (1.6)
где a – координата точки пересечения прямой с осью Ох;
b – координата точки пересечения прямой с осью Оу.
Рис. 3. Пересечение прямой с осями координат
Пример 1.5. Определить точки на осях Ох и Оу, через которые проходит прямая у = 3х + 5.
Решение:
Сведем уравнение прямой у = 3х +5 к уравнению в отрезках (1.6).
Поделив уравнение на 5, получим: .
Следовательно, прямая проходит через точки (0;5) и (–5/3;0).
Если известна точка (х0; у0), через которую проходит прямая, и ее угловой коэффициент k, то уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении имеет вид:
. (1.7)
Если в уравнении (1.7) считать, что k – заданное число, то получаем определенную прямую, а если k принимает все действительные значения (переменная величина), то это уравнение будет называться уравнением пучка прямых, то есть совокупность прямых, проходящих через данную точку (центр пучка). При этом k называется параметром пучка.
Пример 1.6. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1;2) с известным угловым коэффициентом k = 3.
Решение:
Применяем формулу (1.7): у –2 = 3(х – 1).
Раскрывая скобки, получим: y = 3x +1 или 3х – у +1 =0.
Пример 1.7. Написать уравнение прямой, проходящей через
точку (1;2), перпендикулярно прямой .
Решение:
Определим угловой коэффициент искомой прямой. Так как прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратные по величине и противоположные по знаку.
Прямая имеет угловой коэффициент , поэтому угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен .
На основании формулы (1.7) уравнение искомой прямой:
; или .
Если известны две точки (х1; у1) и (х2; у2), через которые проходит прямая, то уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид:
. (1.8)
Пример 1.8. Провести прямую через точки А (2;5) и В (11;8).
Решение:
Согласно (1.8) имеем:
или x –3y +13 =0.
Угол между двумя прямыми определяется по формуле:
, (1.9)
где k1 и k2 – угловые коэффициенты первой и второй прямой.
Пример 1.9. Прямые заданы уравнениями: у = 2х+3 и у = –3х +2. Найти угол между ними.
Решение:
Угловые коэффициенты прямых равны k1 = 2 и k2=–3. Согласно формуле (1.9) имеем: .
=arctg1=/4.
Таким образом, угол равен /4.
Так как точка пересечения прямых принадлежит двум прямым, то ее координаты должны одновременно удовлетворять обоим уравнениям прямых, т.е. являться корнями системы уравнений:
.
Пример 1.10. Найти точку пересечения прямых 2х +3у – 12 = 0 и
х – у –1 = 0.
Решение:
Для нахождения координат точки пересечения прямых решим систему уравнений:
Умножим второе уравнение на 3 и сложим с первым, получим: 5х – 15 = 0 или х = 3. Подставив его во второе уравнение, получим: у = 2.
Точка пересечения прямых: (3;2).
Под расстоянием от точки до прямой понимается длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую (рис. 4).
Рис. 4. Расстояние от точки до прямой
Если известна точка М0(х0;у0) и прямая , то расстояние от точки до прямой определяется по формуле:
. (1.10)
Пример 1.11: Найти расстояние от точки М(0; 6) до прямой 3х + 4у + 6 = 0.
Решение:
Для нахождения расстояния от точки М до прямой воспользуемся формулой (1.10):
.
Пример 1.12. Даны три вершины А(2; –1); В(5; 3) и С (–1; 1) треугольника.
Найти:
Решение:
По определению медианы точка M – это середина отрезка ВС, поэтому ее координаты определяются по формуле (1.2):
Получили координаты точки M (2, 2).
Уравнение медианы АМ определим по формуле (1.8):
x–2 = 0 или х=2.
Таким образом, прямая АМ проходит параллельно оси Оу через точку х=2.
Так как прямая АD перпендикулярна прямой ВС, то их угловые коэффициенты связаны соотношением:
.
Вычислим угловые коэффициенты kВС и kAD по формуле (1.5):
Уравнение прямой ВС определим по формуле (1.8):
.
.
Уравнение прямой АD находим по формуле (1.7):
.
Упорядоченное множество чисел, каждое из которых имеет свой номер, называется последовательностью.
{xn}=x1, x2,x3,...,xn,...,
xn – называется общим членом последовательности.
Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого >0 найдется такой номер N, что, начиная с этого номера, т.е. при nN, выполняется:
xn – a< .
Предел обозначается .
Согласно этому определению в – окрестности, то есть в интервале (а–, а+) предельной точки последовательности, находится бесконечное число элементов этой последовательности.
Число а называется пределом последовательности {xn}, если, начиная с некоторого номера N все элементы этой последовательности оказываются в – окрестности точки а.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Функцией y=f(x) называется выражение (закон), по которому каждому элементу х соответствует значение y .
Число а называется пределом функции y = f(x) при хх0, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа >0, найдется такое число >0, зависящее от , что для всех хх0 и удовлетворяющих условию х–х0 < , выполняется неравенство .
Этот предел обозначается: .
Если при хх0 переменная х принимает лишь значения, меньшие х0 и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят, что функция имеет односторонний предел, в данном случае предел слева:
.
Если переменная принимает значения большие х0 при f(x)А, то функция имеет предел справа:
.
.
.
3. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при хх0, то предел произведения этих функций при хх0 равен произведению сомножителей:
.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
5. Если функция f(x) имеет предел при хх0, то предел при хх0 степени равен такой же степени предела этой же функции, то есть
.
.
Иногда для вычисления предела необходимо раскрыть неопределенности вида: 0/0; и т.д.
Пример 2.1. Найти предел:
Решение:
Согласно теоремам о пределах имеем:
Пример 2.2. Найти предел:
Решение:
Подставляя в числитель и знаменатель х = 1, имеем:
.
Пример 2.3. Найти предел:
Решение:
Предел этой функции нельзя найти подстановкой, так как она представляет собой отношение двух бесконечно малых величин (неопределенность вида ). Преобразуем дробь, разложив числитель на множители:
.
Пример 2.4. Найти предел:
Решение:
Так как при х числитель и знаменатель одновременно стремятся к бесконечности, то получена неопределенность вида .
Преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель на х2.
.
Первым замечательным пределом называется:
. (2.1)
Числом e (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности:
. (2.2)
Число е (иррациональное), е ≈ 2,7182818...
Пример 2.5. Найти предел:
Решение:
Данная функция не определена в предельной точке и представляет собой отношение двух бесконечно малых величин, т.е. неопределенность .
Для решения, воспользуемся первым замечательным пределом (2.1). Так как аргумент синуса 2х, то умножим и разделим дробь на 2:
.
Пример 2.6. Найти предел:
Решение:
Воспользуемся формулой первого замечательного предела (2.1):
Пример 2.7. Найти предел:
Решение:
Чтобы использовать первый замечательный предел, сделаем замену переменной:
arctg 4x = u , тогда 4х = tgu ; x = tg u/4, u 0 при x .
Таким образом,
Пример 2.8 Найти предел:
Решение:
При n функция представляет собой степень, основание которой стремиться к единице, а показатель – к бесконечности, то есть имеет место неопределенность типа 1. Преобразуем функцию, чтобы использовать второй замечательный предел (2.2).
.
Обозначим .
Выразим n: 2nu – 3u= 4 → 2nu = 3u + 4 →
→ .
Преобразуем показатель степени:
Если n , то u 0.
Отсюда, согласно формуле (2.2):
Функция f(x) называется непрерывной в точке х=х0, если она удовлетворяет следующим условиям: функция определена в точке х0; имеет конечный предел при хх0; предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е. .
Точка, в которой нарушается непрерывность функции, называется точкой разрыва этой функции.
Функция разрывна в данной точке, если не существует предела функции в этой точке или, если предел существует, но он не совпадает со значением функции в этой точке.
Пример 2.9. Используя определение, доказать непрерывность функции f(x) = 3x2+2x+1 в точке х = 1.
Решение:
Найдем предел функции при х1:
.
Затем вычислим значение функции в точке х=1: f(1)=3+2+1=6. Значение функции и предел в этой точке равны. Следовательно, функция непрерывна в точке х=1.
Пример 2.10. Доказать непрерывность функции f(x)= в точке х=0.
Решение:
Согласно формуле (2.1) f(x)=1 и, соответственно, предел слева и предел справа конечны и равны, т.е.
.
Однако при х=0 функция f(x) не определена, т.е. она не непрерывна в этой точке.
Вычислить пределы:
|
|
|
Производной функции в точке х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента х при стремлении х к нулю.
.
Нахождение производной называется дифференцированием. Функция у=f(x), имеющая конечную производную в точке х0, называется дифференцируемой в этой точке. Функция у=f(x) называется дифференцируемой на интервале (a;b), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.
Производная от второй производной называется третьей производной y=(f(x)).
Производная более высокого порядка илиn–ая производная определяется равенством y(n)=(y(n–1)).
Механический смысл производной. Производная от пройденного пути как функция времени есть величина скорости прямолинейного движения материальной точки в момент времени t0: v=S(t0).
Геометрический смысл производной. Производная – это угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х0:
f() = k.
Экономический смысл производной. Рассмотрим выручку u(x) как функцию от реализации x товаров. u = u(x+x) – u(x) является приращением выручки от увеличения количества проданного товара x. Тогда производная u(x) представляет цену от реализации товара.
.
.
и .
Производная сложной функции.
Если функция u=φ(x) дифференцируема в точке x0, а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке x0 и
или .
Производная обратной функции.
Для дифференциальной функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции
.
Если y – сложная функция от x, т.е. , где x – независимая переменная, то имеют место следующие формулы (табл. 1).
Таблица 1
Основные формулы нахождения производной функции
|
Производные простых функций |
Производные сложных функций |
|
|
1. |
, n 1
|
, где n=Соnst |
|
2. |
, где a>0, a1 |
, где a>0, a1 |
|
3. |
, где a>0, a1
|
, где a>0, a1 |
|
4. |
||
|
5. |
||
|
6. |
||
|
7. |
||
|
8. |
|
|
|
9. |
|
|
|
10. |
||
|
11. |
Пример 3.1. Найти производную функции:.
Решение:
Воспользуемся формулами: ; c=0; .
y= ((5x2– 4x+10)7) = 7(5x2– 4x+10)(5x2–4x+10) =
=7(5x2– 4x+10)(52x2–1– 4() x+ 0) =
=7(5x2 – 4x+10)(10 x– x)=7(5x2 – 4 +10)6 (10x +).
Пример 3.2. Найти производную функции: y = ln(5x–1).
Решение:
Для решения используем формулы: (ln u)u; (u±v) u ± v; с =0.
y= ln(5x–1))= ==(5–0)=
=5=.
Пример 3.3. Найти производную функции: y = ln
Решение:
Преобразуем логарифмическую функцию, воспользовавшись свойствами логарифма:
ln = ln a – ln b ; ln a=nln a.
y=ln=ln()=ln()=(ln(7x+2) – ln(3x–7)) =
=ln(7x+2)–ln(3x–7).
Дифференцируем:
y=(=
=
=.
Для нахождения производных применены следующие формулы:
(ln u)=; (u ± v)u ± v, с = 0,(сu)′=cu′.
Пример 3.4: Найти производную функции: у = arccos 3x.
Решение:
Воспользуемся формулой: (arccos u).
y.
Пример 3.5: Найти производную функции: y = cos3x.
Решение:
y= (cos3x)=–sin3x(3x)=–3sin 3x.
Использованы формулы: (cosu)=–sinu∙u′, (cu)′=cu′, x′=1, c′=0.
Пример 3.6: Найти производную функции: .
Решение:
Используем формулы: .
.
Пример 3.7: Найти производную функции: y=5sinx.
Решение:
Применяем соотношения: .
.
Пример 3.8. Найти производную функции:
Решение:
Так как исходное выражение представляет собой произведение двух функций, то его производная находится по формулам:
(uv)′ = u′v + uv′ и
Пример 3.9. Найти производную функции:
Решение:
При решении используем: .
Пример 3.10. Найти производную функции: y=arcsin
Решение:
Для нахождения производной применяем формулы:
Функция f(x) называется возрастающей на промежутке, если для любых х1 и х2 и х2>x1 верно неравенство f(x2) > f(x1), т.е. любому большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция f(x) называется убывающей, если для х2 > x1 верно неравенство f(x2) < f(x1), т.е. любому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Достаточный признак возрастания (убывания) функции. Если функция f(x) дифференцируема и производная этой функции f(x) на некотором промежутке больше или равна нулю, то функция на этом промежутке не убывает. Если производная функции на некотором промежутке меньше или равна нулю, то функция не возрастает.
При f(x) >0 (f(x) < 0) имеем признак строгой монотонности, т.е. функция возрастает (убывает).
Необходимый признак возрастания (убывания) функции. Если функция f(x) на некотором промежутке возрастает (убывает), то производная этой функции f(x)>0 (f(x) < 0).
Геометрическая интерпретация связи знака производной функции и характера ее изменения: если углы наклона касательных на каком–то интервале являются острыми, то функция на этом интервале возрастает: tg>0; если угол наклона касательной является тупым, то функция убывает и tg <0.
Пример 3.11: Определить промежутки возрастания и убывания функции у =1 – 4x – x2.
Решение:
Находим производную функции: y= – 4 – 2x.
Определим промежутки, на которых производная положительна и отрицательна:
y>0, – 4 – 2x > 0, т.е. x < –2;
y <0 при x > –2.
Следовательно, функция возрастает на промежутке (–; –2) и убывает на (–2; ).
Пусть функция f(x) непрерывна в точке х0. Если существует окрестность точки х0, в которой для всех точек х≠х0 выполняется неравенство f(x)<f(x0), то говорят, что в точке х0 функция имеет максимум.
Если существует окрестность точки х0, в которой для всех точек х≠х0 выполняется неравенство f(x)>f(x0), то говорят, что в точке х0 функция имеет минимум.
Максимум и минимум объединены общим названием экстремум.
Необходимое условие существование экстремума. Если функция f(x) дифференцируема в точке х0 и имеет в этой точке экстремум, то производная в этой точке равна нулю или не существует.
Геометрический смысл: если в точках экстремума существуют касательные, то они параллельны оси Ох.
Критическими точками назовем такие точки области определения, в которых функция может иметь экстремум, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Первое достаточное условие существования экстремума. Пусть функция непрерывна в интервале, содержащем критическую точку х0, и дифференцируема на нем. Если при переходе через критическую точку слева направо производная функции меняет знак с минуса на плюс, то в точке х0 функция имеет минимум. Если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с плюса на минус, то в точке х0 функция имеет максимум. Если при переходе через критическую точку производная функции не меняет знак, то функция не имеет экстремума.
Второе достаточное условие существования экстремума. Если в критической точке х0 первая производная равна нулю f(x)=0, а вторая производная в точке х0 меньше нуля f″(x)<0, то в точке х0 функция имеет максимум. Если в критической точке х0 вторая производная функции больше нуля f″(x)>0, то в точке х0 функция имеет минимум.
Пример 3.12. Исследовать функцию y = x2(x – 12)2 на экстремум.
Решение:
Вычислим производную:
y = 2x(x –12)2 + x2 2 (x – 12) = 2x(x – 12)(2x – 12) = 4x (x –6)(x–12).
Приравняем ее к нулю: y=0; и найдем критические точки:
x1=0, x2 = 6, x3 = 12.
Вычислим вторую производную:
у= (у)= (4x (x – 6)(x – 12))=
=4(х – 6)(х – 12) + 4х(х – 12) + 4х(х – 6)=
= 12(х2 – 12х + 24) = 12((х – 6)2 – 12).
Разделим область определения на промежутки критическими точками. На каждом из полученных промежутков определим знак производной, определим возрастание или убывание функции.
Результаты занесем в таблицу 2.
Таблица 2
Интервалы возрастания и убывания функции
|
х |
(–; 0) |
0 |
(0; 6) |
6 |
(6; 12) |
12 |
(12; ) |
|
y |
– |
0 |
+ |
0 |
– |
0 |
+ |
|
y |
убывает |
min y=0 |
возрастает |
max y =6 |
убывает |
min y = 0 |
возрастает |
|
у |
> 0 |
< 0 |
> 0 |
Если на промежутке кривая находится ниже любой ее касательной, то кривая называется выпуклой на этом промежутке.
Если на промежутке кривая находится выше любой ее касательной, то кривая называется вогнутой на этом промежутке.
выпуклая вогнутая
Достаточное условие выпуклости и вогнутости. Если на промежутке вторая производная функции меньше нуля f(x)<0, то кривая на промежутке выпукла. Если на промежутке вторая производная функции больше нуля f(x)>0, то кривая на промежутке вогнута.
Точка М(х0,у0), лежащая на кривой, называется точкой перегиба кривой, если при переходе через нее кривая меняет характер выпуклости.
Необходимое условие существования точки перегиба. Если точка М(х0; у0) – точка перегиба, то вторая производная функции в точке х0 равна нулю или не существует.
Первое достаточное условие существования точки перегиба. Пусть функция f(x) имеет первую производную в точке х0 и вторую производную в окрестности точки х0. Если при переходе через точку х0 вторая производная меняет знак, то точка х0 является точкой перегиба.
Второе достаточное условие существования точки перегиба. Пусть в точке х0 функция f(x) имеет производные до третьего порядка включительно. Если вторая производная функции f(x) в точке x0 равна нулю, а третья производная отлична от нуля, то точка х0 является точкой перегиба.
Пример 3.13. Исследовать функцию у(х) = х3 на выпуклость и вогнутость. Найти точки перегиба.
Решение:
Найдем вторую производную функции: у(х) = 3x2; y(х) = 6х.
Приравняем вторую производную к нулю: y= 0, следовательно, 6х = 0, х = 0. Определим знаки второй производной слева и справа от точки х = 0.
y(–1) = 6(–1) = –6 <0; y(1) = 6 >0.
То есть слева от точки х = 0 функция выпукла, справа – вогнута. Так как при переходе через эту точку функция меняет направление выпуклости, то точка х = 0 является точкой перегиба.
Прямая, расстояние до которой от точек кривой по мере удаления этих точек в бесконечность стремится к нулю, называется асимптотой кривой.
Существует три вида асимптот: вертикальная, горизонтальная и наклонная.
Если функция определена в некоторой окрестности точки х0 и хотя бы один из односторонних пределов при хх0–0 (слева) или при хх0 +0 (справа) равен бесконечности, т.е. выполняются одно из условий:
,
то прямая х = х0 называется вертикальной асимптотой кривой y = f(x).
Прямая y(x)=kx+b называется наклонной асимптотой кривой y = f(x) тогда и только тогда, когда существуют пределы:
и .
Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то кривая наклонных асимптот не имеет.
Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота (при k = 0).
Пример 3.14. Найти асимптоты кривой .
Решение:
Найдем предел функции при х3:
.
Следовательно, х = 3 – вертикальная асимптота кривой.
Пример 3.15. Найти асимптоты функции .
Решение:
Так как при х1 и х–1 выполняется условие , то прямые х =1 и х = – 1 – вертикальные асимптоты.
Для нахождения наклонной асимптоты y(x)=kx+b вычислим пределы и :
Таким образом, k =1, b=0 и у(х) = х – уравнение наклонной асимптоты.
Для полного исследования функции необходимо:
Пример 3.16. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение:
Исследуем четность и периодичность функции.
Если функция является четной, то выполняется равенство:, если нечетной, то: .
Функция не является ни четной, ни нечетной, данная функция общего вида.
.
3. Найдем точки пересечения с осями координат:
a) с осью 0y: x=0; .
Точка пересечения графика с осью Оу : A(0; 5,5).
б) с осью 0x: y=0.
.
Первый корень х1 найдем подбором. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена. В нашем случае их можно искать среди чисел 1, 11. Можно убедиться, что х1=1. Для нахождения остальных корней воспользуемся следствием из теоремы Безу: число a является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится без остатка на двучлен х–a.
Поделим многочлен на двучлен х–х1, т.е. на х–1:
0
Можно записать:
Т.к. , то
Найдем корни уравнения: x2–2x–11=0
D=48;
Найдем приблизительное значение х2 и х3:
х2 = 4,45; х3 = –2,45.
Таким образом, график функции пересекает ось Ох в точках:
B (1; 0); C (4,45; 0); D(–2,45; 0).
4. Асимптоты функции.
Для отыскания наклонной асимптоты y=kx+b вычислим пределы:
и b= .
Находим: .
Т.к. k не существует, то не существует наклонной асимптоты.
5. Найдем точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.
Найдем производную функции f(x).
Т.к. производная существует, то найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю.
.
Определим знак производной слева и справа от критической точки х1 = –1.
Проходя через точку х1=–1 производная f(x) меняет свой знак с плюса на минус. На основании первого достаточного признака существования экстремума делаем вывод о том, что х1= –1 – точка максимума. Найдем:
.
Точка максимума: Е(–1; 8).
Аналогично исследуем на экстремум точку х2=3.
Определим знак производной слева и справа от точки х2=3:
.
То есть проходя через точку х2=3, производная меняет свой знак с минуса на плюс. Точка х2 = 3 – точка минимума.
.
Точка минимума F(3; –8)
Определим интервалы монотонности функции.
На основании достаточного условия возрастания (убывания) функции делаем вывод о том, что функция возрастает на интервале – – и убывает на –.
|
х |
(–; –1) |
–1 |
(–1;3) |
3 |
(3; ) |
|
y |
+ |
0 |
– |
0 |
+ |
|
y |
возрастает |
y mах = 8 |
убывает |
y min = – 8 |
возрастает |
6. Точка перегиба и интервалы вогнутости.
Найдем вторую производную функции:
Определим интервалы вогнутости и выпуклости функции.
Находим промежуток, в котором f0: 3(x–1) 0 x1, т.е. на интервале – график функции выпуклый.
Аналогично, находим интервал, в котором f(x)>0: x– 0 x, т.е. в интервале график вогнутый.
В точке х=1 график функции меняет направление вогнутости, следовательно, х=1 – точка перегиба. Находим ординату точки перегиба: . Точка перегиба: Н (1; 0).
7. Построим график функции.
Пример 3.17. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение:
Функция не является четной и нечетной, функция общего вида, т.к. не выполняются условия для четной функции, и для нечетной.
Найдем пределы:
;
и
а) с осью Ох: если у=0, то , то х = 0;
б) с осью Оу: если х = 0, то у = 0.
Следовательно, прямая проходит через начало координат.
Вертикальные асимптоты:
т.к. и ,
то прямая – вертикальная асимптота.
Наклонные асимптоты:
, k =1.
, b=1/2.
Значит, наклонная асимптота существует и ее уравнение .
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
.
(2х – 1)2=1, х1=0, х2=1.
Для нахождения экстремумов составим таблицу:
|
x |
(– ,0) |
0 |
(0; 1/2) |
1/2 |
(1/2,1) |
1 |
(1;) |
|
y |
+ |
0 |
– |
не существует |
– |
0 |
+ |
|
y |
возрастает |
максимум |
убывает |
не существует |
убывает |
минимум |
возрастает |
Находим ординаты точек экстремума: ymin(1)=2 и ymax(0)=0
6. Определим интервалы выпуклости и точки перегиба.
Найдем вторую производную функции:
, у0.
Если x<1/2, то у<0, а если х >1/2, то у>0. Отсюда следует, что кривая выпуклая на промежутке (–; 1/2) и вогнутая на промежутке (1/2; +). Точек перегиба нет.
7. Построим график функции.
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на промежутке Х, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F (x)= f(x).
Совокупность всех первообразных для функций f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается :
. (4.1)
Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, а С – произвольной постоянной.
Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием.
, где а= Сonst.
.
, где k и b – некоторые числа, k≠0.
В таблице интегралов, переменная х формально замена на u, которая может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной, т.к. неопределенный интеграл не зависит от выбора аргумента.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При вычислении интеграла необходимо, пользуясь теми или иными приемами интегрирования, привести его к табличному и, таким образом, найти искомый результат. Наиболее важными методами интегрирования являются:
Непосредственным интегрированием называется такой метод интегрирования, при котором данный интеграл сводится к одному или нескольким табличным интегралам путем тождественных преобразований подынтегрального выражения.
Пример 4.1. Найти интеграл: .
Решение:
.
При решении применили формулы: и свойства интеграла:
.
Пример 4.2. Найти интеграл: .
Решение:
.
При решении применили формулы: и свойства интеграла:
Пусть требуется вычислить интеграл . Метод подстановки заключается в введении новой переменной t с помощью равенства , где часть подынтегрального выражения, а его оставшаяся часть или все подынтегральное выражение является дифференциалом этой функции. При этом заданный интеграл сводится к табличному.
Формула замены переменной в неопределенном интеграле имеет вид:
, (4.2)
Этот метод применяется в том случае, когда подынтегральная функция является сложной функцией.
Пример 4.3. Найти интеграл: .
Решение:
Применим метод замены переменной, т.к. одна часть подынтегрального выражения представляет собой показательную функцию от х3, а другая с точностью до постоянного множителя – дифференциал этой функции.
Произведем замену . Тогда или .
Следовательно, .
Возвращаясь к старой переменной х, найдем
.
Пример 4.4. Найти интеграл: .
Решение:
Применим метод замены переменной, т.к. .
Обозначим:
u = x6 + ex , тогда du =d(x6 + e x ),
dx= (x6 + e x )dx= (6x5 + e x )dx.
Следовательно:
Применяли формулы: .
Если u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции, то справедливо равенство: d(uv)=udv+vdu или udv= d(uv) – vdu. Интегрируя это равенство, получаем следующее выражение:
. (4.3)
Эта формула называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Смысл этого метода состоит в том, чтобы в результате применения данной формулы, интеграл, стоящий в правой части, оказался табличным или хотя бы стал проще первоначального.
Этот формула применяется в том случае, когда подынтегральная функция является сложной функцией.
За u принимается функция, которая при дифференцировании упрощается.
За dv принимается оставшаяся часть подынтегрального выражения, интеграл от которой может быть найден.
Существует три группы интегралов, для которых применима формула интегрирования по частям:
многочлен.
Для нахождения интегралов первой группы при первом применении полагают u=Р(х), оставшуюся часть подынтегрального выражения принимают за dv. Формулу интегрирования применяют n раз, пока степень n переменной х не станет равной нулю, а сам интеграл – табличным.
Пример 4.5. Найти интеграл:
Решение:
Это интеграл первой группы. Используем метод интегрирования по частям. Обозначим: тогда
.
Постоянную С здесь полагаем равной нулю, то есть в качестве v берем одну из первообразных. Подставив найденные значения в (4.3), получим:
Для нахождения интегралов второй группы часть подынтегрального выражения Р(х)dх полагают за dv, а оставшуюся часть принимают за u. Формулу интегрирования применяют n раз, пока степень n не станет равной нулю, а сам интеграл – табличным.
Пример 4.6. Найти интеграл:.
Решение:
Это интеграл второй группы. Используем метод интегрирования по частям (4.3).
Обозначим: тогда
.
Подставляя найденные выражения в формулу, получим:
Интегралы третей группы вычисляются двукратным интегрированием по частям.
На практике метод интегрирования по частям часто комбинируется с другими методами интегрирования.
Пример 4.7. Найти интеграл:.
Решение:
Это интеграл третьей группы. Используем метод интегрирования по частям (4.3).
Обозначим: (можно и ), тогда .
Используя формулу интегрирования по частям, имеем
.
К полученному интегралу снова применим формулу интегрирования по частям, полагая , откуда .
Тогда
Перенося интеграл из правой части равенства в левую, получаем:
.
, где С = С1/2.
Рациональной дробью называется функция, равная отношению двух многочленов , где Pm(x) и Qn(x) – многочлены степени m и n соответственно.
Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в ее числителе меньше степени многочлена в знаменателе и неправильной, если степень многочлена в ее числителе не меньше степени многочлена в знаменателе.
Любую неправильную дроби можно представить в виде:
,
где P0(x) – многочлен (целая часть при делении), – правильная рациональная дробь (остаток). Поэтому интеграл от рациональной дроби можно записать в виде:
.
Правильные рациональные дроби вида , , (корни знаменателя комплексные, т.е. p2–4q<0) называются простейшими рациональными дробями.
1. Если дробь имеет вид , где А и α – постоянные числа, то интегрирование производим по формуле:
. (4.4)
2. Если дробь имеет вид , где В и α – постоянные числа, то интегрирование производим по формуле:
(4.5)
3. Если дробь вида , где А, В, p и q – действительные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней (p2–4q<0), то интегрирование производим по формуле:
. (4.6)
Пример 4.8: Найти интеграл:.
Решение:
Дискриминант квадратного трехчлена в знаменателе не имеет действительных корней (p2–4q<0), поэтому данная дробь – третьего вида. Найдем производную знаменателя:
Выделим производную знаменателя в числителе
Так как , то имеем
Сделаем замену для интеграла : t=x2+4x+13 и dt=(2x+4)dx,
а для интеграла – k=x+2 и dk=dx.
Тогда
Рассмотрим общий случай, когда подынтегральная функция – правильная дробь. Знаменатель этой дроби Q(x) – многочлен, имеющий как действительные корни (среди которых есть кратные), так и комплексные (среди которых также есть кратные)
Q(x) = (х–х1)k1 (х–х2) k2… (х–хr) kr×(х2+p1x+q1)s1 … (х2+pmx+qm) sm.
Тогда правильную рациональную дробь можно представить в виде:
(4.7)
где – неизвестные действительные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов.
Суть метода заключается в следующем. Для отыскания неизвестных коэффициентов правую часть равенства (4.7) приводим к общему знаменателю. В результате получаем тождество , где S(x) – многочлен с неопределенными коэффициентами. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то равны и числители, следовательно, после отбрасывания знаменателей и приведения в правой части подобных членов приходим к равенству . Приравнивая коэффициенты у одинаковых степеней переменной х, получаем систему n линейных уравнений относительно , из которой и определяем искомые коэффициенты.
Пример 4.9. .
Решение:
Подынтегральное выражение представляет собой неправильную рациональную дробь. Упростим ее, поделив числитель на знаменатель:
Запишем дробь в виде:
.
Для упрощения интегрирования разложим дробь методом неопределенных коэффициентов.
В знаменателе дроби находиться многочлен второй степени. Разложим знаменатель на множители:
.
Используя метод неопределенных коэффициентов, представим правую часть в виде суммы двух простых дробей, где А и В – неизвестные коэффициенты.
приводим к общему знаменателю:
.
Слева и справа стоят равные между собой дроби, у которых равны знаменатели, значит, равны и числители:
12х–17=(A+B)x + 4A – 2B.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х для нахождения неизвестных коэффициентов A и B:
.
Находим А и В из системы: .
Таким образом, подынтегральная дробь принимает вид:
.
Найдем интеграл:
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b], где a<b. Разобьем отрезок на n произвольных частей точками a=х0< х1<…< хi–1< хi <…< хn–1< хn=b. На каждом отрезке [хi–1; хi] выберем произвольную точку и положим , где i =1,…n. Значение функции умножим на длину отрезка и составим сумму всех таких произведений.
Сумма вида называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a; b]. Геометрически интегральная сумма представляет собой алгебраическую сумму площадей прямоугольников, в основании которых лежат частичные отрезки , а высоты равны .
Обозначим через максимальную длину частичного отрезка разбиения. Найдем предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю, т.е. .
Под определенным интегралом от данной непрерывной функции f(x) на данном отрезке [a; b] понимается предел интегральных сумм при , то есть:
. (4.8)
Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно, а отрезок [a,b] – областью (отрезком) интегрирования.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и функция F(x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона–Лейбница:
. (4.9)
Пример 4.10. Вычислить: .
Решение:
Найдем первообразную от степенной функции, а затем воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница (4.9):
Пример 4.11. Вычислить: .
Решение:
Формулировка определенного интеграла позволяет получить различные формулы для нахождения длин, площадей и объемов геометрических фигур.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y1(x) y2(x), х=а, х=b, вычисляется по формуле:
, (4.10)
где а; b – абсциссы точек пересечения кривых y1 (x) и y2 (x).
Пример 4.12: Найти площадь фигуры, образованной параболой и прямой . Сделать чертеж.
Решение:
Выполним чертеж.
Построим прямую по точкам A(0; 9) и B(–4,5; 0).
Для построения и анализа параболы y(x)=x2+6x+9 приведем ее к каноническому виду: .
– это парабола с вершиной в точке: (–3; 0) с осью симметрии параллельной оси Ох и ветвями, направленными вверх.
Точка пересечения параболы с осью Оy : C(0; 9) с осью Ох: D( –3; 0).
Найдем а и b – точки пересечения параболы и прямой. Для этого решим систему уравнений:
Таким образом, а= –4; b=0. Построим чертеж:
Найдем площадь фигуры по формуле (4.10):
(Ответ: )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциальными уравнениями называются уравнения, связывающие между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные различных порядков
F (x, y, y, у,...,у(n)) = 0. (5.1)
Порядок старшей производной, входящей в данное дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение следующего вида:
F (x, y, y) = 0 или y = f (x, y), (5.2)
где х – независимая переменная; у – искомая функция; у – ее производная.
Решением дифференциального уравнения называется такая функция у = у(х), которая обращает уравнение (5.2) в тождество.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Условия, в силу которых функция у = f(x) принимает заданное значение у0 в заданной точке х0, называют начальными условиями, то есть
у(х0) = у0 . (5.3)
Задачей Коши называется отыскание решения дифференциального уравнения (5.2) при заданном начальном условии (5.3). С геометрической точки зрения решить задачу Коши – значит из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку (х0;у0).
Общим решением уравнения (5.1) называется такое его решение, которое содержит столько независимых произвольных постоянных С1,...,Cn каков порядок этого уравнения, т.е.
y= g (C1,C2, ...,Cn).
Геометрически общее решение дифференциального уравнения первого порядка представляет собой семейство интегральных кривых, т.е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной С.
Частным решением дифференциального уравнения (5.1) называется такое решение этого уравнения, которое получается из общего решения, если приписать определенные значения ее произвольным постоянным. Геометрически частное решение дифференциального уравнения первого порядка представляет собой интегральную кривую, проходящую через заданную точку М (х0;у0).
Уравнение вида:
(5.4)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
В этом уравнении коэффициенты при dx и dy зависят только от х и только от у соответственно.
Для решения разделим переменные уравнения (5.4), поделив обе части уравнения на g1(x)f2(y)0:
. (5.5)
В уравнении (5.5) коэффициент при dx – функция от х, коэффициент при dy – функция от у.
Тогда общее решение уравнения имеет вид:
где С – произвольная постоянная.
Пример 5.1. Найти общее решение дифференциального уравнения у–5х2=0 и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: у(0)=2.
Решение:
Приведем уравнение к виду (5.4), заменив производную у через отношение дифференциалов:
у=.
у–5х2=0;
–5х2=0.
Умножим уравнение на dx:
dy – 5x2dx = 0
Возьмем интеграл от обеих частей:
Таким образом, получили общее решение дифференциального уравнения: у = 5/3x3 + C.
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: у(0) = 2.
Найдем С, подставив начальное условие в общее решение:
2 = 5/30 + C, С = 2.
Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:
.
Дифференциальное уравнение
P(x, y)dx + Q( x, y)dx = 0 (5.6)
называется однородным, если коэффициенты P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями с одним и тем же показателем однородности, т.е. при любом t, x, y выполняется:
P(tx,ty) = tn P(x,y) и Q(tx,ty) = tn Q(x,y).
Решение однородного уравнения проводится с помощью замены переменной: y = tx, где t – новая переменная. Такая замена приводит уравнение (5.6) к уравнению с разделяющимися переменными (5.5).
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:
у + р (х,у)у = g(х,у), (5.7)
где р(х, у) и g(x, у) – непрерывные функции в некотором промежутке.
Для решения линейного дифференциального уравнения (5.7) используется метод замены переменной: y(x) = u∙v, а также метод вариации произвольной постоянной.
Пример 5.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
х2у – 2ху =3 и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: у(1) = 0.
Решение:
Разделим уравнение на х20, преобразовав его к виду:
.
Полученное дифференциальное уравнение первого порядка является линейным, так как у и у входят в уравнение в первой степени, отсутствует произведение уу, а коэффициент при у и правая часть являются функциями от х.
Общее решение линейного дифференциального уравнения будем искать в виде произведения двух функций: y(x) = u v.
Найдем производную от у(х) и подставим в уравнение:
(u v)= u v + uv
.
Сгруппируем первое и третье слагаемые:
.
Приравняв выражение, стоящее в скобках, к нулю, получим систему дифференциальных уравнений:
.
Решим первое уравнение. Это уравнение с разделяющимися переменными (5.4).
Интегрируя, и положив С=0, получим:
Подставим найденное выражение u во второе дифференциальное уравнение.
Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Найдем v:
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: y = u∙v.
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у(1) = 0.
0 = –1/1 + 12C, отсюда С = 1.
Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
.
Если в уравнении наивысший порядок производной искомой функции второй, то такое уравнение называется дифференциальным уравнением второго порядка:
F(x, y, y,y)=0 или y= f (x, y, y). (5.8)
Начальное условие должно определить две константы интегрирования и содержит два уравнения:
у(х0) = у0, у(х0)=у0. (5.9)
Задачей Коши для дифференциального уравнения второго порядка называется решение дифференциального уравнения (5.8) при заданном начальном условии (5.9).
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид:
у + а1у +а2у = f(x). (5.10)
Если f(x) = 0, то уравнение называется однородным, т.е.
у + а1у +а2у = 0. (5.11)
Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
уо.н. = у* + z, (5.12)
где уо.н. – общее решение неоднородного уравнения;
у* – общее решение однородного уравнения;
z – частное решение неоднородного уравнения.
Для отыскания общего решения однородного уравнения (5.11) составляют характеристическое уравнение:
k2 + a1k + a2 = 0 (5.13)
В зависимости от характера найденных корней k1 и k2 зависит общее решение однородного уравнения (табл.3).
Таблица 3
Вид общего решения
однородного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
в зависимости от корней характеристического уравнения
|
Корни характеристического уравнения |
Общее решение однородного уравнения |
|
|
1. |
Действительные и различные: k1k2 |
|
|
2. |
Действительные и кратные: k1=k2 |
|
|
3. |
Комплексные: k1,2 = i |
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения находится в зависимости от вида корней характеристического уравнения и правой части дифференциального уравнения (табл.4).
Таблица 4
Вид частных решений
неоднородного дифференциального уравнения
с постоянными коэффициентами
|
Вид правой части дифференциального уравнения f(x) |
Условие выбора вида частного решения |
Вид частного решения |
|
|
1 |
f(x) = aemx |
если m не является корнем характеристического уравнения |
z = A emx |
|
2 |
f(x) = ax2 + bx + c |
если 0 не является корнем характеристического уравнения |
z = Ax2 + Bx + C |
|
3 |
f(x)=acoswx+ bsinwx |
если wi не является корнем характеристического уравнения |
z = A cos wx + + B sin wx |
Пример 5.3. Найти общее решение линейного однородного уравнения:
у – 6у +9у = 0.
Решение:
Данному однородному дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение:
k2 – 6k + 9 = 0.
Его корни k1=k2=3 действительные и равные. Тогда общее решение имеет вид:
|
. |
Пример 5.4. Найти общее решение линейного однородного уравнения:
у – 4у = 0.
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
k2 – 4k = 0.
Его корни действительны и различны: k1=0, k2=4.
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
|
. |
Пример 5.5. Найти общее решение линейного однородного уравнения:
у – 2у+5у = 0.
Решение:
Характеристическое уравнение имеет вид:
k2 – 2k +5 = 0
Найдем дискриминант: D = 4 – 20 = – 16, . Следовательно, корни характеристического уравнения будут комплексными: k1,2= 12i , т.е. =1, =2.
Общее Решение дифференциального уравнения имеет вид:
|
. |
Пример 5.6. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения: у – 6у + 8у = –2e3x и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: y(0) = 1 и y(0)=0.
Решение:
По условию дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Его общее решение есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
уо.н. = у* + z,
где уо.н. – общее Решение неоднородного уравнения;
у* – общее Решение однородного уравнения;
z – частное Решение неоднородного уравнения.
у – 6у + 8у = 0.
Данному однородному дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение:
k2 – 6k + 8 = 0.
Его корни k1=2 и k2=4 действительные и различные.
Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:
y* = C1e2x + C2e4x.
2. Найдем частное решение неоднородного уравнения.
Определим вид частного решения из табл.4.
Так как f(x)=–2e3x и m=3 не равны корням характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде: z = Ae3x.
Для нахождения неизвестного коэффициента А найдем z и z и подставим в уравнение:
z = (Ae3x) = 3Ae3x;
z = (3Ae3x ) = 9Ae3x;
9Ae3x – 18Ae3x + 8Ae3x = –2e3x;
–Ae3x = –2e3x, отсюда А = 2.
Частное решение неоднородного уравнения:
.
3. Общее решение неоднородного уравнения: уо.н. = у* + z.
.
4. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1 и y(0)=0.
Для этого определим С1 и С2.
Продифференцируем общее решение и подставим начальные условия:
;
;
;
.
Подставим в общее решение начальные условия у(0)=1:
Для нахождения С1 и С2 решим систему уравнений:
.
Отсюда, С1=1 и C2 =–2.
Таким образом, частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
.
Пример 5.7. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения:
у + 4у + 16у = х2 + 1.
Решение:
По условию дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Его общее решение будем искать в виде:
уо.н. = у* + z,
где уо.н. – общее решение неоднородного уравнения;
у* – общее решение однородного уравнения;
z – частное решение неоднородного уравнения.
у + 4у + 16у = 0.
Данному однородному дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение:
k2 +4k + 16 = 0.
Его корни k1=–2 и k2=–2 действительные и равные.
Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:
у* = e–2x(C1 + C2x).
2. Найдем частное решение неоднородного уравнения.
Определим вид частного решения из табл.4.
Так как f(x) = x2 +1 и ноль не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде: z = Aх2+Вх+С.
Для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, С найдем z и z и подставим в уравнение:
z = (Aх2+Вх+С) = 2Aх + В;
z = (2Aх + В) = 2А;
2А + 4(Ах+В) + 16(Aх2+Вх+С) = x2 +1.
Раскроем скобки и приведем подобные при х:
16Ах2 + (4А + 16В)х + 2А +4В + 16С = x2 +1.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях равенства, получим систему уравнений:
.
Откуда:
Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
.
Следовательно, общее решение данного уравнения:
.
Пример 5.8. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения:
у + 2у + 5у = 2cos3х.
Решение:
Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Его общее решение будем искать в виде:
уо.н. = у* + z,
где уо.н. – общее Решение неоднородного уравнения;
у* – общее Решение однородного уравнения;
z – частное Решение неоднородного уравнения.
у + 2у + 5у = 0.
Для этого определим характеристическое уравнение и найдем его корни:
k2 + 2k + 5 = 0.
Корни характеристического уравнения будут комплексными:
k1,2= –12i , т.е. =–1, =2.
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
|
. |
2. Найдем частное решение неоднородного уравнения.
Определим вид частного решения из табл.4.
Так как f(x) представляет собой неполный тригонометрический полином и w2i, то частное решение будем искать в виде:
z = Acos3х+Вsin3х.
Для нахождения неизвестных коэффициентов А, В найдем z и z:
z = (Acos3х+Вsin3х) = –3Asin3х + 3Вcos3x;
z = (–3Аsin3х + 3Вcos3x) = – 9Acos3х – 9Вsin3х;
Подставим z, z и z в уравнение:
– 9Acos3х – 9Вsin3х + 2(–3Asin3х + 3Вcos3x) + 5(Acos3х+Вsin3х) = =2cos3x.
Сгруппируем слагаемые при одинаковых тригонометрических функциях:
(–9А + 6В + 5А)cos3x + (–9B – 6A + 5B)sin3x = 2cos3x.
Приравняв коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, получим систему уравнений:
.
Решая систему, получим:
Частное решение неоднородного уравнения:
.
Общее решение неоднородного уравнения:
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
|
40. |
41. |
|
42. |
43. |
|
44. |
45. |
|
46. |
47. |
|
48. |
49. |
|
50. |
51. |
|
52. |
53. |
|
54. |
55. |
|
56. |
57. |
Основная литература
Дополнительная литература
Д Л Я З А М Е Т О К
Учебное издание
Балаш Ольга Сергеевна
Высочанская Елена Юрьевна
Попова Анна Александровна
Коробченко Елена Витальевна
МАТЕМАТИКА
Учебное пособие
Подписано в печать _____________
Формат 6084 1/16 Усл. печ. л. 4,8.
Тираж 500 экз.
Саратовский институт (филиал)
Российского государственного торгово-экономического университета
410052, Саратов, ул. Международная, 24
Отпечатано в РИО Саратовского института (филиала)
Российского государственного торгово-экономического университета
410052, Саратов, ул. Международная, 24